辽宁省沈阳市联合体2022-2023学年高二下学期期末数学试题含答案.pdf

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1、第1页/共5页 20222023 学 年 度（下）联 合体 高 二 期 末检 测数 学（满分：150 分 考试时间：120 分钟）注 意事 项：1.答 题时，考生 务必 将自 己的 姓名、准考 证号填 写在 答题卡 规定 的位置 上.2.答 选择 题时，必须 使用 2B 铅笔 将答 题卡上对 应题 目的答 案标 号涂黑.如需 改动，用橡 皮擦擦 干净 后，再 选涂 其他答 案标 号.3.答 非选 择题时，必 须使 用黑 色墨水 笔或 黑色签 字笔，将答 案书 写在答 题卡 规定的 位置 上，写 在试 题卷、草稿 纸上无 效.4.考 试结 束后，将试 题卷 和答 题卡一 并交 回.第 I 卷（选

2、择 题，共 60 分）一、单 选题（本大 题共 8 小 题，每 小题 5 分，共 40 分.在每 小题 所给 的四 个选项 中，有且只有 一项 是符合 题目 要求的）1.已知 集合 4,3,2,1,0,1,2 U=，()()2 10 Ax x x=+Z，则UA=（）A.2,1,0,1 B.2,1,0 C.4,3,2 D.1,0,1 2.已知 函数()1,0,4,0,xxfxxx=若()12fa=，则 实数a的 值为（）A.12B.18C.18或12 D.18 或123.如图，函 数()y fx=的 图象 在点()2,Py 处的切 线是l，则(2)(2)ff+=（）A.3 B.2 C.2 D.1

3、4.已知 随机 变量(),X Bnp，若()1 EX=，()45DX=，则()4 PX=（）辽宁省沈阳市联合体2022-2023学年高二下学期期末数学试题第2页/共5页 A.4625B.32125C.1125D.1255.已知 函数()fx 满足性 质：在定义 域上 有()()0 f x fx+=；()12,0,1 xx，恒有()()12210fx fxxx，则函 数()fx 可能为（）A.()2 fx x=B.()3sin2fx x=C.()23 fx x=D.()5fxx=6.设等 差数 列 na 前n项和为nS，若170 S，则当nS 取 得最 小值 时，n的 值为（）A.8 B.9 C

4、.10 D.117.下列 说法 正确 的是（）A.已知 x R，则“0 x”是“11 x的解集 为 12 xx，则11bc acD.函数()2232fx xx=+的 最小 值是23 2 8.设函 数()fx的 定义 域为 R，其 导函数 为()fx，且满 足()()1 fx f x+，(0)2023 f=，则 不等式e()e 2022xxfx+（其中e为自 然对 数的 底数）的解 集是（）A.2022(,)+B.(,2023)C.(0,2022)D.(,0)二、多 选题（本大 题共 4 小 题，每 小题 5 分，共 20 分.在每 小题 所给 的四 个选项 中，有多项符 合题 目要求.全部 选

5、对 的得 5 分，部分 选对的 得 2 分，有 选错 的得 0 分）9.下列 求导 运算 正确 是（）A.()2sin sin2 xx=B.()()33 log 3 ln3xxxx+=+C.()3ee2xxxx=D.2ln 1 ln xxxx=10.已知 0 a，函数()2f x ax bx c=+，若0 x满足 关于x的方程 20 ax b+=，则 下列 命题 为真命 题的有（）A.x R，()()0fx fx B.x R，()()0fx fx 的的.的第3页/共5页 C x R，()()0fx fx D.x R，()()0fx fx 11.若 存在 常数 k 和 b，使得函 数()fx 和

6、()gx 对其 公共 定义 域上 的任意 实数x都满 足：()f x kx b+和()g x kx b+恒成立，则 称此 直线y kx b=+为()fx 和()gx 的“隔离 直线”，已 知函 数()()2fx x x=R，()()40 gx xx=，若 函数()fx 和()gx 之间存 在“隔 离直线”4 y xb=，则实数 b 的 取值 可以 是（）A.-5 B.0 C.4 D.712.将 n2个数 排成 n 行 n 列的一 个数 阵，如图：该 数阵第 一列 的 n 个 数从 上到 下 构成以 m 为公 差 的等差 数列，每 一行 的 n 个 数从 左到 右 构成以 m 为公 比 的等比

