湖北省十七所重点中学2023届高三第一次联考(2月)数学试题及答案.pdf

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1、绝 密 启 用 前 2023届 湖 北 省 十 七 所 重 点 中 学 高 三 第 一 次 联 考 数 学 一、选 择 题：本 题 共 8 小 题，每 小 题 5 分，共 40分。在 每 小 题 给 出 的 四 个 选 项 中，只 有 一 项 是 符 合 题 目 要 求 的。1.已 知 集 合 力=/|2,2,B=#|/_ 4 0,则 4 n B=A.0 B.2 C.a;I 1 x 2 D.a:I 1 x 4I 货 2.设 cosx=则 sin(c 5)=O/A.1 B.-|3 33.函 数 f=log2：的 导 函 数 为.、In 2 f c.r(x)=-n In 2 x4.设 复 数 z

2、满 足(l+2i)z+(l 2i)2=4,则 z 的 虚 部 为(l-2i)z+(l+2i)2=6,1-A.21-4c B1-22 0口 3D I-A5.某 气 象 兴 趣 小 组 利 用 身 边 的 物 品 研 究 当 地 的 降 雨 量.他 们 使 用 一 个 上 底 面 半 径 为 15C M、下 底 面 半 径 为 12cm、高 为 25cm的 水 桶 盛 接 降 水.当 水 桶 内 盛 水 至 总 高 的 一 半 时，水 的 体 积 约 占 水 桶 总 体 积 的 A.40%B.44%C.48%D.52%6.已 知 平 面 向 量 a,b 满 足 a-b=2a+b|,则|a|.网 的

3、 最 小 值 为 A.2 B.4 C.8 D.167.设 集 合 A=1,2,-,2023,S=，4，Aoo)M i C A2 C C 4100 C A,则 集 合 S 的 元 素 个 数 为 A.C蝴 3 B.C墨 3 C.1002023 D.10 120238.设 随 机 变 量 X 3(n,p),当 正 整 数 n 很 大,p 很 小,np不 大 时,X 的 分 布 接 近 泊 松 分 布,即 P(X=。七 e(?%N).现 需 100个 正 品 元 件，该 元 件 的 次 品 率 为 0.01,若 要 有 2：数 学 试 题 B 第 1页(共 4 页)95%以 上 的 概 率 购 得

4、100个 正 品,则 至 少 需 购 买 的 元 件 个 数 为（已 知 工=0.367 879-）eA.100 B.101 C.102 D.103二、选 择 题：本 题 共 4 小 题，每 小 题 5 分，共 20分。在 每 小 题 给 出 的 四 个 选 项 中，有 多 项 符 合 题 目 要 求。全 部 选 对 的 得 5 分，部 分 选 对 的 得 2 分，有 选 错 的 得 0 分。9.已 知 递 增 的 正 整 数 列 a 的 前 几 项 和 为 Sn.以 下 条 件 能 得 出 an 为 等 差 数 列 的 有 B.Sn=n2+l(n G N*)D.a2n 2an(n N*)a

5、b c 八 A.B.b c C.D.2 6 2 a+cA.Sn=n+n(n G N,)C.dn+2 0n+2(N*)1+In a e ec 11 1.已 知 Q P:x2+（y-3）2=9,QQ:（x-4）2+y2=1,07?:（a：+I）2+（y-4）2=1.点 A,B,C 分 别 在 QP,QQ,Q R.则 A.AB的 最 大 值 为 9B.AC的 最 小 值 为 2-y/2C.若 A B 平 行 于:r 轴,则 AB的 最 小 值 为 4-通 D.若 A C 平 行 于 y 轴，则|力。|的 最 大 值 为 1+B1 2.已 知 正 方 体 A B C D-A B C i D i的 边

6、长 为 2,点 P,Q 分 别 在 正 方 形 的 内 切 圆,正 方 形 C】D D C 的 外 接 圆 上 运 动,则 A.同 质 W 2+2 0 B.PQ/3-/27 T 7 TC.A P A Q-D.Z.PAQ-o 2三、填 空 题：本 题 共 4 小 题，每 小 题 5 分，共 20分。13.已 知 多 项 式/（力）=a0+aix+a2x2+a3x3+a4x4 满 足 对 任 意。e R,/（cos0）=2cos40+cos 3 0,则 i 2+d3-=（用 数 字 作 答）.14.冰 雹 猜 想 是 指：一 个 正 整 数 如 果 是 奇 数 就 乘 以 3 再 加 1,如 果

