高考数学(文)一轮复习讲义 第2章2.3 函数的奇偶性与周期性.docx

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1、2.3函数的奇偶性与周期性最新考纲考情考向分析1.结合具体函数，理解函数奇偶性的含义2.会运用函数图象理解跟研究函数的奇偶性3.理解函数周期性、最小正周期的含义，会揣摸、运用庞杂函数的周期性.以理解函数的奇偶性、会用函数的奇偶性为主，常与函数的单调性、周期性交汇命题，加强函数与方程思想、转化与化归思想的应用意识，题型以选择、填空题为主，中等偏上难度.1.函数的奇偶性奇偶性定义图象特征奇函数设函数yf(x)的定义域为D，假设对D内的任意一个x，都有xD，且f(x)f(x)，那么谁人函数叫做奇函数关于坐标原点对称偶函数设函数yg(x)的定义域为D，假设对D内的任意一个x，都有xD，且g(x)g(x

2、)，那么谁人函数叫做偶函数关于y轴对称2.周期性(1)周期函数：关于函数yf(x)，假设存在一个非零常数T，使妥善x取定义域内的任何值时，都有f(xT)f(x)，那么就称函数yf(x)为周期函数，称T为谁人函数的周期(2)最小正周期：假设在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么谁人最小正数就叫做f(x)的最小正周期不雅念方法微考虑1假设已经清楚函数f(x)，g(x)的奇偶性，那么函数f(x)g(x)，f(x)g(x)的奇偶性有什么结论？提示在函数f(x)，g(x)大年夜众定义域内有：奇奇奇，偶偶偶，奇奇偶，偶偶偶，奇偶奇2已经清楚函数f(x)称心以下条件，你能掉掉落什么结论？(1

3、)f(xa)f(x)(a0)(2)f(xa)(a0)(3)f(xa)f(xb)(ab)提示(1)T2|a|；(2)T2|a|；(3)T|ab|.题组一考虑辨析1揣摸以下结论是否精确(请在括号中打“或“)(1)函数yx2，x(0，)是偶函数()(2)偶函数的图象不用定过原点，奇函数的图象肯定过原点()(3)假设函数yf(xa)是偶函数，那么函数yf(x)关于直线xa对称()题组二讲义改编2已经清楚函数f(x)是定义在R上的奇函数，且当x0时，f(x)x(1x)，那么f(1)_.答案2分析f(1)122，又f(x)为奇函数，f(1)f(1)2.3设f(x)是定义在R上的周期为2的函数，当x1,1)

4、时，f(x)那么f_.答案1分析ff4221.4.设奇函数f(x)的定义域为5,5，假设当x0,5时，f(x)的图象如以下列图，那么不等式f(x)0的解集为_答案(2,0)(2,5分析由图象可知，当0x0；当2x5时，f(x)0，又f(x)是奇函数，当2x0时，f(x)0，当5x0.综上，f(x)0的解集为(2,0)(2,5题组三易错自纠5已经清楚f(x)ax2bx是定义在a1,2a上的偶函数，那么ab的值是()AB.C.D答案B分析f(x)ax2bx是定义在a1,2a上的偶函数，a12a0，a.又f(x)f(x)，b0，ab.6偶函数yf(x)的图象关于直线x2对称，f(3)3，那么f(1)

5、_.答案3分析f(x)为偶函数，f(1)f(1)又f(x)的图象关于直线x2对称，f(1)f(3)f(1)3.题型一函数奇偶性的揣摸例1揣摸以下函数的奇偶性：(1)f(x)；(2)f(x)；(3)f(x)解(1)由得x236，解得x6，即函数f(x)的定义域为6,6，关于原点对称，f(x)0.f(x)f(x)且f(x)f(x)，函数f(x)既是奇函数又是偶函数(2)由得定义域为(1,0)(0,1)，关于原点对称x20，|x2|2x，f(x).又f(x)f(x)，函数f(x)为奇函数(3)显然函数f(x)的定义域为(，0)(0，)，关于原点对称当x0，那么f(x)(x)2xx2xf(x)；当x0

6、时，x0，那么f(x)(x)2xx2xf(x)；综上可知，关于定义域内的任意x，总有f(x)f(x)，函数f(x)为奇函数思想升华揣摸函数的奇偶性，其中包括两个必备条件：(1)定义域关于原点对称，这是函数存在奇偶性的需要不充分条件，因而起首考虑定义域；(2)揣摸f(x)与f(x)是否存在等量关系在揣摸奇偶性的运算中，可以转化为揣摸奇偶性的等价关系式f(x)f(x)0(奇函数)或f(x)f(x)0(偶函数)是否成破跟踪训练1(1)以下函数中，既不是奇函数也不是偶函数的是()Af(x)xsin2xBf(x)x2cosxCf(x)3xDf(x)x2tanx答案D分析关于选项A，函数的定义域为R，f(

