2023届湖北省二十一所重点中学高三上学期第一次联考数学试题含答案.pdf

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1、 1/6 2023 届湖北省二十一所重点中学高三第一次联考 数数 学学 本试卷共 6 页，22 小题，满分 150 分。考试用时 120 分钟。注意事项：1答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、试室号和座位号填写在答题卡指定位置上，并在相应位置填涂考生号 2作答选择题时，选出每小题答案后，用 2B 铅笔把答题卡对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案答案不能答在试卷上 3非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上.4考生必须保持答题卡的整洁考试结束后，将试卷和答题卡一并交回 一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，

2、共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1已知集合P=x|x1,且xN,Q=x|2x8,则PQ=（）Ax|1x4 Bx|1x3 C.1,2 D1,2,3 2设复数z满足2izz=，2z=，复数z所对应的点位于第一象限，则1=z（）A13i2+B3i4 C13i2+D3i4+3若将整个样本空间想象成一个 11 的正方形，任何事件都对应样本空间的一个子集，且事件发生的概率对应子集的面积。则如图所示的涂色部分的面积表示（）A事件A发生的概率 B事件B发生的概率 C事件B不发生条件下事件A发生的概率 D事件A、B同时发生的概率 4.已知实数,函数()=2+,满足(2)(3)0

3、,则2+2的最大值为()A.163 B.815 C.813 D.165 10.在数列中,已知3 2+121 9,且+1=34+2+12,则以下结论成立的是()2/6 A.6 1 C.8 1 D.9 1 6.椭圆2212516xy+=上的点到圆22(6)1xy+=上的点的距离的最大值是（）。A.11 B.74 C.5 5 D.9 7.恰有一个实数x使得310 xax=成立，则实数a的取值范围为（）A()3,2 B33 2,2 C3 22 D3 2,2 8 8 已知四面体DABC中，1ACBCADBD=，则DABC体积的最大值为（）A4 227 B3 28 C2 327 D318 二、选择题：本题

4、共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得 5 分，有选错的得 0 分，部分选对的得 3 分。9已知函数f（x）=|x|+12|x-cosx,则下列说法正确的是（）Af（x）是偶函数 Bf（x）在（0,+）上单调递减 C f（x）是周期函数 Df（x）-1 恒成立 10已知抛物线212xy=的焦点为F，()11,M x y，()22,N xy是抛物线上两点，下列结论正确的是（）A点F的坐标为1,08 B若直线MN过点F，则12116x x=C若MFNF=，则MN的最小值为12 D若32MFNF+=，则线段MN的中点P到x轴的距离为58 3

5、/6 11如图，在棱长为 2 的正方体1111ABCDABC D中，O为正方体的中心，M为1DD的中点，F为侧面正方形11AAD D内一动点，且满足1/B F平面1BC M，则（）A若P为正方体表面上一点，则满足OPA的面积为22的点有 12 个 B动点F的轨迹是一条线段 C三棱锥1FBC M的体积是随点F的运动而变化的 D若过A，M，1C三点作正方体的截面，Q为截面上一点，则线段1AQ长度的取值范围为2 6,2 23 12画法几何的创始人法国数学家加斯帕尔蒙日发现：椭圆的两条切线互相垂直，则两切线的交点位于一个与椭圆同中心的圆上，称此圆为该椭圆的蒙日圆.已知椭圆()2222:10 xyCab

6、ab+=的离心率为22，1F、2F分别为椭圆的左、右焦点，点A在椭圆上，直线22:0l bxayab+=，则（）A直线l与蒙日圆相切 BC的蒙日圆的方程为2222xya+=C记点A到直线l的距离为d，则2dAF的最小值为()4 36 23b D若矩形MNGH的四条边均与C相切，则矩形MNGH的面积的最大值为28b 三、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。13.已知2+42+1+b2+1=1,则 2+b24242+12+1 的最大值为_ _,此时+=_.14.6 名考生坐在两侧各有通道的同一排座位上应考，考生打完试卷的先后次序不定，且每人答完后立即交卷离开座位，则其中一人交卷

7、时为到达通道而打扰其余尚在考试的考生的概率为 。15如图，11OAB，122A A B，233A A B是全等的等腰直角三角形（12OB=，4/6 ()1,2,3iB i=处为直角顶点），且O，1A，2A，3A四点共线.若点1P，2P，3P分别是边11AB，22A B，33A B上的动点（包含端点），则13OB OP=_，22OBOP 的取值范围为_.B1 B2 B3 O A1 A2 A3 16有一个棱长为 6 的正四面体，其中有一半径为的球自由运动，正四面体内未被球扫过的体积为。四、解答题：本题共 6 小题，共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.（10 分）已知ABC的

