2002年数学三真题答案解析.pdf

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1、12002 年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题解析年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题解析一、填空题一、填空题(1)【答案】11 2a【详解】ln“”里面为1“ ”型，通过凑成重要极限形式来求极限，1(1 2 )1 2211limlnlimln 1(1 2 )(1 2 )nnaannnnanana(1 2 )11limln 11 2(1 2 )nanana11ln1 21 2eaa(2)【答案】2120( , )xxdxf x y dy【详解】画出与原题中二次积分的限所对应的积分区域1D与2D，将它们的并集记为D于是111422104( , )( , )yyydyf x y dxdyf

2、x y dx( , )Df x y d再将后者根据积分定义化为如下形式，即2102xyxx从， 从，所以2120( , )( , ).xxDf x y ddxf x y dy(3)【答案】1【详解】122212123 ,304134aaAaa 由于A与线性相关，(两个非零向量线性相关，则对应分量成比例)，所以有2233411aaaa，得2334,1.aaa 或,(0)Akk(两个非零向量线性相关，则其中一个可以由另一个线性表出)即231341aaaka ，得2334akaakak，得1.(1)ak (4)【答案】0.02【详解】2X、2Y和2X2Y都是0 1分布，而0 1分布的期望值恰为取1时

3、的概率p由离散型随机变量X和Y的联合概率分布表可得2X的可能取值为 0 和 1，且2Y的可能取值也为 0 和 1，且X和Y的边缘分布为00.070.180.150.4P X ；10.080.320.200.6P X ；10.070.080.15P Y ；00.180.320.5P Y ；10.150.200.35P Y ；故有X010.40.6Y1010.150.50.35220,00,00.18,P XYP XY220,10,10,10.070.150.22,P XYP XYP XY 221,01,00.32,P XYP XY221,11,11,10.080.200.28,P XYP XYP

4、 XY 而边缘分布律：2000.4P XP X，2110.6P XP X，2000.5P YP Y，21110.150.350.5P YP YP Y 所以，22(,)XY的联合分布及其边缘分布为32Y2X01001802204010320280600500501由上表同理可求得22X Y的分布律为22X Y01P072028所以由0 1分布的期望值恰为取 1 时的概率p得到：2222222222()0.5()0.60,(0.28cov() ()0.280.6 0.50.02E XE YE X YXYE X YE XE Y ，）（，） （）(5)【答案】1X 【详解】矩估计的实质在于用样本矩来估

5、计相应的总体矩，此题中被估参数只有一个，故只需要用样本一阶原点矩(样本均值)来估计总体的一阶原点矩(期望)期望()()( )1xE Xxf x dxxedx样本均值11niiXXn用样本均值估计期望有EXX，即111niiXn ，解得未知参数的矩估计量为1111niiXXn 二、选择题二、选择题(1)【答案】(B)【详解】方法方法 1：论证法由题设( )f x在开区间( , )a b内可导，所以( )f x在( , )a b内连续，因此， 对于( , )a b内的任意一点， 必有lim ( )( ).xf xf即有lim ( )( )0 xf xf 故选(B)方法方法 2：排除法(A)的反例：

6、1( , ( )1xa bf xxa，有( )1,( )1,( ) ( )10f af bf a f b ，4但( )f x在( , )a b内无零点(C)与(D)的反例，( 1,1( )11xxf xx ( 1)(1)1ff，但( )1fx(当( 1,1)x )，不满足罗尔中值定理，当然也不满足拉格朗日中值定理的结论故选(B)(2)【答案】(D)【详解】方法方法 1：A是m n矩阵，B是n m矩阵，则AB是m阶方阵，因()min( ( ), ( )r ABr A r B当mn时，有()min( ( ), ( )r ABr A r Bnm(系数矩阵的秩小于未知数的个数)方程组0AB x 必有非

7、零解，故应选(D)方法方法 2：B是n m矩阵, 当mn时,，则( )r Bn，(系数矩阵的秩小于未知数的个数)方程组0Bx 必有非零解，即存在00 x ，使得00Bx ，两边左乘A，得00ABx ，即0ABx 有非零解，故选(D)(3)【答案】(B)【详解】方法方法 1：由题设根据特征值和特征向量的定义，A，A是n阶实对称矩阵，故TAA设1TP APB，则111()TTTTTTTBP A PP APP A P上式左乘1TP，右乘TP，得111()()()TTTTTTPBPPP A PP，即1TTAPBP，所以1()TTAPBP两边左乘TP，得1()()TTTTP PBPP得()TTB PP根

