吉林省长春外国语学校2023-2024学年高二上学期12月月考试题数学含解析.pdf

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1、长春外国语学校长春外国语学校 2023-2024 学年第一学期高二年级第二次月考学年第一学期高二年级第二次月考数学试卷数学试卷出题人出题人：本试卷分第本试卷分第卷（选择题）和第卷（选择题）和第卷（非选择题）两部分，共卷（非选择题）两部分，共 4 页考试结束后，将答题卡页考试结束后，将答题卡交回交回注意事项：注意事项：1答题前答题前，考生先将自己的姓名考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区粘贴区2选择题必须使用选择题必须使用 2B 铅笔填涂铅笔填涂；非选择题必须使用非选择题必须使用 0.5 毫米黑色字迹的签字笔

2、书写毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工字体工整、笔迹清楚整、笔迹清楚3请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效试题卷上答题无效4作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑5保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀第第 I 卷（选择题）卷（选择题）一、单选题（本题共一、单选题（本题共 8 小题，每题小题，每

3、题 5 分分，共，共 40 分在每小题列出的选项中，选出符合题目分在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）的一项）1.下列函数中，与函数1yx相同的是（）A.221yxxB.211xyxC.1yt D.21yx 2.为了调查老师对微课堂的了解程度，某市拟采用分层抽样的方法从A，B，C三所中学抽取 60 名教师进行调查，已知A，B，C三所学校中分别有 180，270，90 名教师，则从C学校中应抽取的人数为（）A.10B.12C.18D.243.已知函数 2xfxx，f x一定有零点的区间为（）A.2 3，B.12，C.10，D.32，4.已知0.5log0.4a，0.60.4b，0.50.4

4、c，则（）A.abcB.cbaC.bcn0，则 C 是椭圆，其焦点在 y 轴上B.若 m=n0，则 C是圆，其半径为nC.若 mn0，则 C 是两条直线12.已知椭圆2222:1(0)xyCabab的左右焦点分别为12,F F，长轴长为 4，点(2,1)P在椭圆C外，点Q在椭圆C上，则（）A.椭圆C的离心率的取值范围是20,2B.当椭圆C的离心率为32时，1QF的取值范围是23,23C.存在点Q使得120QF QF D.1211QFQF的最小值为 1第第 卷（非选择题）卷（非选择题）三、填空题（本题共三、填空题（本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分）分）13.已知t

5、an2，则tan4_.14.已知向量a，b满足1ab，,3a b ，则2ab_.15.椭圆2214xy的右焦点到直线3yx的距离是_16.过抛物线220ypx p的焦点 F 的直线交抛物线于点 A，B，交其准线 l 于点 C，若点F是 AC 的中点，且4AF，则线段 AB 的长为_四、解答题（本题共四、解答题（本题共 6 小题，共小题，共 70 分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17.求适合下列条件的圆锥曲线的标准方程：（1）以直线3yx 为渐近线，焦点是(4,0)，(4,0)的双曲线；（2）离心率为35，短轴长为 8 的椭圆.18.如图，四棱

6、锥PABCD的底面ABCD为正方形，PA 底面ABCD，EF、分别是ACPB、的中点.（1）求证：/EF平面PCD；（2）求证：平面PBD 平面PAC.19.已知函数 f x是定义在R上的奇函数，当0 x 时，34f xxx.（1）求函数 f x在R上的解析式；（2）用单调性定义证明函数 f x在区间3,上是增函数.20.已知双曲线22:12xCy.（1）求与双曲线C有共同的渐近线，且过点(2,2)的双曲线的标准方程；（2）若直线l与双曲线C交于 A、B 两点，且 A、B的中点坐标为（1，1），求直线l的斜率.21.已知函数()3cos(2)2sin cos3f xxxx（1）求 f x的最小

7、正周期、最大值、最小值；（2）求函数的单调区间；22.已知椭圆2222:1(0)xyCabab的离心率为22，椭圆 C 的下顶点和上顶点分别为12,B B，且122B B，过点(0,2)P且斜率为 k 的直线 l 与椭圆 C 交于 M，N 两点.（1）求椭圆 C 的标准方程；（2）当 k=2 时，求OMN 的面积；（3）求证：直线1B M与直线2B N的交点 T 恒在一条定直线上.长春外国语学校长春外国语学校 2023-2024 学年第一学期高二年级第二次月考学年第一学期高二年级第二次月考数学试卷数学试卷出题人出题人：张宏欣：张宏欣审题人：王先师审题人：王先师本试卷分第本试卷分第卷（选择题）和

