《数学归纳法》第一课时教学设计中学学案_-中学学案.pdf

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1、学习好资料 欢迎下载 人教 A版高中数学选修 2-2 数学归纳法(第一课时)教学设计 一、教学内容分析 本节教材选自人教 A版数学选修 22 第二章“推理与证明”第 3 节第一节课。数学归纳法是一种特殊的直接证明的方法，在证明一些与正整数 n（n 取无限多个值）有关的数学命题时，数学归纳法往往是非常有用的研究工具，它通过有限个步骤的推理，证明 n 取无限多个正整数的情形。本节主要借助具体实例，通过类比探究，引导学生对数学归纳法产生过程进行探究与分析，从而达到理解它的基本原理，掌握它的基本步骤的目的，再运用它证明一些简单与正整数有关的命题。本节内容是在学生学习了合情推理与演绎推理、直接证明与间接

2、证明的基础上学习的，在推理方式上带给学生一种全新的认识，对培养学生的创新意识和推理能力具有重要的意义。二、学生学习情况分析 任教的学生在年段属中上程度，学生学习兴趣较高，但学习数学所具备的推理能力相对不足和不够完整，在学习数学归纳法这种全新的推理方法方面有一定困难。三、设计思想 建构主义学习理论认为，建构就是认知结构的组建，其过程一般是引导学生从身边的、生活中的实际问题出发，发现问题，思考如何解决问题，进而联系所学的旧知识，首先明确问题的实质，然后总结出新知识的有关概念和规律，形成知识点，把知识点按照逻辑线索和内在联系，串成知识线，再由若干条知识线形成知识面，最后由知识面按照其内容、性质、作用

3、、因果等关系组成综合的知识体。也就是以学生为主体，强调学生对知识的主动探索、主动发现以及学生对所学知识意义的主动建构。基于以上理论，本节课遵循引导发现，循序渐进的思路，采用问题探究式教学，运用多媒体，投影仪辅助，倡导“自主、合作、探究”的学习方式。四、教学目标 知识与技能目标：1了解归纳法的含义，能区分完全归纳法和不完全归纳法，理解数学归纳法的原理和实质。2掌握数学归纳法证明命题的两个步骤，会用数学归纳法证明简单的与正整数有关的命题 过程与方法目标：1经历观察、分析、抽象、概括出数学归纳法的两个步骤。2 经历数学归纳法解题步骤的获得和用“数学归纳法”证明公式和简单恒等式的过程。学习好资料 欢迎

4、下载 3通过本课学习，强化类比法，理解数学归纳法是属于完全归纳法，但“两步”缺一不可，学会用它证题时“一凑假设,二凑结论”的思维方法。情感、态度与价值观：通过数学归纳法的学习初步形成严谨务实的学习态度和严谨的数学思维品质，创设课堂愉悦情境，使学生处于积极思考、大胆质疑氛围，提高学生学习数学的兴趣和课堂效率,学习科学家探索的精神。五、教学重点与难点 重点：借助具体实例对数学归纳法产生过程进行分析，掌握它的基本步骤，运用它证明一些简单与正整数有关的命题 难点：数学归纳法中递推思想的理解，不易根据归纳假设作出证明。六、教学基本流程：创设情景（课前准备、引入实例）授新设疑（自主探索形成概念理解概念能识

5、别框图）质疑问难、论争辩难（进一步加深对概念的理解突破难点）沟通发展（反馈练习归纳小结）布置作业。七、教学过程设计（一）设计情境、引入新课 情境 1(“笑一笑”引例)：明朝刘元卿编的应谐录中有一个笑话：财主的儿子学写字这则笑话中财主的儿子从“一就是一横，二就是二横，三就是三横”得出“四就是四横、五就是五横”的结论，用的是什么推理方法?这个结论对吗？(多媒体幻灯片演示)设计意图：为了复习归纳推理的概念 生：归纳推理：由特殊到一般的推理，是数学发现的重要方法；得到的结论不一定正确。情境 2(多媒体幻灯片演示)：今天我要检查你们昨天是否完成作业,就抽了一个组的作业来,一个个检查,发现都完成,然后得到

