2019版高考数学（文）高分计划一轮高分讲义：第2章函数、导数及其应用 2.3　函数的奇偶性与周期性 .docx

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1、2.3函数的奇偶性与周期性知识梳理1函数的奇偶性(1)定义：一般地，如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(x)f(x)，那么f(x)就叫做偶函数；一般地，如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(x)f(x)，那么f(x)就叫做奇函数(2)奇偶函数的性质奇函数的图象关于坐标原点对称；偶函数的图象关于y轴对称若奇函数在关于坐标原点对称的区间上有单调性，则其单调性相同；若偶函数在关于坐标原点对称的区间上有单调性，则其单调性相反2函数奇偶性的五个重要结论(1)如果一个奇函数f(x)在x0处有定义，即f(0)有意义，那么一定有f(0)0.(2)如果函数f(x)是偶函数，那么f(x)

2、f(|x|)(3)既是奇函数又是偶函数的函数只有一种类型，即f(x)0，xD，其中定义域D是关于原点对称的非空数集(4)奇函数在两个对称的区间上具有相同的单调性；偶函数在两个对称的区间上具有相反的单调性(5)偶函数在关于原点对称的区间上有相同的最大(小)值，取最值时的自变量互为相反数；奇函数在关于原点对称的区间上的最值互为相反数，取最值时的自变量也互为相反数3对称性的三个常用结论(1)若函数yf(xa)是偶函数，即f(ax)f(ax)，则函数yf(x)的图象关于直线xa对称；(2)若对于R上的任意x都有f(2ax)f(x)或f(x)f(2ax)，则yf(x)的图象关于直线xa对称；(3)若函数

3、yf(xb)是奇函数，即f(xb)f(xb)0，则函数yf(x)关于点(b,0)中心对称4函数的周期性定义：一般地，对于函数f(x)，如果存在一个不为零的实数T，使得当x取定义域内的每一个值时，都有f(xT)f(x)，那么函数f(x)就叫做周期函数，称T为这个函数的周期对于周期函数f(x)，如果在它的所有周期中存在一个最小正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期5函数周期的常见结论设函数yf(x)，xR，a0.(1)若f(xa)f(xa)，则函数的周期为2a；(2)若f(xa)f(x)，则函数的周期为2a；(3)若f(xa)，则函数的周期为2a；(4)若f(xa)，则函数的周期为2a；

4、(5)若函数f(x)关于直线xa与xb对称，那么函数f(x)的周期为2|ba|；(6)若函数f(x)关于点(a,0)对称，又关于点(b,0)对称，则函数f(x)的周期是2|ba|；(7)若函数f(x)关于直线xa对称，又关于点(b,0)对称，则函数f(x)的周期是4|ba|；(8)若函数f(x)是偶函数，其图象关于直线xa对称，则其周期为2a；(9)若函数f(x)是奇函数，其图象关于直线xa对称，则其周期为4a.6掌握一些重要类型的奇偶函数(1)函数f(x)axax为偶函数，函数f(x)axax为奇函数；(2)函数f(x)(a0且a1)为奇函数；(3)函数f(x)loga为奇函数；(4)函数f

5、(x)loga(x)为奇函数诊断自测1概念思辨(1)偶函数图象不一定过原点，奇函数的图象一定过原点()(2)已知函数yf(x)是定义在R上的偶函数，若在(，0)上是减函数，则在(0，)上是增函数()(3)若函数yf(xa)是偶函数，则函数yf(x)的图象关于直线xa对称()(4)若函数yf(xb)是奇函数，则函数yf(x)的图象关于点(b,0)中心对称()答案(1)(2)(3)(4)2教材衍化(1)(必修A1P39A组T6)已知函数f(x)是奇函数，且当x0时，f(x)x2，则f(1)()A2B0C1D2答案A解析f(1)f(1)2.故选A.(2)(必修A1P39B组T3)设f(x)为奇函数，

6、且在(，0)内是减函数，f(2)0，则xf(x)0的解集为()A(1,0)(2，)B(，2)(0,2)C(，2)(2，)D(2,0)(0,2)答案C解析f(x)为奇函数，且在(，0)内单调递减，f(x)在(0，)内也单调递减，又f(2)0，f(2)0，函数f(x)的大致图象如右图，xf(x)0的解集为(，2)(2，)故选C.3小题热身(1)(2015全国卷)若函数f(x)xln (x)为偶函数，则a_.答案1解析由已知得f(x)f(x)，即xln (x)xln (x)，则ln (x)ln (x)0，ln ()2x20，得ln a0，a1.(2)(2018山西四校联考)已知定义在R上的函数f(x

