2023届湖北省二十一所重点中学高三上学期第三次联考数学试题（解析版）.pdf

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1、2023届 湖 北 省 二 十 一 所 重 点 中 学 高 三 上 学 期 第 三 次 联 考 数 学 试 题 一、单 选 题 1.已 知 集 合 4=卜 印-14工 42,8=5/偌 4.则 4 口 8=()A.拒,2 B.(x/2,2 C.-1,V2 D.-1,72)【答 案】B【分 析】首 先 根 据 题 意 得 到 八 xeRU22=x|夜 或 x-及,再 求 A D 8即 可.【详 解】因 为 A=x e R|-14 X 2=国 夜 或”-a,所 以 AnB=x 夜 x2.故 选：B2.设 复 数 z满 足|z-l|=2|lm z|,贝”在 复 平 面 上 对 应 的 点 的 轨 迹

2、 为()A.直 线 B.圆 C.双 曲 线 D.抛 物 线【答 案】A【分 析】由 复 数 的 几 何 意 义 求 解【详 解】设 2=*+同，(x,y e R),由 题 意 得(x-iy+y2=4)/,贝!jx-l=/y,z在 复 平 面 上 对 应 的 点 的 轨 迹 为 两 条 直 线，故 选：A3.若 sin=c o s3 e,则 tanZ+t a n*()A.B.!C.1 D.22 2【答 案】C【分 析】由 同 角 三 角 函 数 基 本 关 系 化 简 求 解【详 解】由 题 意 得 tanV+tang=由+域”=sin?0+cos20=l,cos 0 cos。故 选：C4.已

3、知 代 表 不 同 的 平 面，4,4代 表 不 同 的 直 线，则 下 列 说 法 中 正 确 的 是()A.若 a u a,IjliJ/,1/?B.若 4 a，4 a,则 乙 4C.若 all I、u a,l2 u p，则 Z2D.若 a_L/?，4 _La,/2 夕，则 4,4【答 案】D【分 析】利 用 空 间 线 面 的 关 系，对 四 个 选 项 一 一 判 断 即 可.【详 解】对 于 A：若 贝 也 与 平 面?可 能 平 行，也 可 能 垂 直，也 可 能 斜 交.故 A 错 误；对 于 B：若 4 a，4 a,贝 必,4可 能 平 行，也 可 能 相 交，也 可 能 异 面

4、.故 B 错 误；对 于 C 若 a/?，4 u a，u,则，”4可 能 平 行,也 可 能 异 面.故 C 错 误;对 于 D：若 则%.又&J.万,所 以 4 J/2.故 D 正 确.故 选：D5.已 知 q,0 2 为 单 位 向 量，且 e；_L e；,a=2e,+3e2,b=ket-4e2,ab,则 实 数 k 的 值 为()A.-6 B.6 C.3 D.-3【答 案】B【分 析【转 化 为/=0,利 用 数 量 积 的 分 配 律，求 解 即 可【详 解】由 题 意，ab a h=O.故 a 6=(2q+3e?A(Ae1一 4e?)=2A(q y+(3A 8)e/e2-12(e?=

5、0又 不，最 为 单 位 向 量，且 e 最 故(4=(e2)2=l,et-e2=0可 得 2%12=0,即 k=6故 选：B6.图 1是 一 个 不 倒 翁 模 型，它 是 一 种 古 老 的 中 国 儿 童 玩 具，最 早 记 载 出 现 于 唐 代，一 经 触 动 就 摇 摆 然 后 恢 复 直 立 状 态.如 图 2,将 图 1的 模 型 抽 象 成 一 个 正 圆 锥 和 半 球 的 组 合 体.已 知 半 球 的 密 度 是 圆 锥 的 2 倍，已 知 要 让 半 球 质 量 不 小 于 圆 锥 质 量，才 能 使 它 在 一 定 角 度 范 围 内“不 倒”，则 圆 锥 的 高