7、数 列（其中 m 0）.已知 a 11 2，a 13 a 61+1，记这 n2个 数 的和为 S.下列 结论 正确 的 有（）A.m 3 B.76717 3 a=C.()1313jijai=D.()()13 13 14nS nn=+第 卷（非选 择题，共 90 分）三、填 空题（本大 题共 4 小 题，每 小题 5 分，共 20 分）13.已知 某品 种小 麦的 穗粒 数 X 服从正 态分 布()238,N，且(34 42)0.68 PX=，则该品 种小 麦的 穗粒数超 过 42 粒的概 率为_.14.方程()()2224 4 20 0 xx xx=的解集 为_.15.某 小微 企业 制造 并

8、出 售球形 瓶装 的某 种饮 料，瓶子的 制造 成本 是21.6 r 分，其 中 r（单 位：cm）是 瓶子的半 径，已知 每出 售 1mL 的 饮 料，可获利 0.4 分，且 能 制作 的瓶 子的 最大 半径 为 6cm，当每 瓶饮 料的利润最大 时，瓶子 的半 径为_cm 16.已知函数()fx与()gx的定义域均为 R，(1)(2)3,(1)()1 fx g x fx g x+=，且(1)2,(1)g gx=为偶函 数，则 183()()kf k gk=+=_.第4页/共5页 四、解 答题（本大 题共 6 小题，共 70 分.解答 时应 写出必 要的 文字说 明、证明过 程或 演算步骤）

9、17.已知 数列 na 的前n项和为nS，1123 Sa=，且()12 22nnaa n=.（1）求 数列 na 的通项 公式；（2）记()21log 2nnba+=，求数 列 nb 的前n项和nT.18.玻璃 杯整 箱出 售，共 3 箱，每箱 20 只.假设 各箱 含有 0，1，2 只 残次 品的概 率 对应为 0.8，0.1 和 0.1.一顾客欲 购买 一箱 玻璃 杯，在购买 时，售货 员随 意取 一箱，而顾 客随 机查 看 4 只玻璃 杯，若无 残次 品，则买下该箱 玻璃 杯；否则 不买.设事件 A 表示“顾客 买下 所查看 的 一箱 玻璃 杯”，事 件iB 表示“箱中 恰好 有()0,

10、1,2 ii=只残次 品”求：（1）顾客 买下 所查 看的 一 箱玻璃 杯的 概率()PA；（2）在顾 客买 下的 一箱 中，没有 残次 品的 概率()0PB A.19.已知 函数()()3fx x a=，其中a为常 数，函 数()fx 是其导 函数，且 满足()23 f=，()2 27 f=.（1）求 函数()fx 的解析 式；（2）若 函数()fx 在某点 处的 切 线过点5,03M，求 该切 线的 一般 式方程20.已知 等差 数列()*nbn N 的首项 为 1，公差为 2.数列 na 满足1 n nna ab+=（1）求na 取得最 小值 时n的 值；（2）若134a=，证明：121

11、1 143naa a+.21.旅游 承载 着人 们对 美好 生 活的 向往.随着 近些 年 人们收 入和 消费 水平 不断 提高，对品 质生 活的 需求 也日益升级，旅 游市 场开 启了 快速增 长的 时代.某旅 游景区 为 吸引 旅客，提 供了 A，B 两条 路线 方案.该景 区为 进一步了 解旅 客对 这两 条路 线的选 择情 况和 满意 度评 价（“好”或“一般”），对 300 名旅 客的 路线 选择 和评价 进行了统 计，如下 表：A 路线 B 路线 合计好 一般 好 一般第5页/共5页 男 10 20 55 35 120 女 90 30 20 40 180 合计 100 50 75

12、75 300（1）根 据以 上数 据，在犯错 误 的概 率不 超过 0.1%的前 提 下，可以 认为对 A，B 两条路 线的 选择 与性 别有关吗?（2）某人 计划 到该 景区 旅 游，预 先在 网上 了解 了对 这两条 路线 的评 价，假设 他分别 看了 两条 路线 各三 条评价（评价“好”或“一般”的可能 性以 前面 统计 的占 比为参 考），若 评价 为“好”的计 5 分，评价 为“一般”的计2 分，以期 望值 作为 参考，那 么你 认为 这个 人会 选择 哪 一条 路线?请用 计算 说 明理由.附：()()()()()22n ad bcabcdacbd=+，其中 nabcd=+.()2

