2024版高考数学一轮总复习第2章函数第3节函数的奇偶性与周期性.docx

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1、第三节函数的奇偶性与周期性考试要求：1了解函数的奇偶性的概念及几何意义2结合三角函数，了解函数的周期性、对称性及其几何意义一、教材概念结论性质重现1函数的奇偶性的定义奇偶性偶函数奇函数条件一般地，设函数yf(x)的定义域为I，如果xI，都有xI结论f(x)f(x)f(x)f(x)图象特点关于y轴对称关于原点对称1函数的定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的前提条件2若f(x)0，则奇(偶)函数定义的等价形式如下：(1)f(x)f(x)f(x)f(x)0fxfx1f(x)为偶函数(2)f(x)f(x)f(x)f(x)0fxfx1f(x)为奇函数2函数图象的对称性(1)若函数yf(xa)是偶函数，即

2、f(ax)f(ax)，则函数yf(x)的图象关于直线xa对称(2)若对于R上的任意x都有f(2ax)f(x)或f(x)f(2ax)，则yf(x)的图象关于直线xa对称(3)若函数yf(xb)是奇函数，即f(xb)f(xb)0，则函数yf(x)的图象关于点(b，0)中心对称3函数的周期性(1)周期函数：一般地，设函数f(x)的定义域为D，如果存在一个非零常数T，使得对每一个xD都有xTD，且f(xT)f(x)，那么函数f(x)就叫做周期函数非零常数T就叫做这个函数的周期(2)最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期(若不加特别说

3、明，T一般都是指最小正周期)4对称性与周期的关系(1)若函数f(x)的图象关于直线xa和直线xb对称，则函数f(x)必为周期函数，2|ab|是它的一个周期(2)若函数f(x)的图象关于点(a，0)和点(b，0)对称，则函数f(x)必为周期函数，2|ab|是它的一个周期(3)若函数f(x)的图象关于点(a，0)和直线xb对称，则函数f(x)必为周期函数，4|ab|是它的一个周期周期函数定义的实质存在一个非零常数T，使f(xT)f(x)为恒等式，即自变量x每增加一个T后，函数值就会重复出现一次5常用结论(1)如果函数f(x)是奇函数且在x0处有定义，那么一定有f(0)0；如果函数f(x)是偶函数，

4、那么f(x)f(|x|).(2)奇函数在两个对称的区间上具有相同的单调性；偶函数在两个对称的区间上具有相反的单调性(3)若f(xa)f(x)，则T2a(a0)(4)若f(xa)1fx，则T2a(a0)(5)若f(xa)1fx，则T2a(a0)二、基本技能思想活动经验1判断下列说法的正误，对的画“”，错的画“”(1)若函数f(x)为奇函数，则一定有f(0)0.()(2)若函数yf(xb)是奇函数，则函数yf(x)的图象关于点(b，0)中心对称()(3)如果函数f(x)，g(x)是定义域相同的偶函数，那么F(x)f(x)g(x)是偶函数()(4)若T为yf(x)的一个周期，则nT(nZ)是函数f(

5、x)的周期()2函数f(x)1xx的图象关于()Ay轴对称 B直线yx对称C坐标原点对称 D直线yx对称C解析：因为函数f(x)的定义域为(，0)(0，)，f(x)1xx1xxf(x)，所以f(x)为奇函数所以f(x)的图象关于坐标原点对称3已知f(x)满足f(x2)f(x)当x0，1时，f(x)2x，则f92等于()A12B2C22D1B解析：由f(x2)f(x)，知函数f(x)的周期T2，所以f92f122122.4已知f(x)ax2bx是定义在a1，2a上的偶函数，那么ab的值是()A13B13C12D12B解析：因为f(x)ax2bx是定义在a1，2a上的偶函数，所以a12a0，所以a

