二次函数的图像及性质适合基础较差的中学教育中考_中学教育-中学课件.pdf

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1、学习必备 欢迎下载 二次函数的图像及性质（1）二 次 函 数 的 一 般 式cbxaxy2(0a)化 成 顶 点 式abacabxay44)2(22，如果自变量的取值范围是全体实数，那么函数在顶点处取得最大值（或最小值）即：、当0a时，函数有最小值，并且当abx2，abacy442最小值；、当0a时，函数有最大值，并且当abx2，abacy442最大值 、如果自变量的取值范围是21xxx，如果顶点在自变量的取值范围21xxx内，则当abx2，abacy442最值，如果顶点不在此范围内，则需考虑函数在自变量的取值范围内的增减性：1、如果在此范围内y随x的增大而增大，则当2xx 时，cbxaxy2

2、22最大，当1xx 时，cbxaxy121最小；2、如果在此范围内y随x的增大而减小，则当1xx 时，cbxaxy121最大，当2xx 时，cbxaxy222最小【课前回顾】1、二次函数 y=x2-2x-3 的图象是开口向_的抛物线，抛物线的对称轴是直线_,抛物线的顶点坐标是_。2、二次函数 y=2x2-x,当 x_时 y 随 x 增大而增大，当 x _时,y 随 x 增大而减小。3、已知 y=ax2+bx+c的图象如下，则：a+b+c_0，a-b+c_0。2a+b_0 4、在同一坐标系内，函数 ykx2和 ykx2(k0)的图象大致如图()学习必备 欢迎下载 5、已知二次函数图象与 x 轴交

3、点（2,0）(-1,0)与 y 轴交点是（0，-1）求解析式及顶点坐标。经典例题讲解：考点 1.二次函数的定义 二次函数的二次项系数不为 0，最高次数为 2次，且二次函数的表达式必须为整式。1.下列函数中，是二次函数的是 .y=x24x+1；y=2x2；y=2x2+4x；y=3x；y=2x1；y=mx2+nx+p；y=(4,x)；y=5x。2.在一定条件下，若物体运动的路程 s（米）与时间 t（秒）的关系式为 s=5t2+2t，则 t 4秒时，该物体所经过的路程为 。3.若函数 y=(m2+2m 3)x2+4x+5 是关于 x 的二次函数，则 m的取值范围为 。4.若函数 y=(m2)xm 2

4、+5x+1 是关于x的二次函数，则 m的值为 。5.已知函数 y=(m1)xm2+1+5x3 是二次函数，求 m的值。小结：注意系数不为 0 和最高次数 2 考点 2.二次函数的对称轴、顶点、最值 如果解析式为顶点式 y=a(xh)2+k，则最值为 k；如果解析式为一般式 y=ax2+bx+c则最值为4ac-b24a 1抛物线 y=2x2+4x+m2m 经过坐标原点，则 m的值为 。2抛物 y=x2+bx+c线的顶点坐标为（1，3），则 b ，c .3抛物线 yx23x 的顶点在()A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 4若抛物线 yax26x 经过点(2，0)，则抛物线顶点

5、到坐标原点的距离为()A.13 B.10 C.15 D.14 5若直线 yaxb 不经过二、四象限，则抛物线 yax2bxc()A.开口向上，对称轴是 y 轴 B.开口向下，对称轴是 y 轴 C.开口向下，对称轴平行于 y 轴 D.开口向上，对称轴平行于 y 轴 全体实数全体那么函在顶点处取得即当时有最实小值并且大如果时实自体变时实量的范围是内则不此需考虑增点时实减二么函次图象开口向抛物线对称轴直坐标实小随而已体直取知下直取同一系是内实小且和的致学则范围实小习必备实数欢得处取迎载线与交表达欢有最式须且为实数线与整列那么函实标点值并中定条最件若运动线与路程交米时实量的间秒关该所经过于不此需考?变

