湖北省十七所重点中学2023届高三下学期2月第一次联考数学试题（解析版）.docx

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1、 2023届湖北省十七所重点中学高三第一次联考数学一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1. 已知集合，则（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】先求出集合，再由交集的定义即可得出答案.【详解】因为，.故选：C.2. 设，则（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】根据三角函数的诱导公式即可求得.【详解】由题意得：,故选：B3. 函数导函数为（ ） A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】直接代入求导公式，运用复合函数的求得法则即可求解.【详解】依题知，即，由求导公式：，复合函数的求导法则：设，则

2、得：，故选：D.4. 设复数满足，则的虚部为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】通过解方程组求得，进而求得的虚部.【详解】依题意，两式相加并化简得，所以，两边乘以得，所以的虚部为.故选：C5. 某气象兴趣小组利用身边的物品研究当地的降雨量他们使用一个上底面半径为、下底面半径为、高为的水桶盛接降水当水桶内盛水至总高的一半时，水的体积约占水桶总体积的（ ） A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】根据圆台的体积公式求得正确答案.【详解】水桶的体积为，水的上底面半径为，水的体积为，所以水的体积约占水桶总体积的.故选：B6. 已知平面非零向量满足，则的最小值为（ ）A.

3、2B. 4C. 8D. 16【答案】C【解析】【分析】根据向量数量积的定义和关系，把的两边平方，利用基本不等式进行转化求解即可【详解】设非零向量，的夹角为.，所以，由两边平方得：，即，即， ，即当时，取得最小值，最小值为8.故选：C7. 设集合，则集合S的元素个数为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】由每个，在中的从属关系，结合分步乘法计数原理求解即可.【详解】对每个，在中的从属关系有以下101种：（1），（2），（3），（101）由分步乘法计数原理，集合S中共个元素故选：D8. 设随机变量，当正整数n很大，p很小，不大时，X的分布接近泊松分布，即现需100个正品元件，该元

4、件的次品率为0.01，若要有以上的概率购得100个正品，则至少需购买的元件个数为（已知）（ ）A. 100B. 101C. 102D. 103【答案】D【解析】【分析】结合题意记随机变量X为购买a个元件后的次品数，记，分别计算，求解即可得出答案. 【详解】记随机变量X为购买a个元件后的次品数由题意，此时X可看成泊松分布则，记，则由于t很小，故大致有分别计算，左边约等于0.37，0.74，0.91，0.98，故，即故选：D.二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分9. 已知递增的正整数列的前n项和

5、为以下条件能得出为等差数列的有（ ）A. B. C. D. 【答案】ACD【解析】【分析】用与的关系，计算判断A和B；按的奇偶求出，再结合递增的正整数列推出判断C；按给定条件求出数列的通项，再结合递增的正整数列求出判断D作答.【详解】对于A，时，当时，满足，而且时，则为等差数列，A正确；对于B，当时，不满足上式，得，因此数列不是等差数列，B错误；对于C，即为隔项等差数列，且是递增的正整数列，则，且，有，即 ，于是，因此，所以为等差数列，C正确；对于D，即数列是以为首项，为公比的等比数列，则，从到中间恰有项：，它们是递增的正整数，而到中间恰有个递增的正整数：，于得，又，令，即有，又，故对，显然数

6、列是等差数列，D正确.故选：ACD10. 已知，则（ ）A. B. C. D. 【答案】BC【解析】【分析】通过多次构造函数，结合函数的性质、选项及进行求解.【详解】设，当时，为减函数；当时，为增函数；所以的最大值为，即.因为，所以.设，所以当时，为减函数； 因为，所以.由可得，所以，故B正确设，当时，为减函数；当时，为增函数；所以的最大值为，所以，即.设，易知为增函数，由可得，故C正确.因为为单调递减函数，在上是增函数，在上是减函数，且的图象经过图象的最高点，所以当时，的大小无法得出，故A不正确.令，则，得，易知在为增函数，所以，所以不成立，故D不正确.故选：BC.【点睛】方法点睛：利用导数

7、比较大小的常用方法：（1）作差比较法：作差，构造函数，结合函数最值进行比较；（2）作商比较法：作商，构造函数，结合函数最值进行比较；（3）数形结合法：构造函数，结合函数图象，进行比较；（4）放缩法：结合常见不等式进行放缩比较大小，比如，等.11. 已知点分别在上则（ ）A. 的最大值为9B. 的最小值为C. 若平行于x轴，则的最小值为D. 若平行于y轴，则的最大值为【答案】AB【解析】【分析】根据圆心距和两圆的位置关系可得选项AB正确；将沿 轴方向向左平移的过程，使得平移后的圆与有公共点的最短平移距离即的最小值，可求得的最小值为，同理可得的最大值为，即CD错误.【详解】因为的圆心为，半径，的圆

8、心为，半径，的圆心为，半径，所以,两圆相离；，两圆内含.对于选项A：，当且仅当四点共线时取到等号，故A正确；对于B：因为，所以两圆内含，则，当且仅当四点共线时取到等号，故B正确对于C：试想一个将向左平移的过程，使得平移后的圆与有公共点的最短平移距离即的最小值，如下图所示：当平移到（图中虚线位置）时与相切，此时，易知，所以，所以，故C错误；同理如下图所示： 当平移到（图中虚线位置）时与相切，作垂直于轴，所以，所以，所以，即的最大值为，可得D错误.故选：AB12. 已知正方体的边长为2，点P，Q分别在正方形的内切圆，正方形的外接圆上运动，则（ ）A. B. C. D. 【答案】AB【解析】【分析】

