2002年考研数学(三)真题及详细解析.pdf

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1、20022002 年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题及解析年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题及解析一、填空题一、填空题(本题共本题共 5 5 小题小题,每小题每小题 3 3 分分,满分满分 1515 分分.把答案填在题中横线上把答案填在题中横线上)设常数a n2na1n1 _.，则limlnnn(12a)2ln1【分析】【分析】将所求极限转换为limn1n(12a)，利用等价无穷小代换化简求解，或1nln1111n(12a)n(12a)limn1112ann利用重要极限。【详解】【详解】法一：limlnnn2na1n limnn(12a)11n(12a)n2na 1n1112a lim

2、ln1 limlne12a法二：limlnnnnn(12a)n(12a)12a 交换积分次序：140dyyyf(x,y)dxdyf(x,y)dx _.121412y【分析】【分析】写出对应的二重积分积分域D的不等式，画出D的草图后，便可写出先对y后对x的二次积分【详解】【详解】对应的积分区域D D1 D2，其中1D1(x,y)0 y,y x y4111D2(x,y)y,y x 422画出D的草图如右图所示，则D也可表示为D(x,y)0 x 12,x y x212y120 x故140dyyyf(x,y)dxdyf(x,y)dx dx2f(x,y)dyx1214122T 设三阶矩阵A 212，三维

3、列向量(a,1,1)。已知A与线性相关，则304 1a _。【分析】【分析】由A与线性相关知，存在常数k使得A k，及对应坐标成比例，由此求出a122aa【详解】由于A 2121 2a3 304 13a4由A与线性相关可得：a2a33a4，从而a 1。a11 设随机变量X和Y的联合概率分布为Y概率X10.070.082200.180.3210.150.200122则X和Y的协方差Cov(X,Y)_。【分析】【分析】本题主要考查利用随机变量X和Y的联合概率分布求简单函数的概率分布、利用数学期望的定义求随机变量的数学期望、协方差的计算等。【详解】【详解】法一：由题设可得X1 0，Y0.40.601

4、 1，0.150.50.351 00.720.28X21 02，Y0.40.621 022，X Y0.50.5222从而E(X)0.6，E(Y)0.5，E(X Y)0.28故COV(X,Y)E(X Y)E(X)E(Y)0.280.3 0.02法二：由题设可得222222X1 0，Y0.40.622201 1，0.150.50.352222从而E(X)0 0.41 0.6 0.6，E(Y)(1)0.150 0.51 0.35 0.5E(X2Y2)(1)2020.07(1)2120.0802020.1802120.321 0 0.151 1 0.20 0.28故COV(X,Y)E(X Y)E(X)

5、E(Y)0.280.3 0.0222222222222评注：D(X)的定义D(X)E(X EX)，通常按公式D(X)E(X)(E(X)计算；222COV(X,Y)的定义COV(X,Y)E(X EX)(Y EY)，但通常按公式COV(X,Y)E(XY)E(X)E(Y)计算 设总体X的概率密度为e(x),x f(x;)x 0,而X1,X2,Xn是来自总体X的简单随机样本，则未知参数的矩估计量为_t【分析】【分析】根据矩估计的定义计算即可.【详解】【详解】由于E(X)txf(x;)dx xe(x)d limxde(x)t(x)dx 1 limetn1即为的矩估计量,因此 X 1根据矩估计量的定义,满

6、足E(X)X的Xi1ni1二、二、选择题选择题(本题共本题共 5 5 小题小题,每小题每小题 3 3 分分,满分满分 1515 分分.每小题给出的四个选项中每小题给出的四个选项中,只有一个符合题只有一个符合题目要求目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内把所选项前的字母填在题后的括号内)设函数f(x)在闭区间a,b上有定义，在开区间(a,b)内可导，则（A）当f(a)f(b)0时，存在(a,b)，使f()0（B）对任何(a,b)，有limf(x)f()0 x（）当f(a)f(b)时，(a,b)，使f()0（）存在(a,b)，使f(b)f(a)f()(ba)【分析】【分析】本题主要考查零点定理、