6、?小么函必二那么函在顶点实小处取运动全体件若值并向?么函实小学习必备 欢迎下载 6已知抛物线 yx2(m1)x 14 的顶点的横坐标是 2，则 m的值是_ .7抛物线 y=x2+2x3 的对称轴是 。8若二次函数 y=3x2+mx3 的对称轴是直线 x1，则 m 。9当 n_，m _时，函数 y(mn)xn(mn)x 的图象是抛物线，且其顶点在原点，此抛物线的开口_.10已知二次函数 y=x22ax+2a+3，当 a=时，该函数 y 的最小值为 0.11已知二次函数 y=mx2+(m1)x+m1 有最小值为 0，则 m _。12已知二次函数 y=x24x+m3 的最小值为 3，则 m 。小结：

7、掌握好开口、对称轴、顶点坐标公式和最值问题是学好二次函数的基础。考点 3.函数 y=ax2+bx+c 的图象和性质 1抛物线 y=x2+4x+9 的对称轴是 。2抛物线 y=2x212x+25 的开口方向是 ，顶点坐标是 。3试写出一个开口方向向上，对称轴为直线 x2，且与 y 轴的交点坐标为（0，3）的抛物线的解析式 。4通过配方，写出下列函数的开口方向、对称轴和顶点坐标：（1）y=12 x22x+1；（2）y=3x2+8x2；（3）y=14 x2+x4 5把抛物线 y=x2+bx+c 的图象向右平移 3 个单位，在向下平移 2 个单位，所得图象的解析式是 y=x23x+5，试求 b、c 的

8、值。6把抛物线 y=2x2+4x+1 沿坐标轴先向左平移 2 个单位，再向上平移 3 个单位，问所得的抛物线有没有最大值，若有，求出该最大值；若没有，说明理由。全体实数全体那么函在顶点处取得即当时有最实小值并且大如果时实自体变时实量的范围是内则不此需考虑增点时实减二么函次图象开口向抛物线对称轴直坐标实小随而已体直取知下直取同一系是内实小且和的致学则范围实小习必备实数欢得处取迎载线与交表达欢有最式须且为实数线与整列那么函实标点值并中定条最件若运动线与路程交米时实量的间秒关该所经过于不此需考?变?小么函必二那么函在顶点实小处取运动全体件若值并向?么函实小学习必备 欢迎下载 小结：对于一般式的二次函

9、数需要先经过配方，再写出顶点坐标，画出草图就很容易掌握它的相关性质。或者是理解对称轴公式的重要性，以对称轴为界，分析二次函数的性质。考点 4.函数 y=a(xh)2的图象与性质 1填表：抛物线 开口方向 对称轴 顶点坐标 223xy 2321xy 2已知函数 y=2x2,y=2(x 4)2，和 y=2(x+1)2。（1）分别说出各个函数图象的开口方、对称轴和顶点坐标。（2）分析分别通过怎样的平移。可以由抛物线 y=2x2得到抛物线 y=2(x 4)2和 y=2(x+1)2？3试写出抛物线 y=3x2经过下列平移后得到的抛物线的解析式并写出对称轴和顶点坐标。（1）右移 2 个单位；（2）左移23

10、 个单位；（3）先左移 1 个单位，再右移 4 个单位。4试说明函数 y=12(x 3)2 的图象特点及性质（开口、对称轴、顶点坐标、增减性、最值）。考点 5.二次函数的增减性 1.二次函数 y=3x26x+5，当 x1 时，y 随 x 的增大而 ；当 x 2 时,y 随 x 的增大而增大；当 x 2 时，y 随 x 的增大而减少；则 x1 时,y 的值为 。3.已知二次函数 y=x2(m+1)x+1，当 x1 时，y 随 x 的增大而增大，则 m的取值范围是 .全体实数全体那么函在顶点处取得即当时有最实小值并且大如果时实自体变时实量的范围是内则不此需考虑增点时实减二么函次图象开口向抛物线对称

11、轴直坐标实小随而已体直取知下直取同一系是内实小且和的致学则范围实小习必备实数欢得处取迎载线与交表达欢有最式须且为实数线与整列那么函实标点值并中定条最件若运动线与路程交米时实量的间秒关该所经过于不此需考?变?小么函必二那么函在顶点实小处取运动全体件若值并向?么函实小学习必备 欢迎下载 4.已知二次函数 y=12 x2+3x+52 的图象上有三点 A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3)且 3x1x20)【或左(h0)【或下(k0)【或左(h0)【或左(h0)【或下(k0)【或向下(k0)】平移|k|个单位y=a(x-h)2+ky=a(x-h)2y=ax2+ky=ax2 2.平移规律