6、:全班同学都完成了作业.这个结论正确吗?但如果我将全班同学的作业都收上来,一个个检查,发现都完成,然后得到:全班同学都完成了作业.这个结论正确吗?设计意图：为了引出归纳法、完全归纳法、不完全归纳法的概念 生：这个结论不一定正确；这个结论正确.选修第二章推理与证明第节第一节课数学归纳法是一种特殊的直接证明的方法在证明一些与正整数取无限多个值有关的数学命题时数学归纳法往往是非常有用的研究工具它通过有限个步骤的推理证明取无限多个正整数的情形本节主的基本步骤的目的再运用它证明一些简单与正整数有关的命题本节内容是在学生学习了合情推理与演绎推理直接证明与间接证明的基础上学习的在推理方式上带给学生一种全新的

7、认对培养学生的创新意和推理能力具有重要的意义二完整在学习数学归纳法这种全新的推理方法方面有一定困难三设计思想建构主义学习理论认为建构就是认知结构的组建其过程一般是引导学生从身边的生活中的实际问题出发发现问题思考如何解决问题进而联系所学的旧知首先明确学习好资料 欢迎下载 师：对于某类事物，由它的一些特殊事例或其全部可能情况，归纳出一般结论的推理方法，叫归纳法。其中由个别(不是全部)事例，归纳出一般结论的推理方法，叫不完全归纳法。由全部可能情况，归纳出一般结论的推理方法，叫完全归纳法。并引导得出：不完全归纳法-结论不可靠，完全归纳法-结论可靠。（二）数学归纳法的探求过程 情境 3(多媒体幻灯片演示

8、)：例 1:已知等差数列na,首项是1a，公差是 d,师：试归纳猜想它的通项公式，你能用什么方法证明？设计意图：巧妙设计提出问题的问题情境，激发学生的探究欲望 生：11213214310,2,3,aad aad aadad aadad ,猜想：1(1)naand ，证明方法暂时没有。师：当证明 n 取所有的正整数这个公式都成立时，可一一验证吗?为什么？生：不能！因为有无穷多项。师：那怎么办？是否存在一种方法：通过有限步的推理，证明 n 取所有正整数这个通项公式成立？设计意图：“提出一个问题比解决一个问题更重要”，要培养学生提出问题的能力，在平时教学中，就要非常重视提出问题的教学。对提出问题的情

9、境设计，一要围绕教学内容承上启下的需要（如上述为了概括出数学归纳法的原理），二是让学生体会在探究中遇到困难时怎样提出问题，提出怎样的问题？如上述遇到“当证明 n 取所有的正整数这个公式都成立而不能一一验证”时，就会比较自然地提出“是否存在一种方法：通过有限步的推理，证明 n 取所有正整数这个通项公式成立？”这个问题或其它问题。情境 4(多媒体幻灯片演示)：看一看,想一想，通过类比探索一种新的证法：观看“多米诺骨牌游戏”投影，你受到什么启发？你能通过类比获得一种新的证法吗？设计意图：把学生置于急于解决未知问题氛围中，激发学生产生探究的欲望和动机，让学生调动各种感官探究未知解决问题。下列教学过程中

10、学生在教师创设的情境下，自己动手操作、动脑思考、动口表达，探索未知领域，寻找客观真理，成为发现者，要让学生自始至终地参与这一探索过程，使学生深刻体会数学知识的发生、发展过程，使学生能够从中发现问题、提出问题，经历数学的发现和创造过程。师：能使多米诺骨牌会全部倒下的条件是什么？学生通过热烈的思考、讨论 生：能使多米诺骨牌会全部倒下的两个条件(1)第一张牌被推倒；(2)任意相邻的两块骨牌，前一块牌倒下,必导致后一块牌倒下 下结论：多米诺骨牌会全部倒下 师：比一比：类比多米诺骨牌过程,你能得到证明例 1 的方法吗?引导学生通过类比，从下表左边的内容得出右边相应的内容：选修第二章推理与证明第节第一节课

