2024届高考数学一轮总复习第八章立体几何与空间向量课时规范练45综合问题.docx

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1、课时规范练45综合问题1.如图1,在直角梯形ABCD中,ADBC,AD=AB=2,BAD=90,BCD=45,E为对角线BD的中点.现将ABD沿BD折起到PBD的位置,使平面PBD平面BCD,如图2.(1)求证:直线PE平面BCD;(2)求异面直线BD和PC所成角的余弦值.2. 如图,在四棱锥P-ABCD中,四边形ABCD是矩形,点D在以AP为直径的圆上,平面PAD平面ABCD,PA=2,PB=7,平面PBC平面PAD=m. (1)证明:直线m平面PDC;(2)当三棱锥P-ABD体积最大时,求二面角C-PB-A的余弦值.3.(2022山东德州二模)九章算术是中国古代张苍、耿寿昌所撰写的一部数学

2、专著,是算经十书中最重要的一部,成于公元一世纪左右,是当时世界上最简练有效的应用数学专著,它的出现标志着中国古代数学形成了完整的体系.在九章算术商功篇中提到“阳马”这一几何体,是指底面为矩形,有一条侧棱垂直于底面的四棱锥,现有“阳马”P-ABCD,底面为边长为2的正方形,侧棱PA平面ABCD,PA=2,E,F分别为边BC,CD上的点,CE=CB,CF=CD,点M为AD的中点.(1)若=12,证明:平面PBM平面PAF;(2)是否存在实数,使二面角P-EF-A的大小为45?如果不存在,请说明理由;如果存在,求此时直线BM与平面PEF所成角的正弦值.4.如图,在四边形PDCB中,PDBC,BAPD

3、,PA=AB=BC=1,AD=12.沿BA将PBA翻折到SBA的位置,使得SD=52.(1)作出平面SCD与平面SBA的交线l,并证明l平面CSB;(2)点Q是棱SC上异于S,C的一点,连接QD,当二面角Q-BD-C的余弦值为66时,求三棱锥Q-BCD的体积.5.如图,在直角梯形ABCD中,ABDC,ABC=90,AB=2DC=2BC,E为AB的中点,沿DE将ADE折起,使得点A到点P位置,且PEEB,M为PB的中点,N是BC上的动点(与点B,C不重合).(1)证明:平面EMN平面PBC;(2)是否存在点N,使得二面角B-EN-M的余弦值为66?若存在,确定N点位置;若不存在,说明理由.6.如

4、图,在四棱锥P-ABCD中,PA平面ABCD,底面ABCD是菱形,PA=AB=2,BAD=60. (1)求证:直线BD平面PAC;(2)求直线PB与平面PAD所成角的正切值;(3)设点M在线段PC上,且平面MBC与平面MBA夹角的余弦值为57,求点M到底面ABCD的距离.课时规范练45综合问题1.(1)证明因为平面PBD平面BCD,且平面PBD平面BCD=BD,又由图1可知AB=AD,且E为BD中点,所以AEBD,即PEBD.又PE平面PBD,所以PE平面BCD.(2)解建立空间直角坐标系,以E为坐标原点,EB所在直线为x轴,在平面BDC且垂直BD的直线为y轴,EP所在直线为z轴,如图所示.由

5、题图1可知ABD为等腰直角三角形,所以ADB=DBC=DCB=45,所以DBC为等腰直角三角形.因为AD=AB=2,所以PD=PB=2,所以DB=DC=PB2+PD2=2,所以B(1,0,0),D(-1,0,0),P(0,0,1),C(-1,2,0),所以BD=(-2,0,0),PC=(-1,2,-1),所以cos=BDPC|BD|PC|=226=66,所以异面直线BD和PC所成角的余弦值为66.2.(1)证明因为四边形ABCD是矩形,所以ADCD.因为点D在以AP为直径的圆上,所以ADDP,CDDP=D,CD,DP平面PDC,所以AD平面PDC.因为ADBC,AD平面PBC,BC平面PBC,

6、所以AD平面PBC.因为平面PBC平面PAD=m,所以ADm,所以直线m平面PDC.(2)解设PD=x,所以AD=4-x2(0x2),SPAD=12x4-x2.因为平面PAD平面ABCD,交线为AD,且ABAD,所以AB平面PAD,而PA平面PAD,所以ABPA.在直角三角形PAB中,PB=7,PA=2,则AB=3.因为VP-ABD=VB-PAD,所以VP-ABD=VB-PAD=13SPADAB=36x2(4-x2)36x2+4-x22=33,当且仅当x2=4-x2,即x=2时,等号成立,此时PD=AD=2,PC=5.如图,建立空间直角坐标系,可得P(0,0,2),A(2,0,0),B(2,3

7、,0),C(0,3,0),所以PA=(2,0,-2),AB=(0,3,0),CB=(2,0,0),PC=(0,3,-2).设平面PAB和平面PBC的法向量分别为m=(x0,y0,z0)和n=(x,y,z),由mPA=0,mAB=0,则2x0-2z0=0,3y0=0,取x0=1,得m=(1,0,1),由nCB=0,nPC=0,则2x=0,3y-2z=0,取y=-2,得n=(0,-2,-6),所以cos=mn|m|n|=-6210=-3010.由图知二面角C-PB-A为钝角,所以二面角C-PB-A的余弦值为-3010.3.(1)证明当=12时,点E,F分别为BC,CD的中点.连接AF与BM交于点G