8、第卷（选择题）和第卷（非选择题）两部分，共卷（非选择题）两部分，共 4 页考试结束后，将答题卡页考试结束后，将答题卡交回交回注意事项：注意事项：1答题前答题前，考生先将自己的姓名考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区粘贴区2选择题必须使用选择题必须使用 2B 铅笔填涂铅笔填涂；非选择题必须使用非选择题必须使用 0.5 毫米黑色字迹的签字笔书写毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工字体工整、笔迹清楚整、笔迹清楚3请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸请按照题号顺序在各题目的答题区

9、域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效试题卷上答题无效4作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑5保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀第第 I 卷（选择题）卷（选择题）一、单选题（本题共一、单选题（本题共 8 小题，每题小题，每题 5 分分，共，共 40 分在每小题列出的选项中，选出符合题目分在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）的一项）1.下列函数中，与函数1yx相同的是（）A.221yxxB

10、.211xyxC.1yt D.21yx【答案】C【解析】【分析】根据两个函数的定义域相同，对应关系也相同，即判断这两个函数为相同函数.【详解】解：对于 A，222111yxxxx，与函数1yx的对应关系不相同，故不是相同函数；对于 B，函数211xyx的定义域为1x x ，函数1yx的定义域为R，两函数的定义域不相同，故两函数不是相同函数；对于 C，两函数的定义域都是R，且对应关系相同，故两函数为相同函数；对于 D，211yxx ，与函数1yx的对应关系不相同，故不是相同函数.故选：C.2.为了调查老师对微课堂的了解程度，某市拟采用分层抽样的方法从A，B，C三所中学抽取 60 名教师进行调查，

11、已知A，B，C三所学校中分别有 180，270，90 名教师，则从C学校中应抽取的人数为（）A.10B.12C.18D.24【答案】A【解析】【分析】按照分层抽样原则，每部分抽取的概率相等，按比例分配给每部分，即可求解.【详解】A，B，C三所学校教师总和为 540，从中抽取 60 人，则从C学校中应抽取的人数为609010540人.故选:A.【点睛】本题考查分层抽样抽取方法，按比例分配是解题的关键，属于基础题.3.已知函数 2xfxx，f x一定有零点的区间为（）A.2 3，B.12，C.10，D.32，【答案】C【解析】【分析】根据题中所给函数用零点存在性定理即可判断正确答案.【详解】由题知

12、函数 2xfxx在R上单调递增，因为 002110,1ff，所以在区间10，上 f x一定有零点.故选：C4.已知0.5log0.4a，0.60.4b，0.50.4c，则（）A.abcB.cbaC.bcn0，则 C 是椭圆，其焦点在 y 轴上B.若 m=n0，则 C 是圆，其半径为nC.若 mn0，则 C 是两条直线【答案】ACD【解析】【分析】结合选项进行逐项分析求解，0mn时表示椭圆，0mn时表示圆，0mn 时表示双曲线，0,0mn时表示两条直线.【详解】对于 A，若0mn，则221mxny可化为22111xymn，因为0mn，所以11mn，即曲线C表示焦点在y轴上的椭圆，故 A 正确；对

13、于 B，若0mn，则221mxny可化为221xyn，此时曲线C表示圆心在原点，半径为nn的圆，故 B 不正确；对于 C，若0mn，则221mxny可化为22111xymn，此时曲线C表示双曲线，由220mxny可得myxn ，故 C 正确；对于 D，若0,0mn，则221mxny可化为21yn，nyn，此时曲线C表示平行于x轴的两条直线，故 D 正确；故选：ACD.【点睛】本题主要考查曲线方程的特征，熟知常见曲线方程之间的区别是求解的关键，侧重考查数学运算的核心素养.12.已知椭圆2222:1(0)xyCabab的左右焦点分别为12,F F，长轴长为 4，点(2,1)P在椭圆C外，点Q在椭圆

14、C上，则（）A.椭圆C的离心率的取值范围是20,2B.当椭圆C的离心率为32时，1QF的取值范围是23,23C.存在点Q使得120QF QF D.1211QFQF的最小值为 1【答案】BCD【解析】【分析】根据点2,1P在椭圆C外，即可求出b的取值范围，即可求出离心率的取值范围，从而判断 A，根据离心率求出c，则1,QFac ac，即可判断 B，设上顶点A，得到120AF AF ，即可判断 C，利用基本不等式判断 D.【详解】解：由题意得2a，又点2,1P在椭圆C外，则22114b，解得2b，所以椭圆C的离心率24222cbea，即椭圆C的离心率的取值范围是2,12，故 A 不正确；当32e

15、时，3c，221bac，所以1QF的取值范围是,ac ac，即23,23，故 B 正确；设椭圆的上顶点为0,Ab，1,0Fc，2,0Fc，由于22221220AF AFbcba ，所以存在点Q使得120QF QF ，故 C 正确；21121212112224QFQFQFQFQFQFQFQF，当且仅当122QFQF时，等号成立，又124QFQF，所以12111QFQF，故 D 正确故选：BCD第第 卷（非选择题）卷（非选择题）三、填空题（本题共三、填空题（本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分）分）13.已知tan2，则tan4_.【答案】-3【解析】【分析】根据正切的

