2024届高考数学一轮总复习第八章立体几何与空间向量课时规范练41直线平面垂直的判定与性质.docx

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1、课时规范练41直线、平面垂直的判定与性质基础巩固组1.(2022河北沧州模拟)设,为两个平面,则下列条件是的充要条件的是()A.,平行于同一个平面B.,垂直于同一个平面C.内一条直线垂直于内一条直线D.内存在一条直线垂直于2.已知平面,直线n,直线m,则下列命题正确的是()A.mnB.mnC.mD.mnm3.如图,四棱锥S-ABCD的底面为正方形,SD底面ABCD,则下列结论中不正确的是()A.ACSBB.ADSCC.平面SAC平面SBDD.BDSA4.已知AB是圆柱上底面的一条直径,C是上底面圆周上异于A,B的一点,D为下底面圆周上一点,且AD垂直圆柱的底面,则必有()A.平面ABC平面BC

2、DB.平面BCD平面ACDC.平面ABD平面ACDD.平面BCD平面ABD5.如图,已知正方体ABCD-A1B1C1D1,M,N分别是A1D,D1B的中点,则()A.直线A1D与直线D1B垂直,直线MN平面ABCDB.直线A1D与直线D1B平行,直线MN平面BDD1B1C.直线A1D与直线D1B相交,直线MN平面ABCDD.直线A1D与直线D1B异面,直线MN平面BDD1B16.(2022全国乙,文9)在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别为AB,BC的中点,则()A.平面B1EF平面BDD1B.平面B1EF平面A1BDC.平面B1EF平面A1ACD.平面B1EF平面A1C1D7.已

3、知,是两个不同的平面,l,m是两条不同的直线,l,m,下列四个推论:lm;lm;lm;lm.其中正确的推论是.(填序号)8.(2022广东惠州高三检测)如图所示,在四棱锥P-ABCD中,PA底面ABCD,且底面各边都相等,ACBD=O,M是PC上的一动点,当点M满足时,平面MBD平面PCD.(只要填写一个你认为正确的条件即可)9. 如图,在四棱锥P-ABCD中,底面是边长为a的正方形,侧棱PD=a,PA=PC=2a.求证: (1)PD平面ABCD;(2)平面PAC平面PBD.综合提升组10.(多选)若,是两个相交平面,则下列结论中,正确的是()A.若直线m,则在平面内,一定不存在与直线m平行的

4、直线B.若直线m,则在平面内,一定存在无数条直线与直线m垂直C.若直线m,则在平面内,一定存在与直线m异面的直线D.若直线m,则在平面内,一定存在与直线m垂直的直线11.(多选)如图,在正方体中,O为底面的中心,P为所在棱的中点,M,N为正方体的顶点.则满足MNOP的是()12.如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,已知AA1平面ABC,BC=CC1,当底面A1B1C1满足条件时,有AB1BC1.(只要填写一个你认为正确的条件即可)13.在矩形ABCD中,ABBC,现将ABD沿矩形的对角线BD所在的直线进行翻折,在翻折的过程中,给出下列结论:存在某个位置,使得直线AC与直线BD垂直;存在某个位

5、置,使得直线AB与直线CD垂直;存在某个位置,使得直线AD与直线BC垂直.其中正确结论的序号是.14.在五面体EF-ABCD中,正方形CDEF所在平面与平面ABCD垂直,四边形ABCD为等腰梯形,ABCD,AD=DC=BC=12AB.(1)求证:平面BCF平面ACE;(2)若三棱锥A-BCE的体积为433,求线段AB的长.创新应用组15.刘徽所注的九章算术商功中的一段话是“斜解立方,得两堑堵.斜解堑堵,其一为阳马,一为鳖臑.阳马居二,鳖臑居一,不易之率也.合两鳖臑三而一,验之以棊,其形露矣.”如图1解释了由一个长方体得到“堑堵”“阳马”“鳖臑”的过程.堑堵是底面为直角三角形的直棱柱,阳马是一条

6、侧棱垂直于底面且底面为矩形的四棱锥,鳖臑是四个面都为直角三角形的四面体.图1图2如图2所示,在由正方体ABCD-A1B1C1D1得到的堑堵ABC-A1B1C1中,当点P在下列三个位置:A1A中点,A1B中点,A1C中点时,分别形成的四面体P-ABC中,鳖臑的个数为()A.0B.1C.2D.316.已知某“鞠”(鞠为一种球体)的表面上有四个点A,B,C,D满足AB=BC=CD=DA=DB=10 cm,AC=15 cm,则点A到平面BCD的距离为cm,该“鞠”的表面积为cm2.课时规范练41直线、平面垂直的判定与性质1.D解析:若,平行于同一个平面,则,A错误;若,垂直于同一个平面,则,可能垂直,

