2019年数学三真题答案解析.pdf

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1、数学（三）参考答案一、选择题Cl) C 解tanx的麦克劳林展开式为X X +-3 3 + o (x) , 故xtanx-x3, 则k=3. 故应选C.3 CZ) D 解设f(x)=工55x+k, 则厂(x)=5兀45令f1Cx) =O, 得x=土1.当X O; 当-lxl时，_f(x) l时，f1(x) 0. 又limf(x)=+=, limf(x)=-=, 结合单调性知，f(-l)O, f(l)O,J(l) =l-5+ k O, 则-4 k 4. 故应选D.(3) D 解由薇分方程通解形式可知，y = CC1 + C2x)e一工为齐次方程的通解，y =e工为非齐次方程的特解， -1为特征方

2、程入z+a入+b =0的二重根，得2 1a + b =O, 且l+a +b=c,a4b =O, 由此解得a=Z,b =l,c =4. 故应选D.(4) Bu 解因为limI I =O, 且nun绝对收敛 ，由比较判别法可知Un也绝对收敛n-= nu Inee) 二a而当2二条件收敛 时,vn的敛散性不定n n-1 n-1 如果令)in=(-厅及)in=(l) =)i时心：二都是条件收敛，ln(n + 1) nl n（沁=co 而)in=(-1)发散，-(-1)Fl ln(n + 1) 收敛，可知(un+l!n)的敛散性是不确定的n-1nl 则C、D都不正确= o, 再判断2汇)in的敛散性：由

3、于limI Un)! n I)/n n-= nu I飞弝了=O,且nun绝对收敛，由比较判别法n-1n二,可知区汇）n是绝对收敛的故应选B.nl (5) A 解由线性方程组Ax=O的基础解系中只有2个向械，则2=4r(A), 故r(A)=2.由于当r(A) nl时(n 为A的阶数），r(A补）=0. 故应选A.(6) C解设入是A的特征值，根据A2+A =ZE得：入z+入2, 解得入l或2. 2019 2019 年年由于）A是3阶实对称矩阵，则A有3个特征值且A的3个特征值的积为IA I的值，故A的三个特征值的积为1,-2,-2,正惯性指数为1,负惯性指数为2,故二次型xTAx的规范形为Yi丈

4、丈故应选C.(7) C解由P(AB)=P(BA)得p (AB) = p (A) -p (AB) = p (BA) = p (B)P(AB)台P(A)=PCB).故应选C.(8) A解由X-N(伈矿），Y-N(, 矿汃且相互独立，X-Y 则E(XY)=O,D(X-Y)=DX+DY= 2扎得-N(O,l),屈6故PIX-Y I(上）-1与矿有关，与无关我6迈6迈6故应选A二、填空题(9) e-1解原式=lim(11 1 11 1 n n-=勹丁了厂言寸=! 式气飞叶（了忙“一=(士）limn =e 故应填e-1.(IO) (六:,-2) =e -1 解y.+ 2. = s1nx x cosx -

5、sin冗=x cosx -s1nx , y = cosx -X s1nx - COSX =x s1nx. 令y=O, 得x1=O,x2 =穴，再判断X1,X2两点的左右两侧二阶导数是否异号；在X1左侧yo,右侧yo,故(0,2)不是拐点；Xz左侧yo,所以拐点为（六2).2 故应填（六-2).1 (11)(1-2,/2)18 解由分部积分法：x2f1 I 1 1 1 I 3 fJCx)dx3 =了x汀ex) Io了Iax 3 J(x) dx , CD(x)dx =-又八1) =五了尸dt=O,J(x) =./i丁了，代入CD式：扣(1)-习lxa汇了-dx=-_!_ 上五言了dx43 0 3