11、数学归纳法是一种特殊的直接证明的方法在证明一些与正整数取无限多个值有关的数学命题时数学归纳法往往是非常有用的研究工具它通过有限个步骤的推理证明取无限多个正整数的情形本节主的基本步骤的目的再运用它证明一些简单与正整数有关的命题本节内容是在学生学习了合情推理与演绎推理直接证明与间接证明的基础上学习的在推理方式上带给学生一种全新的认对培养学生的创新意和推理能力具有重要的意义二完整在学习数学归纳法这种全新的推理方法方面有一定困难三设计思想建构主义学习理论认为建构就是认知结构的组建其过程一般是引导学生从身边的生活中的实际问题出发发现问题思考如何解决问题进而联系所学的旧知首先明确学习好资料 欢迎下载 能使

12、任意 n（nN*）块多米诺骨牌全部倒下的两个条件：能 使 等 差 数 列 的 通 项 公 式 an=a1+(n1)d 对任何nN*都成立的两个条件：(1)第一块牌被推倒；(1)当n1 时，等式成立；(2)第 k 块骨牌倒下,必导致第 k+1块牌倒下(2)假设当nk时等式成立,则可推出当 nk1 时等式也成立 结论：根据(1)、(2)得任意n（nN*）块多米诺骨牌会全部倒下 结论：根据(1)、(2)得等差数列的通项公式 an=a1+(n1)d 对任何nN*都成立 设计意图：类比是合情推理的重要方法，具有猜测和发现结论、探索和提供证明的思路和方向的作用。设计这组类比，目的是为了巩固类比推理，强化学

13、生的创新意识。师：由上表右边得到一种“两步一结论”的新证法。你能用语言归纳出这种证法的具体步骤吗？生：回答上述问题。师：引导归纳：对某些与正整数n数有关的数学命题,我们常采用下面的方法来证明它们的正确性：(1）证明当 n 取第一个值0n(0nN*例如0n=1 或20n)时,命题成立；（2）假设当 n=k(k N*,k 0n)时命题成立，证明当 n=k+1时命题也成立.在完成了这两个步骤以后,就可以断定命题对于从0n开始的所有正整数 n 都成立，这种证法就是数学归纳法。师：大家讨论一下，为什么完成了这两个步骤就证明了对所有的自然数都成立？为什么用“有限”的两步能解决“无限”问题？生：证明了第一步

14、,就获得了递推的基础,证明了第二步,就获得了推理的依据.如第一步证明了 n=1 命题成立，根据第二步，n=2 也成立，又根据第二步，n=3 也成立，以此类推，n 等于任意正整数都成立。师：证明时这两个步骤缺一不可？对数学归纳法每步你怎么理解？学生思考、讨论。然后归纳出：缺了第 1 步，就没有了推理的基础（相当于“第一张牌未被推倒”）；缺了第 2 步，就丧失了推理的依据（相当于“任意相邻的两块骨牌，前一块牌倒下,未必会导致后一块骨牌倒下”），整个推理过程就不能顺利完成。师：0n一定等于 1 吗?生：0n不一定等于 1，取第一个值（如3n 时的第一个值是 3）；师：让我们一起用数学归纳法证明例 1

15、 学生动起手来，老师对照数学归纳法的步骤进行点评，及时纠正出现的错误。选修第二章推理与证明第节第一节课数学归纳法是一种特殊的直接证明的方法在证明一些与正整数取无限多个值有关的数学命题时数学归纳法往往是非常有用的研究工具它通过有限个步骤的推理证明取无限多个正整数的情形本节主的基本步骤的目的再运用它证明一些简单与正整数有关的命题本节内容是在学生学习了合情推理与演绎推理直接证明与间接证明的基础上学习的在推理方式上带给学生一种全新的认对培养学生的创新意和推理能力具有重要的意义二完整在学习数学归纳法这种全新的推理方法方面有一定困难三设计思想建构主义学习理论认为建构就是认知结构的组建其过程一般是引导学生从

