第二章2.4.2　圆的一般方程.docx

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1、 第二章2.4圆的方程2.4.2圆的一般方程【素养导引】回顾确定圆的几何要素,在平面直角坐标系中,探索并掌握圆的一般方程.(数学运算、逻辑推理)一、圆的一般方程方程x2+y2+Dx+Ey+F=0(1)条件:D2+E2-4F0;(2)概念:方程叫做圆的一般方程.(3)特别地:当D2+E2-4F=0时,方程表示点(-D2,-E2);当D2+E2-4F0时,方程不表示任何图形.诊断辨析记忆(对的打“”,错的打“”).(1)方程x2+y2-x+1=0表示圆.()提示:因为(-1)2-40,所以表示圆.二、点与圆的位置关系点P(x0,y0)与圆x2+y2+Dx+Ey+F=0(1)点P在圆上:x02+y0

2、2+Dx0+Ey0+F=0;(2)点P在圆内:x02+y02+Dx0+Ey0+F0.诊断1.(教材改编题)圆x2+y2-4x+6y+3=0的圆心坐标是()A.(2,3)B.(-2,3)C.(2,-3)D.(-2,-3)【解析】选C.因为D=-4,E=6,所以-D2=2,-E2=-3,所以圆心坐标为(2,-3).2.(教材改编题)已知m是实数,若方程x2+y2+2x+4y+m=0表示的曲线是圆,则m的取值范围为()A.(-,20)B.(-,5)C.(5,+)D.(20,+)【解析】选B.由于方程x2+y2+2x+4y+m=0表示的曲线为圆,则22+42-4m0,解得m0,解得a3-2a,即有a2

3、3-2a,整理可得a2+2a-30,即(a+3)(a-1)0,计算可得a1,又a32,可得a-3或1a0时表示圆;(2)由圆的一般方程,关注三个方面,一是圆心(-D2,-E2),二是半径D2+E2-4F2,三是表示圆的条件D2+E2-4F0.【即学即练】若a-3,-2,-1,0,23,1,则方程x2+y2+2ax+ay+2a2+a-1=0能表示的不同圆的个数为()A.1B.2C.3D.4【解析】选B.由(2a)2+a2-4(2a2+a-1)=-3a2-4a+40,即3a2+4a-40,解得-2a23,故a=-1,0表示不同的圆.学习任务三与圆有关的轨迹问题(数学运算)【典例3】已知P,Q为圆x

4、2+y2=4上的动点,A(2,0),B(1,1)为定点,(1)求线段AP中点M的轨迹方程;(2)若PBQ=90,求线段PQ中点N的轨迹方程.【解析】(1)设AP中点为M(x,y),由中点坐标公式可知,P点坐标为(2x-2,2y).因为P点在圆x2+y2=4上,所以(2x-2)2+(2y)2=4.故线段AP中点M的轨迹方程为(x-1)2+y2=1.(2)设PQ的中点为N(x,y),在RtPBQ中,|PN|=|BN|,设O为坐标原点,连接ON,则ONPQ,所以|OP|2=|ON|2+|PN|2=|ON|2+|BN|2,所以x2+y2+(x-1)2+(y-1)2=4.故PQ中点N的轨迹方程为x2+y

5、2-x-y-1=0.【思维提升】求解与圆有关的轨迹的三种方法(1)直接法:直接根据题目提供的条件,把要求动点的坐标代入,整理得出方程.(2)定义法:观察要求的动点是否与某一定点的距离是一个常数,即判断要求的轨迹是否为圆,如果是则直接写出方程;(3)代入法:找到要求点与已知点的关系,代入已知点满足的关系式,得到要求点的坐标的关系式,整理得所求的轨迹方程.提醒:检查求出的轨迹上有无不符合题意的点,有则在方程中注明.【即学即练】设定点M(-3,4),动点N在圆x2+y2=4上运动,以OM,ON为两边作平行四边形MONP,求点P的轨迹.【解析】方法一:(定义法)|MP|=|ON|=2,所以动点P在以M

6、为圆心,半径为2的圆上.又因为四边形MONP为平行四边形,所以O,M,P不共线.当点P在直线OM上时有x=-95,y=125或x=-215,y=285.因此所求轨迹为圆(x+3)2+(y-4)2=4,除去点(-95,125)和点(-215,285).方法二:(代入法)如图所示,设P(x,y),N(x0,y0),则线段OP的中点坐标为(x2,y2),线段MN的中点坐标为(x0-32,y0+42).由于平行四边形的对角线互相平分,故x2=x0-32,y2=y0+42,从而x0=x+3,y0=y-4,又点N(x+3,y-4)在圆上,故(x+3)2+(y-4)2=4.当点P在直线OM上时,有x=-95

7、,y=125或x=-215,y=285.因此所求轨迹为圆(x+3)2+(y-4)2=4,除去点(-95,125)和点(-215,285).【教材拓展】圆的直径式方程圆的直径为AB,其中A(x1,y1),B(x2,y2),则圆的方程为(x-x1)(x-x2)+(y-y1)(y-y2)=0.【典例】以A(-3,-1),B(5,5)两点为直径端点的圆的方程是()A.(x-1)2+(y+2)2=100B.(x+1)2+(y+2)2=25C.(x-1)2+(y-2)2=100D.(x-1)2+(y-2)2=25【解析】选D.圆的方程为(x+3)(x-5)+(y+1)(y-5)=0,所以x2-2x-15+y2-4y-5=0,即(x-1)2+(y-2)2=25. - 7 -