7、是 偶 数 就 析 出 偶 数 因 数 2日,这 样 经 过 若 干 次,最 终 回 到 1问 题 提 出 八 十 多 年 来，许 多 专 业 数 学 家 前 仆 后 继,依 然 3an+,V N*,无 法 解 决 这 个 问 题.已 知 正 整 数 列 时 满 足 递 推 式 an+1=2 请 写 出 久 父 c N*、2 2（，、，一 个 满 足 条 件 的 首 项 ai 50,使 得 a10=1,而&壬 l（i=1,2,二，9）.呼 _ 115.设 实 数 Q/0,不 等 式 一-2Q N E 对 任 意 实 数 C 2-大 恒 成 立,则 a 的 取 值 范 围 a 2为.数 学 试

8、题 B 第 2 页（共 4 页）16.设 椭 圆 C：声+方=l(a b 0)的 离 心 率 e 丰 力、C 的 左 右 焦 点 分 别 为 F,F2,点 A7T在 C 上 满 足 AFYAF2=AFYAF2的 角 平 分 线 交 椭 圆 于 另 一 点 B,交 y 轴 于 点 D.已 知 器=2而 贝 U e=.四、解 答 题：本 题 共 6 小 题，共 70分。解 答 应 写 出 文 字 说 明，证 明 过 程 或 演 算 步 骤。17.（10 分）如 图,在 正 三 棱 柱 A B C-A B C 中,点 D 为 线 段 AAL的 中 点,侧 面 ABB.A.的 面 积 为 孚(1)若

9、力 力 1 证 明：AXCB,D-(2)求 三 棱 柱 A B C-的 体 积 与 表 面 积 之 比 的 最 大 值.18.（12 分）为 调 查 某 地 区 植 被 覆 盖 面 积(单 位：公 顷)和 野 生 动 物 数 量 y 的 关 系，某 研 究 小 组 将 该 地 区 等 面 积 划 分 为 200个 区 块，从 中 随 机 抽 取 20个 区 块，得 到 样 本 数 据(,%)(，=1,2,，20),部 分 数 据 如 下：X 2.7 3.6 3.2y57.8 64.7 62.6,20 20 20 20经 计 算 得：0=60,E yi=1200,(勺-X)2=80,52(X4-

10、x)(yi-y)=640.i=l i=l i=l i=l(1)利 用 最 小 二 乘 估 计 建 立 沙 关 于 Z 的 线 性 回 归 方 程；(2)该 小 组 又 利 用 这 组 数 据 建 立 了 1 关 于？的 线 性 回 归 方 程,并 把 这 两 条 拟 合 直 线 画 在 同 一 坐 标 系 x Oy下,横 坐 标 x,纵 坐 标 y 的 意 义 与 植 被 覆 盖 面 积 x 和 野 生 动 物 数 量 y 一 致.(i)比 较 前 者 与 后 者 的 斜 率 大 小,并 证 明；(ii)求 这 两 条 直 线 的 公 共 点 坐 标.附：y 关 于 工 的 回 归 方 程 9

11、=&+凉 中,斜 率 和 截 距 的 最 小 二 乘 估 计 公 式 分 别 为：玄 一 比)(一 歹)b=,=1 n-,a=y-bx.E(-亍)2i=l数 学 试 题 B 第 3 页(共 4 页)19.(12 分)在 力 3。中,角 4,3,。所 对 的 边 分 别 为 a,b,c.已 知 c2=V2ab.(1)求 cosC的 最 小 值；7T(2)证 明：C A W 不.20.(12 分)设 点 A 为 双 曲 线 C：！=1 的 左 顶 点,直 线 I经 过 点(一 1,2),与 C 交 于 不 与 点 A 重 O合 的 两 点 RQ.(1)求 直 线 AP,A Q 的 斜 率 之 和；

12、(2)设 在 射 线 A Q 上 的 点 R 满 足 A A P Q=AARP,求 直 线 P R 的 斜 率 的 最 大 值.21.(12 分)已 知 数 列%满 足：对 任 意 质 数 P 和 自 然 数 应 都 有 ap n=n+l-,对 任 意 互 质 的 正 整 数 对(m,n),都 有 am n-aman.(1)写 出 an 的 前 6 项,观 察 并 直 接 写 出 an与 能 整 除 n 的 正 整 数 的 个 数 的 关 系(n G N*);设 数 列 的 前 n 项 和 为 S”,证 明：5e).证 明：(1)l与 曲 线 夕=In?a:恰 存 在 两 个 公 共 点(31