6、13. 又f(x)f(x)，所以b0，所以ab13.5(多选题)已知yf(x)是定义在R上的奇函数，则下列函数中为奇函数的是()Ayf(|x|)Byf(x)Cyxf(x)Dyf(x)xBD解析：由奇函数的定义f(x)f(x)验证对于选项A，f(|x|)f(|x|)，为偶函数；对于选项B，f(x)f(x)f(x)，为奇函数；对于选项C，xf(x)xf(x)xf(x)，为偶函数；对于选项D，f(x)(x)f(x)x，为奇函数故选BD.考点1函数的奇偶性基础性1(多选题)若函数f(x)(xR)是奇函数，函数g(x)(xR)是偶函数，则下列结论中正确的是()A函数f(g(x)是偶函数B函数g(f(x)

7、是偶函数C函数f(x)g(x)是奇函数D函数f(x)g(x)是奇函数ABC解析：对于选项A，f(g(x)是偶函数，A正确；对于选项B，g(f(x)是偶函数，B正确；对于选项C，设h(x)f(x)g(x)，h(x)f(x)g(x)f(x)g(x)h(x)是奇函数；对于选项D，f(x)g(x)不一定具备奇偶性故选ABC.2设f(x)为奇函数，且当x0时，f(x)ex1，则当x0时，f(x)()Aex1Bex1Cex1Dex1D解析：当x0.因为当x0时，f(x)ex1，所以 f(x)ex1. 又因为 f(x)为奇函数，所以 f(x)f(x)ex1.3若定义在R上的偶函数f(x)和奇函数g(x)满足

8、f(x)g(x)ex，则g(x)()AexexB12(exex)C12(exex)D12(exex)D解析：因为f(x)g(x)ex，所以f(x)g(x)f(x)g(x)ex，所以g(x)12(exex)4(2022全国乙卷) 若f(x)ln a+11xb是奇函数，则a_，b_12 ln 2解析：因为函数f(x)ln a+11xb为奇函数，所以其定义域关于原点对称由a11x0可得，(1x)(a1ax)0，所以xa+1a1，解得a12，即函数的定义域为(，1)(1，1)(1，)，再由f(0)0可得，bln 2.即f(x)ln 12+11xln 2ln 1+x1x，在定义域内满足f(x)f(x)，

9、符合题意(1)解决这类问题要优先考虑用定义法，然后考虑用图象法(2)有些题目，如第1题利用在公共定义域内奇函数、偶函数的和、差、积的奇偶性来判断考点2函数的周期性综合性(1)设f(x)是周期为3的函数，当1x3时，f(x)2x3，则f(8)_当2x0时，f(x)_72x9解析：因为f(x)是周期为3的函数，所以f(8)f(2)2237.当2x0时，f(x)f(x3)2(x3)32x9.(2)若定义在R上的偶函数f(x)满足f(x)0，f(x2)1fx对任意xR恒成立，则f(2 023)_1解析：因为f(x)0，f(x2)1fx，所以f(x4)f(x2)21fx+211fxf(x)，则函数f(x

10、)的周期为4，所以f(2 023)f(50641)f(1)因为函数f(x)为偶函数，所以f(2 023)f(1)f(1)当x1时，f(12)1f1，得f(1)1f1.由f(x)0，得f(1)1，所以f(2 023)f(1)1.(3)设定义在R上的函数f(x)同时满足以下条件：f(x)f(x)0；f(x)f(x2)；当0x1时，f(x)2x1.则f12f(1)f32f(2)f52_21解析：依题意知函数f(x)为奇函数且周期为2，则f(1)f(1)0，f(1)f(1)，即f(1)0.所以f12f(1)f32f(2)f52f120f12f(0)f12f12f12f(0)f12f12f(0)2121

11、20121.函数周期性有关问题的求解策略(1)判定：判断函数的周期性只需证明f(xT)f(x)(T0)便可证明函数是周期函数，且周期为T.(2)应用：根据函数的周期性，可以由函数局部的性质得到函数的整体性质，在解决具体问题时，要注意结论若T是函数的周期，则kT(kZ，且k0)也是函数的周期1已知f(x)是R上最小正周期为2的周期函数，且当0x2时，f(x)x3x，则函数yf(x)的图象在区间0，6上与x轴的交点的个数为()A6B7 C8D9B解析：因为f(x)是最小正周期为2的周期函数，且0x2时，f(x)x3xx(x1)(x1)，所以当0x2时，f(x)0有两个根，即x10，x21.由周期函

