高考数学人教a版一轮复习第八章　立体几何与空间向量课时规范练38.docx

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1、课时规范练38基础巩固组1.(2023浙江宁波高三检测)已知向量a=(1,1,0),b=(-1,0,-2),且ka+b与2a-b互相垂直,则k的值是()A.1B.15C.35D.75答案:D解析:ka+b=k(1,1,0)+(-1,0,-2)=(k-1,k,-2),2a-b=2(1,1,0)-(-1,0,-2)=(3,2,2),因为ka+b与2a-b互相垂直,所以(k-1,k,-2)(3,2,2)=0,所以5k-7=0,所以k=75.2.已知a,b,c是空间的一个基底,则下列向量中能与a+b,a-b构成一个基底的是()A.aB.bC.cD.a+2b答案:C解析:因为a=12(a+b)+12(a

2、-b),b=12(a+b)-12(a-b),a+2b=32(a+b)-12(a-b),所以由共面向量定理可知a,b,a+2b均与a+b,a-b共面,不能构成一个基底,故A,B,D错误;由题意可知c与a,b不共面,则c与a+b,a-b不共面,故c与a+b,a-b能构成一个基底,故C正确.3.设A,B,C,D为空间中的四个点,则“AD=AB+AC”是“A,B,C,D四点共面”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件答案:A解析:由AD=AB+ACAD-AB=ACBD=AC,所以直线BD,AC重合或互相平行,因此A,B,C,D四点共面;当四边形ABCD是平行四边

3、形时,A,B,C,D四点共面,AD=AB+AC显然不成立.4.如图,在三棱锥P-ABC中,AP,AB,AC两两垂直,AP=2,AB=AC=1,M为PC的中点,则ACBM的值为()A.1B.13C.14D.12答案:D解析:由题意得BM=BA+AM=BA+12(AP+AC)=BA+12AP+12AC,故ACBM=ACBA+12AP+12AC=ACBA+AC12AP+AC12AC=12|AC|2=12.5.已知向量a=(3,-1,2),b=(-1,3,-2),c=(6,2,),若a,b,c三向量共面,则实数=()A.32B.2C.52D.3答案:B解析:a,b,c三向量共面,a,b不共线,存在实数

4、m,n,使c=ma+nb,即(6,2,)=(3m,-m,2m)+(-n,3n,-2n),3m-n=6,3n-m=2,2m-2n=,解得m=52,n=32,=2.6.(多选)已知a=(1,0,1),b=(-1,2,-3),c=(2,-4,6),则下列结论正确的是()A.abB.bcC.为钝角D.c在a方向上的投影向量为(4,0,4)答案:BD解析:因为1(-1)+02+1(-3)=-40,所以a,b不垂直,故A错误;因为c=-2b,所以bc,故B正确;因为ac=12+0(-4)+16=8,所以cos0,所以不是钝角,故C错误;c在a方向上的投影向量为|c|cosa|a|=ac|a|2a=82(1

5、,0,1)=(4,0,4),故D正确.故选BD.7.已知空间向量a,b,c满足a+b+c=0,|a|=1,|b|=2,|c|=7,则a与b的夹角为.答案:3解析:因为a+b+c=0,所以c=-a-b,所以c2=(-a-b)2=a2+2ab+b2.因为|a|=1,|b|=2,|c|=7,所以7=1+212cos+4,所以cos=12.因为0,所以=3.综合提升组8.(2023四川绵阳诊断)如图,在空间四边形OABC中,OA=OB=OC=2,AOC=BOC=2,AOB=3,点M,N分别在OA,BC上,且OM=2MA,BN=CN,则MN=()A.223B.463C.343D.213答案:A解析:OM

6、=2MA,BN=CN,MN=ON-OM=12(OB+OC)-23OA=-23OA+12OB+12OC.又OA=OB=OC=2,AOC=BOC=2,AOB=3,OAOC=0,OBOC=0,OAOB=|OA|OB|cos3=2.MN2=-23OA+12OB+12OC2=49OA2+14OB2+14OC2-23OAOB-23OAOC+12OBOC=49|OA|2+14|OB|2+14|OC|2-23OAOB=4922+1422+1422-232=229,|MN|=223.9.如图,在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,底面ABCD是边长为2的菱形,AA1=1,A1AB=A1AD=BAD=60,M

7、为A1C1与B1D1的交点,设AB=a,AD=b,AA1=c.(1)用a,b,c表示BM并求BM的长;(2)求点A到直线BM的距离.解:(1)BM=AM-AB=AA1+A1M-AB=AA1+12AC-AB=AA1+12(AB+AD)-AB=-12AB+12AD+AA1=-12a+12b+c.又|a|=|b|=2,|c|=1,=60,|BM|2=-12a+12b+c2=14a2+14b2+c2-12ab-ac+bc=144+144+1-1222cos 60-21cos 60+21cos 60=2,故BM的长为2.(2)由(1)知BM=-12a+12b+c,AB=a,ABBM=a-12a+12b+

8、c=-12a2+12ab+ac=-2+1+1=0,ABBM,则AB的长为点A到直线BM的距离.又AB=2,点A到直线BM的距离为2.创新应用组10.在四面体OABC中,棱OA,OB,OC两两垂直,且OA=1,OB=2,OC=3,G为ABC的重心,则OG(OA+OB+OC)=.答案:143解析:如图所示,连接AG并延长与BC相交于点D.G是ABC的重心,AG=23AD=2312(AB+AC)=13(OB+OC-2OA).又OG=OA+AG=OA+13(OB+OC-2OA)=13(OA+OB+OC),则OG(OA+OB+OC)=13(OA+OB+OC)(OA+OB+OC)=13(OA+OB+OC)2=13(|OA|2+|OB|2+|OC|2+2OAOB+2OAOC+2OBOC)=13(1+4+9)=143.