8、外心为O，,M N为线段,AB AC上的两点，且O恰为MN中点.（1）证明：|AMMBANNC=；（2）若|3AO=，|1OM=，求AMNABCSS的最大值.18.（12 分）如图，在平面五边形 ABCDE 中，ABCD是梯形，/ADBC，22 2ADBC=，3AB=，90ABC=，ADE是等边三角形现将ADE沿AD折起，连接EB，EC得如图的几何体 （1）若点M是 ED的中点，求证：/CM平面ABE；（2）若3EC=，在棱EB上是否存在点F，使得二面角EADF的余弦值为2 23？若 5/6 存在，求EFEB的值；若不存在，请说明理由 19.（12 分）已知数列 na前n项和为113,2,(1

9、)(2)nnnnSaSSnan+=+.(1)求数列 na的通项公式；(2)若nnban=+，求数列 nb的前n项和nT.20（12 分）微信小程序“党史知识竞赛”中的“答题竞赛”板块有个“双人竞赛”栏目，可满足两人通过回答多个问题的形式进行竞赛。甲，乙两单位在联合开展党史学习教育特色实践活动中通过此栏目进行比赛，比赛规则是：每一轮比赛中每个单位派出一人代表其所在单位答题，两单位都全部答对或者都没有全部答对则均记 0 分；一单位全部答对而另一单位没有全部答对，则全部答对的单位记 1 分，没有全部答对的单位记1 分设每轮比赛中甲单位全部答对的概率为45,乙单位全部答对的概率为23,甲，乙两单位答题

10、相互独立，且每轮比赛互不影响（1）经过 1 轮比赛，设甲单位的记分为X,求X的分布列和期望；（2）若比赛采取 3 轮制，试计算第 3 轮比赛后甲单位累计得分低于乙单位累计得分的概率 21.（12 分）如图，已知圆22:4O xy+=，点(1,0)B,以线段AB为直径的圆内切于圆O，点A的集合记为曲线C.（1）求曲线C的方程;（2）已知直线:4l x=，3(1,)2Q，过点B的直线1l与C交于,M N两点，与直线l交于点K，记,QM QN QK的斜率分别为123,k k k，问：1223kkkk是否为定值？若是，给出证明，并求出定值；若不是，说明理由.xyOBA 6/6 22（12 分）已知函数

11、()e2xf xaxb=+在0 x=处的切线经过点()1,2.(1)若函数()f x至多有一个零点，求实数 a 的取值范围；(2)若函数()f x有两个不同的零点()1212,x xxx，求证：12211xxaax.（23e2.7,e7.4,e20.1）1/6 2023 届湖北省二十一所重点中学高三第一次联考 数学参考答案与评分细则数学参考答案与评分细则评分说明：1本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容制订相应的评分细则2.对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后续部分的解答未改变该题的内容与难度，可视影响的程度决定后续部分的给分，但不得

12、超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后续部分的解答有较严重的错误，就不再给分3.解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数4.只给整数分数，选择题和填空题不给中间分一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。题号1 2 3 4 5 6 7 8 答案D B A B C A B C 二、选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。题号9 10 11 12 答案AD BCD BD AC 三、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。13.-2;0 14.16.三、解答题：本题共 6 小题，共 70 分。17.（10 分）（1）证明：设1122,

13、AMx BMyANxCNy=，由余弦定理知：22211cos2xOMAOAMOx OM+=，22211cos2yOMBOBMOyOM+=.（1）（2 分）由O是ABC外心知AOBOCO=，（2）而coscos0AMOBMO+=.2/6 将（1）（2）代入得221111()()0 x yOMAOxy+=.（3 分）而110 xy+，因此2211x yAOOM=.同理可知2222x yAOON=.因此1122x yx y=.（4分）（2）解：由（1）知11222x yx y=.在AMN中，由余弦定理知：2221cos2AOOMxAOMAO OM+=，2222cos2AOONxAONAO ON+=.

14、（5分）代入coscos0AOMAON+=得22128xx+=.（6 分）设1212,xxyy=，则2212422xx+=+=.（7 分）因此11455(1)(1)9114AMNABCSAM BMSAB AC=+.（10 分）当且仅当2=时取到等号.（不说明取等条件扣1分）因此AMNABCSS的最大值为49 18.（12 分）（1）取EA中点N,连接MN,BN,则MN是EAD的中位线,/,MNAD且1.2MNAD=/,BCAD且1,2BCAD=四边形BCMN是平行四边形/.CMBN，（3 分）CM 又平面,ABE BN 平面,/ABECM平面.ABE （4 分）（2）取AD中点O,连接,OC