7、x)xsin2(x)(xsin2x)f(x)，因而f(x)xsin2x为奇函数；关于选项B，函数的定义域为R，f(x)(x)2cos(x)x2cosxf(x)，因而f(x)x2cosx为偶函数；关于选项C，函数的定义域为R，f(x)3xf(x)，因而f(x)3x为奇函数；只需f(x)x2tanx既不是奇函数也不是偶函数应选D.(2)函数f(x)lg|sinx|是()A最小正周期为的奇函数B最小正周期为2的奇函数C最小正周期为的偶函数D最小正周期为2的偶函数答案C分析易知函数的定义域为x|xk，kZ，关于原点对称，又f(x)lg|sin(x)|lg|sinx|lg|sinx|f(x)，因而f(x

8、)是偶函数，又函数y|sinx|的最小正周期为，因而函数f(x)lg|sinx|是最小正周期为的偶函数题型二函数的周期性及其运用1(2018抚顺模拟)已经清楚f(x)在R上是奇函数，且称心f(x4)f(x)，当x(0,2)时，f(x)2x2，那么f(7)_.答案2分析f(7)f(1)f(1)2.2已经清楚定义在R上的函数f(x)称心f(2)2，且对任意的x都有f(x2)，那么f(2020)_.答案2分析由f(x2)，得f(x4)f(x)，因而函数f(x)的周期为4，因而f(2020)f(4)由于f(22)，因而f(4)2.故f(2020)2.3(2017山东)已经清楚f(x)是定义在R上的偶函

9、数，且f(x4)f(x2)假设当x3,0时，f(x)6x，那么f(919)_.答案6分析f(x4)f(x2)，f(x2)4)f(x2)2)，即f(x6)f(x)，f(x)是周期为6的周期函数，f(919)f(15361)f(1)又f(x)是定义在R上的偶函数，f(1)f(1)6，即f(919)6.4设定义在R上的函数f(x)同时称心以下条件：f(x)f(x)0；f(x)f(x2)；当0x1时，f(x)2x1，那么ff(1)ff(2)f_.答案1分析依题意知：函数f(x)为奇函数且周期为2，那么f(1)f(1)0，f(1)f(1)，即f(1)0.ff(1)ff(2)ff0ff(0)ffff(0)

10、fff(0)12011.思想升华运用函数的周期性，可将其他区间上的求值、求零点个数、求分析式等征询题，转化到已经清楚区间上，进而处置征询题题型三函数性质的综合运用命题点1求函数值或函数分析式例2(1)设f(x)是定义在R上周期为4的奇函数，假设在区间2,0)(0,2上，f(x)那么f(2021)_.答案分析设0x2，那么2x0时，x0时，f(x)x2ax1a，假设函数f(x)为R上的减函数，那么a的取值范围是_答案1,0分析由于函数f(x)是R上的奇函数，因而f(0)0，假设函数f(x)为R上的减函数，那么称心当x0时，函数为减函数，且1a0，现在即即1a0.命题点3运用函数的性质解不等式例4

11、(1)已经清楚定义在R上的偶函数f(x)在0，)上单调递增，假设f(lnx)f(2)，那么x的取值范围是()A(0，e2)B(e2，)C(e2，)D(e2，e2)答案D分析按照题意知，f(x)为偶函数且在0，)上单调递增，那么f(lnx)f(2)|lnx|2，即2lnx2，解得e2xf(2x1)成破的x的取值范围为_答案分析由已经清楚得函数f(x)为偶函数，因而f(x)f(|x|)，由f(x)f(2x1)，可得f(|x|)f(|2x1|)当x0时，f(x)ln(1x)，由于yln(1x)与y在(0，)上都单调递增，因而函数f(x)在(0，)上单调递增由f(|x|)f(|2x1|)，可得|x|2

12、x1|，单方平方可得x2(2x1)2，拾掇得3x24x10，解得x0B减函数且f(x)0D增函数且f(x)0，又函数f(x)为奇函数，因而在区间上函数也单调递增，且f(x)0.由ff(x)知，函数的周期为，因而在区间上，函数单调递增且f(x)0.应选D.(2)设f(x)是周期为2的奇函数，当0x1时，f(x)2x(1x)，那么f_.答案分析由题意可知，fff2.(3)已经清楚函数g(x)是R上的奇函数，且当xf(x)，那么实数x的取值范围是_答案(3,2)分析g(x)是奇函数，当x0时，g(x)g(x)ln(1x)，易知f(x)在R上是增函数，由f(6x2)f(x)，可得6x2x，即x2x60

