2022年中考数学最值和范围问题.pdf

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1、【中考命题猜想5】最值和范围问题【命题趋势】最值问题，在中考里，无论是解答题，还是选择、填空题，都是学生感觉有困难的地方，也恰是学生能力区分度最重要的地方。在各地中考种都以中高档题为主，中考说明中曾多处涉及。【满分技巧】1）在代数部分最值问题，多出现在函数部分，无论是一次函数还是二次函数，都需要先求自变量的取值范围，再求函数解析式，根据实际问题，求得最值。有关内容在前面的一次函数、二次函数中都有诸多体现。近几年，利用配方法求最值来解决一些实际问题，也常常见到。二次四屿三0 9公式法央谟法五二次方厘判15g式法元二次方咫s e方法利用一次西HfiMSWE住.g定2）在几何最值问题，几何背景下的最

2、值是考生感觉较难的，往往没有思路。常见的有：（1）几何图形中在特殊位置下的最值；（2）比较难的线段的最值问题，其依据是：两点之间，线段最短；垂线段最短，涉及的基本方法还有：利用轴对称变换、旋转变换化归到“三角形两边之和大于第三边”、“三角形两边之差小于第三边 等；借助于圆的知识；二次函数的最值法解决。3）几何最值问题中的基本模型举例【问 题 1 作法图形原理g-1R在 直 线/上求一点p使P A+P B值最小.连A B,与/交 点 即 为P.AB两点之间线段最短.P A+P B 最4W9 AB.【问 题 2“将军饮马”作法图形原理A.B-1在 直 线/上求一点P,使P A+P B值最小.作8关

3、于1的对称点B,连AB ,与 I交点即为P.A斗A，两点之间线段最短.P A+P B最小值为A B .【问 题 3】作法图形原理乙在直线1、12上分别求点M、N,使A PMN的周长最小.分别作点P关于两直线的对称点尸,和 尸建P与两直线交点即为M,N.两 点 之 间 线 段 最短.P M+M N+P N的最小值为线段P P 的长.【问 题 4】作法图形原理Z1/Z,，-h在直线八、12上分别求点M、N,使四边形PQMN的周长最小.分别作点Q、P关于直线、4的对称点。和 尸 夫QP,与两直线交点即为M,N.丸NP，两点之间线段最短.四边形PQMN周长的最小值为线 段 即 雌【问 题 5“造桥选址

4、”作法图形原理仆M_ 1_:NR直线加/n,在 相、n,将点A向下平移MN的长度单位得A,连A 3无于点N,班 作N M _ L m于M.两 点 之 间 线 段 最短.A M+M N+B N的最小值为A B+M M180上分别求点M、N,使MW1 m ,S A M+M N+B N 的值最小.【问 题 6作法图形原理AM a N在 直 线/上求两点MMM在左)，使MN a,并使A M+M N+N B的值最小.将点A向右平移a个长度单位得A,作4 关于/的对称点A避，交直线/于点N,将V点向左核。个单位得M.A Ar两 点 之 间 线 段 最短.A M+M N+B N的最小值为AE+MM【问 题

5、7)作法图形原理/.h在。上求点A,在上求点B,使%+AB值最小.作 点P关 于。的对称点P，作眩1，2于庆 交办于A.p;2Ah乂3-/2点 到 直 线，垂 线 段 最短.P A+AB的最小值为线段 出 的长.【问 题 8】作法图形原理之M RA为。上一定点B为4上一定点，在 上求点M,在。上 求 点N,使A M+M N+N B的值最小.作 点A关 于，2的对称点A,作 点8关于人的对称点8,连A夕交6于M,交/于N.B/,h*两 点 之 间 线 段 最短.A M+M N+N B的最小值为线段4 B1的长.【问 题 9)作法图形原理4.B-1在 直 线/上求一点P,使|f i 4尸 的值最小

6、.连4 B,作AB的中垂线与直线/的交点即为P.泮垂直平分上的点到线段两端点的距离相等.|R4 pq=0.【问 题 10作法图形原理勺B-1作直线A B,与直线/的交点即为P.A-1三角形任意两边之差小于第三边.|由 P AB.181在 直 线/上求一点P,使P A PB的值最大.P A PB的最大值=48.【问题111作法图形原理R在 直 线/上求一点P,使P A PB的值最大.作5关于/的对称点 作直线A B,与/交点即为P.AR三角形任意两边之差小于第三边.P A P B ASy I-1 一期 MfSJS 大三方声本W 百 0 一3.三角形面积有关的最值问题：关键是确定动点到定直线的最小