13、Pk=0.05 0.01 0.001 k 3.841 6.635 10.828 22.已知 函数()222e 2xf x x ax a=.（1）若 0 a，讨论 函数()()2gx f x x=+的单 调 性和极 值情 况；（2）若 1 a=，求证：当 0 x 时，()0 fx；（3）若2,2 ln 2 a，求证：当 0 x 时，()0 fx.第1页/共18页 20222023 学年 度（下）联合体 高二期末检测数学（满 分：150 分 考试时 间：120 分钟）审题 人：36 中李 永阳 注 意事 项：1.答 题时，考生 务必 将自 己的 姓名、准考 证号填 写在 答题卡 规定 的位置 上.

14、2.答 选择 题时，必须 使用 2B 铅笔 将答 题卡上对 应题 目的答 案标 号涂黑.如需 改动，用橡 皮擦擦 干净 后，再 选涂 其他答 案标 号.3.答 非选 择题时，必 须使 用黑 色墨水 笔或 黑色签 字笔，将答 案书 写在答 题卡 规定的 位置 上，写 在试 题卷、草稿 纸上无 效.4.考 试结 束后，将试 题卷 和答 题卡一 并交 回.第 I 卷（选择 题，共 60 分）一、单 选题（本大 题共 8 小 题，每 小题 5 分，共 40 分.在每 小题 所给 的四 个选项 中，有且只有 一项 是符合 题目 要求的）1.已知 集合 4,3,2,1,0,1,2 U=，()()2 10

15、Ax x x=+Z，则UA=（）A.2,1,0,1 B.2,1,0 C.4,3,2 D.1,0,1【答案】C【解析】【分析】求出 集合 A，利用 补集的 定义 可求 得集 合UA.【详解】解()()2 10 xx+，得 21 x，则 2,1,0,1 A=，又因为 4,3,2,1,0,1,2 U=，所以 4,3,2UA=.故选：C.2.已知 函数()1,0,4,0,xxfxxx=若()12fa=，则 实数a的 值为（）A.12B.18C.18或12 D.18 或12【答案】D【解析】【分析】分 0 a 和 a0 讨论即 可.第2页/共18页【详解】当 0 a 时，()112fa a=，解得12a

16、=；当 0 a 时，()142fa a=，解得18a=.故选：D.3.如图，函 数()y fx=的 图象 在点()2,Py 处的切 线是l，则(2)(2)ff+=（）A.3 B.2 C.2 D.1【答案】D【解析】【分析】求 出切 线方 程，由导数 几 何意 义得(2)f，由切 线方程 得(2)f，从而 可得 结论【详解】由题 可得 函数()y fx=的图象在 点 P 处的切 线与x轴交 于点()40，与y轴交于 点()04，则切线:4 lx y+=，()22 f=，(2)1 f=，(2)(2)1 f f+=.故选：D 4.已知 随机 变量(),X Bnp，若()1 EX=，()45DX=，则

17、()4 PX=（）A.4625B.32125C.1125D.125【答案】A【解析】【分析】根 据二 项分 布的 期望和 方差 公式，结 合二 项分布 的定 义即 可求 解.【详解】由()1 EX=，()45DX=，得 1 np=，()415np p=，解得 5 n=，15p=，的第3页/共18页 所以()4451 144C 15 5 625PX=.故选：A.5.已知 函数()fx 满足性 质：在定义 域上 有()()0 f x fx+=；()12,0,1 xx，恒有()()12210fx fxxx，即 函数()fx在()0,1 上 单调 递增.A 选 项：()2 fx x=是正比 例函 数，

18、是奇函 数，但在()0,1 上单 调递 减，不 符合 题意；B 选 项：()3sin2fx x=是奇函 数.当()0,1 x 时，330,22x.因为sin yx=在0,2上单 调递 增，所以()3sin2fx x=在()0,1 上 单调 递增，符 合题 意；C 选 项：()23 fx x=是顶点 在原 点的 二次函 数，是偶 函数，不 符合题 意；D 选 项：()5fxx=是反比 例函 数，是奇函 数，但在()0,1 上单 调递 减，不 符合 题意.故选：B.6.设等 差数 列 na 的前n项 和为nS，若170 S，则当nS 取得最 小值 时，n的值为（）A.8 B.9 C.10 D.11