12、数的性质知，当2x4时，f(x)0有两个根，即x32，x43；当4x6时，f(x)0有三个根，即x54，x65，x76，故f(x)的图象在区间0，6上与x轴的交点个数为7.2(多选题)(2022长春质检)已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x)f(2x)0，则下列结论正确的是()Af(x)的图象关于点(1，0)对称Bf(x2)f(x)Cf(3x)f(x1)Df(x2)f(x)ABD解析：对于A，由f(x)f(2x)0得f(x)的图象关于点(1，0)对称，选项A正确；对于B，用x替换f(x)f(2x)0中的x，得f(x)f(2x)0，所以f(x2)f(x)f(x)，选项B正确；对于C，用x1替

13、换f(x)f(2x)0中的x，得f(3x)f(x1)，选项C错误；对于D，用x2替换f(x2)f(x)中的x，得f(x2)f(x)，选项D正确3已知f(x)是定义在R上的偶函数，且f(x4)f(x2)若当x3，0时，f(x)6x，则f(919)_6解析：因为f(x4)f(x2)，所以f(x2)4)f(x2)2)，即f(x6)f(x)，所以f(x)是周期为6的周期函数，所以f(919)f(15361)f(1)又f(x)是定义在R上的偶函数，所以f(1)f(1)6，即f(919)6.考点3函数性质的综合应用应用性考向1函数的单调性与奇偶性综合(1)已知奇函数f(x)在R上是增函数，g(x)xf(x

14、).若ag(log25.1)，bg(20.8)，cg(3)，则a，b，c的大小关系为()AabcBcbaCbacDbclog25.1220.8，且ag(log25.1)g(log25.1)，所以g(3)g(log25.1)g(20.8)，即cab.(2)设函数f(x)ln |2x1|ln |2x1|，则f(x)()A是偶函数，且在12，+上单调递增B是奇函数，且在12，12上单调递减C是偶函数，且在，12上单调递增D是奇函数，且在，12上单调递减D解析：f(x)ln |2x1|ln |2x1|的定义域为xx12又f(x)ln |2x1|ln |2x1|ln |2x1|ln |2x1|f(x)，

15、所以f(x)为奇函数，故排除A，C.又当x，12时，f(x)ln (2x1)ln (12x)ln 2x112xln 2x+12x1ln 1+22x1.因为y122x1在，12上单调递减，由复合函数的单调性可得f(x)在，12上单调递减单调性与奇偶性综合的解题策略1利用偶函数在关于原点对称的区间上单调性相反、奇函数在关于原点对称的区间上单调性相同，实现不等式的等价转化2注意偶函数的性质f(x)f(|x|)的应用.考向2函数的奇偶性与周期性结合(1)设f(x)是定义在R上的奇函数，且对任意实数x，恒有f(x4)f(x)当x0，2时，f(x)2xx2，则f(2 023)_1解析：因为f(x4)f(x

16、)，所以函数f(x)的周期T4. 又f(1)1，所以f(2 023)f(14506)f(1)f(1)1.(2)(2022新高考卷) 若函数f(x)的定义域为R，且f(xy)f(xy)f(x)f(y)，f(1)1，则k=122fk()A3B2C0D1A解析：因为f(xy)f(xy)f(x)f(y)，令x1，y0可得，2f(1)f(1)f(0)，所以f(0)2，令x0可得，f(y)f(y)2f(y)，即f(y)f(y)，所以函数f(x)为偶函数，令y1得，f(x1)f(x1)f(x)f(1)f(x)，即有f(x2)f(x)f(x1)，从而可知f(x2)f(x1)，即有f(x3)f(x)，所以f(x

