2024版新教材高考数学一轮复习第8章平面解析几何微专题进阶课8阿波罗尼斯圆及应用学案含解析新人教A版20230519176.doc

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1、2024版新教材高考数学一轮复习第8章平面解析几何微专题进阶课8阿波罗尼斯圆及应用学案含解析新人教A版20230519176第8章 平面解析几何阿波罗尼斯圆及应用定义：平面内到两定点距离的比值为定值(不等于1)的点的轨迹为圆，我们称之为阿波罗尼斯圆如图，M，N分别为AB的内、外分点(直线AB上满足到两定点距离比为定值的点)，且k(k0且k1)，圆O是以MN为直径的圆若动点满足k，则点P的轨迹为圆O.已知点P(x，y)与两个定点B(1,0)，A(4,0)的距离之比为，求点P的轨迹方程解：由，得(x4)2y24(x1)2y2，所以点P的轨迹方程为x2y24.已知两个定点A(4,0)，B(1,0)，

2、圆O：x2y24，若P是圆O上任意一点，求证：是定值证明：设P(x，y)是圆O：x2y24上任意一点，则y24x2，.如图，已知圆O：x2y24，点A(4,0)，在x轴上是否存在B(不同于点A)，满足对于圆O上任意一点P，都有为定值？如果存在，试求所有满足条件的点B的坐标；如果不存在，请说明理由解：假设存在这样的点B(s,0)，使得k.设P(x，y)是圆O上任意一点，由PB2k2PA2，得(xs)2y2k2(x4)2y2注意到y24x2，化简得(8k22s)xs220k240对x2,2恒成立所以解得或(舍去)故存在点B(1,0)对于圆O上任意一点P，都有.第8章 平面解析几何抛物线的重要结论抛

3、物线的四个重要结论：设AB是过抛物线y22px(p0)焦点F的弦，若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则(1)x1x2，y1y2p2.(2)|AF|，|BF|.(3)|AB|x1x2p(是直线AB的倾斜角)(4)为定值(F是抛物线的焦点)过抛物线y24x的焦点F的直线l与抛物线交于A，B两点若|AF|2|BF|，则|AB|等于()A4 B C5 D6【一般解法】易知直线l的斜率存在，设为k，则其方程为yk(x1)由得k2x2(2k24)xk20，得xAxB1.因为|AF|2|BF|，由抛物线的定义得xA12(xB1)，即xA2xB1，由解得xA2，xB，所以|AB|AF|BF|xAxBp.【

4、应用结论】(方法一)由对称性不妨设点A在x轴的上方，如图，设A，B在准线上的射影分别为D，C，作BEAD于E.设|BF|m，|AF|2m，直线l的倾斜角为，则|AB|3m.由抛物线的定义知|AD|AF|2m，|BC|BF|m，所以cos ，所以sin2.又y24x，所以2p4，利用弦长公式|AB|.(方法二)因为|AF|2|BF|，1，解得|BF|，|AF|3，故|AB|AF|BF|.设F为抛物线C：y23x的焦点，过F且倾斜角为30的直线交C于A，B两点，O为坐标原点，则OAB的面积为()A B C D【一般解法】由已知得焦点坐标为F，因此直线AB的方程为y，即4x4y30.与抛物线方程联立

5、，化简得4y212y90，所以yAyB3，yAyB.故|yAyB|6.因此SOAB|OF|yAyB|6.【应用结论】由2p3，及|AB|，得|AB|12.原点到直线AB的距离d|OF|sin 30，故SAOB|AB|d12.如图，过抛物线y22px(p0)的焦点F的直线交抛物线于点A，B，交其准线l于点C若F是AC的中点，且|AF|4，求线段AB的长【一般解法】如图，设l与x轴交于点M，过点A作ADl交l于点D由抛物线的定义知，|AD|AF|4.因为F是AC的中点，所以|AD|2|MF|2p，所以2p4，解得p2，所以抛物线的方程为y24x.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AF|x1x114，所以x13，可得y12，所以A(3，2)又F(1,0)，所以直线AF的斜率k，所以直线AF的方程为y(x1)代入抛物线方程y24x，得3x210x30，所以x1x2，|AB|x1x2p.【应用结论】前面同一般解法，求得抛物线的方程为y24x.(方法一)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AF|x1x114，所以x13.又x1x21，所以x2，所以|AB|x1x2p32.(方法二)因为，|AF|4，所以|BF|，所以|AB|AF|BF|4.