19、【答案】B【解析】【分析】根据 等差 数列 的性 质 即可 求解90 a，进而 可求.【详解】在等 差数 列 na 中，由170 S，得()1 171702aa+，则1 17 920 aa a+=.第4页/共18页 又6 13 9 100 aa aa+=+，由于90 a，所 以当 9 n=时，nS 取得最 小值.故选：B.7.下列 说法 正确 的是（）A.已知 x R，则“0 x”是“11 x的解集 为 12 xx，则11bc acD.函数()2232fx xx=+的 最小 值是23 2【答案】C【解析】【分析】根据充分不必要 条件的判断可求 解 A，根 据一元二次不等式与一元 二次方程的解之

20、间的关系 可判断 B，根据 不等 式的 性质可 判断 C，根据 基本 不等式 可 判断 D.【详解】A 选项：由 11 x 得 1 11 x，解得 02 x”是“11 x，所以 0 ac，0 bc，0 ab，所以()()110abbc ac bcac=，所以11bc ac，C 正确；D 选 项：因为()2222332 2 2 2 2 23 222xxxx+=+，当且 仅当22322xx+=+时等号 成立，此 时x无实数 解，所以()2232fx xx=+的最小 值不 是23 2，D 错误.故选：C.8.设函 数()fx的 定义 域为 R，其 导函数 为()fx，且满 足()()1 fx f x

21、+，(0)2023 f=，则 不等式e()e 2022xxfx+（其中e为自 然对 数的 底数）的解 集是（）A.2022(,)+B.(,2023)C.(0,2022)D.(,0)【答案】D【解析】第5页/共18页【分析】构造 函数()1()exfxgx=，利用 导数 判 断出()gx 的 单 调性，由此 求得 不 等式 e()e 2022xxfx+的解集.【详解】设()1()exfxgx=，()()1 fx f x+，即()()1 0 f x fx+，()()1()0exf x fxgx+=+=，即()(0)gx g，0 x，原不等 式的 解集 为(,0).故选：D【点睛】有 关函 数及 其

22、导 数有关 的不 等式 问题，求 解方法 是通 过构 造函 数法，利用 导数 研究 所构 造函 数的单调性、极 值和 最值 等进 行研究，由 此对 问题 进行 求解.二、多 选题（本大 题共 4 小 题，每 小题 5 分，共 20 分.在每 小题 所给 的四 个选项 中，有多项符 合题 目要求.全部 选对 的得 5 分，部分 选对的 得 2 分，有 选错 的得 0 分）9.下列 求导 运算 正确 的是（）A.()2sin sin2 xx=B.()()33 log 3 ln3xxxx+=+C.()3ee2xxxx=D.2ln 1 ln xxxx=【答案】AD【解析】【分析】应用 导数 的乘 除法

23、 运 算律 判断 B,C,D 选项，应 用复 合函 数求 导判断 A 选项.【详解】A 选 项：()2sin 2sin cos sin2 x xx x=，A 正确；B 选 项：()313 log 3 ln3ln3xxxx+=+，B 错 误；C 选 项：()1e ee2x xxxxx=+，C 错 误；第6页/共18页 D 选 项：221ln 1ln 1 lnxxxxxxxx=，D 正确.故选：AD.10.已知 0 a，函数()2f x ax bx c=+，若0 x满足 关于x方程 20 ax b+=，则下 列命 题为 真命题 的有（）A.x R，()()0fx fx B.x R，()()0fx

24、fx C.x R，()()0fx fx D.x R，()()0fx fx【答案】BCD【解析】【分析】根据02bxa=以及二 次函 数的性 质可 得0 x是()fx 的最 小值 点，即 可结 合选 项逐 一求 解.【详解】因为0 x满足关 于x的方程 20 ax b+=，所以02bxa=，所以()2f x ax bx c=+在0 x处取 得最小值.由 A 选项，得()fx 在0 x处取 得最 大值，A 选项 为假 命题；由 B 选项，得()fx 在0 x处取 得最 小值，B 选项 为真 命题；C 选项，当0 xx=时，()()0fx fx=，C 选项为 真 命题；D 选 项，因为()fx 在0