7、微分中值定理的理解及函数连续的概念。【详解】【详解】由于函数f(x)在闭区间a,b上有定义，在开区间(a,b)内可导，只能说明f(x)在开区间(a,b)内连续且可导，不能保证函数f(x)在闭区间a,b上连续，从而零点定理、罗尔定理、拉格朗日中值定理的条件不满足，从而不一定必有相应结论，所以（A）、（C）、（D）三选项都错；由于可导必定连续，从而f(x)在开区间(a,b)内连续，所以对任何(a,b)，有lim f(x)f()，从而应选（）x3251an设幂级数anx与bnx的收敛半径分别为与，则幂级数2xn的收敛半33n1n1n1bnnn径为（）5（）511（）（）335【分析】【分析】本题借用

8、加强法来完成，即假设limnan1b与limn1都存在。nbann【详解】【详解】假定所给幂级数的收敛半径可以按公式计算，则由题设知：an1xn1bn1xn15111lim，()xlim()xnnanxn3bnxn32an1n1x22222bn1ananbn52211bn1从而lim x lim x limlim()(3)x 5x2222n2nnnannanbn1anbn13x2bn所以应选（A）。an评注：已知幂级数anx的收敛半径为R，未必有lim R；当幂级数anxn的收nan1n1n1n敛半径为R，且limnaan存在时，才有limn R。naan1n1设A是mn矩阵，B是nm矩阵，则

9、线性方程组ABx 0（）当n m时仅有零解（）当n m时必有非零解（）当m n时仅有零解（D）当m n时必有非零解【分析】【分析】根据齐次线性方程组有非零解的充要条件判定。【详解】【详解】齐次线性方程组ABx 0有非零解的充要条件是r(AB)m。而当m n时r(AB)r(A)n m所以当m n时线性方程组ABx 0必有非零解。故应选（D)。评注：涉及齐次线性方程组解的判定问题，均可转化为系数矩阵秩的分析。设A是n阶实对称矩阵，P是n阶可逆矩阵。已知n维列向量是A的属于特征值的特征向量，则矩阵(P AP)属于特征值的特征向量是1T（A）P（B）P（C）P（D）(P)1 T1T【分析】【分析】本题

10、主要考查特征值与特征向量的关系以及矩阵的基本性质。利用特征值的定义检验。【详解】【详解】由已知A，于是4PTAPT，PTA(P1)TPTPT又由AT A，可得(P AP)PP，可见矩阵(P AP)属于特征值的特征向量是P。故应选（B)设随机变量X和Y都服从标准正态分布，则（A）X Y服从正态分布（B）X2Y2服从分布21TTT1TTX2（C）X和Y都服从分布（D）2服从F分布Y222【分析】【分析】主要考查正态分布的性质及分布、F分布的定义。利用服从标准正态分布的随机变量的性质及服从分布、F分布的随机变量的表达式对选项逐一检验，直到得到正确的选项。【详解】【详解】由于X和Y不一定相互独立，故（

11、A）、（B）、（D）不一定成立。由于随机变量。X和Y都服从标准正态分布，所以X2和Y2都服从2分布。故应选（C）三、（本题满分 5 分）22求极限lim0 x0 xu20arctan(1t)dtdux(1cosx)【分析】【分析】考查未定式极限及变上限函数求导数。对分母使用等价无穷小代换，然后利用洛必达法则。【详解】【详解】法一：lim0 x0 xu20arctan(1t)dtdux(1cosx)lim0 x0 xu20arctan(1t)dtdu1xx22 limx0 x20arctan(1t)dt32x22xarctan(1 x2)limx03x6法二：lim0 x0 xu20arctan

12、(1t)dtdux(1cosx)limx0 x20arctan(1t)dt1cosx xsin x2xarctan(1 x2)2arctan(1 x2)lim limx02sin x xcosxx0sin x2cosx6x四、（本题满分 7 分）设函数u f(x,y,z)有连续偏导数，且z z(x,y)由方程xe ye ze所确定，求du5xyz【分析】【分析】本题综合考查了多元函数微分法与隐函数微分法。【详解】【详解】将已知条件给出的所有关系式求微分得du fxdx fydy fzdzxyz(1 x)e dx(1 y)e dy (1 z)e dz(1 x)exdx(1 y)eydy从而du

13、fxdx fydy fz(1 z)ez(1 x)ex(1 y)ey)dx(fy fz)dy(fx fzzz(1 z)e(1 z)e评注：对多元函数求微分应充分利用微分形式的不变性，使计算简化。五、（本题满分 6 分）设f(sin x)2xx，求f(x)dxsin x1 x【分析】【分析】先求出f(x)的表达式，再计算不等积分。【详解】【详解】法一：令u sin x，则sin x 2u，x arcsinu，从而f(u)arcsin uu于是xarcsinxf(x)dx dx 2arcsinxd 1 x1 x1 xx 1 x11dx1 xx 2 1 x arcsin 2 1 x arcsinx 2