6、和 底 面 半 径 之 比 至 多 为()A.g B.1 C.2【答 案】D【分 析】由 圆 锥 和 球 的 体 积 公 式 列 不 等 式 求 解 D.4【详 解】设 圆 锥 的 底 面 半 径 为 R,高 为 人，由 题 意 得 2。/球 之 2%谶，7 1 hBP2X-K/?3-7t/?2/7,则 4 4,3 3 R故 选：D7.将 曲 线(x+y)(x-2 y+l)+l=0 的 图 像 画 在 坐 标 轴 上，再 把 坐 标 轴 擦 去(x 轴 水 平 向 右，丁 轴 竖 直 向 上)，得 到 的 图 像 最 有 可 能 为()【答 案】B【分 析】当 x 趋 于 无 穷 时，曲 线

7、无 限 趋 于 x+y=0,x-2 y+l=。，结 合 斜 率 关 系 和(x+y)(x-2 y+l)的 正 负，用 排 除 法 得 到 答 案.【详 解】直 线 x+y=0,x-2 y+l=0 把 平 面 划 分 为 四 个 区 域，如 图,区 域 满 x+足 y区 0 域 满 足 f x+y 尹 00,不 满 足(x+y)(x2y+1)+1=0；排 除 A,D,fx+y 0,fx+y 0区 域(2)满 足-1 z 区 域(4)满 足:n；x-2 y+0所 以 曲 线(x+y)(x2y+l)+l=0的 图 像 只 可 能 在 区 域(2)(4)内，当 兀 趋 于 无 穷 时,曲 线(x+y)

8、(x2y+l)+l=0无 限 趋 于 x+y=0,x-2y+l=0,直 线 x+y=0,x-2y+l=0 的 斜 率 分 别 是-1 4,由 直 线 的 斜 率 与 倾 斜 角 的 关 系 可 知：直 线 x+y=0的 倾 斜 角 为 135。，直 线 x-2y+l=0倾 斜 角 为 锐 角 且 小 于 30。，从 而 排 除 C,故 选：B.8.若 实 数 M 满 足：对 每 个 满 足。向=。：-2的 不 为 常 数 的 数 列%,存 在 Z e N”,使 得 4 2 股，则 M 的 最 大 值 为()A.-1 B.土 立 C.土 立 D.22 2【答 案】C【分 析】根 据 选 项，结

9、合 数 列 的 递 推 关 系。词=*-2,对 其 赋 予 恰 当 的 值，然 后 进 行 逻 辑 推 理 论 证 即 可.【详 解】令 4=昔 5,则 小 甘 q=(Z e N)故 上 亘 2下 证：当 知=士 延 时 满 足 条 件.2 存 在 4 2 土 正，已 经 成 立；存 在 4 4=叵，则 见+后 昔 叵，成 立；存 在 匕 立 4 4 士 且，则”上 叵，成 立.2 2*2令 lo g；5+1,则 k，矛 盾.2 z t J 2故 总 存 在 4,满 足，其 中 之 一.故 选：C【点 睛】M 值 的 得 到 可 以 从 二 阶 不 动 点 的 角 度 考 虑，也 可 以 从

10、选 项 出 发 考 虑.二、多 选 题 9.已 知 a,6 e R,4=从=9,则 2 的 值 可 能 为()8 3A.-B.=C.243 8【答 案】BC【分 析】由 对 数 的 运 算 性 质 求 解【详 解】由 题 意 得。=log,9=log?3,b=3,贝|。=3时，2rbT _ 32=8,同 理)=-3 时 22=24,D.124故 选：BC1 0.已 知 a c d,J=J=L 0 1,(l-c)e=(l-d)e=0.99,则()a+1 b+1A.a+b 0C.a+d()B.c+d 0D.h+cQ【答 案】AD【分 析】A.先 构 造 函 数/(x),通 过 函 数 的 单 调