7、)满足f(x)f，且f(2)3，则f(2018)_.答案3解析f(x)f，f(x3)fff(x)f(x)是以3为周期的周期函数则f(2018)f(67232)f(2)3.题型1函数奇偶性的判断判断下列函数的奇偶性：(1)f(x)(1x) ；(2)f(x)(3)f(x).用定义法，性质法解(1)当且仅当0时函数有意义，所以1x0时，x0，f(x)x22x1f(x)，当x0，f(x)x22x1f(x)所以f(x)f(x)，即函数f(x)是奇函数(3)解法一：因为2x2且x0，所以函数的定义域关于原点对称所以f(x)，又f(x)，所以f(x)f(x)，即函数f(x)是奇函数解法二：求得函数f(x)的

8、定义域为2,0)(0,2化简函数f(x)，可得f(x)，由y1x是奇函数，y2是偶函数，可得f(x)为奇函数方法技巧判断函数奇偶性的方法1定义法：利用奇、偶函数的定义或定义的等价形式：1(f(x)0)判断函数的奇偶性2图象法：利用函数图象的对称性判断函数的奇偶性3验证法：即判断f(x)f(x)是否为0.4性质法：设f(x)，g(x)的定义域分别是D1，D2，那么在它们的公共定义域上，有下面结论：冲关针对训练1(2018广东模拟)下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是()AyByxCy2xDyxex答案D解析易知y与y2x是偶函数，yx是奇函数故选D.2判断下列各函数的奇偶性：(1)f(x)

9、；(2)f(x)解(1)由得函数的定义域为(1,0)(0,1)，所以f(x).因为f(x)f(x)，所以f(x)为偶函数(2)当x0，则f(x)(x)2x(x2x)f(x)；当x0时，x0，则f(x)(x)2x(x2x)f(x)又f(0)0，故对任意的x(，)，都有f(x)f(x)，所以f(x)为奇函数.题型2函数奇偶性的应用角度1已知函数奇偶性求值(2018湖南质检)已知f(x)，g(x)分别是定义在R上的偶函数和奇函数，且f(x)g(x)x3x21，则f(1)g(1)()A3B1C1D3本题用转化法，将f(x)g(x)转化为f(x)g(x)答案C解析f(x)g(x)x3x21，f(x)g(

10、x)x3x21，又由题意可知f(x)f(x)，g(x)g(x)，f(x)g(x)x3x21，则f(1)g(1)1.故选C.角度2已知函数奇偶性求解析式设函数yf(x)(xR)为偶函数，且xR，满足ff，当x2,3时，f(x)x，则当x2,0时，f(x)()A|x4|B|2x|C2|x1|D3|x1|利用函数的周期性结合奇偶性转化求解答案D解析xR，满足ff，f(x2)f(x)，故yf(x)(xR)是周期为2的函数当x2，1时，x42,3，f(x)f(x4)x4；当x(1,0时，x0,1)，x22,3)，又函数yf(x)(xR)为偶函数，f(x)f(x)f(x2)x2，综合可知，f(x)3|x1

11、|.故选D.角度3已知函数奇偶性求参数(2017安徽蚌埠二模)函数f(x)是奇函数，则实数a_.根据f(x)f(x)0，利用待定系数法求解，本题还可用赋值法答案2解析解法一：函数的定义域为x|x0，f(x)xa2.因函数f(x)是奇函数，则f(x)f(x)，即xa2x(a2)，则a2(a2)，即a20，则a2.解法二：由题意知f(1)f(1)，即3(a1)a1，得a2.将a2代入f(x)的解析式，得f(x)，经检验，对任意x(，0)(0，)，都满足f(x)f(x)，故a2.角度4函数性质的综合应用(2017合肥三模)定义在R上的函数yf(x)在(，a)上是增函数，且函数yf(xa)是偶函数，当

12、x1a，且|x1a|f(x2)Bf(x1)f(x2)Cf(x1)f(x2)Df(x1)f(x2)本题用平移法，利用图象的对称性结合函数的单调性进行判断答案A解析因为函数yf(xa)是偶函数，其图象关于y轴对称，把这个函数图象平移|a|个单位(a0右移)可得函数yf(x)的图象，因此函数yf(x)的图象关于直线xa对称，此时函数yf(x)在(a，)上是减函数由于x1a且|x1a|f(x2)故选A.方法技巧1利用函数奇偶性转移函数值的策略将待求的函数值利用f(x)f(x)或f(x)f(x)转化为已知区间上的函数值求解见角度1典例2利用函数奇偶性求解析式的策略将待求区间上的自变量转化到已知区间上，再