13、，3x2.函数的性质函数的奇偶性、周期性及单调性是函数的三大年夜性质，在高考中常常将它们综合在一起命题，解题时，屡屡需要借助函数的奇偶性跟周期性来判定另一区间上的单调性，即实现区间的转换，再运用单调性处置相关征询题一、函数性质的揣摸例1(1)已经清楚函数f(x)lnxln(2x)，那么()Af(x)在(0,2)上单调递增Bf(x)在(0,2)上单调递减Cyf(x)的图象关于直线x1对称Dyf(x)的图象关于点(1,0)对称答案C分析f(x)的定义域为(0,2)f(x)lnxln(2x)lnx(2x)ln(x22x)设ux22x，x(0,2)，那么ux22x在(0,1)上单调递增，在(1,2)上

14、单调递减又ylnu在其定义域上单调递增，f(x)ln(x22x)在(0,1)上单调递增，在(1,2)上单调递减选项A，B差错；f(x)lnxln(2x)f(2x)，f(x)的图象关于直线x1对称，选项C精确；f(2x)f(x)ln(2x)lnxlnxln(2x)2lnxln(2x)，不恒为0，f(x)的图象不关于点(1,0)对称，选项D差错应选C.(2)以下函数：ysin3x3sinx;y；ylg；y其中是奇函数且在(0,1)上是减函数的是_答案分析易知中函数在(0,1)上为增函数；中函数不是奇函数；称心条件的函数为.(3)定义在实数集R上的函数f(x)称心f(x)f(x2)0，且f(4x)f

15、(x)现有以下三个命题：8是函数f(x)的一个周期；f(x)的图象关于直线x2对称；f(x)是偶函数其中精确命题的序号是_答案分析由f(x)f(x2)0可得f(x4)f(x2)f(x)，函数f(x)的最小正周期是4，对；由f(4x)f(x)，可得f(2x)f(2x)，f(x)的图象关于直线x2对称，对；f(4x)f(x)且f(4x)f(x)，f(x)f(x)，f(x)为偶函数，对二、函数性质的综合运用例2(1)(2018世界)已经清楚f(x)是定义域为(，)的奇函数，称心f(1x)f(1x)假设f(1)2，那么f(1)f(2)f(3)f(50)等于()A50B0C2D50答案C分析f(x)是奇

16、函数，f(x)f(x)，f(1x)f(x1)f(1x)f(1x)，f(x1)f(x1)，f(x2)f(x)，f(x4)f(x2)f(x)f(x)，函数f(x)是周期为4的周期函数由f(x)为奇函数且定义域为R得f(0)0，又f(1x)f(1x)，f(x)的图象关于直线x1对称，f(2)f(0)0，f(2)0.又f(1)2，f(1)2，f(1)f(2)f(3)f(4)f(1)f(2)f(1)f(0)20200，f(1)f(2)f(3)f(4)f(49)f(50)012f(49)f(50)f(1)f(2)202.应选C.(2)已经清楚定义在R上的奇函数f(x)称心f(x4)f(x)，且在区间0,2

17、上是增函数，那么()Af(25)f(11)f(80)Bf(80)f(11)f(25)Cf(11)f(80)f(25)Df(25)f(80)f(11)答案D分析由于f(x)称心f(x4)f(x)，因而f(x8)f(x)，因而函数f(x)是以8为周期的周期函数，那么f(25)f(1)，f(80)f(0)，f(11)f(3)由f(x)是定义在R上的奇函数，且称心f(x4)f(x)，得f(11)f(3)f(1)f(1)由于f(x)在区间0,2上是增函数，f(x)在R上是奇函数，因而f(x)在区间2，2上是增函数，因而f(1)f(0)f(1)，即f(25)f(80)0的实数a的取值范围为_答案a|a4或

18、a0等价于f(|a2|)f(2)，即|a2|2，即a22或a24或a0.1以下函数中，既是偶函数又在区间(1,2)内单调递减的是()Af(x)Bf(x)Cf(x)2x2xDf(x)cosx答案B分析函数f(x)是偶函数，且在(1,2)内单调递减，符合题意2已经清楚f(x)为定义在R上的奇函数，当x0时，f(x)2xm，那么f(2)等于()A3BC.D3答案A分析由f(x)为R上的奇函数，知f(0)0，即f(0)20m0，解得m1，那么f(2)f(2)(221)3.3已经清楚yf(x)是定义在R上的奇函数，那么以下函数中为奇函数的是()yf(|x|)；yf(x)；yxf(x)；yf(x)x.AB