11、性 确 定。力 的 大 致 范 围，再 构 造 A(x)=l n/(x)-l n/(-x),通 过 函 数/z(x)的 单 调 性 确 定 d 与-c 的 大 小 关 系，进 而 得 到 A选 项.B.先 构 造 函 数 g(x),通 过 函 数 的 单 调 性 确 定 c,d的 大 致 范 围，再 构 造/2(x)=lng(x)-lng(T),通 过 函 数/z(x)的 单 调 性 确 定 d 与-c的 大 小 关 系，进 而 可 知 B选 项 错 误.C.通 过/(x)=U q,得 到 g(-a)g(d),进 而 可 得 f 与 d 的 大 小 关 系，进 而 可 知 C选 项 错 误.D

12、.与 C 选 项 同 样 的 方 法 即 可 判 断.A.=1.01 0 a-,b-1 f(x)=(x-1)a+1 b+1+x 7则 尸(x)=F，所 以 x)在(TO)单 调 递 减，在(o,+8)上 单 调 递 增，且 0)=0,故”0,-1匕 0./?(x)=ln/(x)-ln/(-x)=2x-ln(x+l)4-ln(-x+l),xG(-l,l)i _i?则”(x)=2-+-=2-一 7)-ln/(-&)0 f(b)f(-b).-./()/(-&)a-b BP a+h0 故 选 项 A 正 确 B.,.,(l-c)e=(l-6?)e 0:.cl,d 1 g(x)=(1x)ex(x 1)则

13、 g(x)=-M,所 以 g(x)在(-8,0)单 调 递 增，在(0,1)上 单 调 递 减，且 g(o)=l,故 0cl,d0.g(c)g(-c)，g(d)g(-c)d-c BP c+d 0.99,a e(-1,0)g(-x)%)101 I).g(a)g(d)又：g(x)在(-8,0)单 调 递 增-ad:.a+dg(c),-be(O,l)又：g(x)在(0,1)单 调 递 减:.-bc故 选 项 D 正 确 故 选：AD611.已 知(x+2)6=、3，则()/=0A.4+生+3+/+%+%=666B.4=2()C.4+3+%a2+。4+4D.q+2 4=%+2a4+3a5+4 4【答

14、案】CD【分 析】对 于 A,利 用 赋 值 法 求 解，对 于 B,利 用 二 项 式 展 开 式 的 通 项 公 式 求 解，对 于 C,利 用 赋 值 法 求 解，对 于 D,利 用 二 项 式 展 开 式 的 通 项 公 式 求 解.【详 解】对 于 A,令 x=0,则 4=26=6 4,令 x=l,则 阳+q+/+%+%+%+&=3,=729,所 以 4+/+%+4+%+4=7 2 9-6 4=665,所 以 A 错 误，对 于 B,二 项 式 展 开 式 的 通 项 公 式 为 所 以%=C：x2,=20 x8=1 6 0,所 以 B 错 误，对 于 C,令 x=-l,则%-4+4

15、 2-4+。4-45+46=1，因 为 a0+ai+a2+a3+a4+a5+a6=36=729,所 以%+%+%+%=365,at+a3+a5=364,因 为%=6 4,所 以 电+4+“6=3 0 1,所 以 6+%+%4+4+“6，所 以 C 正 确，对 于 D,因 为 二 项 式 展 开 式 的 通 项 公 式 为(“=5 产，,2 所 以 4=C：X 2=1 9 2,4=C：x 2=160,a4=Cg x 22=60,a5=x 2=12,a6=C*x 2=1,所 以 q+2%=192+2x64=320,a3+2a4+3a5+46=160+2x60+3x12+4x1=320,所 以 q+

16、2an=a3+2a4+3%+4%,所 以 D 正 确，故 选：CD12.已 知。=0,。力 1设 命 题。：过 点(1,1)恰 可 作 一 条 关 于 y=o r，+b x的 切 线.以 下 为 命 题 的 充 分 条 件 的 有()A.b+a=1 B.b a=lC.a=eh D./?=e【答 案】BD【分 析】首 先 对 y求 导，然 后 写 出 切 线 方 程，代 入(1/)化 简 得 2竭-3;+1-6=(),转 化 为 方 程 有 一 个 根，再 转 化 成 两 函 数 有 一 个 交 点 的 问 题.【详 解】y=3ax2+b,设 切 点 为(与,麻+如),则 切 线 方 程 为：)