13、利用奇偶性求出，或充分利用奇偶性构造关于f(x)的方程(组)，从而得到f(x)的解析式见角度2典例3利用函数的奇偶性求解析式中参数值的策略利用待定系数法求解，根据f(x)f(x)0得到含有待求参数的关于x的恒等式，由恒等性得到关于待求参数满足的方程(组)并求解见角度3典例4函数性质综合应用问题的常见类型及解题策略(1)函数单调性与奇偶性结合注意函数单调性及奇偶性的定义，以及奇、偶函数图象的对称性见角度4典例(2)周期性与奇偶性结合此类问题多考查求值问题，常利用奇偶性及周期性进行变换，将所求函数值的自变量转化到已知解析式的函数定义域内求解见角度2典例(3)周期性、奇偶性与单调性结合解决此类问题通

14、常先利用周期性转化自变量所在的区间，然后利用奇偶性和单调性求解冲关针对训练1(2017河南模拟)已知f(x)是定义在R上的奇函数，当x0时f(x)3xm(m为常数)，则f(log35)的值为()A4B4C6D6答案B解析f(x)是定义在R上的奇函数，且x0时，f(x)3xm.f(0)0，即m1.f(x)3x1(x0)f(log35)f(log35)(3log351)(51)4.故选B.2已知f(x)是定义在R上的奇函数，当x0时，f(x)x22x，若f(2a2)f(a)，则实数a的取值范围是()A(，1)(2，)B(1,2)C(2,1) D(，2)(1，)答案C解析f(x)是奇函数，当xf(a

15、)，得2a2a，解得2a1.故选C.题型3函数的周期性及应用(2016山东高考)已知函数f(x)的定义域为R.当x时，ff.则f(6)()A2B1C0D2本题综合奇偶性、周期性求解答案D解析当x时，由ff可得f(x)f(x1)，所以f(6)f(1)，而f(1)f(1)，f(1)(1)312，所以f(6)f(1)2.故选D.已知定义在R上的函数f(x)，对任意实数x有f(x4)f(x)2，若函数f(x1)的图象关于直线x1对称，f(1)2，则f(2017)_.综合用奇偶性、周期性解决答案2解析由函数yf(x1)的图象关于直线x1对称可知，函数f(x)的图象关于y轴对称，故f(x)为偶函数由f(x

16、4)f(x)2，得f(x44)f(x4)2f(x)，所以f(x)是周期T8的偶函数，所以f(2017)f(12528)f(1)2.方法技巧函数周期性的判定与应用1判断函数的周期只需证明f(xT)f(x)(T0)便可证明函数是周期函数，且周期为T，函数的周期性常与函数的其他性质综合命题见典例1.2根据函数的周期性，可以由函数局部的性质得到函数的整体性质，即周期性与奇偶性都具有将未知区间上的问题转化到已知区间的功能在解决具体问题时，要注意结论：若T是函数的周期，则kT(kZ且k0)也是函数的周期见典例2.冲关针对训练1定义在R上的函数f(x)满足f(x6)f(x)，当3x1时，f(x)(x2)2；

17、当1x3时，f(x)x.则f(1)f(2)f(3)f(2018)等于()A336B339C1678D2012答案B解析f(x6)f(x)，函数f(x)的周期T6.当3x1时，f(x)(x2)2；当1x3时，f(x)x，f(1)1，f(2)2，f(3)f(3)1，f(4)f(2)0，f(5)f(1)1，f(6)f(0)0，f(1)f(2)f(6)1.f(1)f(2)f(3)f(2015)f(2016)1336.又f(2017)f(1)1，f(2018)f(2)2，f(1)f(2)f(3)f(2018)339.故选B.2已知f(x)是定义在R上的偶函数，并且f(x3)，当1x3时，f(x)cos，