6、4 0 1 2 3 1 1 飞3Cl+x4)21。飞(1-2迈）1 故应填一(1-2迈）18 (12) 0. 4解当PB=20时，QA=500Pi20P A + 2 202 = 1300 - 20P A -Pi,PA dQA凡2PA(PA+ 10) 则f/AA= -=-刁- . (202P A) = _ _ _ _ _ _ QAdPA -? 所以f/AAI =0.4. 故应填0.4. PA =10 (13) 1解由题意得:.-(: 。1 汇(。1 )-( 。1 1 1 1 。1 。1 a2 -1 a 0 1 a2 -1 a 0 。a2 -1 要使Ax=b有无穷多解，则应使r(A)=r(A) 3

7、, 当azl =a1 =O, 即a=l时，r(A) =r(A) =2 3. 故应填1. I 101-a 2_3 、丿4 1（X 由随机变量X的概率密度f(x)=仁-,Ox2, l 可知X的分布函数o, 其他，厂X Q, 2 2 F(X)l了, Ox EX -1 =PF i_1 =P卢1 3 4 3 解=PX纠寸王dx= 屈左23. 故应填.2 3 三、解答题(15)解当XO时，J(x)=2x气lnx + 1); 当X 0 , ex (x + 1), X 0. 令J(x) =0, 得驻点x=l,x =一1 e 1 当xl或Ox一时，J(x) O; 淘宝店铺：光速考研工作室1 当Ix时，j(x)

8、0. e 所以f(x)在区间(邑-1)和(o且）内单调减少，e 在区间(1, 0)和（上，十内单调增加，从而f(x)的极小值为e ） 1 1二f(1) =1, !() =e极大值为f(O) = 1. e e (16)解因为ag ax =y-J.(x+y,xy)f,(x+y,x-y), ag =x ayJ. (x + y ,x -y) + J, (x + y ,x -y),臼仁(x+ y,x -y)2儿(x+ y,xy)-几(x+ y,xy) a2g =1J (x+y,x-y)十几(x+y,x -y), a戎ya2g ay2 J (x +y,xy) +2儿(x+ y ,x -y)儿(x+ y ,

9、x -y), 所以a2 g a2 g a2 g + +-=13f (x+y,x-y)儿(x+ y,xy). ax2 a戎Yay2 (17)解C I)由一阶线性微分方程的通解公式，得y(x) =i心(C+ f l ee -f x扛心）=e(石+C).2石因为y(l)=心，所以C=O.已从而y(x) = rx矿(II)D绕x轴旋转所得旋转体的体积为V= f:rcy2(x)心=f rcx ex2 dx =王exz12 =王(e4e).21 2 (18)解由题意，所求面积为+= = s = I -x （叶1).e I SlllX I dx =(1) f亡sinx心，n-0 吓因为(n+l)穴(n+l)

10、穴n+D亢尸sinxdx = -e-x cosx I -f e-x cosx心九亢“兀n穴得所以= (-l)e一(n+I)穴十e-n穴J厂I)亢e-xsinxdx. n穴厂1)兀尸sinxdx = (-1) e一（叶!),十e-n亢Jn兀21 S= -n兀一(n+ll六e穴+12 e +e n-。2(e六-1)淘宝店铺：光速考研工作室(19)解(I)a.+1-a.= f x(x1) ,Ji-=了dx.因为在积分区间0,1上，x(x1) .jj二7o且不恒等于o,所以a.+1-a. O, 所以-l,从而Jim-=1.n + 2 a,_1 . -, a, 一1(20)解由等价的定义可知：P1 ,P

11、2 ,Pa都能由a1,a2,aa线性表示，则有r(a1,a2 ,a3) =r(a1 ,a2 ,a:1 ,p口，2,Pa), 对Ca1,a2 ,aa ,P1 ,P2 ,Pa)作初等行变换可得：(: : : :)-( 1 : 4 4 a2+3 i a+3 1a a2 + 3 0 0 a2 -1 当a=1时，有r(a1,a2 ,aa) r(a1 ,a2 ,aa ,Pi ,P2, 凡）；当a=l时，有r(a1,a2 ,aa) =r(a1 ,a2 ,aa ,P1 ,P2 ,Pa) =2; 可知a#l且a# -l时，此时r(a口a2,a3) =r(a1 ,a2 ,as ,P1 ,P2 ,Pa) =3, 则