17、一 批:-如=(3or；+h)(x-Xo),因 为 切 线 经 过 点(1,1),将 点 代 入 得 1-西-济=(3端+4(1-与)，化 简 得 2aM-3 3+1-匕=0,方 程 2aM-=b-有 一 个 根，4-f(x)=2ax3-3 a r2,hx)=b-,转 化 为 直 线 与/1(x)只 有 一 个 交 点,f(x)=6ar2 6ar=6ar(x 1),当 a 0时，xe(-,0)o(l,-l-oo),xe(O,l),/,(x)()=b l或 即 匕 一 1-“，a+bl,同 理 当 a 0时，x e,0)D(l,+8),/(x)。，故 x)在(-8,0)和。，内)上 单 调 递

18、减，在(0,1)上 单 调 递 增，根 据 直 线(x)与“X)只 有 一 个 交 点，可 得 b _ l 0 n 匕,a+b,综 上，要 想 过(U)恰 可 作 一 条 关 于 V的 切 线，则。0 2 1或 4 0,“+方 1；a0,h 0,a+l.A 选 项，a+b=a=l-b,若。0,则 力 0,若 a 0,则/?1,若。0,则/?0=b w R,无 法 推 出。，故 C 错 误；D 选 项，6=e,若 a 0,贝！|人 1,若“0,则 0匕 1,可 以 推 出 P,故 D 正 确.故 选：BD.【点 睛】对 三 次 函 数 切 线 个 数 问 题 是 导 数 中 的 重 难 点，也

19、是 曾 经 高 考 考 查 过 的 内 容，方 法 是 转 化 成 方 程 根 的 个 数 问 题.三、填 空 题13.圆 d+y2-2x+3y-3=0 的 直 径 为.【答 案】5【分 析】转 化 为 圆 的 标 准 方 程，即 得 解 3 25【详 解】由 题 意，x2+y2-2x+3y-3=0(x-l)2+(y+-)2=2 4故 圆 的 半 径 为 r=g,直 径 为 5故 答 案 为：514.请 写 出 一 个 满 足 以 下 条 件 的 函 数/(x)的 解 析 式 _.“X)为 偶 函 数：当 x 0 时，I n W(x)，eln|x|+|x|【答 案】x)=一 相 一(答 案 不

20、 唯 一)0,x=0.【分 析】根 据 题 意，结 合 函 数 的 性 质 写 出 一 个 符 合 题 意 的 函 数 即 可.【详 解】记 g(x)=2-Inx,(x0),则 g(x)一 e e x ex所 以 当 xe(O,e)时，有 gx)0,函 数 g(x)单 调 递 减；当 xe,+0,函 数 g(x)单 调 递 增，所 以 g(x)而 n=g(e)=：-lne=O,即 g(x)NO.Y所 以 一 2 hu恒 成 立.e所 以 当 x 0 时，可 取/1(x)=；+lnx)满 足 I调 旷&巾|+国 因 为 x)为 偶 函 数，所 以 可 以 找 到 一 个 符 合 题 意 的 函

21、数：x)=2e 0,x=0.el 巾 l+kl r/0故 答 案 为：/(x)=嚏(答 案 不 唯 一).0,x=0.四、双 空 题 15.数 学 家 高 斯 在 各 个 领 域 中 都 取 得 了 重 大 的 成 就.在 研 究 一 类 二 次 型 数 论 问 题 时，他 在 他 的 著 作 算 术 研 究 中 首 次 引 入 了 二 次 剩 余 的 概 念.二 次 剩 余 理 论 在 噪 音 工 程 学、密 码 学 以 及 大 数 分 解 等 各 个 领 域 都 有 广 泛 的 应 用.已 知 对 于 正 整 数 2),若 存 在 一 个 整 数 x,使 得 也 整 除 Y-a,则 称。是