8、据特征值和特征向量的定义，知1()TBP AP的对应于特征值的特征向量为TP，即应选(B)方法方法 2：逐个验算(A)，(B)，(C)，(D)中哪个选项满足，由题设根据特征值和特征向量的定义，A，A是n阶实对称矩阵，故TAA设1TP AP属于特征值的特征5向量为，即1TP AP，其中111TTTTTTP APP A PP AP对(A)，即令1P，代入111()TTP APPP对(B)，1()TTTP APP1()TTTP A PP1()TTTP A PPTP A()TP成立故应选(B)(4)【答案】C【分析】(i)2变量的典型模式是：222212nXXX，其中iX要求满足：iX相互独立，(0,

9、1)iXN称2为参数为n的2变量(ii)F变量的典型模式是：12/X nFY n，其中,X Y要求满足：X与Y相互独立，2212(),()XnYn，称F为参数为12,n n的F变量【详解】方法方法 1：根据题设条件，X和Y均服从(0,1)N故2X和2Y都服从2(1)分布，答案应选(C)方法方法 2：题设条件只有X和Y服从(0,1)N，没有X与Y的相互独立条件因此，2X与2Y的独立条件不存在，选(B)、(D)项均不正确题中条件既没有X与Y独立，也没有(, )X Y正态，这样就不能推出XY服从正态分布的选项(A)根据排除法，正确选项必为(C)三三【详解】220000003arctan(1)arct

10、an(1)limlim1(1 cos )2xuxuxxt dt dut dt duxxx 等2002arctan(1)lim32xxt dtx洛洛20arctan(1) 2lim3xxxx23 46四四【详解】方法方法 1：用一阶微分形式不变性求全微分123duf dxf dyf dz( , )zz x y由xyzxeyeze所确定，两边求全微分，有()()()()()xyzxyzd xeyed zed xed yed ze6xxyyzzxe dxe dxye dye dyze dze dz，解出(1)(1),(10).(1)xyzexdxeydydzzez 设所以du 123(1)(1)(1

11、)xyzexdxeydyf dxf dyfez1323(1)(1)(1)(1)xyzzexeyffdxffdyezez方法方法 2：1323,uzuzffffxxyy(根据多元函数偏导数的链式法则)下面通过隐函数求导得到zx，zy由xyzxeyeze两边对x求偏导数，有(),xxzzzxeezeex得xxzzzxeexzee，(10)z 设类似可得，yyzzzyeeyzee ，代入,uuxy表达式1323(),()xxyyzzzzuxeeuyeeffffxzeeyzee，再代入uududxdyxy中，得du1323(1)(1)(1)(1)xyzzexeyffdxffdyezez五五【详解】首先

12、要从2(sin)sinxfxx求出( )f x命2sinux，则有sin xu，arcsinxu，于是arcsin( )uf uu(通过换元求出函数的表达式)arcsin( )11xxxf x dxdxxxxarcsin1xdxxsin2sin coscosxttttdtt (换元积分法)7sinttdt 2cossintttC(分部积分法)21arcsinxxxC六六【分析】旋转体的体积公式：设有连续曲线:( )()yf x axb，( )0f x 与直线,xa xb及x轴围成平面图形绕x轴旋转一周产生旋转体的体积2( )baVf xdx.【详解】(1)2225142(32)5aVxdxa2

13、2222420202aVaax dyaa(2)54124(32)5VVVaa根据一元函数最值的求法要求驻点，令34(1) 0dVaada=,得1a . 当01a时0dVda，当12a时0dVda，因此1a 是V的唯一极值点且是极大值点，所以是V的最大值点，129max5V七七【解】(1)369331( )113(3 )!(3 )!nnnxxxxxy xnn +！ 6！ 9！，由收敛半径的求法知收敛半径为，故由幂级数在收敛区间上逐项可导公式得3311( )(1)(3 )!(3 )!nnnnxxy xnn3113(3 )!nnnxn311(31)!nnxn，同理得321(32)!nnxyn 从而(