25、 x处取 得最 小值，所以 x R，()()0fx fx 是真命 题.故选：BCD.11.若 存在 常数 k 和 b，使得函 数()fx 和()gx 对其 公共 定义 域上 的任意 实数x都满 足：()f x kx b+和()g x kx b+恒成立，则 称此 直线y kx b=+为()fx 和()gx 的“隔离 直线”，已 知函 数()()2fx x x=R，()()40 gx xx=，若 函数()fx 和()gx 之间存 在“隔 离直线”4 y xb=，则实数 b 的 取值 可以 是（）A.-5 B.0 C.4 D.7【答案】CD【解析】【分析】根据 隔离 直线 的定 义，即可 将问 题转

26、 化为()224 24 bx x x+=+和44 bxx+对任意的 0 x 恒成立，求 解最 值即 可求 解.的第7页/共18页【详解】若函 数()fx 和()gx 之间存 在隔离 直线 4 y xb=，则对任 意的 0 x，()24 fx x xb=，即()224 24 bx x x+=+，而()22 44 yx=+，当 2 x=时等 号成 立，所以 4 b；对任意 的 0 x，()44 gx x bx=，则44 bxx+.因为444 24 8 xxxx+=，当且 仅当 1 x=时，等号 成立，所以 8 b，所以 48 b，所以 实数b 的取 值可 以是 4 或 7.故选：CD.12.将 n

27、2个数 排成 n 行 n 列的一 个数 阵，如图：该 数阵第 一列 的 n 个 数从 上到 下 构成以 m 为公 差 的等差 数列，每 一行 的 n 个 数从 左到 右 构成以 m 为公 比 的等比 数 列（其中 m 0）.已知 a 11 2，a 13 a 61+1，记这 n2个 数 的和为 S.下列 结论 正确 的 有（）A.m 3 B.76717 3 a=C.()1313jijai=D.()()13 13 14nS nn=+【答案】ACD【解析】【分析】根据第 一列 成等 差，第一 行成等 比可 求出13 61,aa，列 式即 可求出m，从而 求出 通项ija，再按照 分组 求和 法，每一

28、 行求和 可 得 S，由此 可以 判断各 选项 的真 假【详解】a 11 2，a 13 a 61+1，2m22+5m+1，解得 m 3 或 m12=（舍去），aij ai13j12+（i 1）m3j1（3i 1）3j1，a 67 1736，第8页/共18页 S(a 11+a 12+a 13+a 1n)+(a 21+a 22+a 23+a 2n)+(an1 an2 an3 ann)1 11 2113 13 1313 13 13n nnna aa=+（）（）（）12=（3n1）23 12nn+（）14=n（3n+1）（3n1）故选：ACD.【点睛】本 题主 要考 查等 差数列，等 比数 列的 通项

29、 公式的 求法，分 组求 和法，等差 数列，等 比数 列前n项和公式 的应 用，属于 中档 题第 卷（非选 择题，共 90 分）三、填 空题（本大 题共 4 小 题，每 小题 5 分，共 20 分）13.已知 某品 种小 麦的 穗粒 数 X 服从正 态分 布()238,N，且(34 42)0.68 PX=，则该品 种小 麦的 穗粒数超 过 42 粒的概 率为_.【答案】0.16#425【解析】【分析】随机 变量 服从()2,XN，根据正 态曲 线的 对称 性进 行求解.【详解】由题 可得 该品 种小 麦 的穗 粒数 超过 42 粒的 概率 1(34 42)1 0.68(42)0.1622PXP

30、X=.故答案 为：0.16.14.方程()()2224 4 20 0 xx xx=的解集 为_.【答案】1,2,5【解析】【分析】根 据题 意，化简 方程为()()()25 1 20 xxx+=，进而 求得 方程 解.【详解】由方 程()()()()()()()2222 2 24 4 20 4 5 4 4 5 1 2 0 xx xx xx xx x x x=+=+=，所以 5 x=或=1 x 或 2 x=，故该 方程 的解 集为 1,2,5.故答案 为：1,2,5.15.某 小微 企业 制造 并出 售球形 瓶装 的某 种饮 料，瓶子的 制造 成本 是21.6 r 分，其 中 r（单 位：cm）

31、是 瓶的第9页/共18页 子的半 径，已知 每出 售 1mL 的 饮 料，可获利 0.4 分，且 能 制作 的瓶 子的 最大 半径 为 6cm，当每 瓶饮 料的利润最大 时，瓶子 的半 径为_cm【答案】6【解析】【分析】写出 利润 关于r的函数，利用 导函 数求 出利 润最大 时的r的 取值.【详解】设每 瓶饮 料获 得的 利 润为()fr，依题 意得，3 3224 8 24()0.4 1.6(0 6)3 15r rrfr r r=，8()(2)5rfr r=，于是0 2,()0 r fr，()fr递 减；2 6,()0 r fr，()fr递 增，2 r=是极小 值点，于是 在(0,6 r，