16、和角公式计算可得答案.【详解】tan2，tantan2 14tan341 2 11tantan4 ，故答案为：-3.14.已知向量a，b满足1ab，,3a b ，则2ab_.【答案】3【解析】【分析】由向量模、数量积公式先求出2211,2aba b，再由公式222abab即可得解.【详解】由题意22222211,11aabb，1cos,1 1 cos32a ba ba b ，所以222122441 44132ababaa bb .故答案为：3.15.椭圆2214xy的右焦点到直线3yx的距离是_【答案】32#1.5【解析】【分析】由椭圆方程可得右焦点为3,0，代入点到直线距离公式即可得出结果.

17、【详解】由题可知椭圆的右焦点坐标为3,0，所以右焦点到直线3yx的距离是3321 3d 故答案为：3216.过抛物线220ypx p的焦点 F 的直线交抛物线于点 A，B，交其准线 l 于点 C，若点F是 AC 的中点，且4AF，则线段 AB 的长为_【答案】163【解析】【详解】设过抛物线220ypx p的焦点(,0)2pF的直线交抛物线于点1122(,),(,)A x yB xy，交其准线:2pl x 于3(,)2pCy，因为F是AC的中点，且4AF,所以1122242ppxpx，解得123px，即(1,0),(3,2 3)FA，则AF的方程为3(1)yx，联立243(1)yxyx，得23

18、1030 xx，解得213x，所以1164133ABAFBF.四、解答题（本题共四、解答题（本题共 6 小题，共小题，共 70 分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17.求适合下列条件的圆锥曲线的标准方程：（1）以直线3yx 为渐近线，焦点是(4,0)，(4,0)的双曲线；（2）离心率为35，短轴长为 8 的椭圆.【答案】（1）221412xy；（2）2212516xy或2212516yx.【解析】【分析】（1）由题意设双曲线方程为22221xyab(0a，0b)，根据焦点坐标和双曲线的渐近线方程求出a，b即可；（2）分椭圆的焦点在x轴时和y轴时

19、讨论求解即可.【详解】解：（1）由题意设双曲线方程为22221xyab(0a，0b)，由焦点可得4c，双曲线的渐近线方程为3yx，可得3ba，又222abc，解得2a，2 3b，所以双曲线的方程为221412xy.（2）当焦点在x轴时，设椭圆方程为22221xyab(0)ab，由题可得2223528cababc，解得5a，4b，所以椭圆方程为2212516xy；当焦点在y轴时，设椭圆方程为22221yxab(0)ab，由题可得2223528cababc，解得5a，4b，所以椭圆方程为2212516yx；所以综上可得椭圆方程为2212516xy或2212516yx.18.如图，四棱锥PABCD的

20、底面ABCD为正方形，PA 底面ABCD，EF、分别是ACPB、的中点.（1）求证：/EF平面PCD；（2）求证：平面PBD 平面PAC.【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.【解析】【分析】（1）连接 BD，根据线面平行的判定定理只需证明 EFPD 即可；（2）利用线面垂直的判定定理可得BD面PAC，再利用面面垂直的判定定理即证【小问 1 详解】如图，连结BD，则E是BD的中点，又F是PB的中点，/EFPD，又 EF 平面PCD，PD 面PCD，/EF平面PCD；【小问 2 详解】底面ABCD是正方形，BDAC，PA 平面ABCD，BD平面ABCD，PABD，又PAACA，BD面PAC

21、，又BD平面PBD，故平面PBD平面PAC.19.已知函数 f x是定义在R上的奇函数，当0 x 时，34f xxx.（1）求函数 f x在R上的解析式；（2）用单调性定义证明函数 f x在区间3,上是增函数.【答案】（1）34,00,034,0 xxxf xxxxx；（2）证明见解析.【解析】【分析】（1）设0 x 时，则0 x，根据已知解析式和奇偶性可得0 x 时的解析式，再由奇函数性质可知 00f，然后可得在R上的解析式；（2）根据定义法证明单调性的步骤：取值，作差，变形，定号，下结论可证.【小问 1 详解】设0 x 时，则0 x，所以34fxxx ，因为 f x为奇函数，所以 34fx

