2024版高考数学一轮总复习第2章函数第6节对数与对数函数.docx

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1、第六节对数与对数函数考试要求：1理解对数的概念和运算性质，能用换底公式将一般对数转化为自然对数或常用对数2了解对数函数的概念及其单调性3知道同底的对数函数ylogax(a0，且a1)与指数函数yax(a0，且a1)互为反函数一、教材概念结论性质重现1对数的概念一般地，如果axN(a0，且a1)，那么数x叫做以a为底N的对数，记作xlogaN，其中a叫做对数的底数，N叫做真数2对数的性质与运算法则(1)对数的运算法则如果a0且a1，M0，N0，那么loga(MN)logaMlogaNlogaMNlogaMlogaNlogaMnnlogaM (nR)(2)对数的性质loga10.logaa1alo

2、gaNN.logaaNN(a0，且a1)(3)对数的换底公式logablogcblogcaa0且a1，b0，c0且c1.3对数函数(1)一般地，函数ylogax(a0，且a1)叫做对数函数，其中x是自变量，定义域是(0，). (2)对数函数的图象与性质0a1图象定义域(0，)值域R性质过定点(1，0)，即x1时，y0当x1时，y0；当0x0当x1时，y0；当0x1时，y0减函数增函数对数函数图象的特征(1)由图可知，0dc1b0，且a1)的图象过定点(1，0)，且过点(a，1)，1a，1，函数图象只在第一、第四象限，并过x轴正半轴上的(1，0)4反函数一般地，同底的指数函数yax(a0，且a1

3、)与对数函数ylogax(a0，且a1)互为反函数，它们的定义域与值域正好互换，图象关于直线yx对称5常用结论换底公式的三个重要结论(1)logab1logba.2logambn nmlogab.(3)logablogbclogcdlogad.其中a0且a1，b0且b1，c0且c1，m，nR.二、基本技能思想活动经验1判断下列说法的正误，对的画“”，错的画“”(1)loga(MN)logaMlogaN.()(2)logaxlogayloga(xy)()(3)对数函数ylogax(a0，且a1)在(0，)上是增函数()(4)函数yln 1+x1x与yln (1x)ln (1x)的定义域相同()2

4、已知xlog321，则4x()A4B6 C4log32D9D解析：因为xlog321，所以xlog23，所以4x4log234log499.故选D.3若函数yf(x)是函数yax(a0，且a1)的反函数，且f(2)1，则f(x)()Alog2xB12xClog0.5xD2x-2A解析：由题意知f(x)logax(a0，且a1)因为f(2)1，所以loga21.所以a2.所以f(x)log2x.4函数ylg |x|()A是偶函数，在区间(，0)上单调递增B是偶函数，在区间(，0)上单调递减C是奇函数，在区间(0，)上单调递减D是奇函数，在区间(0，)上单调递增B解析：ylg |x|是偶函数，由图

5、象知(图略)，函数在(，0)上单调递减，在(0，)上单调递增5已知函数f(x)log2(x2a)若f(3)1，则a_7解析：因为f(x)log2(x2a)，且f(3)1，所以f(3)log2(9a)1，所以a92，所以a7.考点1对数的运算基础性1计算：log29log342log510log50.25()A0B2C4D6D解析：原式2log23(2log32)log5(1020.25)4log525426.2(2021全国甲卷)青少年视力是社会普遍关注的问题，视力情况可借助视力表测量通常用五分记录法和小数记录法记录视力数据，五分记录法的数据L和小数记录表的数据V满足L5lg V已知某同学视力

6、的五分记录法的数据为4.9，则其视力的小数记录法的数据为(10101.259)()A1.5B1.2C0.8D0.6C解析：由L5lg V，当L4.9时，lg V0.1，则V10-0.1101101101011.2590.8.3若2a5b10，则1a+1b()A1Blg 7 C1Dlog710C解析：因为2a5b10，所以alog210，blog510，所以1a+1b1log210+1log510lg 2lg 5lg 101.1解决这类问题首先了解代数式的结构，判断是利用对数运算法则，还是换底公式进行求解，然后利用法则或公式进行运算或化简2有些题目，如第2题、第3题要注意指数式与对数式的互化问题