32、只可 能 6 r=使得()fr最大.故答案 为：6 16.已知函数()fx与()gx的定义域均为 R，(1)(2)3,(1)()1 fx g x fx g x+=，且(1)2,(1)g gx=为偶函 数，则 183()()kf k gk=+=_【答案】248【解析】【分析】由抽象 函数 变形 为()()1 14 fx fx+=和()()22 gx gx+=，再 利用奇 数项 和偶 数项的 关系求和.【详解】()()1 23 f x gx+=因为(1)gx 是偶函 数，所以()()11 g x gx=，用 1 x 替换 x，得()()2 g x gx=，条件()()11 fx g x=化为()(

33、)1 21 f x gx=，所以()()()()1 231 21f x gxf x gx+=，+得()()1 14 fx fx+=，在 中用 2 x+替换 x，得()()11 f x gx+=，则-得()()22 gx gx+=，则()()()83141 4 2 164 2kfk f f=+=+，()()()83141 2 2 82 2kgk g g=+=+，在 中令 1 x=，可得()()2 13 fg+=，所以(2)1 f=在()()11 g x gx=中令 1 x=，得(2)(0)gg=，第10页/共18 页 又()()2 02 gg+=，所以(0)1 g=，再由()()0 22 gg+

34、=知(2)1 g=所以()()()()831164 82 2 2 248kf k gk f g=+=+=故答案 为：248四、解 答题（本大 题共 6 小题，共 70 分.解答 时应 写出必 要的 文字说 明、证明过 程或 演算步骤）17.已知 数列 na 的前n项和为nS，1123 Sa=，且()12 22nnaa n=.（1）求 数列 na 的通项 公式；（2）记()21log 2nnba+=，求数 列 nb 的前n项和nT.【答案】（1）122nna=+（2）22nn+【解析】【分析】（1）根 据题 意，由条件 可得 数列 2na 是 首项为 1，公 比为 2 等比数 列，再 由等比 数

35、列 的通项公式 即可 得到 结果；（2）根 据题 意，由等 差数列 的 前n项和 公式，即 可得 到结果.【小问 1 详解】由11 123 Sa a=，解得13 a=.因为122nnaa=，所以()()12 2 2,2nna an=.又12 1 a=，所以 数列 2na 是首项 为 1，公比 为 2 的等 比数 列，所以112 12 2nnna=，所以122nna=+.【小问 2 详解】由（1）得122nna=，所以122nna+=，所以()21log 2nnba n+=，的第11 页/共18 页 所以()2112322nnnnnTn+=+=.18.玻璃 杯整 箱出 售，共 3 箱，每箱 20

36、 只.假设 各箱 含有 0，1，2 只 残次 品的概 率 对应为 0.8，0.1 和 0.1.一顾客欲 购买 一箱 玻璃 杯，在购买 时，售货 员随 意取 一箱，而顾 客随 机查 看 4 只玻璃 杯，若无 残次 品，则买下该箱 玻璃 杯；否则 不买.设事件 A 表示“顾客 买下 所查看 的 一箱 玻璃 杯”，事 件iB 表示“箱中 恰好 有()0,1,2 ii=只残次 品”求：（1）顾客 买下 所查 看的 一 箱玻璃 杯的 概率()PA；（2）在顾 客买 下的 一箱 中，没有 残次 品的 概率()0PB A.【答案】（1）448475（2）95112【解析】【分析】（1）根 据全 概率 公式即

37、 可求 解，（2）由 贝叶 斯公 式即 可求解.【小问 1 详解】由题设 可知，()00.8 PB=，()10.1 PB=，()20.1 PB=，且()01 P AB=，()4191 420C 4C5P AB=，()4182 420C 12C 19P AB=，所以()()()()()()()0 01 12 2PA PB PA B PB PA B PB PA B=+4 12 4480.8 1 0.1 0.15 19 475=+=.即顾客 买下 所查 看的 一箱 玻璃杯 的概 率为448475.【小问 2 详解】因为()()()()0000.8 1 95448112475P B P ABPB AP