7、也可能相互平行,也可能相交但不垂直,B错误;若内一条直线垂直于内一条直线,则,可能垂直,也可能相互平行,也可能相交但不垂直,C错误;若内一条直线垂直于,则,反之也成立,D正确.2.C解析:若直线n,直线m,则m与n可能异面,可能平行,故A错误;由直线n,直线m,则m与n可能平行,可能相交,可能异面,故B错误;由直线m,m,可得,故C正确;由直线n,直线m,mn,则m与可能平行,可能相交,故D错误.故选C.3.D解析:SD底面ABCD,SB在平面ABCD的射影BD与AC垂直,则SBAC,A正确;SC在平面ABCD的射影DC与AD垂直,则SCAD,B正确;利用上述垂直可得AC平面SBD,且AC平面

8、SAC,从而有平面SAC平面SBD,C正确;若BDSA,则BD垂直SA在平面ABCD内的射影DA,这不符合题意,D错误.故选D.4.B解析:因为AB是圆柱上底面的一条直径,所以ACBC.又AD垂直圆柱的底面,所以ADBC.因为ACAD=A,所以BC平面ACD.又BC平面BCD,所以平面BCD平面ACD.故选B.5. A解析:连接AD1,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,M是A1D的中点,所以M为AD1的中点.又N是D1B的中点,所以MNAB.因为MN平面ABCD,AB平面ABCD,所以MN平面ABCD.因为AB不垂直BD,所以MN不垂直BD,则MN不垂直平面BDD1B1,所以选项B,D错误

9、;在正方体ABCD-A1B1C1D1中,AD1A1D,AB平面AA1D1D,所以ABA1D,AD1AB=A,所以A1D平面ABD1.D1B平面ABD1,所以A1DD1B,且直线A1D,D1B是异面直线,所以选项C错误,选项A正确.故选A.6.A解析:如图,对于A,E,F分别为AB,BC的中点,EFAC.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,ACBD,DD1AC,又BDDD1=D,AC平面BDD1,EF平面BDD1.又EF平面B1EF,平面B1EF平面BDD1.故A正确.对于B,连接AC1,易证AC1平面A1BD.假设平面B1EF平面A1BD,又AC1平面B1EF,AC1平面B1EF.又ACEF

10、,AC平面B1EF,EF平面B1EF,AC平面B1EF.又AC1AC=A,平面AA1C1C平面B1EF.又平面AA1C1C平面AA1B1B=AA1,平面B1EF平面AA1B1B=B1E,AA1B1E,显然不成立,假设不成立,即平面B1EF与平面A1BD不垂直.故B错误.对于C,由题意知,直线AA1与B1E必相交,故平面B1EF与平面A1AC必相交.故C错误.对于D,连接AB1,CB1,易证平面AB1C平面A1C1D,又平面B1EF与平面AB1C相交,平面B1EF与平面A1C1D不平行.故D错误.7.解析:,l,所以l.又m,所以lm,正确;,l,则l或l,所以l,m可能平行、相交或异面,错误;

11、lm,l,m,则,相交或平行,错误;lm,l,则m,又m,所以,正确.8.DMPC(答案不唯一)解析:当DMPC时,平面MBD平面PCD.证明如下:由ABCD为菱形,则ACBD.PA平面ABCD,BD平面ABCD,PABD,又PAAC=A,BD平面PAC,又PC平面PAC,BDPC,又DMPC,BDDM=D,PC平面MBD,又PC平面PCD,平面MBD平面PCD.9.证明(1)PD=a,DC=a,PC=2a,PC2=PD2+DC2,则PDDC.同理可证PDAD.又ADDC=D,且AD平面ABCD,DC平面ABCD,PD平面ABCD.(2)(方法1)由(1)知PD平面ABCD,又AC平面ABCD

12、,PDAC.四边形ABCD是正方形,ACBD.又BDPD=D,且PD平面PBD,BD平面PBD,AC平面PBD.又AC平面PAC,平面PAC平面PBD.(方法2)设AC与BD交于点O,连接PO(图略),易知POAC.四边形ABCD是正方形,ACBD.又POBD=O,PO平面PBD,BD平面PBD,AC平面PBD.又AC平面PAC,平面PAC平面PBD.10.BD解析:设平面平面=直线l,对于A,当平面平面时,在平面内作直线nl,则n,而m,则nm,故A错误;对于B,m,则ml,则平面内与l平行的所有直线都与直线m垂直,故B正确;对于C,因为直线m,则m与l重合时,即m,内的所有直线都与m共面,

13、故C错误;对于D,当m时,结论成立,当直线m与不垂直时,作与直线m垂直的平面,则必与相交,所得交线与m垂直,故D正确.故选BD.11.BC解析:设正方体的棱长为2,对于A,如图1所示,连接AC,则MNAC,图1故POC(或其补角)为异面直线OP,MN所成的角,在直角三角形OPC中,OC=2,CP=1,故tanPOC=12=22,则MNOP不成立,故A错误;图2对于B,如图2所示,取MT的中点为Q,连接PQ,OQ,则OQMT,PQMN.由正方体SBCN-MADT可得SM平面MADT,而OQ平面MADT,故SMOQ,而SNMN=N,故OQ平面SNTM.又MN平面SNTM,则OQMN,而OQPQ=Q