14、 )( )( )y xy xy x32313111()()(1)(32)!(31)!(3 )!nnnnnnxxxnnn11!nnxn (由xe的麦克劳林展开式)xe这说明，30( )(3 )!nnxy xn是微分方程xyyye的解，并且满足初始条件8310(0)1(3 )!nnyn 1，3110(0)(31)!nnyn0.(2)微分方程xyyye对应的齐次线性方程为0yyy，其特征方程为210 ，其特征根为1322i，所以其通解为21233cossin22xyeCxCx.另外，该非齐次方程的特解形式为xyce，代入原非齐次方程得xxxxcececee，所以13c .故微分方程xyyye的通解为

15、212331cossin223xxyeCxCxe.故2212121333331cossinsincos 2222223xxxyeCx CxeCxCxe 2221121331331(2)sin(2)cos2222223xxxeCCxeCCxe 由初始条件(0)1,(0)0yy得0021210002221121233111cos0sin0223313313310(2)sin0(2)cos02222223131223eCCeCeCCeCCeCC 解得1121131310223CCC，于是得到惟一的一组解：122,0.3CC从而得到满足微分方程xyyye及初始条件(0)1,(0)0yy的解，只有一个，

16、为92231cos323xxyexe另一方面，由(1)已知30( )(3 )!nnxy xn也是微分方程xyyye及初始条件(0)1,(0)0yy的解，由微分方程解的唯一性，知3212311cos().(3 )!323xnxnxexexn 八八【详解】方法方法 1：因为( )f x与( )g x在, a b上连续，所以存在1x2x使得1 , ()max( )xa bf xMf x，2 , ()min( )xa bf xmf x，满足( )mf xM又( )0g x ，故根据不等式的性质( )( ) ( )( )mg xf x g xMg x根据定积分的不等式性质有( )( ) ( )( ),b

17、bbaaamg x dxf x g x dxMg x dx所以( ) ( ).( )babaf x g x dxmMg x dx由连续函数的介值定理知，存在 , a b，使( ) ( )( )( )babaf x g x dxfg x dx即有( ) ( )( )( )bbaaf x g x dxfg x dx方法方法 2： 因为( )f x与( )g x在, a b上连续， 且( )0g x ， 故( ) ( )baf x g x dx与( )bag x dx都存在，且( )0.bag x dx 记( ) ( )( )babaf x g x dxhg x dx，于是( ) ( )( )( )

18、,bbbaaaf x g x dxhg x dxhg x dx即( ( ) ( )0baf xh g x dx因此必存在( , )a b使( )fh不然，则在( , )a b内由连续函数的零点定理知要么10( )f xh恒为正， 从而根据积分的基本性质得( ( ) ( )0baf xh g x dx； 要么( )f xh恒为负，同理得( ( ) ( )0baf xh g x dx，均与( ( ) ( )0baf xh g x dx不符由此推知存在( , )a b使( )fh，从而( ) ( )( )( )bbaaf x g x dxfg x dx九九【详解】方法方法 1：对系数矩阵记为A作初等

19、行变换21311000000nabbbabbbbabbbaabAbbabbaabbbbabaab行行行行行行当(0)ab时， 1,0r AAX的同解方程组为120nxxx，基础解系中含有1n个(未知数的个数-系数矩阵的秩)线性无关的解向量，取23,.,nx xx为自由 未 知 量 ， 分 别 取231,0,.,0nxxx，230,1,.,0nxxx， ,230,0,.,1nxxx得方程组1n个线性无关的解1211,1,0,0,1,0,1,0,0,1,0,0,1TTTn ，为 基 础 解 系 ， 方 程 组0AX 的 全 部 解 为1 12211nnXkkk， 其 中(1,2,1)ik in是任

20、意常数当ab时，000000abbbbaabAbaabbaab23110010101001a ba bna babbb行/()行/()行/()12131(1)000110010101001bbnbanb行行行行行行当ab且(1)anb 时，(1)0Aanb，( ),0r An AX仅有零解.11当(1)anb 时， 1,0r AnAX的同解方程组是121310,0,0,nxxxxxx基础解系中含有1个线性无关的解向量，取1x为自由未知量，取11x ，得方程组1个非零解1,1,1T，即其基础解系，故方程组的全部解为Xk，其中k是任意常数方法方法 2：方程组的系数行列式abbbbabbAbbabb