8、,在ABM和DAF中,AB=AD,AM=DF,BAM=ADF=90,所以ABMDAF,于是ABM=FAD.而FAD+BAF=90,所以ABM+BAF=90,故AGB=90,即BMAF.又PA平面ABCD,BM平面ABCD,所以PABM.因为BMPA,BMAF,PA平面PAF,AF平面PAF,PAAF=A,所以BM平面PAF.又因为BM平面PBM,所以平面PBM平面PAF.(2)解存在.连接AC,交EF于点Q,连接PQ,记BD与AC交于点O,如图.因为CE=CB,CF=CD,所以EFBD,因为ACBD,所以ACEF,从而PQEF,所以AQP为二面角P-EF-A的一个平面角.由题意,AQP=45,

9、从而AQ=PA=2,所以CQ=22-2.于是=CECB=CQCO=22-22=2-2,所以CF=CE=4-22,BE=DF=22-2.如图,以AB,AD,AP的方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系,于是P(0,0,2),E(2,22-2,0),F(22-2,2,0),B(2,0,0),M(0,1,0),BM=(-2,1,0),PE=(2,22-2,-2),PF=(22-2,2,-2),设平面PEF的法向量是n=(x,y,z),由nPE=2x+(22-2)y-2z=0,nPF=(22-2)x+2y-2z=0,得x=y,z=2x,取x=1,则y=1,z=2,则n=(1,1,2).设

10、直线BM与平面PEF所成的角为,则sin=|cos|=nBM|n|BM|=-2+145=510,即直线BM与平面PEF所成角的正弦值为510.4.(1)证明如图,延长BA,CD相交于点E,连接SE,则SE为平面SCD与平面SBA的交线l.在SAD中,SA=1,AD=12,SD=52,则SA2+AD2=SD2,所以SAAD.由SAAD,ADAB,SAAB=A,得AD平面SBA.又BCAD,所以BC平面SBA,所以BCSE.由PDBC,AB=BC=1,AD=12,得AE=1.所以AE=AB=SA,所以SESB.又因为BCSB=B,所以SE平面CSB,即l平面CSB.(2)解由(1)知,SAAB,A

11、DAB,ADSA.以点A为坐标原点,AD,AB,AS所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系,如图所示.易得A(0,0,0),D12,0,0,B(0,1,0),S(0,0,1),C(1,1,0),则BD=12,-1,0,SC=(1,1,-1).设SQ=SC(01),则Q(,1-),则BQ=(,-1,1-).设平面QBD的法向量是n=(x,y,z),则x+(-1)y+(1-)z=0,12x-y=0,令x=2,则n=2,1,1-31-.又m=(0,0,1)是平面CBD的一个法向量,由|cos|=|nm|n|m|=1-31-5+(1-31-)2=66,解得=12.所以Q是SC的中点.则VQ-

12、BCD=13SBCD12SA=13121112=112.5.(1)证明因为PEEB,PEED,EBED=E,所以PE平面EBCD.又BC平面EBCD,故PEBC.又BCBE,BEPE=E,故BC平面PEB.因为EM平面PEB,所以EMBC.又等腰三角形PEB,EMPB,BCPB=B,故EM平面PBC.因为EM平面EMN,故平面EMN平面PBC.(2)解存在.假设存在点N,使得二面角B-EN-M的余弦值为66.以E为原点,EB,ED,EP所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系.设PE=EB=2,BN=m(0m2),则E(0,0,0),N(2,m,0),B(2,0,0),D(0,2,0)

13、,P(0,0,2),C(2,2,0),M(1,0,1),则EM=(1,0,1),EB=(2,0,0),EN=(2,m,0).设平面EMN的法向量为p=(x,y,z),由pEM=x+z=0,pEN=2x+my=0,令x=1,得p=1,-2m,-1.又平面BEN的一个法向量为n=(0,0,1),故|cos|=|pn|p|n|=|0+0-1|12+(-2m)2+(-1)20+0+1=66,解得m=1.故存在点N使得二面角B-EN-M的余弦值为66,N位于BC的中点.6.(1)证明由菱形的性质可知BDAC,由线面垂直的定义可知BDAP,且APAC=A,由线面垂直的判定定理可得直线BD平面PAC.(2)

14、解以点A为坐标原点,AD,AP所在直线分别为y轴、z轴,在平面ABCD内与AD垂直的直线为x轴建立空间直角坐标系Axyz如图所示,则P(0,0,2),B(3,1,0),A(0,0,0),D(0,2,0),则PB=(3,1,-2),平面PAD的一个法向量为m=(1,0,0),设直线PB与平面PAD所成的角为,则sin=|cos|=|PBm|PB|m|=38=64,cos=104,tan=sincos=155.(3)解由于P(0,0,2),C(3,3,0),B(3,1,0),A(0,0,0),PC=(3,3,-2),CB=(0,-2,0),AB=(3,1,0),PB=(3,1,-2),PM=PC=

15、(3,3,-2)(01),MB=MP+PB=(33,1-3,2-2),则点M的坐标为(3,3,-2+2),设平面MBC的法向量为n1=(x1,y1,z1),则n1CB=0,n1MB=0,所以-2y1=0,(3-3)x1+(1-3)y1+(2-2)z1=0,取x1=2,则n1=(2,0,3).设平面MBA的法向量为n2=(x2,y2,z2),则n2AB=0,n2MB=0,所以3x2+y2=0,(3-3)x2+(1-3)y2+(2-2)z2=0,取x2=1,则n2=1,-3,31-,由平面MBC与平面MBA夹角的余弦值为57,得2+31-71+3+32(1-)2=57,整理得142-19+6=0,解得=12或=67.由点M的坐标易知点M到底面ABCD的距离为1或27.