7、考点2对数函数的图象及应用综合性(1)在同一直角坐标系中，f(x)kxb与g(x)logbx的图象如图，则下列关系正确的是()Ak0，0b1 Bk0，b1Cf1xg(1)0(x0) Dx1时，f(x)g(x)0D解析：由直线方程可知，k0，0b1，故选项A，B不正确；又g(1)0，故选项C不正确；当x1时，g(x)0，f(x)0，所以f(x)g(x)0，故选项D正确(2)当0x12时，4xlogax，则实数a的取值范围是()A0，22B22，1C(1，2)D(2，2)B解析：易知0a1，函数y4x与ylogax的大致图象如图由题意可知只需满足loga12412，解得a22，所以22a1.故选B

8、.1将本例(2)中“4xlogax”变为“4xlogax有解”，则实数a的取值范围为_0，22解析：若方程4xlogax在0，12上有解，则函数y4x与函数ylogax的图象在0，12上有交点由图象可知0a1，loga122，解得0a22，即a的取值范围为0，22.2若本例(2)变为：已知不等式x2logax0对x0，12恒成立，则实数a的取值范围为_116，1解析：由x2logax0得x2logax.设f1(x)x2，f2(x)logax，要使x0，12时，不等式x21时，显然不成立；当0a1时，如图所示要使x2logax在x0，12上恒成立，需f112f212，所以有122loga12，解

9、得a116，所以116a0)，g(x)logax的图象可能是()ABCDD解析：由于本题中函数为yxa(x0)与ylogax，对于选项A，没有幂函数图象，故错误；对于选项B，由yxa(x0)的图象知a1，而由ylogax的图象知0a0)的图象知0a1，故C错误；对于选项D，由yxa(x0)的图象知0a1，而由ylogax的图象知0a0，3x，x0. 若关于x的方程f(x)xa0有且只有一个实根，则实数a的取值范围是_(1，)解析：问题等价于函数yf(x)与yxa的图象有且只有一个交点，结合图象可知a1.考点3对数函数的性质及应用应用性考向1比较大小(1)已知alog52，blog83，c12，

10、则下列判断正确的是()AcbaBbacCacbDabcC解析：alog52log5512log822log83b，即acb.(2)已知函数f(x)loga|x|在(0，)上单调递增，则()Af(3)f(2)f(1)Bf(1)f(2)f(3)Cf(2)f(1)f(3)Df(3)f(1)f(2)B解析：因为f(x)loga|x|loga|x|f(x)，所以f(x)为偶函数，所以f(2)f(2)又函数f(x)loga|x|在(0，)上单调递增，所以f(1)f(2)f(3)，即f(1)f(2)f(3).比较对数值大小的常见类型及解题方法常见类型解题方法底数为同一常数可由对数函数的单调性直接进行判断底数

11、为同一字母需对底数进行分类讨论底数不同，真数相同可以先用换底公式化为同底后，再进行比较底数与真数都不同常借助1，0等中间量进行比较考向2解对数不等式(1)函数ylog232x1的定义域是()A1，2B1，2) C12，1D12，1D解析：由log23(2x1)0，得02x11，解得12x1.(2)已知不等式logx(2x21)logx(3x)0成立，则实数x的取值范围是_13，12解析：原不等式0x1， 2x2+13x1或x1， 2x2+13x1，解不等式组得13x12，不等式组无解，所以实数x的取值范围是13，12.简单对数不等式问题的求解策略(1)解决简单的对数不等式，应先利用对数的运算性

12、质化为同底数的对数值，再利用对数函数的单调性转化为一般不等式求解(2)对数函数的单调性和底数a的值有关，在研究对数函数的单调性时，要按0a1进行分类讨论(3)某些对数不等式可转化为相应的函数图象问题，利用数形结合法求解1若2alog2a4b2log4b，则()Aa2bBa2bCab2Dab2B解析：2alog2a4b2log4b22blog2b.令f(x)2xlog2x，则f(x)在(0，)上单调递增又因为22blog2b22blog2b122blog22b，所以2alog2a22blog22b，即f(a)f(2b)，所以a2b.2若log2xlog3ylog5z1，则()A2x3y5zB5z

13、3y2xC3y2x5zD5z2x3yB解析：设log2xlog3ylog5zt，则t1，x2t，y3t，z5t，因此2x2t+1，3y3t+1，5z5t+1.又t1，所以t10，由幂函数yxt+1的单调性可知5z3y2x.3设函数f(x)12x，x1，log2x，x1.若f(x)2，则实数x的取值范围是()A1，)B(0，4C1，4D(，4C解析：函数f(x)12x，x1，log2x，x1，当x1时，f(x)2即log2x2，解得1x4，当x1时，f(x)2即12x2，解得1x1.综上所述，不等式的解集为1，4.故选C.课时质量评价(十一)A组全考点巩固练1(2023济宁模拟)函数f(x)lo