17、)f(x6)，所以函数f(x)的一个周期为6.因为f(2)f(1)f(0)121，f(3)f(2)f(1)112，f(4)f(2)f(2)1，f(5)f(1)f(1)1，f(6)f(0)2，所以一个周期内的f(1)f(2)f(6)0.因为22除以6余4，所以k=122fkf(1)f(2)f(3)f(4)11213.故选A.若本例(1)中的条件不变，当x2，4时，f(x)的解析式是_f(x)x26x8解析：当x2，0时，x0，2.由已知得f(x)2(x)(x)22xx2.又f(x)是奇函数，所以f(x)f(x)2xx2. 所以f(x)x22x.又当x2，4时，x42，0，所以f(x4)(x4)2

18、2(x4)又f(x)是周期为4的周期函数，所以f(x)f(x4)(x4)22(x4)x26x8.故x2，4时，f(x)x26x8.函数周期性有关问题的求解方法(1)求解与函数的周期性有关的问题，应根据题目特征及周期的定义求出函数的周期(2)根据函数的周期性，可以由函数的局部性质得到函数的整体性质，即周期性与奇偶性都具有将未知区间上的问题转化到已知区间的功能考向3函数的单调性、奇偶性与周期性结合定义在R上的偶函数f(x)满足f(x2)f(x)，且在1，0上单调递减设af(2.8)，bf(1.6)，cf(0.5)，则a，b，c的大小关系是()AabcBcabCbcaDacbD解析：因为偶函数f(x

19、)满足f(x2)f(x)，所以函数f(x)的周期为2.所以af(2.8)f(0.8)，bf(1.6)f(0.4)f(0.4)，cf(0.5)f(0.5)因为0.80.5cb.故选D.1解决这类问题一定要充分利用数形结合思想，使问题变得直观、形象，进而顺利求解2在解题时，往往需要借助函数的奇偶性和周期性来确定另一个区间上的单调性，即实现区间的转换，再利用单调性解决相关问题1已知函数f(x)的图象关于原点对称，且周期为4.若f(2)2，则f(2 022)()A2B0C2D4C解析：因为函数f(x)的图象关于原点对称，且周期为4，所以f(x)为奇函数，所以f(2 022)f(50542)f(2)f(

20、2)2.故选C.2定义在R上的偶函数f(x)满足f(x3)f(x)若f(2)1，f(7)a，则实数a的取值范围为()A(，3)B(3，)C(，1)D(1，)D解析：因为f(x3)f(x)，所以f(x)是定义在R上的以3为周期的函数，所以f(7)f(79)f(2)又因为函数f(x)是偶函数，所以f(2)f(2)，所以f(7)f(2)1，所以a1，即a(1，)故选D.3已知奇函数f(x)的图象关于直线x3对称，当x0，3时，f(x)x，则f(16)_2解析：根据题意，函数f(x)的图象关于直线x3对称，则有f(x)f(6x)又函数f(x)为奇函数，则f(x)f(x)，所以f(x)f(6x)f(x1

21、2)所以f(x)的最小正周期是12.故f(16)f(4)f(4)f(2)(2)2.4定义在实数集R上的函数f(x)满足f(x)f(x2)0，且f(4x)f(x)现有以下三种叙述：8是函数f(x)的一个周期；f(x)的图象关于直线x2对称；f(x)是偶函数其中正确的序号是_解析：由f(x)f(x2)0，得f(x2)f(x)，则f(x4)f(x2)f(x)，即4是f(x)的一个周期，8也是f(x)的一个周期，故正确；由f(4x)f(x)，得f(x)的图象关于直线x2对称，故正确；由f(4x)f(x)与f(x4)f(x)，得f(4x)f(x)，f(x)f(x)，即函数f(x)为偶函数，故正确课时质量

22、评价(八)A组全考点巩固练1已知函数f(x)x1x1，f(a)3，则f(a)的值为()A3B1C1D2B解析：由题意得f(a)f(a)a1a1(a)1a12, 所以f(a)2f(a)231.故选B.2下列函数中，是偶函数且在区间(0，)上单调递减的函数是()Ay2xByxCy|x|Dyx21D解析：A选项，根据y2x的图象知该函数非奇非偶，可知A错误；B选项，由yx的定义域为0，)，知该函数非奇非偶，可知B错误；C选项，当x(0，)时，y|x|x为增函数，不符合题意，可知C错误；D选项，函数的定义域为R，由x21x21，可知该函数为偶函数，根据其图象可看出该函数在(0，)上单调递减，可知D正确