38、A=，所以在 顾客 买下 的一 箱中，没有 残次 品的 概率 是95112.19.已知 函数()()3fx x a=，其中a为常 数，函 数()fx 是其导 函数，且 满足()23 f=，第12页/共18 页()2 27 f=.（1）求 函数()fx 的解析 式；（2）若 函数()fx 在某点 处的 切 线过点5,03M，求 该切 线的 一般 式方程【答案】（1）()()31 fx x=（2）0 y=或 3 50 xy=【解析】【分析】（1）求出()fx，列方 程组即 可求 解；（2）先 判断 出点5,03M不是切 点，可设 切点 为()00,xy，由 导 数 几 何意义 和过 两点 的斜 率

39、公 式，列方程即可 求解.【小问 1 详解】由()()3fx x a=，得()()23 fx xa=，所以()()223 2 3,3 2 27,aa=解得 1 a=，所以函 数()fx 的解析 式为()()31 fx x=.【小问 2 详解】因为3551033f=，所以点5,03M不在 函数()fx 的图 象上，即其 不是 切点，则 设切 点为()00,xy.()()231 fx x=，则该 切线 的斜 率为()2031 kx=.又因为 该切 线过 点5,03M，所以()()32000103153xkxx=，解得01 x=或02 x=.的第13页/共18 页 当01 x=时，0 k=，此 时切

40、 线方 程为0 y=；当02 x=时，3 k=，此 时切 线方 程为533yx=，即 3 50 xy=.综上所 述，该切 线的 一般 式方程 为0 y=或 3 50 xy=.20.已知 等差 数列()*nbn N 的首项 为 1，公差为 2.数列 na 满足1 n nna ab+=（1）求na 取得最 小值 时n的 值；（2）若134a=，证明：1211 143naa a+.【答案】（1）2；（2）证 明见 解析.【解析】【分析】（1）利 用累 加法 结合等 差数 列的 求和 公式 即得；（2）利 用裂 项求 和法 结合条 件 即得.【小问 1 详解】由1 n nna ab+=，得2 1 13

41、 2 2 1 1,nn na a ba a b a a b=，累加可 得：112 1 nna a bb b=+，所以()()()()221 11121 1 2 4 3(2)12nnnaa n n n a n a=+=+=+，显然na 取最小 值时，n的 值为 2.【小问 2 详解】若134a=，则21544nan n=+，即5322nan n=，所以1211 1 1 1 1 113 3 1 11 5 322 2 2 22 2 2naa ann+=+1 1 1 1 11 1 13 1 11 13 5 32 2 22 22 2 2nn=+113322n=第14页/共18 页 显然 2 n 时，12

42、11 10naa a+，可得1211 1 1 1 431322naa a+=.21.旅游 承载 着人 们对 美好 生 活的 向往.随着 近些 年 人们收 入和 消费 水平 不断 提高，对品 质生 活的 需求 也日益升级，旅 游市 场开 启了 快速增 长的 时代.某旅 游景区 为 吸引 旅客，提 供了 A，B 两条 路线 方案.该景 区为 进一步了 解旅 客对 这两 条路 线的选 择情 况和 满意 度评 价（“好”或“一般”），对 300 名旅 客的 路线 选择 和评价 进行了统 计，如下 表：A 路线 B 路线 合计好 一般 好 一般男 10 20 55 35 120 女 90 30 20 4

43、0 180 合计 100 50 75 75 300（1）根 据以 上数 据，在犯错 误 的概 率不 超过 0.1%的前 提 下，可以 认为对 A，B 两条路 线的 选择 与性 别有关吗?（2）某人 计划 到该 景区 旅 游，预 先在 网上 了解 了对 这两条 路线 的评 价，假设 他分别 看了 两条 路线 各三 条评价（评价“好”或“一般”的可能 性以 前面 统计 的占 比为参 考），若 评价 为“好”的计 5 分，评价 为“一般”的计2 分，以期 望值 作为 参考，那 么你 认为 这个 人会 选择 哪 一条 路线?请用 计算 说 明理由.附：()()()()()22n ad bcabcdac