13、11%(),(%,1112必)(%3e.命 题：襄 阳 六 中 审 题：宜 昌 三 中 数 学 试 题 B 第 4 页(共 4 页)2023届 湖 北 省 十 七 所 重 点 中 学 第 一 次 联 考 参 考 答 案 及 评 分 标 准 一、选 择 题：本 题 共 8 小 题，每 小 题 5分，共 40分。在 每 小 题 给 出 的 四 个 选 项 中,只 有 一 项 是 符 合 题 目 要 求 的。1 2 3 4 5 6 7 8A B D C B C D D7.D 对 每 个 1 WEW 2023,在 4HA2,，4)0 中 的 从 属 关 系 有 以 下 101种:(1)e 4 匕。e

14、A2,i e A3,A oo,(2)。A i 6 4：3,.W A JOO,(3)e 力 匕 g A 2,i e A 3,4 o o,(101)i A y.i g A 2,i 串 4 3,至 Aioo.由 分 步 乘 法 计 数 原 理,集 合 S 中 共 1012。23个 元 素.8.D 记 随 机 变 量 X 为 购 买 a 个 元 件 后 的 次 品 数.由 题 意,此 时 X 可 看 成 泊 松 分 布.则 P(X w Q 1 0 0)2 0.95,记 力=Q 100,则 E”。1(1。+期 0.9 5.由 于 t 很 小,故 大 致 有 E-1 0.95.i=o z!z=o z!e分

15、 别 计 算 i=0,1,2,3,左 边 约 等 于 0.37,0.74,0.91,0.98,故 I 3,即 a 2 103.二、选 择 题：本 题 共 4 小 题，每 小 题 5分，共 20分。在 每 小 题 给 出 的 四 个 选 项 中,有 多 项 符 合 题 目 要 求。全 部 选 对 的 得 5 分，部 分 选 对 的 得 2 分，有 选 错 的 得 0分。9 10 11 12ACD BC ABD AB11.ABDA:|力 为 W 3+1+P Q=9,且 能 取 到 等 号,故 正 确；同 理 B 正 确.C:试 想 一 个 将 O Q 向 左 平 移 的 过 程，使 得 平 移 后

16、 的 圆 与 O Q 有 公 共 点 的 最 短 平 移 距 离 即 M切 的 最 小 值,为 4-/(3+1产 32=4-7 5,故 错 误；同 理 D 正 确.12.AB以 A 为 原 点,戏,就,盛 为 工,y,z 轴 正 向 建 立 空 间 直 角 坐 标 系.数 学 试 题 参 考 答 案 第 1页(共 7 页)设 点 P(1+cos a,2.1+sin a),Q(2,1+/2 cos 1 4-/2 sin/?).A:同 金=2(s in a，5sin/3)W 2+2血,故 正 确.B:|P Q|2=(cosa I)2+(A/2 COS/3 l)2+(sin a/2 sin/3)2=

17、5 2 cos a 2/2 sin/3 2/2 sin a sin，5 2/2 cos(3，4+8 siiF 记 t 2/2cos/3,PQ22 5 t y/1 2 5-2/6=(v-血 产,故 正 确.C:取 G P 的 中 点 M,A M 穿 过 一 侧 的 外 接 圆,取 4 3 的 中 点 M1,则 A M 不 穿 过,故 必 存 在 点 R 使 得 A P 经 过 外 接 圆，设 公 共 点 为 Q,此 时 P A Q 共 线,矛 盾,故 不 正 确.D:假 设 成 立,则#,而=2(1+cos a)+2(1+，5 c o s/)+(1+s in a)(l+0 s i“)0 恒 成

18、立.利 用 辅 助 角 消 去 a,叫 5+20 cos 0+x/2sin/3-，4+(1+cos/)2 0.取*=1%,则 左 边=2 y 4+(l)2 0,故 不 正 确.故 选 AB.三、填 空 题：每 小 题 5 分，共 20分。13.1 14.1 2或 13(写 出 一 个 即 可)1 5.(0,1 6.O/14.本 题 采 用 逆 推 思 想.1 2 4 8 16 512(舍)128 256 J(32 64-1 85(舍)21-42 J 84(舍)80(舍)20 40(5-1 0 I 133 i 6 i 12故 填 1 2或 13.15.令 c=0,得 0 v Q W-z-.O下