7、距离，有函数法、也有几何法；4.四边形面积有关的最值问题：特殊四边形用公式，普通四边形转化成三角形球面积（铅 垂 法）；结合二次函数;5.函数法求最值问题:国 数二次 西 怨?鼻值公式法夹源法元二次方程判J 5.式法一先二次方程酉己方法iSX.回&西敝法利用一次由经埴血性,确至最值一、胡不归问题：问题特点已知定点A、B,要求找一点P,使aPA+PB的值最小（0 且存1）。点P 在定直线（或射线、线段）上运动时，一般为胡不归问题；点P 在定圆（或圆弧）上运动时，一般为阿氏圆问题。2处理方法核心：构造出新的线段，使其和PA共用端点P 且等于a P A,胡不归问题从而变成点到直线最短距离问题,阿氏圆

8、问题就变成了两点之间最短距离问题。胡不归问题(点P 在定直线上运动)构造方法：向直线PA外侧(假定定点B 所在的一侧为内侧)，以 A 为顶点、PA为边，作角a,使 sina=a,再过P 作角a 的另一边的垂线段，即为所求。1、构造特殊角直角三角形，当系数。=去 坐 或 坐 时，相应的就作a=30。、45。或 60。2、若系数不为上述特殊值，则构造sin a=a的一般直角三角形，可利用相似。注意：一般地，系数a 满 足 0。1 时直接构造；系数。1 时需要先提取系数，如 PA+2PB=2(|PA+P B),33PA+4PB=4 Q P A+P B)。例1.如图，在平面直角坐标系中，直线y=；x+

9、2 与x 轴交于点4与夕轴交于点C.抛物线y=ar2+bx3+c 的对称轴是x=一,且经过/、C 两点，与 x 轴的另一交点为点以 求 二 次 函 数 卜=加+加+。的表达式；(2)点 尸 为 线 段 上 的 动 点，求/P+2 尸 C 的最小值；(3)抛 物 线 上 是 否 存 在 点 过 点/作 垂 直 x 轴于点N,使得以点4 M,N 为顶点的三角形与 NBC相似？若存在，求出点”的坐标；若不存在，请说明理由.【答案】抛物线表达式为：y=-；*2_1x+2；(2)AP+2P C 的最小值是 2/3+4；存在M(0,2)或(-3,2)或(2,-3)或(5,-18),使得以点/、M.N 为顶

10、点的三角形与AABC相似.【解析】【分析】(1)先求的直线y=；x+2 与 x 轴，y 轴交点的坐标，然后利用抛物线的对称性可求得点2 的坐标；设抛物线的解析式为y=a(x+4)(x-l),然后将点C 的坐标代入即可求得。的值，从而得抛物线的表达式;3(2)如 图1,作N Q 4 E=3 0。，交v轴于E,过点尸作他 于 ，当C,P,，三点共线时，AP+2P C的值最小，根据直角三角形含3 0度角的性质可得C 4的长，从而可得结论；(3)首先可证明A/1 8 C是直角三角形，且有4 C=2 5 C,然后分三种情况讨论即可：当M点与C点重合，即 也(0,2)时，AMANS A B A C；根据抛

11、物线的对称性，当M(-3,2)时，MA N A B C,当点例在第四象限时，解题时，需要注意相似三角形的对应关系.(1)y=x+2 r f.当 x=0 时，y=2,当尸。时，x=-4,：.C(0,2),A(-4,0),3由抛物线的对称性可知：点/与点8关于x =-三对称,2.点8的坐标为(1,0).抛物线产“F+bx+c过 力(-4,0),5 (I,0),可设抛物线表达式为尸。(x+4)(x-1),又抛物线过点C (0,2),2=-4a,C l =，2,抛物线表达式为：y=x2-x +2如图 1,作/OZ E=3 0。,:.PH=-AP,2V AP +2P C=2(A P+P C=2(P H