19、CD答案D分析由奇函数的定义f(x)f(x)验证，f(|x|)f(|x|)，为偶函数；f(x)f(x)f(x)，为奇函数；xf(x)xf(x)xf(x)，为偶函数；f(x)(x)f(x)x，为奇函数可知精确，应选D.4已经清楚函数f(x)是定义在R上的周期为2的奇函数，当0x2的解集为()A(2，)B.(2，)C.(，)D(，)答案B分析f(x)是R上的偶函数，且在(，0上是减函数，因而f(x)在0，)上是增函数，因而f(log2x)2f(1)f(|log2x|)f(1)|log2x|1log2x1或log2x2或0x.6已经清楚偶函数f(x)关于任意xR都有f(x1)f(x)，且f(x)在区

20、间0,1上是单调递增的，那么f(6.5)，f(1)，f(0)的大小关系是()Af(0)f(6.5)f(1)Bf(6.5)f(0)f(1)Cf(1)f(6.5)f(0)Df(1)f(0)f(6.5)答案A分析由f(x1)f(x)，得f(x2)f(x1)f(x)，函数f(x)的周期是2.函数f(x)为偶函数，f(6.5)f(0.5)f(0.5)，f(1)f(1)f(x)在区间0,1上是单调递增的，f(0)f(0.5)f(1)，即f(0)f(6.5)0时，f(x)lnx，那么f的值为_答案ln2分析由已经清楚可得fln2，因而ff(2)又由于f(x)是奇函数，因而ff(2)f(2)ln2.9奇函数f

21、(x)在区间3,6上是增函数，且在区间3,6上的最大年夜值为8，最小值为1，那么f(6)f(3)的值为_答案9分析由于f(x)在3,6上为增函数，因而f(x)的最大年夜值为f(6)8，f(x)的最小值为f(3)1，由于f(x)为奇函数，因而f(3)f(3)1，因而f(6)f(3)819.10假设函数f(x)是定义在R上的偶函数，且在区间0，)上是单调递增的假设实数t称心f(lnt)f2f(1)，那么t的取值范围是_答案分析由于函数f(x)是定义在R上的偶函数，因而f(lnt)f，由f(lnt)f2f(1)，得f(lnt)f(1)又函数f(x)在区间0，)上是单调递增的，因而|lnt|1，即1l

22、nt1，故te.11已经清楚函数f(x)是奇函数(1)务虚数m的值；(2)假设函数f(x)在区间1，a2上单调递增，务虚数a的取值范围解(1)设x0，因而f(x)(x)22(x)x22x.又f(x)为奇函数，因而f(x)f(x)，因而x0时，f(x)x22xx2mx，因而m2.(2)要使f(x)在1，a2上单调递增，结合f(x)的图象(如以下列图)知因而10，f(x2)对任意xR恒成破，那么f(2023)_.答案1分析由于f(x)0，f(x2)，因而f(x4)f(x2)2f(x)，即函数f(x)的周期是4，因而f(2023)f(50641)f(1)由于函数f(x)为偶函数，因而f(2023)f

23、(1)f(1)当x1时，f(12)，得f(1).由f(x)0，得f(1)1，因而f(2023)f(1)1.14已经清楚函数f(x)x32x，假设f(1)f(3)0(a0且a1)，那么实数a的取值范围是_答案(0,1)(3，)分析由于函数f(x)x32x是奇函数，且在R上是增函数，f(1)f(3)0，因而f(3)f(1)f(1)，因而31，因而或因而a(0,1)(3，)15已经清楚函数f(x)sinxx，对任意的m2,2，f(mx2)f(x)0恒成破，那么x的取值范围为_答案分析易知f(x)在R上为单调递增函数，且f(x)为奇函数，故f(mx2)f(x)0等价于f(mx2)f(x)f(x)，那么

24、mx2x，即mxx20对所有m2,2恒成破，令h(m)mxx2，m2,2，现在，只需即可，解得2x.16已经清楚f(x)是定义在R上的奇函数，f(x1)是偶函数，当x(2,4)时，f(x)|x3|，那么f(1)f(2)f(3)f(4)f(2020)_.答案0分析由于f(x)为奇函数，f(x1)为偶函数，因而f(x1)f(x1)f(x1)，因而f(x2)f(x)，因而f(x4)f(x2)f(x)，因而函数f(x)的周期为4，因而f(4)f(0)0，f(3)f(1)f(1)在f(x1)f(x1)中，令x1，可得f(2)f(0)0，因而f(1)f(2)f(3)f(4)0.因而f(1)f(2)f(3)f(4)f(2020)0.