12、有a=l或者a#l且a#1时，Pi,P2 ,Pa可由a1,a2 ,aa线性表示，此时要保证a门a2,aa可由P口，2,Ps线性表示对CP1,P2 ,Ps ,a1 ,a2 ,as)作初等行变换可得：(: :a+3 l-a a2+3 1。a-l 0 1 2 2) l-a a2-l : !)-4 4 a2 + 3 : : 矿-1当a=l时，有r(P1,Pz ,p3) =rP1 ,Pz ,p3 ,a1 ,az ,a3) =2, 可知当a -=I=- l且a -=/=-l时，此时r(P口，2,p3) =rCP1 ,Pz ,p3 ,a1 ,az ,a3) =3, 此时，a1,az ,a3可由P1,Pz ,

13、p3线性表示121 1 。1a 1 3 (1a) 2 2aaI l 淘宝店铺：光速考研工作室综上所述：当a #-1时，向量组O心心与向最组P1,P2 ,p3可相互线性表示当a ,c 1时，(a,心心，-( : ; - ; 10 0 a2-l : 则P3=a 1a2 +a3. aJ (0 1 i 1) 当a1时，(a,心心,p,)-(. : 0 0 0 -(:! -:l-I 2 30基础解系为(一：2) (k E R), 则P,32k)a, I Ck2)a, +-ka,. (21)解C I)因为矩阵A与B相似，所以tr(A)= tr(B), I A曰BI ,即x-4=y+l,解得X=3,y =2

14、.4x -8=2yC II) 矩阵B的特征多项式为I入E-BI=(入2)(入十1)(入+2)所以B的特征值为21,-2.由于A与B相似，所以A的特征值也为2,-1, -2.A的属于特征值 2的特征向量为f1=0,-2,0)勹A的属于特征值-1的特征向量为名（2,1,0)勹A的属千特征值-2的特征向量为名=Cl,-2, 4) T 记P, (名主屯），于是PtAP, ( i )0 02 B的属千特征值 2的特征向量为r;1= (1,0 ,0)勹B的属于特征值-1的特征向量为f/2=(1,-3,0)勹B的属于特征值- 2的特征向量为平=(O,O,l)T.记P,(,平，平汃于是P;BP,( _I )

15、. 0 0 -2 由P-;-1AP1=P;1BP2, 得CP1P;1)-1A(P1P;-1) =B.-z): 1 : F2令PP,P;(。2 2 3 1 1 。4 3 。 。1 :) 则P-1AP=B. (22)解CI) z的分布函数为凡(z)=PZ冬z=PXY冬z I Y=lP Y =l +PXY,s; z I Y=lPY=l ppX冬z+ (1p)PX ,s; z. 当zO时，凡(z)= pP X泛-z + (1 -p) 0 = p e2; 当z彦0时，凡(z)= p I + Cl -p) P Xz = 1 -Cl -p) e气所以Z的概率密度为fz(z)=F卢z)= pe之，z O,PZ

16、 l o, 所以PX冬l,Z冬-1 # PXlPZ-1.故X与Z不相互独立(23)解C I)由厂f(x矿）dx =I, 得-w l=厂汇了心=AJ:卜e-dtCJ =A 三上e. ; dt =三A,2= If; 2 所以A=.(I)设Xi,Xz，:r为样本X1,X2,，义的观测值，则似然函数为n (x -)2 n - ,i L(矿）= ITf(x,; 矿）六卢）券（矿）2 e ;-1 202 , ,I lo 对数似然函数为n 21 lnL(矿）= In n 2 n 了；了lnr,2矿(x, -)2.d lnL(r,2) n n z . (x, -)气=-+ 2 dr, 加2矿,IX1 ,Xz, x, 多,其他，n 令d lnL(矿）da2 2 A 2 1 o, 得6的最大似然估计值为(J=(x, )气niI 所以矿的最大似然估计最为矿1n (X, )飞n ,1