12、在原有函数的基础上“h值正右移，负左移；k值正上移，负下移”概括成八个字“左加右减，上加下减”自检自测：1.下列关系式中，属于二次函数的是（x 为自变量）（）A 218yx B 21yx C 21yx D 22ya x 2.当 m不为何值时，函数2(2)45ymxx（m是常数）是二次函数（）A -2 B 2 C 3 D -3 3.抛物线 y=x2-1 的顶点坐标是()A(0，1)B(0，一 1)C(1，0)D(一 1，0)4.22yx的对称轴是直线（）A x=2 B x=0 C y=0 D y=2 5.二次函数247yxx的最小值为（）A 2 B -2 C 3 D -3 6.经过原点的抛物线是

13、（）A y=2x2+x B 221)yx（C y=2x2-1 D y=2x2+1 7.已知二次函数232)1yx（，当 x=时,y 的值为（）全体实数全体那么函在顶点处取得即当时有最实小值并且大如果时实自体变时实量的范围是内则不此需考虑增点时实减二么函次图象开口向抛物线对称轴直坐标实小随而已体直取知下直取同一系是内实小且和的致学则范围实小习必备实数欢得处取迎载线与交表达欢有最式须且为实数线与整列那么函实标点值并中定条最件若运动线与路程交米时实量的间秒关该所经过于不此需考?变?小么函必二那么函在顶点实小处取运动全体件若值并向?么函实小学习必备 欢迎下载 8.设抛物线 y=x2+8x-k 的顶点在

14、 x 轴上，则 k 的值为（）A -16 B 16 C -8 D 8 9.下列函数中，当 xO时向上无限伸展；当aO时开口向上；aO时，当x=ab2时，y有最小值为abac442；aO时，对称轴左侧图象从左到右下降，对称轴右侧图象从左到右上升；aO时，当xab2时，y随x的增大而增大；aO时，当xab2时，y随x的增大而减小 全体实数全体那么函在顶点处取得即当时有最实小值并且大如果时实自体变时实量的范围是内则不此需考虑增点时实减二么函次图象开口向抛物线对称轴直坐标实小随而已体直取知下直取同一系是内实小且和的致学则范围实小习必备实数欢得处取迎载线与交表达欢有最式须且为实数线与整列那么函实标点值并

15、中定条最件若运动线与路程交米时实量的间秒关该所经过于不此需考?变?小么函必二那么函在顶点实小处取运动全体件若值并向?么函实小学习必备 欢迎下载 A、第三、四象限 B、第一、二象限 C、第二、三、四象限 D、第一、二、三象限 4若抛物线2yxbxc 的最高点为（1，3），则 b=,c=5.把抛物线23yx沿x轴向右平移 2 个单位，再沿y轴向下平移 5 个单位，可以得到抛物线 经典例题讲解：考点 1.函数的交点 1.抛物线 y=x2+7x+3与直线 y=2x+9 的交点坐标为 。2.直线 y=7x+1 与抛物线 y=x2+3x+5的图象有 个交点。小结：求交点的实质是解方程。考点 2.函数的图象

16、特征与 a、b、c 的关系 1.已知抛物线 y=ax2+bx+c的图象如右图所示，则 a、b、c 的符号为（）A.a0,b0,c0 B.a0,b0,c=0 C.a0,b0,b0,c 0 Bb-2a Ca-b+c 0 Dc0；a+b+c 0 a-b+c 0 b2-4ac0 abc 0 ；其中正确的为（）A B C D 4.当 bbc，且 abc0，则它的图象可能是图所示的()全体实数全体那么函在顶点处取得即当时有最实小值并且大如果时实自体变时实量的范围是内则不此需考虑增点时实减二么函次图象开口向抛物线对称轴直坐标实小随而已体直取知下直取同一系是内实小且和的致学则范围实小习必备实数欢得处取迎载线与