19、证：a e（0，W 均 满 足 题 意.ex 1当 2 0 时,左 边 关 于 a 递 减,当 n V 0 时,-2-x e数 学 试 题 参 考 答 案 第 2页（共 7 页）当 c e 0)时，虫 号 2a2,仍 关 于 a 递 减,故 只 需 证 明 a=苧 成 立./n 7 e o令 力=In/0,即 证(=2.”/2t+1)0.O小。=收 一 学 一 递 增,“=0,“y z t+i故 g 在(0:1)上 递 减,在(l,+oo)上 递 增,以 力)以 1)=0.故 填(o,-.O16.设 点 4 的 积 0),.则 喘+加=。2.设 角 平 分 线 交 了 轴 于 T,易 知 T(

20、e2私 0).直 线:9=。(z-e2g).设 A B 中 点 为 M,则 盯 i=等.(1-e2)xQ 3122()2 3e2(?1/曰(2 3e2)萧.2河-三 Uo),koMkAB=e-1,彳 可 T7；-22 2=。一 13 1 e2 2(1 ez)zXQ将 点 力 与 椭 圆 联 1/立 2 得 铝 一 1)2，故 2而 3P刁 2=I 解 得 A号/Q故 填 空 四、解 答 题：本 题 共 6 小 题，共 70分。解 答 应 写 出 文 字 说 明，证 明 过 程 或 演 算 步 骤。17.（10 分）(1)取 4 8 中 点 区 则 4 f L 8。由 CH1.平 面 AXBXB

21、A,BiD C 平 面 AXBXBA,故 C H Y BXD.（3 分）又 A H C C H=H，故 BrD 平 面 AtCH.而 4。U 平 面 AyCH,故 A1C B1D.（5 分）及 4 3=1 0.表 面 积 S=哈 伊+3),体 积 展 争 2 乎=Z 4 Zt o.,h V y/3t/3t 1故 由 基 本 不 等 式,后=可 e 忘 砺 万=短 等 号 成 立 当 且 仅 当 t=g（7 分）（9 分）Q 0 分）18.（12 分）640 6=不=8,&=60-24=36.80故 回 归 方 程 为 9=8c+36.（2 分）（3 分）(2)(i)设 前 者 和 后 者 的

22、斜 率 分 别 为%20(g-5)(步 一 夕)1k1=-，卷=不=20（%-y）21=120（&一 可（筑-y）i=l数 学 试 题 参 考 答 案 第 3 页(共 7 页),反（0-乃（比 一 刈 2则 F=婷-=为 与 的 相 关 系 数（7 分）ro/u zu2（&一 月 2（筑 一 歹）21=1 i=l又 r W 1,岛,后 0,敌 后 W k2.（8 分）下 证：岛 丰%.若 一=k2,则|=1,即 Vi=8&+36（2=1,2,，20）恒 成 立.（9 分）带 入 表 格 中 的 一 组 数 据 得：58.18-2.7+36,矛 盾.故 无%,即 前 者 斜 率 小 于 后 者.

23、（10分）（ii）注 意 至 少 两 直 线 都 过（了，力,且 后%,故 公 共 点 仅 有（3,60）.（12分）19.（12 分）,A c a?-f-b2-c2 2ab c2/2.（1）由 余 弦 理,cos。=-2=1-,（2 分）2ab 2ab 2等 号 成 立 当 且 仅 当 a:b:c=l:l:/2.（3 分）（2）方 法 一:7T当 C C 时，。一 W。本 分）当。4 时,设 线 段 A C 的 中 垂 线 交 A B 于 点 D.A D=b2c2 cos A b2+c2 a2在 A C D B 中，由 正 弦 定 理,D B=sin 8c A D=（c2 a2）cA D b

24、2sin（C A）C DIDB+c2-a2A DDBD B a（/2b a）代=2,（豹 2,.,、sin B 1故 sin（C 一/）W-W 2-/2 1 57r由（1）,cos。2 1.-一,故 0 C 力。.7 T则。太（6 分）（8 分）（10 分）（12 分）b方 法 二:由 正 弦 定 理,sin2 C sin2 A-sinA（/2sin B sin A）.（4 分）由 二 倍 角 公 式,S-sin2 C sin2 A g（cos2/cos2C）.（6 分）而 S=|cos（A-C+A+C）-cos（4-C-A-C）=sin（C-A）sin（C+A）,z/2.2的 s,、sinA