12、+P C),当C,P,H三点共线时，4 5+2。的值最小,4ZAPH=ZOPC,ZCOP=ZAHP=90,：.ZOCP=ZOAE=30,R M O E 中,J 0=4,0日=半=逑G 3RSCHE 中,E H=g c E =；2 +:.CH=-JiEH=y/3+2.AP+2PC 的最小值是 2CH=2(7 3 +2)=+4 ;(3)：A(-4,0),8 (I,0),C (0,2),：.AC=y/+42=2,B C =l2+22=/5,A B =4+l=5,：.AC-+BC-=AB2,：.ZACB=90,AC=2BC,点4 M,为顶点的三角形与Z 8 C相似存在以下3种情况:如图2,当M点与C点

13、重合,如图3,根据抛物线的对称性，当M G 3,2）时，4M A N sA B C；5 如 图4,1 9 3,MN=-n2+-n-ZA N =n+4.2 2当 空=2时，AN=2MN,即 1 2+3 -2 =2(+4),MN 2 2整 理 得：/+2-8=0,解 得：/=4（舍），山=2,:,M(2,-3)；当 义 工 二 时，MN=2AN,即MN 21 、3/+一九 一 2=2(+4),2 2整理得：序-20=0,解 得：尸-4（舍），肛=5,：.M(5,-1 8).综上所述：存 在“（0,2）或（-3,2）或（2,-3）或（5,.18）,使得以点力、M.N为顶点的三角形与M B C相似.【

14、点 睛】本题主要考查的是二次函数与相似三角形的综合应用，还考查了轴对称-最短路径问题，难度较大，解答本题需要同学们熟练掌握二次函数和相似三角形的相关性质.6例2.如果有一条直线经过三角形的某个顶点，将三角形分成两个三角形，其中一个三角形与原三角形相似，则称该直线为三角形的“自 相 似 分 割 线 如 图 1,在M B C 中，AB=AC=1,ZBAC=108,OE垂直平分A B,且交8。于点D,连接/D(1)证明直线力。是A/3C 的自相似分割线；(2)如图2,点 P 为 直 线 上 一 点，当点P 运动到什么位置时，现+PC的值最小？求此时为+P C 的长度.(3)如图3,射线CF平分4 4

15、c8,点。为射线CF上一点，当4。+或二1。取最小值时，求/Q I C 的正弦4值.【答案】(I)直 线 是 /8 C 的自相似分割线；(2)当点尸运动到。点时，以+PC 的值最小，此时PA+PC=T1；2(3)N Q(C的正弦值 为 国 14【解析】【分析】(1)根 据 定 义 证 明 即 可 得 证；(2)根据垂直平分线的性质可得/%+PC=P 8+P C N 3 C,当点P 与。重合时，P A+P C =P B+P C =BC,此时24+PC 最小，设B=x,则8C=x+l根据SBAS AA B C,列出方程，解方程求解即可求得8 0,进而即可求得8 c 的长，即PA+PC 最小值；(3

16、)过点A 作AHLBC 丁点”，过点。作QG_LBC 丁点G,连接A G,设C F与AD交丁点M,根据已知条件求得GQ=避 二!BC当点夕与。重合时，2 4+尸。=朋+。=8。,此时抬+。最小,/ZADC=ZB+ZBAD=72,ZDAC=ZBAC-ABAD=72.ZADC=ZDAC.CD=CA=l设 5=x,则 3C=x+lG B A 4 ABe.BD ABA B B Cx 1二.一=-1 x+1/.X2+X-1=08解得：x=二-2vx 0 X-1 +A/.人一_2BC=x+l=-2PA+PC=-2当点P运动到。点时，以+产。的值最小，此时PA+PC=S W；2(3)如图，过点A作A H,8

17、 c于点“，过点。作。G_L8C于点G,连接A G,设C尸与AO交于点M，/AB=AC,:.CH=-BC=-2 4山（2）知，DC=AC=1 CF 平分 ZAC8：.CM A.ADDM=AM=-AD=-2 4.sin/MCI）=也=也=叵11CQ CD 4AQ+-C Q =AQ+GQ AG4：AG AH.Q点落在AG上时，点G与点H重合，即此时A Q+n C Q的值最小，最小值为A”9/.Z Q A C =Z H A C-AB=AC,A H BC.r w_ l r_V5+l2 4sin Z Q A C=sin Z H A C =A C 4 /0/C 的正弦值 为 与 1【点睛】本题考查了相似三