16、身边的生活中的实际问题出发发现问题思考如何解决问题进而联系所学的旧知首先明确学习好资料 欢迎下载（三）数学归纳法的运用 1、试一试，练一练（多媒体幻灯片演示）：用数学归纳法证明：(1)首项是 a1，公比是 q 的等比数列an 的通项公式是11()nnaa qnN;(2)2135(21).nn 设计意图：设计这组练习，目的是为了巩固数学归纳法的运用。先让学生练习，再让二名学生上来板书。评讲后对第（2）题的答案提问。(2)证明：当 n=1 时，左边=1，右边=1，等式成立。假设 n=k(k N,k 1)时等式成立,即：2135(21).nn 当 n=k+1 时，22135(21)2(1)121(1

17、).kkkkk 所以当 n=k+1 时等式也成立。由和可知，对nN，原等式都成立。师（变一变）：第步中“当 n=k+1 时”的证明可否改换为：设计意图：对“变一变”中采用变式教学，有利于培养学生思维的广阔性与深刻性，下同。生：可以吧！师：证明中有没有用到“假设 n=k 命题成立”这个结论？生：没有！师：不用到行吗？这样算不算数学归纳法？学生经过激烈的讨论，第二步证明不用到假设结论不算数学归纳法。相当于多米诺骨牌游戏中，任意相邻的两块骨牌，后一块牌倒下,不是前一块牌倒下作用的结果 师：用数学归纳法证明命题“都是偶数对任意nNn5,”时第一步成立吗？，第二步可证明吗？试试看！学生马上动手，很快，有

18、学生回答：第一步 n=1 时，命题不成立，但第二步可证明。师：没有第一块骨牌倒下这个基础，怎么会导致其他骨牌的倒下呢？说明我们用数学归纳法证明命题时要注意说明什么？分组归纳一下！学生分组讨论，教师引导、板书，学生终于归纳出：(1)在第 2 步由 n=k 成立向 n=k+1 成立过渡的过程中，必须使用归纳假设，否则就不叫用数学归纳法证题，即当 n=k 时命题成立,可以作为条件加以运用,而 n=k+1时的情况则有待利用命题的已知条件,公理,定理,定义加以证明.21 35(21)2(1)11 35(21)(21)(1)1(21)(1)?2kkkkkkk 为什么？(没利用假设）选修第二章推理与证明第节

19、第一节课数学归纳法是一种特殊的直接证明的方法在证明一些与正整数取无限多个值有关的数学命题时数学归纳法往往是非常有用的研究工具它通过有限个步骤的推理证明取无限多个正整数的情形本节主的基本步骤的目的再运用它证明一些简单与正整数有关的命题本节内容是在学生学习了合情推理与演绎推理直接证明与间接证明的基础上学习的在推理方式上带给学生一种全新的认对培养学生的创新意和推理能力具有重要的意义二完整在学习数学归纳法这种全新的推理方法方面有一定困难三设计思想建构主义学习理论认为建构就是认知结构的组建其过程一般是引导学生从身边的生活中的实际问题出发发现问题思考如何解决问题进而联系所学的旧知首先明确学习好资料 欢迎下

20、载(2)证明了第一步,就获得了递推的基础,但仅靠这一步还不能说明结论的正确性.在这一步中,只需验证命题结论成立的最小的正整数就可以了,没有必要验证命题对几个正整数成立.(3)证明了第二步,就获得了推理的依据.仅有第二步而没有第一步,则失去了递推的基础;而只有第一步而没有第二步,就可能得出不正确的结论,因为单靠第一步,我们无法递推下去,所以我们无法判断命题对2,100 nn,是否正确.完成一,二步后,最后对命题下一个总的结论.2、练一练，评一评，师生互动：用数学归纳法证明：（1）（2）3n5()n nN能够被 6 整除 设计意图：设计这组练习，目的是为了巩固与深化数学归纳法的运用。板演(1)(2