23、3(2021全国乙卷)设函数f(x)1x1+x，则下列函数中为奇函数的是()Af(x1)1Bf(x1)1Cf(x1)1Df(x1)1B解析：由题意可得f(x)1x1+x121+x，对于A，f(x1)12x2不是奇函数；对于B，f(x1)12x是奇函数；对于C，f(x1)12x+22，定义域不关于原点对称，不是奇函数；对于D，f(x1)12x+2，定义域不关于原点对称，不是奇函数4(2021全国甲卷)设f(x)是定义域为R的奇函数，且f(1x)f(x)若f1313，则f53()A53B13C13D53C解析：由题意可得：f53f1+23f23f23，而f23f113f13f1313，故f5313

24、.5(2023威海模拟)已知偶函数f(x)的图象关于点(1，0)对称，当1x0时，f(x)x21，则f(2 023)()A2B0C1D1B解析：因为偶函数yf(x)的图象关于点(1，0)对称，所以f(x)f(x)，f(2x)f(x)0，所以f(x2)f(x)f(x)，则f(x4)f(x2)f(x)，所以函数yf(x)是以4为周期的函数，所以f(2 023)f(45053)f(3)f(1)又当1x0时，f(x)1x2，故f(2 023)f(1)1(1)20.6已知f(x)是R上的偶函数，且当x0时，f(x)x2x1，则当x0时，f(x)_x2x1解析：当x0时，x0，则f(x)(x)2(x)1x

25、2x1，又f(x)是偶函数，所以f(x)f(x)x2x1.7若函数f(x)axb，xa4，a的图象关于原点对称，则a_；函数g(x)bxax，x4，1的值域为_22，12解析：由函数f(x)的图象关于原点对称，可得a4a0，即a2.则函数f(x)2xb，其定义域为2，2，所以f(0)0，所以b0，所以g(x)2x.易知g(x)在4，1上单调递减，故值域为g(1)，g(4)，即2，12.8已知函数g(x)是R上的奇函数，且当x0.若f(6x2)f(x)，则实数x的取值范围是_(3，2)解析：因为g(x)是奇函数，所以当x0时，g(x)g(x)ln (1x)易知f(x)在R上是增函数，由f(6x2

26、)f(x)，可得6x2x，即x2x60，所以3x2.9已知函数f(x)x2+2x，x0，0，x=0， x2+mx，x0 是奇函数(1)求实数m的值；(2)若函数f(x)在区间1，a2上单调递增，求实数a的取值范围解：(1)设x0，则x0，所以f(x)(x)22(x)x22x.又f(x)为奇函数，所以f(x)f(x)，于是x0时，f(x)x22xx2mx，所以m2.(2)要使f(x)在1，a2上单调递增，结合f(x)的图象知a21，a21，所以1a3，故实数a的取值范围是(1，3.10设f(x)是定义在R上的奇函数，且对任意实数x，恒有f(x2)f(x)当x0，2时，f(x)2xx2.(1)求证

27、：f(x)是周期函数(2)当x为何值时，函数f(x)取得最小值？最小值是多少？(1)证明：因为f(x2)f(x)，所以f(x4)f(x2)f(x)所以f(x)是周期为4的周期函数(2)解：因为当x0，2时，f(x)2xx2(x22x)(x1)21，所以当x1时，f(x)有最大值1.又因为f(x)是定义在R上的奇函数，所以当x2，0时，当x1时，f(x)有最小值1.又因为f(x)的周期为4，所以当x14k(kZ)，f(x)有最小值1.B组新高考培优练11(2021新高考全国卷)已知函数f(x)的定义域为R，f(x2)为偶函数，f(2x1)为奇函数，则()Af120Bf(1)0Cf(2)0Df(4