18、角形的性质与判定，求角的正弦，垂直平分线的性质，两点之间线段最短，垂线段最短，胡不归问题，转化线段是解题的关键.二、阿氏圆问题：问题特点已知定点A、B,要求找一点P,使 aPA+PB的值最小（a 0 且 存 1）。点 P 在定直线（或射线、线段）上运动时，一般为胡不归问题；点 P 在 定 圆（或圆弧）上运动时，一般为阿氏圆问题。处 理 方 法核心：构造出新的线段，使其和PA共用端点P 且等于a P A,胡不归问题从而变成点到直线最短距离问题,阿氏圆问题就变成了两点之间最短距离问题。“二、阿氏圆 问 题（点P在定圆上运动）/构造方法：一般构造“子母”型相似三角形，借助相似比转化aPA。Z _ 基

19、本步骤：，战二I确定动点轨迹圆及其圆心；将带系数的线段的两个端点（一定点、一动点）和圆心相连；以连接的这两条线段为框架构造“子母”型 相 似（该“子母”型相似以圆心为公共顶点），构造的新定点必在定线段上，这里在构造相似前要做一个简单的判断，要看相似比（半径和定线段之比）是否等于系数，不行则要提取系数进行调整；根据构造的新线段转化带系数的线段。注意：一般来说，阿氏圆问题对。的取值范围没有特殊要求（。#1），但在某些时候（相似比也就是半径和定线段之比，不等于系数），也需要提取系数；一般来说，则构造的新定点在定线段上；1,则构造的新定点在定线段延长线上。例3.如 图 1，在 RTUB C 中,Z A

20、CB=9O,CB=4,C A=6,圆 C 的半径为2,点 P 为圆上一动点，连接 4P,B P,求：图110 A P +-BP,2 2 A P+B P,g A P+B P,AP+3BP的最小值.【答案】后；2百；2用.【解析】【分析】在CB上 取 点 使 CO=1,连接C P、D P、AD.根据作图结合题意易证 D C P#C B,即可得出PD=；BP,从而推出AP+g8P=A P+P D,说明当/、P、。三点共线时，”+PD最小，最小值即为AD长.最后在放 AC。中，利用勾股定理求出/。的长即可；由2AP+BP=2(AP+；B P),即可求出结果；21在。匕取点区使CE=,连接CRER3及根

21、据作图结合题意易证AECP PC4,即可得他 族=耳 4 从而推 出:AP+B P=E P+B P,说明当8、尸、E三点共线时，EP+3P最小，最小值即为BE长.最后在放VBCE中，利用勾股定理求出8E的长即可；由AP+38P=3(gAP+8P),即可求出结果.【详解】解：如图，在 C8上取点。，使C=1,连接CP、D P、AD.：C D =1,CP=2,CB=4,.C D CP 又:N D C P =NPCB,11:.ADCP”PCB,：.AP+-BP=AP+PD,2.当N、P、。三点共线时，”+P D最小,最小值即为AO长.在WAACO中，A D =j A C 2+C 2 =后+1 2 =

22、历.二A P+：B P的最小值 为 屈 :,:2AP+B P =2(A P +；BP),/.2 A P+8 P的最小值为2、用=2后；2如图，在。上取点 使C E =,连接C P、EP、BE.V CE=-f C P =2,C 4 =6,3.CE CPC P-C 4-3 ,又,：4ECP=/PCA,:,AECP“PCA,.EP 1.AP 3即E P=：A P,：.-A P +BPEP+BP,3二肖8、P、E三点共线时，E P+B P最小，最小值即为B E长.在 R f VB C E 中BE=y/BC2+CE2=J?+(|尸=.LA P+B P的最小值为雪：12V AP+3 BP 3(-AP +B

23、P),：.AP+33P的最小值为3x双 豆=2历.3【点本题考查圆的基本性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理.正确的作出辅助线，并且理解三点共线时线段最短是解答本题的关键.例4 如图，R fBC,N A C B=9 0。,A C=B C=2,以 C为顶点的正方形CAE尸(C、。、E、尸四个顶点按逆时针方向排列)可以绕点C 自由转动，且 8=0,连接NR BD(1)求证：4 B D C 与4 A F C(2)当正方形CDEE有 顶 点 在 线 段 上 时，直 接 写 出 巫工。的值；2(3)直接写出正方形C0E尸旋转过程中，8D+也/。的最小值.2【答案】见 解 析；0 +1或亚+石:(3)7