14、 x C法二;令x sin t，则2xsinttf(x)dx f(sin2t)2sin tcostdt 2sin2tdtcostsint1 x 2 tsintdt 2 td cost 2tcost 2sin t C、2 1 x arcsinx 2 x C评注：被积函数中含有反三角函数或对数函数，一般应考虑使用分部积分法。六、（本题满分 7 分）设D1是由抛物线y 2x和直线x a,x 2及y 0所围成的平面区域；D2是由抛物线y 2x和直线y 0,x a所围成的平面区域，其中0 a 2226（）试求D1绕x轴旋转而成旋转体的体积V1；D2绕y轴旋转而成旋转体的体积V2；（）当a为何值时，V1V

15、2取得最大值？试求此最大值。【分析】这分析】这类求旋转体体积应用题正确做出草图，明确平面域D1,D2对于问题的分析求解非常重要，然后利用公式求出V1,V2；第二问利用导数便可解决。【详解】【详解】做出D1,D2草图 如右图所示（）由旋转体体积公式可得4(32a5)V1(2x)dx a5222V22x(2x2)dx a40a4(32a5)a4，（）由（）知：V V1V2（0 a 2）5则V 4a(1a)，从而V在(0,2)内有唯一驻点a 1，且V(1)4 0。因此当a 1时，V1V2取得最大值，此时最大值为七、（本题满分 7 分）3129。5x3x6（）验证函数y 13!6!x3n(3n)!(x

16、 )满足微分方程xy y y ex3n（）利用（）的结果求幂级数的和函数n0(3n)!【分析】【分析】考查幂级数的运算、e的麦克劳林级数及求解二阶常系数非齐次微分方程。xx3n【详解】【详解】（）由于y(x)，所以(3n)!n0 x3n1x3n2y(x)，y(x)(3n1)!(3n2)!n1n1x3n2x3n1x3nxn ex从而y y y n1(3n2)!n1(3n1)!n0(3n)!n0n!72（）特征方程为1 0，特征根为1,213i。2从而对应的齐次方程的通解为：Y e*x1x2(C1cos33xC2sinx)22设y Ae是原方程的通解，代入原方程得：A 1x211x*，于是y e3

17、3所以非齐次方程通解为y e(C1cos331xC2sinx)ex。223又因为和函数满足y(0)1,y(0)0，代入上式得C1x2131xex（x）和函数为y e2cos。3232，C2 0。故所求幂级数的3八、（本题满分 6 分）设函数f(x),g(x)在a,b上连续，且g(x)0。利用闭区间上连续函数的性质，证明存在一点a,b，使baf(x)g(x)dx f()g(x)dxab【分析】【分析】本题主要考查闭区间上连续函数的介值定理、最大最小值定理及定积分的保号性定理本题只要证明baf(x)g(x)dxb介于f(x)在a,b上的最大、最小值之间即可。ag(x)dx【详解】【详解】由于f(x

18、)在a,b上连续，所以在该区间上存在最大、最小值，不妨分别记为M,m从而对任意的xa,b，恒有m f(x)M又因为g(x)0，因此mg(x)f(x)g(x)M g(x)根据积分的保号性可得bamg(x)dx f(x)g(x)dx M g(x)dx，所以有aabbm baf(x)g(x)dxbag(x)dx M根据闭区间上连续函数的介值定理可得，存在一点a,b，使得8baf(x)g(x)dxbag(x)dx f()从而命题成立九、（本题满分 8 分）设齐次线性方程组ax1bx2bx3bx ax bx 123bx1bx2bx3bxn 0bxn 0axn 0其中a 0,b 0，n 2。试讨论a,b为

19、何值时，方程仅有零解、无穷多组解？在有无穷多解时，求出全部解，并用基础解系表示全部解。【分析】【分析】设A是系数矩阵，则A是n阶方阵，从而r(A)n，即A 0时方程组只有零解；当r(A)n，即A 0时方程组有无穷多组解，利用初等行变换求出通解。【详解】【详解】设A是方程组的系数矩阵，则abA bbbabbbbbb10bba(n1)bba1ab0010001bbb101abb1bbb1bbaa(n1)ba(n1)b(ab)n1000ab 当a b且a (1n)b时，A 0，方程组有唯一解零解；当a b时，方程组有无穷多组解，此时对A进行初等行变换,有 10A0从而原方程组的同解方程组为1001