14、ga|x|1(0a0时g(x)的图象，然后根据g(x)的图象关于y轴对称画出x0时g(x)的图象，最后由函数g(x)的图象整体向上平移一个单位长度即得f(x)的图象，结合图象知选A.2计算：lg14lg2510012()A1B110C10D20D解析：原式(lg 2-2lg52)10012lg 1225210lg 10-21021020.故选D.3设a30.7，b130.8，clog0.70.8，则a，b，c的大小关系为()AabcBbacCbcaDca1，b130.830.81，且ab，clog0.70.8log0.70.71，所以cab.4下列函数中，其图象与函数yln x的图象关于直线x

15、1对称的是()Ayln (1x)Byln (2x)Cyln (1x)Dyln (2x)B解析：易知yln x与yln (x)的图象关于y轴对称，将yln (x)的图象向右平移2个单位长度所得图象为yln (x2)ln (2x)，即与yln x的图象关于直线x1对称5已知函数f(x)|ln x|.若0ab，且f(a)f(b)，则a4b的取值范围是()A(4，)B4，)C(5，)D5，)C解析：由f(a)f(b)得|ln a|ln b|.根据函数y|ln x|的图象及0ab，得ln aln b，0a1g(1)5.6函数yloga(x1)2(a0，且a1)的图象恒过定点_(2，2)解析：当x2时，函

16、数yloga(x1)2(a0，且a1)的值为2，所以图象恒过定点(2，2)7若函数f(x)x2(a2)x1(xR)为偶函数，则loga27 log1a87_2解析：因为函数f(x)为偶函数，所以f(x)f(x)，即x2(a2)x1x2(a2)x1恒成立，所以a20，即a2，所以loga27+log1a87log227log278log22778 log2142.B组新高考培优练8若函数ya|x|(a0，且a1)的值域为1，)，则函数yloga|x|的大致图象是()B解析：由于ya|x|的值域为1，)，所以a1，则ylogax在(0，)上是增函数又函数yloga|x|的图象关于y轴对称，所以yl

17、oga|x|的大致图象应为选项B.9(多选题)若10a4，10b25，则下列结论正确的是()Aab2 Bba1Cab8(lg 2)2Dbalg 6ACD解：由10a4，10b25，得alg 4，blg 25，则ablg 4lg 25lg 1002，A正确；balg 25lg 4lg 254 ，又lg 254lg 6，所以balg 6，B错误，D正确；又ab4lg 2lg 54lg 2lg 48(lg 2)2，C正确10(多选题)设x，y，z为正实数，且log2xlog3ylog5z0，则x2，y3，z5的大小关系可能是()Ax2y3z5Bx2y3z5Cz5y3x2Dy3x2z5ABC解析：设l

18、og2xlog3ylog5zk0，可得x2k1，y3k1，z5k1，所以x22k-1，y33k-1，z55k-1. 若0k1，则函数f(x)xk-1单调递减，所以x2y3z5，即z5y3x2，故C正确；若k1，则函数f(x)xk-11，所以x2y3z5，故B正确；若k1，则函数f(x)xk-1单调递增，所以x2y3z5，故A正确. 综上可知x2，y3，z5的大小关系可能是ABC.11已知函数f(x)|log3x|，实数m，n满足0mn，且f(m)f(n)，若f(x)在m2，n上的最大值为2，则m_，n_133解析：因为f(x)|log3x|log3x，0x1，log3x，x1， 所以f(x)在

19、(0，1)上单调递减，在(1，)上单调递增由0mn且f(m)f(n)，可得0m1， log3n=log3m，则0m1， mn=1， 所以0m2mf(m)f(n)，则f(x)在m2，n上的最大值为f(m2)log3m22，解得m13，则n3.12(2023滨州质检)已知函数f(x)log2(x2)，函数yg(x)的图象与yf(x)的图象关于y轴对称(1)求g(x)的解析式；(2)解关于x的不等式f(x)g(2x23x)解：(1)设函数yg(x)图象上任意一点P(x，y)，由已知点P关于y轴的对称点P(x，y)一定在函数yf(x)的图象上，代入f(x)log2(x2)，得g(x)log2(x2)(2)不等式f(x)g(2x23x)，即为log2(x2)log2(2x23x2)，所以x+22x2+3x+2，x+20， 2x2+3x+20， 解得12x0或1x2，即不等式的解集为12，0(1，2)