18、则f(2017)_.答案2解析由已知可得f(x6)f(x3)3f(x)，故函数f(x)的周期为6.f(2017)f(63361)f(1)f(x)为偶函数，f(1)f(1)，而f(13)，所以f(1)f(1)2.f(2017)2.题型4抽象函数的单调性、奇偶性、周期性已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x4)f(x)，且在区间0,2上是增函数，则()Af(25)f(11)f(80)Bf(80)f(11)f(25)Cf(11)f(80)f(25)Df(25)f(80)f(11)利用奇偶性和周期性将自变量转化到已知单调区间，再利用函数的单调性比较大小答案D解析因为f(x)满足f(x4)f(x)，所

19、以f(x8)f(x)，所以函数f(x)是以8为周期的周期函数，则f(25)f(1)，f(80)f(0)，f(11)f(3)由f(x)是定义在R上的奇函数，且满足f(x4)f(x)，得f(11)f(3)f(1)f(1)因为f(x)在区间0,2上是增函数，f(x)在R上是奇函数，所以f(x)在区间2,2上是增函数，所以f(1)f(0)f(1)，即f(25)f(80)0时f(x)1.(1)求证：函数f(x)在R上为增函数；(2)若f(3)4，解不等式f(a2a5)2.利用抽象函数的特殊条件，结合定义法解决函数的单调性，进而化抽象不等式为具体不等式求解解(1)证明：设x1，x2R，且x10，则f(x2

20、x1)1.函数f(x)对于任意m，nR，都有f(mn)f(m)f(n)1成立，f(x2)f(x1)f(x2x1)x1f(x1)f(x2x1)f(x1)1f(x1)f(x2x1)10，函数f(x)在R上为增函数(2)f(3)f(12)f(1)f(2)1f(1)f(1)f(1)23f(1)24，f(1)2.f(a2a5)2，即为f(a2a5)f(1)，由(1)知，函数f(x)在R上为增函数，a2a51，即a2a60，3a2.不等式f(a2a5)2的解集是a|3a2方法技巧把不给出具体解析式只给出函数的特殊条件或特征的函数称为抽象函数这类题目能全面考查学生对函数概念的理解，解答抽象函数的题目，掌握常

21、见的基本函数及性质是关键同时注意特殊值法、赋值法、图象法的应用冲关针对训练1(2018太原检测)定义在R上的函数f(x)满足f(xy)f(x)f(y)(x，yR)，当x0，则函数f(x)在a，b上()A有最小值f(a)B有最大值fC有最小值f(b)D有最大值f(b)答案C解析令yx，则由f(xy)f(x)f(y)(x，yR)得f(0)f(x)f(x)，再令xy0得f(0)f(0)f(0)得f(0)0，代入式得f(x)f(x)得f(x)是一个奇函数，图象关于原点对称当x0，即f(x)在R上是一个减函数，可得f(x)在a，b上有最小值f(b)故选C.2(2017池州模拟)已知函数的定义域为R，且满

22、足下列三个条件：对任意的x1，x24,8，当x10；f(x4)f(x)；yf(x4)是偶函数若af(6)，bf(11)，cf(2017)，则a，b，c的大小关系正确的是()AabcBbacCacbDcba答案B解析根据题意，若对任意的x1，x24,8，当x10，则函数f(x)在区间4,8上为增函数，若f(x4)f(x)，则f(x8)f(x4)f(x)，即函数f(x)的周期为8，若yf(x4)是偶函数，则函数f(x)的图象关于直线x4对称，af(6)，bf(11)f(3)f(5)，cf(2017)f(25281)f(1)f(7)，又由函数f(x)在区间4,8上为增函数，则有ba0，则x的取值范围

23、是_答案(1,3)解析f(2)0，f(x1)0，f(x1)f(2)，又f(x)是偶函数，f(|x1|)f(2)，又f(x)在0，)上单调递减，|x1|2，2x12，1x3，x(1,3)4(2016四川高考)已知函数f(x)是定义在R上的周期为2的奇函数，当0x1时，f(x)4x，则ff(1)_.答案2解析f(x)是定义在R上的奇函数，f(x)f(x)，又f(x)的周期为2，f(x2)f(x)，f(x2)f(x)，即f(x2)f(x)0，令x1，得f(1)f(1)0，f(1)0.又fff42.ff(1)2.基础送分 提速狂刷练一、选择题1(2017重庆测试)下列函数为奇函数的是()Ayx33x2