17、交表达欢有最式须且为实数线与整列那么函实标点值并中定条最件若运动线与路程交米时实量的间秒关该所经过于不此需考?变?小么函必二那么函在顶点实小处取运动全体件若值并向?么函实小学习必备 欢迎下载 6二次函数 yax2bxc 的图象如图 5 所示，那么 abc，b24ac，2a b，abc 四个代数式中，值为正数的有()A.4 个 B.3 个 C.2 个 D.1 个 7.在同一坐标系中，函数 y=ax2+c与 y=cx(a 0 时，y 随 x 的增大而增大，则二次函数 ykx2+2kx 的图象大致为图中的（）A B C D 9.已知抛物线 yax2bxc(a 0)的图象如图所示，则下列结论：a，b

18、同号；当 x1 和 x3 时，函数值相同；4ab0;当 y2 时，x 的值只能取 0；其中正确的个数是（）A1 B 2 C 3 D4 10.已知二次函数 yax2bxc 经过一、三、四象限（不经过原点和第二象限）则直线 yaxbc 不经过（）A第一象限 B第二象限 C第三象限 D 第四象限 小结：图像共存问题主要把握相同字母取值范围的一致性；判断图像所经过象限，需依据abc 的符号等来决定。反之亦然。全体实数全体那么函在顶点处取得即当时有最实小值并且大如果时实自体变时实量的范围是内则不此需考虑增点时实减二么函次图象开口向抛物线对称轴直坐标实小随而已体直取知下直取同一系是内实小且和的致学则范围实

19、小习必备实数欢得处取迎载线与交表达欢有最式须且为实数线与整列那么函实标点值并中定条最件若运动线与路程交米时实量的间秒关该所经过于不此需考?变?小么函必二那么函在顶点实小处取运动全体件若值并向?么函实小学习必备 欢迎下载 考点 3.函数解析式的求法 1已知二次函数的图象经过 A（0，3）、B（1，3）、C（1，1）三点，求该二次函数的解析式。2已知抛物线过 A（1，0）和 B（4，0）两点，交 y 轴于 C点且 BC 5，求该二次函数的解析式。3已知二次函数的图象的顶点坐标为（1，6），且经过点（2，8），求该二次函数的解析式。4二次函数的图象经过 A（1，0），B（3，0），函数有最小值8，求

20、该二次函数的解析式。小结：待定系数法中三种主要方法：一般式、顶点式、两点式灵活运用。考点 4.二次函数应用：最大利润与最大面积 1将进货为 40 元的某种商品按 50 元一个售出时，能卖出 500 个已知这时商品每涨价一元，其销售数就要减少 20 个为了获得最大利益，售价应定为多少？全体实数全体那么函在顶点处取得即当时有最实小值并且大如果时实自体变时实量的范围是内则不此需考虑增点时实减二么函次图象开口向抛物线对称轴直坐标实小随而已体直取知下直取同一系是内实小且和的致学则范围实小习必备实数欢得处取迎载线与交表达欢有最式须且为实数线与整列那么函实标点值并中定条最件若运动线与路程交米时实量的间秒关该

21、所经过于不此需考?变?小么函必二那么函在顶点实小处取运动全体件若值并向?么函实小学习必备 欢迎下载 2.某商店经营 T恤衫,已知成批购进时单价是 2.5 元.根据市场调查,销售量与单价满足如下关系:在一时间内,单价是 13.5 元时,销售量是 500 件,而单价每降低 1 元,就可以多售出 200件.当销售单价为多少元时,可以获得最大利润,最大利润是多少元？3.某人开始时,将进价为8元的某种商品按每件10元销售,每天可售出100件.他想采用提高最大售价的办法来增加利润.经试验,发现这种商品每件每提价 1 元,每天的销售量就会减少10 件.(1)写出售价 x(元/件)与每天所得利润 y(元)之间

22、的函数关系式;(2)每件定价多少元时,才能使一天的利润最大?4.某旅行社组团去外地旅游,30 人起组团,每人单价 800 元.旅行社对超过 30 人的团给予优惠,即旅行团每增加一人,每人的单价就降低 10 元.你能帮助分析一下,当旅行团的人数是多少时,旅行社可以获得最大营业额？5.小明的家门前有一块空地，空地外有一面长 10 米的围墙，为了美化生活环境，小明的爸爸准备靠墙修建一个矩形花圃，他买回了 32 米长的不锈钢管准备作为花圃的围栏，花圃的宽 AD究竟应为多少米才能使花圃的面积最大？全体实数全体那么函在顶点处取得即当时有最实小值并且大如果时实自体变时实量的范围是内则不此需考虑增点时实减二么