22、 的 一 个 二 次 剩 余，否 则 为 二 次 非 剩 余.从 1到 20这 20个 整 数 中 随 机 抽 取 一 个 整 数“，记 事 件 A=a与 12互 质”，8=%是 12的 二 次 非 剩 余”，则 P（A）=；P（B A）=.【答 案】7 620 7【分 析】根 据 题 意，计 算 出 1-20内 与 12互 质 的 数，再 在 这 些 互 质 数 内，计 算 出 12的 二 次 非 剩 余 数 即 可.16.己 知 为 平 面 单 位 向 量，平 面 向 量 满 足,一+2卜+0=4,则 7【详 解】在 1-20内 与 12互 质 的 数 有 1,5,7,11,13,17,1

23、9,所 以 尸 缶）=高；根 据 定 义，对 于 二 整 数 的 x 不 存 在，则。是 12的 二 次 非 剩 余 数，12显 然，当 时，x=l 1,当。=5,7,11,13,17,19 时，x 不 存 在；.”（BIA）4;故 答 案 为：泵.Xa+e小 值 为，最 大 值 为.Q【答 案】-8-2V15 1I-t I-T 伍-亦（a+e）X2+V2-4【分 析】设 x=-4，y=a+e，利 用 余 弦 定 理 将 转 换 成 一,再 1 1 1a+e 2yt利 用 换 元 的 思 路 转 换 成,2.15 0,分 类 讨 论 f的 范 围 求 最 值 即 可.I H-Z.I16【详 解

24、】x-a-(,y=a+A,则 x+2,y=4.如 图 由 余 弦 定 理,(a-e).(a+ex2+y2-4a+e|2y2x2+y2 y将 表 达 式 齐 次 化，原 式=12y当 x=0时，原 式=0,当 x 0 时，由 图 可 知，x-y 0,记 数 列 q 的 前 项 和 为 S“(”e N“)，且 数 歹 以 向 为 等 差 数 列.证 明：数 列 圉 为 常 数 列；设 数 列 的 前 项 和 为(eN*),求 4 的 通 项 公 式.【答 案】(1)证 明 见 解 析 T 2/7+1 1(2)T=-，8 8(2n+l)【分 析】(1)设 数 列 底 的 公 差 为 d,则 底=苑+

25、(-1”(0.0),平 方 后 求 出 s“,再 利 用 a“=S-S“T 可 表 示 出,从 而 可 得 数 列 q 的 公 差 为 2d 从 而 可 表 示 出 S.，然 后 可 求 出 学 为 常 数，n（2）由（1）,q=S“S,I=（2 1）4（.2）,则 史 70/化 简 后 利 用 4,4+1（2n-l）（2n+l）裂 项 相 消 法 可 求 得 结 果.【详 解】（1）证 明：设 数 列 疯 的 公 差 为 d,则 d30,卮=用+（-1（.0）,所 以 S”=4+2.n）dyl+n yd所 以 4a=S0-S“_1=4+2（l）d Jq+（一 d q+2（2 M+（-2）*d

26、=（2n-3）d*1 2*4+2届（n.2）.（2-1）（2+1）1 4/4 4n2-l1（4/J2-1）+1一 X-；-4 4/?2-11+44（4n2-）所 以 4用 一 4=（2 一 1）I?+2d 8-（2n-3）t/2-2 d M=2d?所 以%的 公 差 为 2/，因 为%=不+2 m d所 以 q=/一 2J?=1+25y 2 d 2,BP=d,所 以 S“=4+2（一 l）d施+（一/=+2（-i）/+伽 _ 1产 储=%2,所 以 q=字=/为 常 数，n n所 以 数 列 去 为 常 数 列；（2）由（1）,4“=S”-S T=（2-1）4（.2）,对 九=1 也 成 立,

27、因 为 q=/,Sn=d2n2,所 以 咯=-/笛 几-4%（2-1）/（2+1）/_M4 8-1 2H+1；n 1=i 4 81-2n+l2n+l8 8(2+1).18.设 A4 3 C 的 内 心 为 点/,A/与“IBC的 外 接 圆 的 另 一 交 点 为 点).证 明：BD=1D；若 布.而=配.丽，且 A B C 的 三 边 成 等 差 数 列，求 cosA.【答 案】(1)证 明 见 解 析【分 析】(1)证 明 角 度 相 等 即 可；(2)利 用 内 心 的 性 质 及 三 角 函 数 定 义，三 角 形 面 积 公 式 得 到。:。:。=4:5:6,最 后 根 据 余 弦