22、fxxx，又 00f，所以函数 f x在R上的解析式为 34,00,034,0 xxxf xxxxx.【小问 2 详解】12,3,x x，且12xx，则21121212121233344xxf xf xxxxxxxx x1212123xxx xx x，因为213xx，所以1212120,0,30 xxx xx x，故120f xf x，即12fxfx，所以函数 f x在3,上单调递增.20.已知双曲线22:12xCy.（1）求与双曲线C有共同的渐近线，且过点(2,2)的双曲线的标准方程；（2）若直线l与双曲线C交于 A、B 两点，且 A、B 的中点坐标为（1，1），求直线l的斜率.【答案】（1

23、）2212xy；（2）12.【解析】【分析】（1）设所求双曲线方程为22(0)2xyk k，代入点坐标，求得 k，即可得答案；（2）设1122(,),(,)A x yB xy，利用点差法，代入 A、B 的中点坐标为（1，1），即可求得斜率.【详解】（1）因为所求双曲线与双曲线C有共同的渐近线，所以设所求双曲线方程为22(0)2xyk k，代入(2,2)，得1k ，所以所求双曲线方程为2212xy；（2）设1122(,),(,)A x yB xy，因为A、B在双曲线上，所以221122221(1)21(2)2xyxy，（1）-（2）得12121212()()()()2xxxxyyyy，因为 A、

24、B 的中点坐标为（1，1），即12122,2xxyy，所以1212121212()2lyyxxkxxyy.21.已知函数()3cos(2)2sin cos3f xxxx（1）求 f x的最小正周期、最大值、最小值；（2）求函数的单调区间；【答案】（1）T，最大值 1，最小值-1；（2）在5,1212kkkZ上单调递增；7,1212kkkZ上单调递减；【解析】【分析】（1）利用两角差余弦公式、两角和正弦公式化简函数式，进而求 fx的最小正周期、最大值、最小值；（2）利用()sin()f xAx的性质求函数的单调区间即可.【详解】（1）()3cos(2)2sin cossin(2)33f xxxx

25、x，2|T，且最大值、最小值分别为 1，-1；（2）由题意，当222232kxk时，fx单调递增，51212kxk，Zk，fx单调递增；当3222232kxk时，fx单调递减，71212kxk，Zk，fx单调递减；综上，当5,1212kkkZ，fx单调递增；7,1212kkkZ，fx单调递减；【点睛】关键点点睛：应用两角和差公式化简三角函数式并求最小正周期、最值；根据()sin()f xAx性质确定三角函数的单调区间.22.已知椭圆2222:1(0)xyCabab的离心率为22，椭圆 C 的下顶点和上顶点分别为12,B B，且122B B，过点(0,2)P且斜率为 k 的直线 l 与椭圆 C

26、交于 M，N 两点.（1）求椭圆 C 的标准方程；（2）当 k=2 时，求OMN 的面积；（3）求证：直线1B M与直线2B N的交点 T 恒在一条定直线上.【答案】(1)2212xy;(2)2 109;(3)证明见解析.【解析】【分析】(1)由122B B 可得1b，结合离心率和222cab可求出1,2ca，进而可得椭圆的方程.(2)写出l的方程为22yx与椭圆进行联立，设1122,M x yN xy，结合韦达定理可得1212162,93xxx x，即可求出MN，由点到直线的距离公式可求出原点到l的距离d，从而可求出三角形的面积.(3)设1122,M x yN xy，联立直线和椭圆的方程整理

27、后结合韦达定理可得12122286,2121kxxx xkk，设,T m n，由1,B T M在同一条直线上，得113nkmx，同理211nkmx，从而可得1212311340 xxnnkmmx x，即可证明交点在定直线上.【详解】解：(1)因为122B B，所以22b，即1b，因为离心率为22，则22ca，设2ck，则2,0ak k，又222cab，即22241kk，解得22k 或22（舍去），所以1,2ca，所以椭圆的标准方程为2212xy.(2)设1122,M x yN xy，由直线的点斜式方程可知，直线l的方程为22yx，即22yx，与椭圆方程联立，222212yxxy，整理得2916

28、60 xx，则1212162,93xxx x，所以22121214MNkxxx x2216210 2124939，原点到l的距离222512d，则OMN的面积11210 22 1022995Sd MN.(3)由题意知，直线l的方程为2ykx，即2ykx，设1122,M x yN xy，则22212ykxxy，整理得2221860kxkx，则12122286,2121kxxx xkk，因为直线和椭圆有两个交点，所以22824 210kk，则232k，设,T m n，因为1,B T M在同一条直线上，则111111313ykxnkmxxx，因为2,B T N在同一条直线上，则222221111ykxnkmxxx，所以21212283311213440621kxxnnkkkmmx xk ，所以12n，则交点 T 恒在一条直线12y 上.【点睛】关键点睛:本题第三问的关键是设交点,T m n，由三点共线结合斜率公式得111111313ykxnkmxxx和222221111ykxnkmxxx，两式进行整理后可求出12n，即可证明交点在定直线上.