25、fvsinjS-sinA）sinB 1，八 八 故 sin。一 月=-L W 2.=W 于（10分）sm B sin B 2 2A/2 1 57r由（1）,cos。2 1.一,故 0 C 力。.数 学 试 题 参 考 答 案 第 4 页（共 7 页）7T则 C-A W.（12分）620.（12 分）（1）fln）的 前 6 项 分 别 为 1,2,2,3,2,3.（2 分）an的 大 小 与 能 整 除 n 的 自 然 数 个 数 相 同.（3 分）（2）方 法 一：（山 心”*,由，因 为 大 于 小 于 n 的 数 不 被 九 整 除，故 QnW 42 2（5 分）2 n n AT.,V

26、2+1,2 G N,当 n=2 k为 偶 数 时，s2 k 41+1(子 4 2fc-1+1+1-2_ _)+.+(224/1 X 2 2 12kT+122k+3-1+1 3-2+1 3k+1-1-1-1-22-1 1 22 2 丁 22k+4 4 4l-4-fc+/-1+3 _4-2+3A+f4-2+33 1 4 42 1 十 1 424 44fc+-4(人+1)+百-l 4k 4/c+l),、45 1 4(k+l)+53 3 4fc 4 3其 中 第 一 行 2分,其 余 共 4 分.当 n=2k-1为 奇 数 时,S2fc_i S2 k 得 证.O方 法 二：4事）+-(11 分)。2

27、分)设 乙=(7 1+行+亦)+(7 1+谬+-+环)+,z 1 1 1)+2九,1+2 2+2 建 71)先 说 明 Sn W Tnn e N*).Tn中 为 段 依=1,2,小)的 项 数 恰 为 ij=k(l W i,jW n)的 正 整 数 解 数 ak,故*浮+晟+*=S叱(7 分)Z1 2/2n再 证 可(nN*).O数 学 试 题 参 考 答 案 第 5 页（共 7 页）i 5n-1 时,Ti=-2 时，（8 分）11-I3 十 22（i-L22nF1-1 1 J 一 严、）+,+丽（-T-）1-2n1 1 1-+-4-+-21-1-22 1 2n-1w i+ql（z i+1#1

28、、2八 1、5=1+3（1-后）其 中 前 两 行 和 后 两 行 各 2 分.21.（12 分）1（-1,0）./斜 率 显 然 存 在,故 可 设 2:g=m Q+1）+2,即 广 亭+1）2 2设 P-1,如,Q 3 用 2）.。“2 一 号=1 即 Q+1）2 一 号 一 2（%+1）=（即 3+1）2一，一 23+1 产 一 y+1）=。.设 A R A Q 的 斜 率 防,期,则 履=-（，：=1,2）,Xi+1“2故 卜 1,卜 2为 方 程 1（卜 一 小）=0 的 两 个 实 根.O由 韦 达 定 理,比+%=-3.（2）设 PR:9=方（4+1）+r（r*0）.将 4 P:

29、沙=瓦（Z+1）与。方 程 联 立,得：点 口 注*,普 引.J rv i O K-i将 A P 与 P R 方 程 联 立,得：点 P（厂 二-1,卢 7）.fcl t fcl t故 l 产 二，同 理 M.叫 二（3%3的 6r（W+1）=6r（总+1）双（3 解）（自 一 1）=（3 后）2 1）即（自 一%）4 岛 后+1+卜 2）（解+1）限+1）又 自#卜 2,岛+后=一 3,整 理 得 t=-1=0,+1产+512-5等 号 成 立 当 且 仅 当 k#2=-1.（12 分）=1.I（2 分）（4 分）（6 分）（8 分）。0 分）（11 分）（12 分）综 上,直 线 P R

30、的 斜 率 的 最 大 值 为-忘.22.（12 分）数 学 试 题 参 考 答 案 第 6 页（共 7 页）(V)I:y=-(x g)+In2 x().令 f(x In2 x-(x g)In2 g.、21nx 2InXo。/、2(1 Ini)p/x/、*/=-；-f=-/()在(0：e)递 增,(e,+oo)递 减.CC/()N又/(g)=0,f(l)0,故 存 在 xo G(,x0),/(说)=0.力 0 死 e3 先 证 明 欧 跖 e3,即 环.&(5分)由（1）,只 需 e3 0,即 In 了 一 hi2 x()一 e3整 理,只 需 1 一 飞 3(1 lnxo)(3 Ing)令 方=Ing 1,即 证 g=2 In X Q63 T l2Inx()/e).,3(7分)9e3 1.(9分)2件=0,1)=0,得 证.(11 分)下 证 2必+说 3丁 瑞,这 等 价 于（/包 1）2（/包+2）2 0,成 立.V 二。V”x00故 2xo+说 3e.(12 分)数 学 试 题 参 考 答 案 第 7 页（共 7 页）