28、定 理 求 出 cos A 的 值.【详 解】(I)由/BID=ZABI+/BAD=NIBC+NDBC=NIBD,:.BD=ID.(2)设 角 A,B,C所 对 边 分 别 为 a,b,cqABC内 切 圆 半 径 为 r.rAi=r.in A则.A,由 条 件，-=a-BDcos,故 2r=sinA.sin-sinA 22T7 4 oz-r-xn bcsinA r(a+h+c/八,曰 2bc又“18。面 积=-=-,sinA 0,得-=a.2 2 a+b+c若 a+/?=2c,代 入 上 式 得。:c:/?=4:5:6.52+62-42 3由 余 弦 定 理，CO除=3+0 符 合 题 意；

29、2-5-6 4若 a+c=2 b,则 由 匕 与。对 称，与 上 面 相 同；若 b+c=2 a,贝|幼。=3/=3(管)1.3历，贝 股 G,0,不 符 合 题 意.综 上，cosA的 值 为?.19.随 机 变 量 的 概 念 是 俄 国 数 学 家 切 比 雪 夫 在 十 九 世 纪 中 叶 建 立 和 提 倡 使 用 的.切 比 雪 夫 在 数 论、概 率 论、函 数 逼 近 论、积 分 学 等 方 面 均 有 所 建 树，他 证 明 了 如 下 以 他 名 字 命 名 的 离 散 型 切 比 雪 夫 不 等 式：设 X 为 离 散 型 随 机 变 量，则 P(|X-E(X)|颜)外

30、祖，其 中 2 为 任 意 大 于 0 的 实 数.切 比 雪 夫 不 等 式 可 以 使 人 们 在 随 机 变 量 X 的 分 布 未 知 的 情 况下，对 事 件|x-4,4 的 概 率 作 出 估 计.（1）证 明 离 散 型 切 比 雪 夫 不 等 式；（2）应 用 以 上 结 论，回 答 下 面 问 题：已 知 正 整 数 一 5.在 一 次 抽 奖 游 戏 中，有 个 不 透 明 的 箱 子 依 次 编 号 为 1,2,，编 号 为 领 j，。的 箱 子 中 装 有 编 号 为 0,i 的 i+1个 大 小、质 地 均 相 同 的 小 球.主 持 人 邀 请 位 嘉 宾 从 每

31、个 箱 子 中 随 机 抽 取 一 个 球，记 从 编 号 为 i 的 箱 子 中 抽 取 的 小 球 号 码 为 X,并 记 x=W?.对 任 意 的“，是 否 总 能 保 证（x 京 0.01（假 设 嘉 宾 和 箱 子 数 能 任 意 多）？并 证 明 你 的 结 论.附：可 能 用 到 的 公 式（数 学 期 望 的 线 性 性 质）：对 于 离 散 型 随 机 变 量 X,X1,Xz，,X,满 足*=乂；，则 有 E（X）=E（X,）.r=l i=l【答 案】（1）证 明 见 解 析（2）不 能 保 证 尸（X剌）.山）0.0 1,证 明 见 解 析【分 析】通 过 方 差 的 计

32、算 公 式，结 合|X-E（X）上 4 变 形 即 可 证 明.结 合 所 给 公 式，再。3）=网-凤*）2）变 形 式 子 来 解 出。（*）,再 利 用 第（1）证 明 的 离 散 型 切 比 雪 夫 不 等 式 即 可 得 到 矛 盾.【详 解】（1）设 X 的 所 有 可 能 取 值 为 占,，x,X取 士 的 概 率 为 弓（啜 1 n）.则 尸(|X-E(X)|)=P,.|X-E(X)|/1.k-g(X)l.-.P(|X-(X)|Z)A；=l(2)(2)由 参 考 公 式，E(X)=4 g 半 斗 尹 华)=泉 C(X)=E(X-E(X)2)=E=Zi=l，用 到 E O(1W