28、)0B解析：因为函数f(x2)为偶函数，则f(x2)f(x2)，可得f(x3)f(x1)因为函数f(2x1)为奇函数，则f(2x1)f(2x1)，所以f(x1)f(x1)，所以f(x3)f(x1)f(x1)，即f(x)f(x4)，故函数f(x)是以4为周期的周期函数因为函数F(x)f(2x1)为奇函数，则F(0)f(1)0，故f(1)f(1)0，其它三个选项未知12(多选题)设函数f(x)，g(x)的定义域都为R，且f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，则下列结论正确的是()Af(x)g(x)是偶函数B|f(x)|g(x)是奇函数Cf(x)|g(x)|是奇函数D|f(x)g(x)|是偶函数CD解

29、析：对于A，f(x)g(x)f(x)g(x)，函数是奇函数，故A错误；对于B，|f(x)|g(x)|f(x)|g(x)，函数是偶函数，故B错误；对于C，f(x)|g(x)|f(x)|g(x)|，函数是奇函数，故C正确；对于D，|f(x)g(x)|f(x)g(x)|，函数是偶函数，故D正确13(2023南宁月考)已知定义在R上的函数f(x)满足：f(x6)f(x)；yf(x3)为偶函数；x(0，3)时，f(x)为减函数，设af(2 023)，bf(e)，cf(ln 2)，则a，b，c的大小关系是()AabcBbacCcbaDcabD解析：根据题意，定义在R上的函数f(x)满足f(x6)f(x)，

30、即f(x6)f(x)，则函数f(x)是周期为6的周期函数，yf(x3)为偶函数，则f(x)的图象关于直线x3对称，则有f(x)f(6x)，则f(2 023)f(13376)f(1)，又由1e3，0ln 21，而x(0，3)时，f(x)为减函数，则有f(ln 2)f(2 021)f(e)，即cab.故选D.14(多选题)设f(x)x2g(x)，若函数f(x)为偶函数，则g(x)的解析式可能为()Ag(x)x3Bg(x)cos xCg(x)x21Dg(x)xexBC解析：因为f(x)x2g(x)，且f(x)为偶函数，所以有(x)2g(x)x2g(x)，即g(x)g(x)，所以g(x)为偶函数，由选

31、项可知，只有选项BC中的函数为偶函数故选BC.15已知函数f(x)对任意xR满足f(x)f(x)0，f(x1)f(x1)若当x0，1)时，f(x)axb(a0且a1)，且f3212.(1)求实数a，b的值；(2)求函数g(x)f2(x)f(x)的值域解：(1)因为f(x)f(x)0，所以f(x)f(x)，即f(x)是奇函数因为f(x1)f(x1)，所以f(x2)f(x)，即函数f(x)是周期为2的周期函数，所以f(0)0，即b1.又f32f12f121a12，解得a14.(2)当x0，1)时f(x)axb14x134，0，由f(x)为奇函数知，当x(1，0)时，f(x)0，34，又因为f(x)

32、是周期为2的周期函数，所以当xR时，f(x)34，34，设tf(x)34，34，所以g(x)f2(x)f(x)t2tt+12214，即g(x)t+1221414，2116.故函数g(x)f2(x)f(x)的值域为14，2116.16已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，且它的图象关于直线x1对称(1)证明：f(x)是周期为4的周期函数；(2)若f(x)x(0x1)，求x5，4时，函数f(x)的解析式(1)证明：由函数f(x)的图象关于直线x1对称，有f(x1)f(1x)，即有f(x)f(x2)又函数f(x)是定义在R上的奇函数，有f(x)f(x).故f(x2)f(x)从而f(x4)f(x2)f(x)即f(x)是周期为4的周期函数(2)解：由函数f(x)是定义在R上的奇函数，有f(0)0.x1，0)时，x(0，1，f(x)f(x)x.故x1，0时，f(x)x.x5，4时，x41，0，f(x)f(x4)x4.从而，x5，4时，函数f(x)的解析式为f(x)x4.