21、bba(1)(1)2.(1)1(1)anbbbbanbabbnanbbabanbbba把第 ， 列加到第 列111(1) 11bbbabbanbbabbba提取第 列的公因子1210003-1(1) 000-1000bbbabanbabnab第 行第 行第 行 第 行第 行 第 行1(1) ()nanb ab(1)当ab且(1)anb 时，0A ，( )r An方程组只有零解(2)当(0)ab时，a a aaa a aaAa a aaa a aa210 0 00310 0 0010 0 00a a aan第 行 第行第 行 第行第 行 第行1 1 110 0 00110 0 000 0 00a

22、第行12方程组的同解方程组为120nxxx基础解系中含有1n个(未知数的个数-系数矩阵的秩)线性无关的解向量，取23,.,nx xx为自由未知量， 分别取231,0,.,0nxxx，230,1,.,0nxxx， ,230,0,.,1nxxx得方程组1n个线性无关的解1211,1,0,0,1,0,1,0,0,1,0,0,1TTTn ，为 基 础 解 系 ， 方 程 组0AX 的 全 部 解 为1 12211nnXkkk， 其 中(1,2,1)ik in是任意常数(1)当(1) (0)anb b 时，(1)(1)(1)(1)n bbbbbn bbbAbbn bbbbbn b1,2,.,111111

23、11111111111nbnnnn行分别111121003100100nnnnnnnn行行行行行行111111002,.,101011001nnn 行分别000011002,.,10101001n 把第行都依次加到第1行 1r An，其同解方程组是121310,0,0,nxxxxxx基础解系中含有1个线性无关的解向量，取1x为自由未知量，取11x ，得方程组1个非零解1,1,1T，即其基础解系，故方程组的全部解为13Xk，其中k是任意常数十十【详解】(1) 设是A的任意特征值，是A的属于的特征向量，根据特征值、特征向量的定义，有,0,A 两边左乘A，得2AA 2 +2*得2222AA 因220

24、AA，0，从而上式22220AA ，所以有220，故A的特征值的取值范围为0, 2因为A是实对称矩阵，所以必相似于对角阵，且的主对角线上元素由A的特征值组成，且( )( )2r Ar ，故A的特征值中有且只有一个 0.(若没有 0，则222，故( )( )3r Ar 与已知矛盾；若有两个 0，则200，故( )( )1r Ar 与已知矛盾；若三个全为 0，则000，故( )( )0r Ar 与已知矛盾). 故220A即A有特征值1232,0 (2)AkE是实对称矩阵，A有特征值1232,0 ，知AkE的特征值为2,2,kkk因为矩阵正定的充要条件是它的所有的特征值均大于零，故AkE正定200k

25、k20kk2k故2k 时AkE是正定矩阵十一十一【分析】(, )X Y有四个可能值，可以逐个求出在计算过程中要注意到取值与U的值有关U的分布为均匀分布，计算概率不用积分都行，可以直接看所占区间的长度比例即14可【详解】(, )X Y只有四个可能值( 1, 1),( 1,1),(1, 1)(1,1) 和依照题意，有1 ( 2)11,11,11;2( 2)4P XYP UUP U 1,11,10;P XYP UUP 11,11,111;2P XYP UUPU 11,11,11.4P XYP UUP U 于是，(, )X Y分布为YX11114011214(2) 因为22()() ()D XYE X

26、YE XY， 所以我们应该知道XY和2()XY的分布律对离散型随机变量，XY的取值可能有2,0,2;2()XY的取值可能有 0 和 4；121,1,4P XYP XY 1101,11,10,22P XYP XYP XY 121,1,4P XYP XY2100,2PXYP XY214222PXYP XYP XY XY和2()XY的分布律分别为和所以由离散2()XY04P1212XY202P14121415型随机变量的数学期望计算公式有：1()nkkkE XxP Xx所以有，2224()0,()2442E XYE XY 22()() ()2D XYE XYE XY十二十二 【详解】 首先找出随机变

27、量Y的表达式Y由X和 2(小时)来确定， 所以min(,2)YX指数分布的X的分布参数为11,()5E X其密度函数为：1510( )500 xXexfxx 其中0是参数由分布函数的定义：( )min(,2)F yP YyPXy(1) 当0y 时，( )0YFy (因为min,2YX，其中X和2都大于0，那么小于0是不可能事件)(2) 当2y 时，( )1YFy (因为min,2YX最大也就取到2，所以小于等于2是一定发生的，是必然事件)(3) 当02y时,( )min(,2)F yP YyPXyP Xy115501( )15xyyyXfx dxedxe 所以1500( )10212yYyFyeyy