24、ByCyxsinxDylog2答案D解析函数yx33x2既不是奇函数，也不是偶函数，排除A；函数y是偶函数，排除B；函数yxsinx是偶函数，排除C；函数ylog2的定义域是(3,3)，且f(x)log2f(x)，是奇函数，D正确故选D.2下列函数中，既是定义域内的偶函数又在(，0)上单调递增的函数是()Af(x)x2Bf(x)2|x|Cf(x)log2Df(x)sinx答案C解析函数f(x)x2在(，0)上单调递减，排除A；当x(，0)时，函数f(x)2|x|x在(，0)上单调递减，排除B；当x(，0)时，函数f(x)log2log2(x)在(，0)上单调递增，且函数f(x)在其定义域内是偶

25、函数，C正确；函数f(x)sinx是奇函数，排除D.故选C.3(2017唐山统考)f(x)是R上的奇函数，当x0时，f(x)x3ln (1x)则当x0时，f(x)()Ax3ln (1x)Bx3ln (1x)Cx3ln (1x)Dx3ln (1x)答案C解析当x0，f(x)(x)3ln (1x)，f(x)是R上的奇函数，当x0时，f(x)f(x)(x)3ln (1x)，f(x)x3ln (1x)故选C.4已知f(x)是定义在R上的偶函数，并且f(x2)，当2x3时，f(x)x，则f(105.5)()A0.5B0.5C2.5D2.5答案D解析f(x2)，f(x4)f(x2)2f(x)函数f(x)的

26、周期为4.f(105.5)f(4272.5)f(2.5)f(2.5)22.53，f(2.5)2.5.f(105.5)2.5.故选D.5(2017金版创新)已知函数f(x)在xR都有f(x2)f(x)，且当x1,0时，f(x)2x，则f(2017)等于()A.BC1D1答案B解析由f(x2)f(x)，得f(x4)f(x2)f(x)，所以函数f(x)的周期为4.所以f(2017)f(45041)f(1)f(1).故选B.6(2018青岛模拟)奇函数f(x)的定义域为R，若f(x1)为偶函数，且f(1)2，则f(4)f(5)的值为()A2B1C1D2答案A解析f(x1)为偶函数，f(x)是R上的奇函

27、数，f(x1)f(x1)，f(x)f(x)，f(0)0，f(x1)f(x1)f(x1)，f(x2)f(x)，f(x4)f(x22)f(x2)f(x)，故4为函数f(x)的周期，则f(4)f(0)0，f(5)f(1)2，f(4)f(5)022.故选A.7(2018襄阳四校联考)已知函数f(x)的定义域为R.当x0时，f(x1)f(x)，则f(2018)()A2B1C0D2答案D解析因为当x0时，f(x1)f(x)，所以当x0时，函数f(x)是周期为1的周期函数，所以f(2018)f(1)，又因为当1x1时，f(x)f(x)，所以f(1)f(1)(1)512.故选D.8已知函数f(x)是R上的偶函

28、数，g(x)是R上的奇函数，且g(x)f(x1)，若f(2)2，则f(2018)的值为()A2B0C2D2答案A解析f(x)是R上的偶函数，g(x)是R上的奇函数，且g(x)f(x1)，g(x)f(x1)f(x1)g(x)f(x1)即f(x1)f(x1)f(x2)f(x)f(x4)f(x2)2f(x2)f(x)函数f(x)是周期函数，且周期为4.f(2018)f(2)2.故选A.9(2017石家庄模拟)已知f(x)是定义在R上的以3为周期的偶函数，若f(1)1，f(5)，则实数a的取值范围为()A(1,4)B(2,0)C(1,0)D(1,2)答案A解析f(x)是定义在R上的周期为3的偶函数，f

29、(5)f(56)f(1)f(1)，f(1)1，f(5)，1，即0，解得1a4.故选A.10已知f(x)是定义在R上的奇函数，当x0时，f(x)x23x，则函数g(x)f(x)x3的零点所构成的集合为()A1,3B3，1,1,3C2，1,3D2，1,3答案D解析当x3对任意xR恒成立，求实数m的取值范围解(1)若f(x)在R上为奇函数，则f(0)0，令ab0，则f(00)f(0)f(0)k，所以k0.证明：由f(ab)f(a)f(b)，令ax，bx，则f(xx)f(x)f(x)，又f(0)0，则有0f(x)f(x)，即f(x)f(x)对任意xR成立，所以f(x)是奇函数(2)因为f(4)f(2)f(2)15，所以f(2)3.所以f(mx22mx3)3f(2)对任意xR恒成立又f(x)是R上的增函数，所以mx22mx32对任意xR恒成立，即mx22mx10对任意xR恒成立，当m0时，显然成立；当m0时，由得0m1.所以实数m的取值范围是0,1)