21、)，时间紧可采用分组练习，用多媒体平台投影学生解答，教师及时点评，抓住学生板演中“美丽的错误”加深对原理的理解，最后再次强调数学归纳法略显“刻板”的证题步骤及注意事项：（1）明确首取值n0并验证真假。（必不可少）（2）“假设nk时命题正确”并写出命题形式。分析“1nk 时”命题是什么，并找出与“nk”时命题形式的差别。弄清左端应增加的项。在证明递推步骤时，必须使用归纳假设，必须进行恒等变形，明确等式左端变形目标，掌握恒等式变形常用的方法：乘法公式、因式分解、添拆项、配方等。（四）设计总结，课外伸延 对课堂小结，我是这样设计的：1、数学归纳法是一种完全归纳法，关键是“一凑假设,二凑结论”它适用于

22、与正整数 n 有关的命题。2、两步一判须记牢，递推基础不可少，归纳假设要用到，结论写明莫忘掉 3、本节课用数学归纳法证明了几种不同的题型？（注：公式、恒等式、整除性），请你课后收集资料，看看数学归纳法还能证明哪些不同的题型？由此你得到数学归纳法有哪些方面的应用？先由学生口头总结，然后教师归纳总结（由多媒体幻灯片展示）：设计意图：对一节课结尾的问题设计，可通过巧设悬念或课外活动让他们去调查实践，一起收集整理数据资料，培养学生的集体意识及协作能力，从而使书本知识在课外得以延伸。学生 通过运用自己所学的知识去处理课外一些数学实践问题，真正感受“生活中处处有数学，数学中处处有生活”的道理，培养学生的数

23、学应用意识，激发学生去探索、创新。2222n(n+1)(2n+1)1+2+3+n=6选修第二章推理与证明第节第一节课数学归纳法是一种特殊的直接证明的方法在证明一些与正整数取无限多个值有关的数学命题时数学归纳法往往是非常有用的研究工具它通过有限个步骤的推理证明取无限多个正整数的情形本节主的基本步骤的目的再运用它证明一些简单与正整数有关的命题本节内容是在学生学习了合情推理与演绎推理直接证明与间接证明的基础上学习的在推理方式上带给学生一种全新的认对培养学生的创新意和推理能力具有重要的意义二完整在学习数学归纳法这种全新的推理方法方面有一定困难三设计思想建构主义学习理论认为建构就是认知结构的组建其过程一

24、般是引导学生从身边的生活中的实际问题出发发现问题思考如何解决问题进而联系所学的旧知首先明确学习好资料 欢迎下载 八、教学反思 1、“问题是数学的心脏”。问题之中有情境，情境之中有问题，其核心是问题。数学学习的实质就是解决数学问题。新教材很注意创设情景，从具体实例出发，展现数学知识的发生发展过程，教师应注意用好教材，同时结合教学内容和学生的实际，精心组织和创设问题情境，激发学生的探究欲望，向学生提供充分从事数学活动的机会，强调引导学生主动参与、亲身实践、独立思考、合作探究，使学生能够从中发现问题、提出问题，经历数学知识的发现和创造过程，了解知识的来龙去脉。只有这样，才能更好地培养学生的创新意识和

25、能力。2、本节课设计了笑一笑、看一看、想一想、比一比、试一试、变一变、练一练、评一评等环节，能从易到难，由浅入深地强化对数学归纳法的认识，特别是对“变一变”中采用变式教学，有利于培养学生思维的广阔性与深刻性，加深对数学归纳法的理解。3、本节课的设计还注重了多媒体辅助教学的有效作用，在新课引入，数学归纳法探求以及运用等过程中，都有效地使用了多媒体 选修第二章推理与证明第节第一节课数学归纳法是一种特殊的直接证明的方法在证明一些与正整数取无限多个值有关的数学命题时数学归纳法往往是非常有用的研究工具它通过有限个步骤的推理证明取无限多个正整数的情形本节主的基本步骤的目的再运用它证明一些简单与正整数有关的命题本节内容是在学生学习了合情推理与演绎推理直接证明与间接证明的基础上学习的在推理方式上带给学生一种全新的认对培养学生的创新意和推理能力具有重要的意义二完整在学习数学归纳法这种全新的推理方法方面有一定困难三设计思想建构主义学习理论认为建构就是认知结构的组建其过程一般是引导学生从身边的生活中的实际问题出发发现问题思考如何解决问题进而联系所学的旧知首先明确