24、5【解析】【分析】(1)利用&4S,即可证明人008；(2)分两种情况当点力，E 在 边 上 时 和 当 点 E,尸 在 边 上 时，讨论即可求解；(3)取/C 的 中 点 连 接。M,BM.I|I|JCM=1,可证得 O CA/s/v/c。，可得/),从而得到2当 8,。，M 共线时，80+也 4。的值最小，即可求解.2【详解】(1)证明：I 四边形C D E F是正方形,:.CF=CD,N D C F=N A C B=9 0：.Z A C F=Z D C B,13:AC=CB,.FCA妾/DCB(SA S)；(2)解：如图2 中，当点。，E 在 4 6 边上时,:AC=BC=2,ZACB=

25、90o,：.AB=A C=272,sin 459：CD LAB,：.AD=BD=ACxsin45=近，.8。+走 4。=正+也 x及=正+2 2如图3 中，当点,尸在边4 8 上时.dBD?+AB?=V10，;.BD+AD=y/2+xslw=y/2+y/5,2 2综上所述，3 0+立力。的值0+1或&+6;214(3)如图4中.取/C的中点例.连接。M,BM.)CM=,图4：CD=2,CM=,CA=2,：.CD2=CM*CA,.CD CMCACD：ZDCM=ZACD,：.XDCMs 丛ACD,.DM _ CD _y/2-7 c -V/y：.D M AD,2BD+AD=BD+DM,2.当5,D,

26、M共线时，以开变月。的值最小，2最小值 BM=yjc+CM2=V5-【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，正方形的性质，锐角三角函数，熟练掌握相关知识点是解题的关键.三、瓜豆原理：15瓜豆原理：若两动点到某定点的距离比是定值，夹角是定角，则两动点的运动路径相同。瓜豆原理是主从联动轨迹问题。主动点叫做瓜，从动点叫做豆，瓜在直线上运动，豆的运动轨迹也是直线。瓜在圆周上运动，豆的运动轨迹也是圆。关键是作出从动点的运动轨迹，根据主动点的特殊位置点，作出从动点的特殊点，从而连成轨迹。其实初中阶段如遇求轨迹长度仅有2种类型：“直线型 和“圆弧型（两种类型中还会涉及点往返探究

27、“往返型”），对于两大类型该如何断定，通常老师会让学生画图寻找3处以上的点来确定轨迹类型进而求出答案，对于填空选择题而言不外乎是个好方法，但如果要进行说理很多考生难以解释清楚。瓜 豆 原 理：一个主 动 点，一个从 动 点（根据某种约束条件，跟着主动点动），当主动点运动时，从动点的轨迹相同.只 要 满 足：1.两“动”，一“定”；2.两动点与定点的连线夹角是定角 _ _ _ _ _ _ _N !则两动点的运动轨迹是相似的，运动轨迹3.两动点到定点的距离比值是定值。/!长度的比和它们到定点的距离比相同。、一【类型一】点在直线上运动：线段+直线模型：如图，P是直线8 c上一动点，连接/尸，取Z P

28、中点。，当点尸在8 c上运动时，0点轨迹是什么？【结论】当P点轨迹是直线时，。点轨迹也是一条直线。【分析】可以这样理解：分别过“、。向8 c作垂线，垂足分别为A/、N,在运动过程中，因为所以。N始终为Z 的一半，即。点到8 c的距离是定值，故0点轨迹是一条直线。16A【类型二】点在直线上运动：角+直线模型：如图，/尸 0 是等腰直角三角形，NPAQ=90。且4P=4 Q,当点P 在直线8 C 上运动时，。点轨迹是什么？【结论】当“尸与4。夹角固定且4PMQ为定值的话，尸、。轨迹是同一种图形。【分析】当确定轨迹是线段的时候，可以任取两个时刻的。点的位置，连线即可，比如。点的起始位置和终点位置，连