33、ri)而 D(x,卜 宫 1,故 O(x),n当=160时，p 就).山)乂 _0.4/?40.16M20.01因 此，不 能 保 证 P(X朝).1)0.01.20.如 图，在 几 何 体 A8CDE中，底 面 A 3 C 为 以 A C 为 斜 边 的 等 腰 直 角 三 角 形.已 知 平 面 A B C，平 面 ACD,平 面 A B C _L平 面 BCE,DE 平 面 ABC,A D 1DE.(1)证 明：D E L 平 面 A C O；若 AC=2 8=2,设 M 为 棱 BE的 中 点，求 当 几 何 体 ABCDE的 体 积 取 最 大 值 时 A M 与 C O 所 成 角

34、 的 正 切 值.【答 案】(1)证 明 见 解 析(2)6【分 析】(1)先 做 一 条 辅 助 线，再 通 过 面 面 垂 直 的 性 质 得 到 衣，平 面 ABC,再 根 据 DE II平 面 A B C,可 得 OOJ_Z)E,进 而 根 据 线 面 垂 直 的 判 定 定 理 即 可 证 明.(2)过 点 E 作 E N L B C 交 3 c 与 点 N,连 接 QV,通 过 题 目 条 件 和 小 问 1结 论 证 明 四 边 形 O D E W 为 平 行 四 边 形，然 后 把 多 面 体 ABCDE分 为 两 个 三 棱 锥 求 体 积，令 D=x(Ox,且 两 平 面

35、的 交 线 为 AC:.D O m A B C 又.在 平 面 ABC:.DO DE又./W_LE 且 A D c O O=3.)；，平 面 AC。过 点 E作 EN工 BC交 BC与 点 N,连 接 ON 平 面 ABCJ平 面 B C E,且 两 平 面 的 交 线 为 BC.EN_L平 面 4 3 c 又 平 面 ABC 到 平 面 ABC的 距 离 相 等:.DO H ENQDO=EN,0%_1_平 面 4 0):.CO=ON,DE=ONVcD=VE_ABC+电 皿=g EM S”+g DE=gEN+；DE.DO=goO(l+DE)又 DO2+DE2=DO2+CO2=CD-=,令=x(

36、O V x41)则 U E=x）=。（1+OE）=（.X），/，（x）=（心）.所 以 f（x）在（0，；）上 单 调 递 增，在（；，1）上 单 调 递 减，即/（；卜 9，当 且 仅 当 DE=；时 取 得 最 大 值.如 图 所 示，以 点。为 原 点 建 立 空 间 直 角 坐 标 系。-孙 z,则 4 1|,0,0i f，。，心 冷,c f 1,0,0 j,D 0,0,AM=5 3 苣 m-,CD=i o 后-2AT J设 A W与 CD所 成 角 为 a,贝 ij cose=AM CDAM-CD37,则 tanar=6,即 当 几 何 体 ABCDE所 以 乎 I 4 4 4 J体

37、 积 最 大 时，A M与 CO所 成 角 的 正 切 值 为 6.21.如 图，四 边 形 A 6 c o为 菱 形，ZABC=60,A C与 8。相 交 于 点。，/1_1_平 面 4?8,CF_L平 面 ABC。，A B A E 2,G 为 E F中 点.(1)求 证：OG 平 面 4 正；(2)求 二 面 角 D-B E-A 的 正 弦 值；(3)当 直 线。尸 与 平 面 及 5E所 成 角 为 45。时，求 异 面 直 线。尸 与 O E所 成 角 的 余 弦 值.【答 案】(1)见 解 析 巫 5 更 4【分 析】(1)根 据 三 角 形 中 位 线 定 理 可 得(9G/1 E