44、bd=+，其中 nabcd=+.()2Pk=0.05 0.01 0.001 k 3.841 6.635 10.828【答案】（1）可以 认为对 A，B 两 条路 线的 选择 与性 别有关（2）这个 人会 选择 A 路线，理由 见解 析【解析】【分析】（1）利 用独 立性 检验求 解即 可；第15页/共18 页（2）X、Y 的可 能取 值为 6,9,12,15，分别 求出 概率，求出 期望 即可.【小问 1 详解】由题意，得 30 a=，90 b=，120 c=，60 d=，30 90 120 60 300 n=+=，所以 120 ab+=，180 cd+=，150 ac+=，150 bd+=，

45、所以()22300 30 60 120 9050120 180 150 150=.因为 5010.828，所以在 犯错 误的 概率 不超 过 0.1%的前 提下，可 以认 为对 A，B 两条 路线 的选 择与性 别有 关.【小问 2 详解】A 路 线的 好评 率为100 2150 3=，评价 为一般 为13，B 路 线的 好评 率为75 1150 2=，评价 为一般 为12，设 A 路线 和 B 路线 累计 分数 分 别为 X，Y，则 X，Y 的 可 能取 值都为 6，9，12，15，则()30311 63 27PX C=，()21321 693 3 27PX C=，()2232 1 1212

46、3 3 27PX C=，()33328153 27PX C=，所以()1 6 12 86 9 12 15 1227 27 27 27EX=+=.()303116C28PY=，()21311 39C22 8PY=，()2231 1312 C2 28PY=，()3331115 C28PY=，第16页/共18 页 所以()133 16 9 12 15 10.5888 8EY=+=.因为()()E X EY，所 以这 个人 会选择 A 路线.22.已知 函数()222e 2xf x x ax a=.（1）若 0 a，讨论 函数()()2gx f x x=+的单 调 性和极 值情 况；（2）若 1 a=

47、，求证：当 0 x 时，()0 fx；（3）若2,2 ln 2 a，求证：当 0 x 时，()0 fx.【答案】（1）()gx 在(),ln a 上单 调递 减，在()ln,a+上 单调 递增，在 ln xa=处取得极 小值（2）证 明见 解析（3）证 明见 解析【解析】【分析】（1）求出()gx 的导数，判断 导数 取值 范围 进而 确定()gx 的单调 性，进而 可求 极值；（2）求 出()fx 二次导 数，判断 出()fx 单 调递 增，代入 1 a=求出()fx 在 0 x 的 取 值范 围，以此 找出()fx 的最小 值即 可；（3）在（2）的基 础 上讨论()fx 的 取值 范围，

48、将 a 进行分 类 讨论，判断 出()fx 的 单调区 间，找出 最小 值即可.【小问 1 详解】()()222e 2xg x f x x ax a=+=，则()2e 2xgx a=.令()0 gx=，则 ln xa=.当 ln xa 时，()0 gx 时，()0 gx，所以()gx 在(),ln a 上 单调 递减，在()ln,a+上单调递 增，所以()gx 在 ln xa=处取 得极 小值.【小问 2 详解】证明：当 0 x 时，因 为()2e 2 2xfx x a=，令()2e 2 2xhx x a=，则()2e 2 0 xh x=，第17页/共18 页 故()fx 在)0,+单调递 增

49、.当 1 a=时，()()2e 2 2 0 0 xfx x f=，故()fx 在)0,+单调递 增，则()()0 10 fx f=.【小问 3 详解】证明：由（2）可 知()fx 在)0,+上单 调递增，()0 22 fa=.当 2,1 a时，()()0 22 0 fx f a=，故()fx 在)0,+单调递 增，所以()()202 0 fx f a=；当(1,2 ln 2 a 时，()0 22 0 fa=，故存在()00,1 x 使得()0002e 2 2 0 xfx x a=（*）.又因为()fx 在)0,+单调递 增，所以当00 xx 时，()0 fx 时，0 fx，所以()fx 在)0

50、0,x 上 单调 递减，在()0,x+上单调递 增，故()()0220 00min2e 2xfx fx x a x a=.由（*）得00exax=，代 入上 式，得()()()()0 0 0 00220 0 00 02e 2 e e e 2 ex x x xxfx x x x x=.因为00e 2 ln 2xax=，令()exgx x=，所以()()0ln 2 gx g，()e1xgx=.当 0 x 时，()0 gx，所以()gx 在)0,+上单 调递 增，所以00 ln 2 x，第18页/共18 页 所以02e 0 x，则()()000e 2e 0 xxfx=，所以当 0 x 时，()min