14、,所以MN平面OPQ,而OP平面OPQ,故MNOP,故B正确;对于C,如图3所示,连接BD,则BDMN,由B的判断可得OPBD,图3故OPMN,故C正确;对于D,如图4所示,取AD的中点Q,AB的中点K,连接AC,PQ,OQ,PK,OK,OA,则ACMN.图4因为DP=PC,DQ=QA,所以PQAC,故PQMN,所以QPO(或其补角)为异面直线OP,MN所成的角,因为PQ=12AC=2,OQ=AO2+AQ2=2+1=3,PO=PK2+OK2=4+1=5,所以OQ2PQ2+OP2,所以QPO不是直角,故OP与MN不垂直,故D不合题意.故选BC.12.A1C1B1C1(答案不唯一)解析:当底面A1

15、B1C1满足条件A1C1B1C1时,有AB1BC1.证明如下:AA1平面ABC,BC=CC1,四边形BCC1B1是正方形,BC1B1C.CC1AA1,A1C1CC1.又A1C1B1C1,CC1B1C1=C1,CC1,B1C1平面BCC1B1,A1C1平面BCC1B1.ACA1C1,AC平面BCC1B1.BC1平面BCC1B1,BC1AC.ACB1C=C,AC,B1C平面ACB1,BC1平面ACB1,当底面A1B1C1满足条件A1C1B1C1时,有AB1BC1.13.解析:假设AC与BD垂直,过点A作AEBD于点E,连接CE(图略).则AEBDBDACBD平面AEC,则BDCE,而在平面BCD中

16、,CE与BD不垂直,故假设不成立,不正确.假设ABCD,ABAD,AB平面ACD,ABAC,由ABBC可知,存在这样的直角三角形,使ABAC,故假设成立,正确.假设ADBC,CDBC,BC平面ACD,BCAC,即ABC为直角三角形,且AB为斜边,而ABBC,故矛盾,假设不成立,不正确.14.(1)证明如图,取AB中点O,连接CO.四边形ABCD为等腰梯形,ABCD,AD=DC=BC=12AB,四边形AOCD为菱形,CO=OA=OB=BC,OCB为正三角形,ACBC.正方形CDEF所在平面与平面ABCD垂直,且平面CDEF平面ABCD=CD,CDCF,FC平面ABCD,又AC平面ABCD,FCA

17、C.BCFC=C,AC平面BCF.AC平面ACE,平面ACE平面BCF.(2)解设BC=x,则AB=2x,由勾股定理得AC=3x,由(1)可知,ED平面ABCD,故VA-BCE=VE-ABC=13SABCED,SABC=12x3x=32x2,即36x3=433,解得x=2,即AB=4.15.C解析:设正方体的棱长为a,则由题意知,A1C1=AC=2a,A1B=2a,A1C=3a,当P为A1A的中点时,因为PA平面ABC,则PAC=PAB=90,ABC=90.由BC平面PAB,得BCPB,即PBC=90,则PAB,PAC,ABC,PBC是直角三角形,即此时P-ABC是鳖臑;当P为A1B的中点时,

18、因为BC平面ABB1A1,所以BCPB,BCAB,所以PBC,ABC为直角三角形.因为ABB1A1是正方形,所以APBP,则PAB是直角三角形,又APBC,BPBC=B,所以AP平面PBC,所以APPC,所以PAC是直角三角形,则此时P-ABC是鳖臑;当P为A1C的中点时,此时PA=PC=12A1C=3a2,又AC=2a,由勾股定理可知,PAC不是直角三角形,则此时P-ABC不是鳖臑.故选C.16.1527003解析:由已知得ABD,CBD均为等边三角形.设球心为O,设BCD的中心为O,取BD的中点F,连接AF,CF,OO,OB,OB,AO(图略),则AFBD,CFBD,AFCF=F,得BD平

19、面AFC,则AF=CF=53cm,而AC=15cm,所以AFC=120.在平面AFC中过点A作CF的垂线,与CF的延长线交于点E(图略),由BD平面AFC,得BDAE,故AE平面BCD.过点O作OGAE于点G(图略),则四边形OEGO是矩形,则OB=23BCsin60=1033(cm),OF=12OB=533(cm),AE=AFsin60=152(cm),即点A到平面BCD的距离为152cm,EF=AFsin30=532(cm).设球的半径为R,OO=xcm,则由OO2+OB2=OB2,OA2=AG2+GO2,得x2+1003=R2,532+5332+152-x2=R2,解得x=5,则R=1753cm,故三棱锥A-BCD外接球的表面积S=4R2=7003(cm2).