辽宁省沈阳市联合体2022-2023学年高一下学期期末数学试题含答案.pdf

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1、第1页/共6页 20222023 学年度（下）联合体高一期末检测学年度（下）联合体高一期末检测数学数学（满分：（满分：150 分分 考试时间：考试时间：120 分钟）分钟）注意事项：注意事项：1答题时，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡规定的位置上答题时，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡规定的位置上 2答选择题时，必须使用答选择题时，必须使用 2B 铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑如需改动，用橡皮铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其他答案标号擦擦干净后，再选涂其他答案标号 3答非选择题时，必须使用黑色墨水笔或黑色签字笔，将答案书写在答题

2、卡规定的位置答非选择题时，必须使用黑色墨水笔或黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上，写在试题卷、草稿纸上无效上，写在试题卷、草稿纸上无效 4考试结束后，将试题卷和答题卡一并交回考试结束后，将试题卷和答题卡一并交回 第第卷（选择题，共卷（选择题，共 60 分）分）一、单选题（本大题共一、单选题（本大题共 8 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 40 分在每小题所给的四个选项中，有且只分在每小题所给的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的）有一项是符合题目要求的）1.cos1560的值为（）A.12B.12C.32D.322.已知 i为虚数单位，复数()2iR2iza=+，则它的共

3、轭复数z为（）A.34i55+B.34i55C.41i5+D.41i53.如图，一个水平放置的四边形ABCD的斜二测画法的直观图是矩形A B C D ，5A B =，O是A D 的中点，则原四边形ABCD的面积是（）A.20 2B.40 2C.80 2D.160 24.已知02，则sinsinABB.若cossin=+baCcA，则45A=C.若0ABACBCABAC+=，则BC=D.若4a=，6B=，符合条件的ABC只有一个，则24b 12.如图，正方体1111ABCDABC D的棱长为 1，P是正方形1111DCBA的中心，E是PC的中点，则以下结论正确的是（）A.BD平面PACB.平面1

4、/PAD平面BDEC.三棱锥DBCE的体积为112D.异面直线PC与AB所成的角为45第第卷（非选择题，共卷（非选择题，共 90 分）分）三、填空题（本大题共三、填空题（本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分）分）的.第4页/共6页 13.若5sincos4+=，则sin2=_ 14.已知复数13iz=+，21 3iz=+（i为虚数单位）在复平面上对应的点分别为1Z，2Z，则12OZ OZ=_ 15.海洋蓝洞是地球罕见的自然地理现象，被喻为“地球留给人类保留宇宙秘密的最后遗产”，我国拥有世界上最深的海洋蓝洞，若要测量如图所示的蓝洞的口径A，B两点间的距离，现在珊瑚群

5、岛上取两点C，D，测得80CD=，135ADB=，15BDCDCA=，120ACB=，则A，B两点间的距离为_.16.已知四棱锥PABCD底面四边形ABCD是边长为3的正方形，且PA 平面ABCD，3PA=，点 M 为线段PC上的动点（不包含端点），则当三棱锥MBCD的外接球的体积最小时，CM的长为_ 四、解答题（本大题共四、解答题（本大题共 6 小题，共小题，共 70 分解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步分解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）骤）17.已知复数()()2220235 izmmmm=+，mR（1）若复数z为纯虚数，求实数m的值；（2）当3m=时，求izz+

6、18.如图，AB为半圆O的直径，2AB=，C为AB上一点（不含端点）.（1）用向量的方法证明ACBC；的第5页/共6页（2）若C是AB上更靠近点B三等分点，Q为AC上的任意一点（不含端点），求QA CB 的最大值.19.如图，在正六棱锥SABCDEF中，O为底面中心，8SO=，4OB=（1）若M，N分别是棱SB，SC的中点，证明：/MN平面SAD；（2）若该正六棱锥的顶点都在球Q的表面上，求球Q的表面积和体积20.已知ABC内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且2 sintanbAaB=（1）求角B；（2）若4ac+=，求ABC周长的最小值，并求出此时ABC的面积21.已知向量()cos,

7、cosaxx=，()cos,3sinbxx=，函数()2f xa b=，xR（1）求函数()f x的最小正周期、值域；（2）对任意实数1x，2x，定义11212212,max,x xxx xx xx=，设()max3 sin,cosg xax ax=，xR，a为大于 0的常数，若对于任意1x R，总存在2x R，使得()()12g xf x=恒成立，求实数 a的取值范围22.如图，在四棱锥PABCD中，PA 底面ABCD，底面ABCD是直角梯形，90ADC=，/AD BC，ABAC，2ABAC=，点E在AD上，且2AEED=（1）已知点F在BC上，且2=CFFB，证明：平面PEF 平面PAC；