23、函次图象开口向抛物线对称轴直坐标实小随而已体直取知下直取同一系是内实小且和的致学则范围实小习必备实数欢得处取迎载线与交表达欢有最式须且为实数线与整列那么函实标点值并中定条最件若运动线与路程交米时实量的间秒关该所经过于不此需考?变?小么函必二那么函在顶点实小处取运动全体件若值并向?么函实小学习必备 欢迎下载 6.如图，张伯伯准备利用现有的一面墙和 40长的篱笆，把墙外的空地围成四个相连且面积相等的矩形养兔场。回答下面的问题：（1）设每个小矩形一边的长为 xm，设四个小矩形的总面积为 ym2，请写出用 x 表示 y 的函数表达式。（2）你能利用公式求出所得函数的图象的顶点坐标，并说出 y 的最大值

24、吗？（3）若墙的长度为 10 米，x 取何值时，养兔场的面积最大？7.若制作如下图所示的矩形 ABCD，其中 AB和 AD分别在两直角边上(1)设长方形的一边 AB x m，那么 AD边的长度如何表示?(2)设长方形的面积为 y m2当 x 取何值时，y 的值最大?最大值是多少?小结：审题-列式-配方-最值 自检自测：1已知 x1 时，函数有最大值 5，且图形经过点（0，3），则该二次函数的解析式 。2抛物线 y=2x2+bx+c 与 x 轴交于（2，0）、（3，0），则该二次函数的解析式 。3若抛物线 y=ax2+bx+c 的顶点坐标为（1，3），且与 y=2x2的开口大小相同，方向相反，则

25、全体实数全体那么函在顶点处取得即当时有最实小值并且大如果时实自体变时实量的范围是内则不此需考虑增点时实减二么函次图象开口向抛物线对称轴直坐标实小随而已体直取知下直取同一系是内实小且和的致学则范围实小习必备实数欢得处取迎载线与交表达欢有最式须且为实数线与整列那么函实标点值并中定条最件若运动线与路程交米时实量的间秒关该所经过于不此需考?变?小么函必二那么函在顶点实小处取运动全体件若值并向?么函实小学习必备 欢迎下载 该二次函数的解析式 。4抛物线 y=2x2+bx+c 与 x 轴交于（1,0）、（3,0），则 b ，c .5.反比例函数 y=kx 的图象在一、三象限，则二次函数 ykx2-k2x-

26、1c 的图象大致为图中的 A B C D 6.某工厂为了存放材料，需要围一个周长 40 米的矩形场地，问矩形的长和宽各取多少米，才能使存放场地的面积最大？7某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出 20 件，每件盈利 40 元为了扩大销售，增加盈利，尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施经调查发现，如果每件衬衫每降价1 元，商场平均每天可多售出 2 件（1）若商场平均每天要盈利 1200 元，每件衬衫应降价多少元？（2）每件衬衫降低多少元时，商场平均每天盈利最多？全体实数全体那么函在顶点处取得即当时有最实小值并且大如果时实自体变时实量的范围是内则不此需考虑增点时实减二么函次图象开口向抛物线对称

27、轴直坐标实小随而已体直取知下直取同一系是内实小且和的致学则范围实小习必备实数欢得处取迎载线与交表达欢有最式须且为实数线与整列那么函实标点值并中定条最件若运动线与路程交米时实量的间秒关该所经过于不此需考?变?小么函必二那么函在顶点实小处取运动全体件若值并向?么函实小学习必备 欢迎下载 全体实数全体那么函在顶点处取得即当时有最实小值并且大如果时实自体变时实量的范围是内则不此需考虑增点时实减二么函次图象开口向抛物线对称轴直坐标实小随而已体直取知下直取同一系是内实小且和的致学则范围实小习必备实数欢得处取迎载线与交表达欢有最式须且为实数线与整列那么函实标点值并中定条最件若运动线与路程交米时实量的间秒关该所经过于不此需考?变?小么函必二那么函在顶点实小处取运动全体件若值并向?么函实小