29、接即得0 点轨迹线段。【模型总结】必要条件：主动点、从动点与定点连线的夹角是 定 值（/刈 0 是定值）；主动点、从动点到定点的距离之比是定值（4P:4Q是定值）。【结论】P、。两点轨迹所在直线的夹角等于/孙。（当/孙 匿 90。时，等于与8 C 夹角）PBC17P、。两点轨迹长度之比等于4P:4Q(由 A B C sA A M N,可得4P:4Q=BC:MN)例5.在平面直角坐标系中，A(a,0)、B(b,0),且 a,b 满足/-6 0 +9+区+3|=0,C、。两点分别是y 轴正半轴、x 轴负半轴上的两个动点;图1图2(1)如 图 1,若 C(0,4),求/8 C 的面积；(2)如图 1

30、,若 C(0,4),BC=5,B D=A E,且N C B 4=N C D E,求。点的坐标；(3)如图2,若4 8/=6 0。，以 CD为边，在 CD的 右 侧 作 等 边 连 接 O E,当 OE最短时，求 4 E两点之间的距离.3【答案】(1)Z8C的面积为12；(2)。点的坐标为(-2,0)；(3)A,两点之间的距离为Q【解析】【分析】(1)利用完全平方式和绝对值的性质求出“，b,然后确定/、8 两点坐标，从而利用三角形面积公式求解即可；(2)根据题意判断出 C8。丝D 4 ,从而得到C8=4),然后利用勾股定理求出CB,及可求出结论；(3)首先根据“双等边”模型推出AOCBgAECA

31、,得到NDBC=NE4C=120。，进一步推出A E B C,从而确定随着。点的运动，点 E 在过点/且平行于8 c 的直线产。上运动，再根据点到直线的最短距离为垂线段的长度，确定OE最短时，各点的位置关系，最后根据含30。角的直角三角形的性质求解即可.【详解】18解：(1)V a2-6a+)+h+3=0,：.(-3)2+|f e +3|=0,a 3=0由 非 负 性 可 知,3 =。解得:a=3b=-3：.A(3,0),B(-3,0),Afi=3-(-3)=6,v C(0,4),：.OC=4,Z.S A“A 8.=L 6X4=12；A A O C 22(2)由 知 4(3,0),8(3,0)

32、,:.OA=OB,:OC.LAB,：.ZAOC=ZBOC=90。,在AOC 和 5 0 0 3OA=OB ZAOC=ZBOCoc=oc：./AOC/BOC(SAS),.ZCBO=ZCAO,:ZCDA=ZCDE+ZADE=/BCD+/CBA,ZCBA=NCDE,ZADE=ZBCD,在5CQ和&WE中，/BCD=/ADE ZCBD=ZDAEBD=AE：.ABCDADE(AAS),:.CB=ADtV B(-3,0),C(0,4),19：.0B=3,OC=4,：BC=yJOB2+OC2=5,AD=BC=5f ,A(3,0),0(-2,0)；(3)由(2)可知。5=C4/ZCBA=601:集4BC为等边

33、三角形,ZBCA=60f ZDC=120,S E为等边三角形，：.CD=CEt NDCE=60。,:/DCE=/DCB+NBCE,NBCA=NBCE+NECA,:NDCB=/ECA,在ZJX节和中，CD=CE=2xAE2+AD2=DE2即：x2+42=(2x)2解得：x=g 石DE=*g3,/ZAEF=90.ZAED=6022，ZFED=30:.ZFED=ZFDE,EF=DF又：FM LBDJ EM=DM，DE=2EM=2x立EF=43EF2：.-y/3=y/3EF3EF=-3（2）连接ZC,延长4?交8 c于点,M,则有AMLBC,点，的运动轨迹是以点8为圆心，8”为半径的圆，因为点C为固定点，点N为C”的中点，所以点N的运动轨迹是以点Af为圆心，MW为半径的圆，如卜图：此时：在AAMN在，AM+MNWAN当A.M、N三点共线时，AN最大则：在WA/W C中，CM=，AC=22,?AM2=AC2-CM2-AM2=12AM=2百又点是8 c的中点，N是C”的中点1 1,MN=BH=BE=62 2 3Z.AN=2 K+2 g =B g3 3【点睛】本题看考查勾股定理，等腰三角形性质.瓜豆模型等相关知识点，根据题意列出相关等量关系是解题重点.2391