8、的的第6页/共6页（2）求点D到平面PAB的距离第1页/共19页 20222023 学年度（下）联合体高一期末检测学年度（下）联合体高一期末检测数学数学（满分：（满分：150 分分 考试时间：考试时间：120 分钟）分钟）注意事项：注意事项：1答题时，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡规定的位置上答题时，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡规定的位置上 2答选择题时，必须使用答选择题时，必须使用 2B 铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑如需改动，用橡皮铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其他答案标号擦擦干净后，再选涂其他答案标号 3答非选择题时

9、，必须使用黑色墨水笔或黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置答非选择题时，必须使用黑色墨水笔或黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上，写在试题卷、草稿纸上无效上，写在试题卷、草稿纸上无效 4考试结束后，将试题卷和答题卡一并交回考试结束后，将试题卷和答题卡一并交回 第第卷（选择题，共卷（选择题，共 60 分）分）一、单选题（本大题共一、单选题（本大题共 8 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 40 分在每小题所给的四个选项中，有且只分在每小题所给的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的）有一项是符合题目要求的）1.cos1560的值为（）A.12B.12C.32D.32【答案】B

10、【解析】【分析】利用三角函数的诱导公式与特殊角的三角函数值求解即可.【详解】()1cos1560cos 4 360120cos1202=+=.故选：B.2.已知 i为虚数单位，复数()2iR2iza=+，则它的共轭复数z为（）A.34i55+B.34i55C.41i5+D.41i5【答案】A【解析】【分析】利用复数的四则运算与共轭复数的概念即可得解.第2页/共19页【详解】因为2i(2i)(2i)34i34i2i(2i)(2i)555z=+，所以34i55z=+.故选：A.3.如图，一个水平放置的四边形ABCD的斜二测画法的直观图是矩形A B C D ，5A B =，O是A D 的中点，则原四

11、边形ABCD的面积是（）A.20 2B.40 2C.80 2D.160 2【答案】A【解析】【分析】首先求出O B，A D，即可得到平面图形中AD，OB的值，即可求出四边形ABCD的面积.【详解】在直观图中O A B 为等腰直角三角形，所以5O AA B=，所以()()2210O BO AA B =+=，又O是A D 的中点，所以22 5A DO A =，所以在平面图形中2 5AD=，22 10OBO B=，所以2 52 1020 2ABCDSAD OB=.故选：A 4.已知02，2cos65+=，则5tan6=（）A.52B.212C.212D.53【答案】C【解析】【分析】利用三角函数的基

12、本关系式与诱导公式即可得解.第3页/共19页【详解】因为02，所以2663+，则2sin1 cos66+=+=2221155=，所以sin216tan62cos6+=+，所以5tan6=21tan tan662+=+=.故选：C.5.已知ABC的外接圆半径为 1，3A=，则coscosACCABB+=（）A.12B.1C.32D.3【答案】D【解析】【分析】利用正弦定理化边为角，再利用两角和的正弦公式结合三角形内角和定理即可得解.【详解】由正弦定理可得2sinsinsinABACBCCBA=，所以2sin,2sinABC ACB=，则()coscos2sincos2sincos2sin2sin

13、3ACCABBBCCBBCA+=+=+=.故选：D6.已知向量a、b满足2=a，2b=，2a b=，设a与ab+的夹角为，则cos=（）A.12B.12C.22D.22【答案】C【解析】【分析】由已知条件，求出ab+及()aab+，然后利用向量的夹角公式即可求解.【详解】解：因为2a=，2b=，2a b=，所以()()()22222222222ababaa bb+=+=+=+=，.第4页/共19页()22222ababaa+=，所以()22cos222abbaaa=+，故选：C.7.函数()1tan23f xx=在一个周期内的图像是（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】利用正切函数的周

14、期及单调区间排除错误选项，即可得到正确结果.【详解】函数()1tan23f xx=的最小正周期212T=，选项 D 的最小正周期566T=，D错误；令1,2232kxkk+Z，解得52 2,33kxkk，则sinsinABB.若cossin=+baCcA，则45A=C.若0ABACBCABAC+=，则BC=D.若4a=，6B=，符合条件的ABC只有一个，则24b可得ab，根据正弦定理可得sinsinAB，故 A正确；对于 B：因为cossin=+baCcA，由正弦定理可得sinsincossinsinsin()sincoscossinBACCAACACAC=+=+=+，所以sinsincoss