20、00 xn 0 x1 x2 x3其基础解系为91(1,1,0,0)T，2(1,0,1,0)T，n1(1,0,0,1)T方程组的全部解为x k11k22kn1n1（k1,k2,kn1为任意常数）当a (1n)b时，方程组有无穷多组解，此时对A进行初等行变换,有11n11nA 1111x1 xnx x2nxn1 xn其基础解系为1 1011 1n1011n01010001011100从而原方程组的同解方程组为(1,1,1,方程组的全部解为,1)Tx k（其中k为任意常数）十、（本题满分 8 分）设A为三阶实对称矩阵，且满足条件A 2A 0，已知A的秩r(A)2（）求A的全部特征值；（）当k为何值时

21、，矩阵AkE为正定矩阵，其中E为三阶单位矩阵。【分析】【分析】本题考查特征值与特征向量的性质及正定矩阵与特征值之间关系。（）A的特征值必须满足A,(0)，利用特设条件A 2A 0可求得的值，但所求的是否是全部特征值呢？是几重特征根？这须利用条件A的秩r(A)2来解决；（）利用（）的结果写出AkE的全部特征值，当其全部特征值都大于零时，矩阵AkE为正定矩阵。【详解】【详解】（）设是矩阵A的一个特征值，对应的特征向量为，则A，A 2于是(A 2A)(2)，由条件A 2A 0可得，(2)0，解得2222222 0，210因为实对称矩阵必可对角化，且r(A)2，从而A200020000从而矩阵A的全部

22、特征值为：2,2,0；（）由（）知矩阵A的全部特征值为：2,2,0，从而矩阵AkE的全部特征值为k 2,k 2,k。于是当k 2时，矩阵AkE为正定矩阵。十一、（本题满分 8 分）假设随机变量U在区间2,2上服从均匀分布，随机变量X 1,若U 11,若U 1，Y 1,若U 11,若U 1试求：（）X和Y的联合分布；（）D(X Y)【分析】【分析】首先通过所给的X和Y的取值，判断出(X,Y)的几种可能取值，以及取这些可能值的条件，计算(X,Y)的各组值的概率，确定X和Y的联合分布；（）利用方差公式算出D(X Y)或通过X和Y的联合分布，写出X Y和(X Y)的概率分布，从而利用公式算出D(X Y

23、)。【详解】【详解】（）随机变量(X,Y)的可能取值为(1,1)、(1,1)、(1,1)、(1,1)，而2PX 1,Y 1 PU 1,U 1 PU 11211du 44PX 1,Y 1 PU 1,U 1 P 011du 142211PX 1,Y 1 PU 1,U 1 PU 1du 144于是X和Y的联合分布Y11X101411124PX 1,Y 1 PU 1,U 1 P1U 1111（）法一：由于D(X Y)E(X Y)E(X Y)22111(1)101(1)11 042411122222E(X Y)1(1)(1)1 01(1)11 2424而E(X Y)1(1)所以D(X Y)2法二：由（I

24、）可知X Y和(X Y)的概率分布为：2X Y21 4012221，(X Y)42 01 2412可见E(X Y)0，E(X Y)2，从而D(X Y)2。十二、（本题满分 8 分）假设一设备开机后无故障工作的时间X服从指数分布，平均无故障工作的时间E(X)为5小时。设备定时开机，出现故障时自动关机，而在无故障的情况下工作两小时便关机。试求该设备每次开机无故障工作的时间Y的分布函数F(y)。【分析】【分析】X服从指数分布，而指数分布由参数确定，且EX 定的值。根据题意Y minX,2【详解】【详解】设X服从参数为的指数分布，由于EX 因此X1，有已知条件可以确1 5，可见参数。511E()，其概率密度为5x11 e5,x 0f(x)50,x 0根据题意Y minX,2，所以F(y)P minX,2 y当y 0时，F(y)P minX,2 y PX y 0；当0 y 2时，F(y)P minX,2 y PX y当y 2时，F(y)P minX,2 y 1；12y01xy11e5dx 1e5；50,y 01y于是Y的分布函数F(y)为：F(y)1e5,0 y 2。1,y 213