38、,进 而 可 得 结 论；(2)以。，OA,O G为 x,y,z轴 建 立 空 间 直 角 坐 标 系，分 别 求 出 平 面 的 法 向 量 及 平 面 4 速 的 法 向 量，根 据 空 间 向 量 夹 角 余 弦 公 式 可 得 结 果；(3)根 据 直 线。尸 与 平 面 BDE所 成 角 为 45。可 得 的 值，进 而 利 用 空 间 向 量 夹 角 余 弦 公 式 可 得 结 果.【详 解】证 明：因 为 AE_L面 ABC。，。/_1面 4 3 8,所 以 AE/CF.因 为 四 边 形 A8CD为 菱 形，所 以。为 A C中 点，又 G 为 E F 中 点,所 以 O G/

39、A E,O G 0面 4 阳，A E u面 A B E,故 O G 平 面 43E.由 O G/A E,故。G,平 面 A8CZ)又 A B Q)为 菱 形，故。4 L Q D分 别 以 OO,OA,0 G 为 x,y,z轴 建 立 空 间 直 角 坐 标 系，(73,0,0),E(0,l,2),B(/3,0,0),A(O,1,O)DE=(-V3,1,2),BE=(V3,1,2),丽=(百,1,0)设 平 面 3 D E 的 法 向 量 沅=(x,y,z),则-Vx+y+2z=0VJx+y+2z=0得 x=0,令 z=1,)=2,所 以 用=(0,2,1)r z、/3x+y=0设 平 面 A班

40、 的 法 向 量=(x,y,z),则 _J3x+y+2z=0得 z=o,令 x=-6 y=3,所 以 五=卜 6,3,0)于 是 cos(源 近=-厂 6=巫,又 比，万)0,万 V5.2V3 5所 以 sin in,n)=/1-cos2(,m,n)=.所 以，二 面 角 O-8 E A 的 正 弦 值 为 回 5(3)设 尸(0,Ta),OF=(0,-1,a),因 为。尸 与 平 面 8E所 成 角 为 45。,I 2 c i 5/2所 以 解 得”=3或。=一；(舍).于 是 砺=(0,-1,3),COS(OF,DE)5 _垂 2叵 晒-4-因 此，异 面 直 线。尸 与 O E 所 成

41、角 的 余 弦 值 更.422.设 函 数/(x)=a，x+6(a0),g(x)=e：/z(x)=/(x)g(x),(九)的 极 大 值 点 为x=0.(1)求 6;(2)若 曲 线 y=/(x),y=g(x)上 分 别 存 在 两 点 4 c 8,。，使 得 四 边 形 4 B C D 为 边 平 行 于 坐 标 轴 的 矩 形，求。的 取 值 范 围.【答 案】(1)匕=；(2)(0,72)【分 析】(1)对(x)求 导，根 据 其 单 调 区 间 可 得 3-。=0,解 出 6 即 可；(2)根 据 题 意 存 在 现 电,4)=8(电),/()=8(再)，从 而 多 次 构 造 新 函

42、 数，再 进 行 分 类 讨 论.【详 解】。)=-(1-2。-2力*的.2Jx+b当(力 在 上 递 增，在 8 上 递 减.故=0,即 6.2 2(2)由 题 意，存 在 玉 0,由 尸(x)在(总 上 递 增，尸(x)在(-；,+/)上 存 在 唯 一 零 点%.由 题 意，玉/0,gp-+2(x0+l)0,也 即 x00.NX()+1这 等 价 于 尸(0)0,即 04 应.此 时，在 o,/上 存 在，s(x)在 卜,/(天+；)上 递 增，故 s()0,故 由 零 点 存 在 定 理，/1 在(0,/o+|)上 存 在 零 点，满 足 条 件.(ii)若 e(1+6),0,即.0,也 即 为,0.令=Inf+1,加(r)=2,又+/)”/,故 加?张 帆 0(与+；)0,在。，/+力 上 递 减，则 夕 口 2 1 o+g j u O,不 满 足 题 意.综 上，0的 取 值 范 围 为(。,也).【点 睛】本 题 主 要 难 点 在 于 第(2)小 问，而 同 构 的 方 法 在 导 数 难 题 中 经 常 用 到，也 是 高 考 压 轴 题 的 考 察 重 点，平 时 要 注 意 积 累.