15、inCAAC=，由在三角形中sin0C，所以tan1A=，又0180A，所以45A=，故 B 正确；对于 C：由ABAB 、ACAC 分别为向量AB、AC方向上单位向量，根据平行四边形法则向量ABACABAC+平分角BAC，又0ABACBCABAC+=，的的第8页/共19页 所以ABAC=，所以BC=，故 C 正确；对于 D：若24b，即sinaBba，第12页/共19页 当 O 与1O重合时，1ROCOC=，所以当三棱锥MBCD的外接球的体积最小时，O与1O重合，1ROC=.设 CM 的中点为 N，连接1O N，易知1O NCM，则11cosCNACOCNCOPC=，所以2323332CN=

16、，解得1CN=，所以22CMCN=，故答案为：2 四、解答题（本大题共四、解答题（本大题共 6 小题，共小题，共 70 分解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步分解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）骤）17.已知复数()()2220235 izmmmm=+，mR（1）若复数z为纯虚数，求实数m的值；（2）当3m=时，求izz+【答案】（1）4 （2）66i+【解析】【分析】（1）根据实部为0，虚部不为0得到方程（不等式）组，解得即可；（2）首先求出z，再根据复数代数形式的运算法则计算可得.【小问 1 详解】第13页/共19页 因为复数()()2220235 izmmmm=+为

17、纯虚数，所以222002350mmmm=+，解得4m=【小问 2 详解】当3m=时1420iz=，所以()()2ii1420i1420i14i20i1420i66izz+=+=+=+.18.如图，AB为半圆O的直径，2AB=，C为AB上一点（不含端点）.（1）用向量的方法证明ACBC；（2）若C是AB上更靠近点B的三等分点，Q为AC上的任意一点（不含端点），求QA CB 的最大值.【答案】（1）证明见解析（2）12【解析】【分析】（1）建立平面直角坐标系，利用向量垂直的坐标表示可证；（2）利用坐标表示出QA CB ，然后由三角函数性质可得.【小问 1 详解】如图，建立平面直角坐标系.（方法一）

18、由题意可知1OB=，设COB=，则()0,，()1,0A，()10B,，()cos,sinC，得()cos1,sinAC=+，()cos1,sinBC=，第14页/共19页 所以22cos1 sin1 10AC BC=+=，故 ACBC，即ACBC.（方法二）由题意可知1OB=，()1,0A，()10B,，设(),C a b，则221OBOCab=+=，得221ab+=，得()1,ACab=+，()1,BCab=，所以2211 10AC BCab=+=，故 ACBC，即ACBC.【小问 2 详解】由题意得3COB=，则13,22C，设QOB=，则,3，()cos,sinQ，由（1）得13,22

19、CBOBOC=，()1cos,sinQA=，所以1131cossinsin22262QA CB=+=，由,3，得5,666，当62=，即23=时，()max12QA CB=.故QA CB 的最大值为12.19.如图，在正六棱锥SABCDEF中，O为底面中心，8SO=，4OB=（1）若M，N分别是棱SB，SC的中点，证明：/MN平面SAD；（2）若该正六棱锥的顶点都在球Q的表面上，求球Q的表面积和体积第15页/共19页【答案】（1）证明见解析（2）100S=，5003V=【解析】【分析】（1）依题意可得/MN BC，再由正六边形的性质得到/AD BC，即可得证；（2）依题意可知球心Q一定在直线S

20、O上，设球Q的半径为R，利用勾股定理求出R，在根据球的表面积与体积公式计算可得.【小问 1 详解】因为M，N分别是棱SB，SC的中点，所以/MN BC，在正六边形ABCDEF中，60AOBOBC=，所以/AD BC，所以/MN AD，又MN平面SAD，AD 平面SAD，所以/MN平面SAD【小问 2 详解】依题意可知球心Q一定在直线SO上，设球Q的半径为R，则QSQBR=，又222QBOQOB=+，所以()22284RR=+，解得5R=，所以球Q的表面积24100SR=，体积3450033RV=.20.已知ABC的内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且2 sintanbAaB=（1）求角B

21、；（2）若4ac+=，求ABC周长的最小值，并求出此时ABC的面积【答案】（1）3（2）ABC的周长的最小值为6，3ABCS=【解析】第16页/共19页【分析】（1）将切化弦，再由正弦定理将边化角，即可得解；（2）利用余弦定理及基本不等式求出b的最小值，即可求出周长的最小值，与此时三角形的面积.【小问 1 详解】因为sin2 sintancosBbAaBaB=，即2 sincossinbABaB=，由正弦定理可得2sinsincossinsinBABAB=，因为sin0A，sin0B，所以2cos1B=，所以1cos2B=，因为()0,B，所以3B=.【小问 2 详解】由余弦定理()22222

