第二章2.2.3　直线的一般式方程.docx

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1、 第二章2.2直线的方程2.2.3直线的一般式方程【素养导引】1.了解直线的一般式方程的形式特征,理解直线的一般式方程与二元一次方程的关系.(数学抽象)2.能正确地进行直线的一般式方程与特殊形式的方程的转化.(数学运算)3.能用直线的一般式方程解决有关问题.(逻辑推理)直线的一般式方程关于x,y的二元一次方程都表示一条直线,把关于x,y的二元一次方程Ax+By+C=0(其中A,B不同时为0)叫做直线的一般式方程,简称一般式.【批注】直线的一般式方程的结构特征(1)方程是关于x,y的二元一次方程.(2)方程中等号的左侧自左向右一般按x,y,常数的顺序排列.(3)x的系数一般不为分数和负数.(4)

2、虽然直线的一般式方程有三个参数,但是只需两个独立的条件即可求得直线的方程.诊断1.辨析记忆(对的打“”,错的打“”).(1)直线的一般式方程可以表示平面内任意一条直线.()(2)任何一条直线的一般式方程都能与其他四种形式互化.()(3)当B=0,A0时,方程Ax+By+C=0表示的直线与y轴平行.()提示:(1).(2).当直线与坐标轴平行或重合时,不能转化为截距式或斜截式.(3).当C=0时,直线与y轴重合.2.(教材改编题)直线2x+y-3=0的斜率k=()A.2B.-2C.12D.-12【解析】选B.直线方程化为斜截式为y=-2x+3,所以斜率k=-2.3.(教材改编题)直线x2-y3=

3、1的一般式方程是_.【解析】由x2-y3=1得3x-2y-6=0.答案:3x-2y-6=0学习任务一求直线的一般式方程(数学运算)【典例1】根据下列各条件写出直线的方程,并化成一般式.(1)斜率是3,且经过点A(5,-3);(2)斜率为3,在y轴上的截距为-2;(3)经过A(-1,5),B(2,-1)两点;(4)在x,y轴上的截距分别是-3,2.【解析】(1)由点斜式方程得y+3=3(x-5),即3x-y-3-53=0.(2)由斜截式方程得y=3x-2,即3x-y-2=0.(3)由两点式方程得y515=x(1)2(1),即2x+y-3=0.(4)由截距式方程得x3+y2=1,即2x-3y+6=

4、0.求直线的一般式方程的关注点(1)常用方法:先根据给定条件选用特殊形式求方程,然后转化为一般式.(2)特别提醒:在利用直线方程的特殊形式时,一定要注意其适用的前提条件.根据下列各条件写出直线的方程,并化成一般式.(1)斜率是-12,经过点A(-3,2);(2)经过点B(4,2),平行于x轴;(3)在x轴和y轴上的截距分别是32,-3;(4)经过两点P1(3,-2),P2(5,-4).【解析】(1)由点斜式得y-2=-12(x+3),即x+2y-1=0.(2)由斜截式得y=2,即y-2=0.(3)由截距式得x32+y3=1,即2x-y-3=0.(4)由两点式得y(2)4(2)=x353,即x+

5、y-1=0.学习任务二直线的一般式方程的简单应用(数学运算、直观想象)【典例2】(1)已知直线l的一般式方程为2x+3y+12=0,则直线l的斜率为_,在y轴上的截距为_.【解析】将直线l的方程化为斜截式,得y=-23x-4,所以直线l的斜率为-23,在y轴上的截距为-4.答案:-23-4(2)已知ab0,bc0,则直线ax+by-c=0通过第_象限.【解析】直线ax+by=c,即y=-abx+cb,因为ab0,bc0,直线在y轴上的截距cb0.故直线过第一、三、四象限.答案:一、三、四直线方程的一般式与斜截式、截距式的互化一般式Ax+By+C=0(A,B不同时为0)斜截式y=-ABx-CB(

6、B0)截距式xCA+yCB=1(A,B,C0)下列直线中,斜率为-43,且不经过第一象限的是()A.3x+4y+7=0B.4x+3y+7=0C.4x+3y-42=0D.3x+4y-42=0【解析】选B.将一般式化为斜截式,斜率为-43的有B,C两项.又y=-43x+14过点(0,14),即直线过第一象限,所以只有B项符合题意.学习任务三用一般式方程解决两直线平行或垂直问题(逻辑推理、数学运算)角度1求直线方程【典例3】过点(-1,3),且与直线l:3x+4y-12=0平行的直线方程为_.【解析】方法一:l的方程可化为y=-34x+3,所以l的斜率为-34,所求直线与直线l平行,所以其斜率为-3

7、4.又过点(-1,3),由点斜式可得方程为y-3=-34(x+1),即3x+4y-9=0.方法二:可设所求直线的方程为3x+4y+m=0(m-12).将(-1,3)代入上式得m=-9.所以所求直线的方程为3x+4y-9=0.答案:3x+4y-9=0过点(-1,3),且与直线l:3x+4y-12=0垂直的直线方程为_.【解析】可设所求直线的方程为4x-3y+n=0.将(-1,3)代入上式得n=13.所以所求直线的方程为4x-3y+13=0.答案:4x-3y+13=0角度2求参数【典例4】已知直线l1:x+my+6=0,直线l2:(m-2)x+3y+2m=0.求m的值,使得l1和l2:(1)l1l

8、2;(2)l1l2.【解析】(1)由13-m(m-2)=0得,m=-1或m=3.当m=-1时,l1:x-y+6=0,l2:3x-3y+2=0,两直线显然不重合,即l1l2.当m=3时,l1:x+3y+6=0,l2:x+3y+6=0,两直线重合.故l1l2时,m的值为-1.(2)由1(m-2)+3m=0得m=12,故l1l2时,m的值为12.1.与直线Ax+By+C=0平行、垂直的直线方程的设法(1)与直线Ax+By+C=0平行的直线方程可设为Ax+By+m=0(mC),(2)与直线Ax+By+C=0垂直的直线方程可设为Bx-Ay+m=0.2.一般式下两直线平行、垂直的充要条件直线l1:A1x+

9、B1y+C1=0,直线l2:A2x+B2y+C2=0,(1)若l1l2A1B2-A2B1=0且B1C2-B2C10(或A1C2-A2C10).(2)若l1l2A1A2+B1B2=0.1.经过点(2,-4),且与直线3x-4y+5=0平行的直线方程为_.【解析】设与直线3x-4y+5=0平行的直线的方程为3x-4y+c=0(c5),将点(2,-4)代入得6+16+c=0,所以c=-22.故所求直线的一般式为3x-4y-22=0.答案:3x-4y-22=02.当直线l1:(a+2)x+(1-a)y-1=0与直线l2:(a-1)x+(2a+3)y+2=0互相垂直时,a=_.【解析】由题意知直线l1l2,所以(a+2)(a-1)+(1-a)(2a+3)=0,解得a=1,将a=1代入方程,均满足题意.故当a=1或a=-1时,l1l2.答案:1 - 6 -