2002数学三解析.pdf

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1、2002年数学(三)真题解析一、填空题(1)【答案】丄厂【解】limlnn 一 2na+17/(1 一 2a)In lim 1+8 In(l 2a)(2)【答案】do-J 2f(x,y)dy.【解】如图所示，改变积分次序得j；dj,y)dz+；町分(2,y)cLz=J：dr j 2f(x,y)dy.(3)【答案】一1.l2a(2)题图=ln e111 一 2a【解】因为Aa与a线性相关，所以Aa与a成比例,设即;(a=Aa 9，于是 2a+3=入，解得a=3a+4=入 9方法点评：本题考查向量组线性相关及特征值与特征向量的定义两点.注意：两个向量线性相关的充分必要条件是两个向量成比例.(4)【

2、答案】-0.02.【解】由X200.410.6X2Y210.28得 E(X2)=0.6,E(Y2)=0.5,E(X2Y2)=0.28,于是 Cov(x2,y2)=e(x2y2)-e(x2)e(y2)=-o.02.(5)【答案】X 1.广+r+8 工一&=t c+【解】E(X)=xf(j?)dj;=a:e(xd)dx=(&+)eckJ oo J 0 J 0e!df+r+J 0tec At=0(1)+r(2)=0+1,令o o +i=x,i=x,得0的矩估计量为e=x-i.e=x-i.方法点评：本题考查参数的矩估计法，需要熟练掌握广义积分的计算，尤其需要掌握r函 数的使用.f+oo所谓函数即：F(

3、a)=才Te-cLz,，性质有J 0F(a+1)=a F(a)9 r(n+1)!9 二、选择题（1）【答案】（B）.【解】由/（工）在（a,b）内可导得/（x）在（a,b）内连续，若 6 Ca,b）,则 7（工）在 W 处连续，即 lim/Xz）=/（），或 lim/（j：）_/（）=0,应选（E）.工十 工十（2）【答案】（A）.【解】由已知条件，得lim于是Q卄i.仍+1.lim =lim”f00 a“一*8=3,2及/5lim”f 8卄1 bna卄12bn卄12 9 1 1=-5 9 52Q卄1的收敛半径为R=5,应选（A）.阶矩阵，当加An时，r(A)minm,/?=，r(B)minm

4、 皿=n,r(AB minr(A),r(B)：n 0;当 a E(1,2)时，W(a)V 0,1 QQjr故当a=l时,V(a)最大，且最大值为 字 2 5 8 3n-l七、【解】(l)，)=fT+fT+|?+(3：_1)!+4 7 3n2乞+舌+肴+-+，2 3 4 n于是/+夕=1+工+|?+|?+务+?+=才2!3!4!n 00 3n(2)j/(h)=2:寸，由得;y(*r)满足+，=e,”=。)！N十1/心.d(zez),十厂咒)切五、【解】由/(sin2a:)一，得/&)sin xarcsin4jc于是 X J a/1 Xarcsin-axarcsin/x 1Z1、-d(1 x)2

5、jcz+1故=2z+1arcsin d 一 工=2 x arcsin=2 yi jc arcsin+2+C 方法点评：本题考查不定积分的分部积分法.当积分表达式中含有未知函数时，一般 有两种处理方法，一是根据题中给出的条件求出该未知函数，二是采用分部积分法消去 未知函数.2 4兀六、【解】如图所示,匕(+夕=e有特解y=故y+)+y=e的通解为y e$(Cicos書z+Czsin普工)+ye 2由夕(0)=1,(O)=0,得 G=,C2=0,故 S-舟的和函数为 yCx)=e 2 cos jc+eJ.”=o(3兀)！3 2 3方法点评：本题考查幕级数的和函数.求幕级数的和函数除采用逐项可积性和

6、逐项可微性等方法外，还有一种方法需要引起 注意，就是找出幕级数的和函数满足的微分方程，通过求出微分方程的解求出幕级数的和 函数.八、【证明】因为fM 在a,6上连续，所以/()在a,6上取到最小值m和最大值M,因为 gQ)0,所以 mg(z)W/XJgQ)W Mg(z),积分得m g(j;)djr f(x)g(x)dj?M g(_z)clz,J a J a J arb/(工)g(_Z)dz因为 I g(z)dr0,所以加 W-W M,g(x)dj：J aI djc由介值定理，存在W 6匕，刃，使得-,g(H)dz即/(z)g(工)dz=/()g(r)dz J a J a方法点评：本题考查闭区间

7、上连续函数的性质.证明有关闭区间上的连续函数的命题时，以下两种常用的思维需要注意：(1)设 m 在a,6上连续，若题中出现几个函数值相加时，一般采用介值定理.【例】设/(X)在0,2上连续，且/(0)+2/(1)+3/(2)=6,证明：存在w e 0,2，使 得/()=1.【证明】因为/(工)在0,2上连续，所以/(工)在0,2上取到最小值加和最大值M,由 6m/(0)+2/(1)+3/(2)W 6M,得 m 2k2时A+kEA+kE为正定矩阵.I 9 2 u 2 9十一、【解】U U的密度函数为/()=彳4其他.0,(1)PX=1,Y=1=PU w1,U w 1=PU w 1=3 J-2 4

8、PX=-l,Y=l=PU-1,U 10,PX1,Y-1=PU-1,CJ1=P-1 U-1,U1=PU1=2f(u)du=4-，J i 4于是(X,Y)的联合分布律为yX一 1 1-111 1T 71 4(2)令Z=X+Y，则Z的可能取值为一 2,0,2,PZ=_2=PX=_l,Y=_l=t，4PZ=0=PX=1,Y=1+PX=1,Y=1=*,PZ=2=PX=1,Y=1=2，4/2 0 2z的分布律为z 2 丄 丄 T T 7E(Z)=0,EQ)=4 X 2+4 X=2,4 4于是 D(X+Y)=D(Z)=E(Z2)-E(Z)2=2.十二、【解】设XEQ)，因为E(X)=*=5,所以XE(+),0,工 V 0,分布函数为Fx(h)=_x 由题意得y=minX,2.1 一 e 5,工 N 0,F(y)=P Y y =P min(X,2)y =1 P min(X,2)y =-PX y,2 yP2 y,当$2时，因为P 2 y=0,所以F(y)=l；当 y)=1,(0,y yPX y=_z 1 e,0W_yV2,0,o,于是 FCy)=p-ef,0 J；2,|1，2 2.