22、cos3163bacacBacacac=+=+=，即2316acb=，所以223163122acacb+=，所以24b，解得2b 或2b （舍去），当且仅当2ac=时取等号，所以min2b=，即ABC的周长的最小值为6，此时1sin32ABCSacB=21.已知向量()cos,cosaxx=，()cos,3sinbxx=，函数()2f xa b=，xR（1）求函数()f x的最小正周期、值域；（2）对任意实数1x，2x，定义11212212,max,x xxx xx xx=，设()max3 sin,cosg xax ax=，xR，a为大于 0的常数，若对于任意1x R，总存在2x R，使得()

23、()12g xf x=恒成立，求实数 a的取值范围【答案】（1）；1,3 （2）2 30,3【解析】【分析】（1）利用向量的数量积运算与辅助角公式化简()f x，从而利用三角函数的性质即可得解；（2）将问题转化为()()y yg xy yf x=，从而结合12max,x x的定义，分类讨论求得()g x的值域，由此利用数轴法即可得解.第17页/共19页【小问 1 详解】因为()cos,cosaxx=，()cos,3sinbxx=，函数()2f xa b=，所以2()2cos2 3sin coscos23sin212 f xxxxxbxa=+=+2sin 216x=+，所以函数()f x的最小正

24、周期为22T=，因为xR，所以sin 2 1,16x+，所以2sin 21 1,36x+，故函数()f x的值域为 1,3.【小问 2 详解】若对于任意1x R，总存在2x R，使得()()12g xf x=恒成立，则()()y yg xy yf x=，因为3 sin,3 sincos()max3 sin,coscos,3 sincosaxaxaxg xax axaxaxax=，则sin06x，即2 2,6kxkk+Z，解得72,2 ,66xkkk+Z，则3()3 sin,32g xaxaa=；同理当3 sincosaxax，解得2 30,3a，第18页/共19页 所以实数a的取值范围是2 3

25、0,3.【点睛】关键点睛：本题解决的关键有二，一是将问题转化为()f x与()g x的值域之间的关系，二是理解新定义的含义，结合三角函数的性质，分类讨论求得()g x的值域，从而得解.22.如图，在四棱锥PABCD中，PA 底面ABCD，底面ABCD是直角梯形，90ADC=，/AD BC，ABAC，2ABAC=，点E在AD上，且2AEED=（1）已知点F在BC上，且2=CFFB，证明：平面PEF 平面PAC；（2）求点D到平面PAB的距离【答案】（1）证明见解析（2）22【解析】【分析】（1）证明出EF平面PAC，再利用面面垂直的判定定理可证得结论成立；（2）取BC的中点G，连接DG，取AB的

26、中点H，连接GH，分析可知点D到平面PAB的距离等于点C到平面PAB的距离，证明出GH 平面PAB，求出GH的长，即为所求.【小问 1 详解】由ABAC且2ABAC=，可知ABC是等腰直角三角形，且22222BCABAC=+=+=，又因为四边形ABCD为直角梯形，且90ADC=，/AD BC，则45CADACB=，所以，2cos45212ADDCAC=，因为2BC=，2AEED=，2=CFFB，第19页/共19页 所以，2221333AEAD=，1122333BFBC=，又因为/AD BC，即/AE BF，且AEBF=，所以，四边形AEFB为平行四边形，即/EF AB，又因为ABAC，故EFA

27、C，因为PA 底面ABCD，EF 底面ABCD，所以，EFPA，因为PAACA=，PA、AC平面PAC，所以，EF平面PAC，因为EF 平面PEF，因此，平面PEF 平面PAC.【小问 2 详解】取BC的中点G，连接DG，因为/AD BG，12ADBCBG=，则四边形ADGB为平行四边形，所以，/AB DG，因为AB平面PAB，DG 平面PAB，所以，DG/平面PAB，所以，点D到平面PAB的距离等于点G到平面PAB的距离，因为PA 平面ABCD，AC平面ABCD，所以，ACPA，又因为ACAB，ABPAA=，AB、PA平面PAB，所以，AC 平面PAB，取AB的中点H，连接GH，因为H、G分别为AB、BC的中点，所以，/GH AC，所以，GH 平面PAB，又因为45ABC=，所以，点G到平面PAB的距离为1222GHAC=，所以，点D到平面PAB的距离为22.