15、OE,易得OEAD,OCAD.在COE中，由已知33,3,2 262CEOCABOE=.222,.OCOECEOCOE+=以O为原点，分别以射线,OC OA OE为,x y z轴正半轴建立如图所示空间直角坐标系（63/6 分）则(0,2,0),(3,2,0),(0,2,0),(0,0,6).ABDE则(3,2,6),(0,2,6),(0,2 2,0).EBAEAD=假设在棱EB上存在点F满足题意，设(01)EFEB=,则(3,2,6)EF=，(3,2,2,66)AFAEEF=+=.设平面ADF的一个法向量为(,)mx y z=，则0,0,m AFm AD=即3(22)(66)0,2 20,xy

16、z+=（9 分）令1z=，得平面ADF的一个法向量2(1)(,0,1).m=又平面EAD的一个法向量(1,0,0)n=，由已知2 2cos,3m n=，22(1)2 232(1)1=+，整理得23210+=，解得1(1)3=舍去，在棱EB上存在点F，使得二面角EADF的余弦值为2 23，且13EFEB=（12 分）19.（12 分）(1)由题知1na+=1nnSS+=3(1)(2)nann+,即1321nnaann+=+,即113(1)1nnaann+=+,111,130aa=+=,10nan+,数列1nan+是首项为 3,公比为 3 的等比数列,13nnan+=,3nnann=；（6 分）(

17、2)由(1)知,3nnbn=,221 3233 33nnTn=+,23131 323(1)33nnnTnn+=+4/6 xOPBAQD-得,123113(13)(12)3323333331322nnnnnnnTnn+=+=,1(21)3344nnnT+=+.（12 分）20（12 分）（1）由题意X的取值可能为1，0，1，则422(1)15315P X=，（1 分）42423(0)1153535P X=+=，（2 分）424(1)15315P X=，（3 分）那么X的分布列为：X 10 1 P 21535415 4 分 2342()1011551515E X=+=，（6 分）（2）第 3 轮比

18、赛后，甲单位累计得分低于乙单位的 3 轮计分有四种情况（不按先后顺序）：1,1,1 ；1,1,0；1,1,1 +；1,0,0 8 分 所以32222223333223243=151551515226515135pCCC=+（12 分）21.（12 分）(1)设AB的中点为P,切点为Q,连接,OP PQ,取B关于y轴的对称点D,连接AD,则=2ADOP，故=2222ABADOPPBOPPQ+=+()242OPPBBD=+=.所以点A的轨迹是以,B D为焦点,长轴长为4的椭圆.其中2,1,3acb=,则曲线 C 的方程为22143xy+=（5 分）（2）设1122(,),(,),M x yN xy

19、依题意，直线1l的斜率必定存在，所以，设1:1(0)lxmym=+，5/6 将其与椭圆方程联立：22221(0)(34)690143xmymmymyxy=+=+=由韦达定理，得：12122269,3434myyy ymm+=+（7 分）易得点3(4,)Km，33311232mkm=111113322,1yykxmy=同理，22232ykmy=133213122323231kkkkkkkkkkkkkk+=而121213122231212112311()()3223113()()22yymy ykkmy yymkkmy yyyymy ym=（1）由12122269,3434myyy ymm+=+得

20、：12123()2y yyym=+代入（1）得：1312223121313kkmy yykkmy yy=所以：1332131223232312kkkkkkkkkkkkkk+=.（12 分）22.（12 分）（1）2e2a ()e2xfxa=，()01 2fa=，0 x=处的切线方程为()1 21ya xb=+，切线过点()1,2，所以2ba=，()e22xf xaxa=+.()()1e0,ff x=的零点不为 1，e21xax=在()(),11,+上至多一个解.设1tx=，则1e2()tag tt+=在()(),00,+上至多一个解.1122111()()eetttg tttt+=，令()0g

21、 t得：1t，令()0g t得：01t 或0t，()g t在(),0和(0,1上单调递减，)1,+上单调递增，当0t 时，()0g t 时，()g t在1t=处取得极小值，且2(1)eg=，画出函数图象如图所示：6/6 所以22(1)eag=时，()f x至多有一个零点，2e2a （5 分）(2)由（1）知，要想有两个不同零点，则22ea 且12(0,1),(1,)tt+，即()()121,2,2,xx+，故要证12211xxaax，只需证121axx，由（1）知()()11110,1,1,2txx=，故只需证221xta=.只需证：21222e(4)2tttt+，令()()()121e24,e4tth ttth tt+=，15()e4e40th t+=，()h t在()4,+上递增，()5416)e0(h th=，()h t在()4,+上递增，()()54e320h th=，2122e2tt+，12211xxaax （12 分）