9、建立空间直角坐标系，利用空间向量数量积的坐标表示公式、模的坐标表示公式、夹角公式逐一判断即可.【详解】以A为原点，为x，y，z轴正向建立空间直角坐标系 设点，A：，故正确B：，记，故正确；C：取的中点M，穿过一侧的外接圆，取的中点，则不穿过，故必存在点P，使得经过外接圆，设公共点为Q，此时共线，故不正确；D：假设成立，则恒成立，取，则，即，故不正确故选：AB.【点睛】关键点睛：建立空间直角系，利用空间向量数量积、模的坐标表示公式进行求解是解题的关键.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分13. 已知多项式满足对任意，则_（用数字作答）【答案】1【解析】【分析】根据二倍角公式进行三角恒等

10、变换，化简后可得即可求解.详解】解：由题意得： ，由可知：.故答案为：114. 冰雹猜想是指：一个正整数x，如果是奇数就乘以3再加1，如果是偶数就析出偶数因数，这样经过若干次，最终回到1问题提出八十多年来，许多专业数学家前仆后继，依然无法解决这个问题已知正整数列满足递推式请写出一个满足条件的首项，使得，而_【答案】12或13（写出一个即可）【解析】【分析】由递推公式，结合及条件，依次逆推出即可.【详解】因为，所以若为偶数，则，若为奇数，则与已知矛盾；故；所以若为偶数，则，若为奇数，则与已知矛盾；故； 所以若为偶数，则，若为奇数，则与已知矛盾；故；所以若为偶数，则，若为奇数，则与已知矛盾；故；所

11、以若为偶数，则，若为奇数，则；故或；余下推导用图表示可得： 故答案为：12或13（写出一个即可）.15. 设实数，不等式对任意实数恒成立，则a的取值范围为_【答案】【解析】【分析】分析可知令，得，证明对任意的，不等式恒成立即可，构造函数，结合导数却定函数单调性分段证名即可.【详解】解：令，得下证：对任意的，不等式恒成立令当时，单调递减，所以 令，则，则只需证明在上恒成立由，可知单调递增，且，故在上单调递减，在上单调递增，所以成立；当时，单调递减，由可知在上单调递减，所以成立综上，得证故答案为：.16. 设椭圆的离心率，C的左右焦点分别为，点A在椭圆C上满足的角平分线交椭圆于另一点B，交y轴于点

12、D已知，则_【答案】【解析】【分析】根据题意，作图，计算得，再设角平分线交x轴于，根据角平分线的性质，得到，进而得到直线的方程，再得到点，利用，得到点，然后利用点差法，通过计算化简，可得答案. 【详解】由点A在椭圆C上，且，设点，且，则，同理，设角平分线交x轴于，根据角平分线的性质，可知，解得，得可得直线进而可得，由，可得，设中点为M，则，点差法的结论，证明如下：设，为中点，故，两式作差得， 又由，可整理得，最后化简得，进而得到，得因为，所以，联立，解得，所以，故，解得故答案为：四、解答题：本题共6小题，共70分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤17. 如图，在正三棱柱中，点D为线段的中点

13、，侧面的面积为（1）若证明：；（2）求三棱柱的体积与表面积之比的最大值【答案】（1）证明见解析 （2）【解析】【分析】（1）取中点H，连接，证明得到平面，得到证明.（2）计算，再利用均值不等式计算得到答案.【小问1详解】取中点H，连接，则平面，平面，故，平面，故平面，平面，故又，平面，故平面而平面，故【小问2详解】设，表面积，体积，当且仅当等号成立18. 为调查某地区植被覆盖面积x（单位：公顷）和野生动物数量y 的关系，某研究小组将该地区等面积划分为200个区块，从中随机抽取20个区块，得到样本数据，部分数据如下：x2.73.63.2y57.864.762.6经计算得：（1）利用最小二乘估计建

14、立y关于x的线性回归方程；（2）该小组又利用这组数据建立了x关于y的线性回归方程，并把这两条拟合直线画在同一坐标系下，横坐标x，纵坐标y的意义与植被覆盖面积x和野生动物数量y一致，（）比较前者与后者的斜率大小，并证明；（）求这两条直线的公共点坐标附：y关于x的回归方程中，斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：【答案】（1） （2）（）前者斜率小于后者，证明见解析；（）【解析】【分析】（1）利用题中所给数据结合最小二乘法即可得解；（2）（）设前者和后者的斜率分别为，分别求出，再结合相关系数的公式与性质即可得出结论；（）根据两直线均过样本中心点结合（）中结论即可得出答案.【小问1详解】解：,，故回归

15、方程为；【小问2详解】 解：（）设前者和后者的斜率分别为，x关于y的线性回归方程为，则，为与的相关系数，又，故，即，下证：，若，则，即恒成立，代入表格中的一组数据得：，矛盾，故，即前者斜率小于后者；（）注意到，两直线都过，且，故公共点仅有19. 在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c已知（1）求的最小值；（2）证明：【答案】（1） （2）证明见解析【解析】【分析】（1）结合余弦定理、基本不等式求得的最小值.（2）结合正弦定理、基本不等式求得，进而证得. 【小问1详解】由余弦定理，当且仅当，即时等号成立【小问2详解】方法一：当时，当时，设线段的中垂线交于点D在中，由正弦定理，当且仅当时等号成

16、立.故，由（1）故则方法二：由正弦定理，由二倍角公式， 而，故，当且仅当时第一个等号成立.由（1），故则20. 设点A为双曲线的左顶点,直线l经过点,与C交于不与点A重合的两点P,Q（1）求直线的斜率之和;（2）设在射线上的点R满足,求直线的斜率的最大值【答案】（1） （2）【解析】【分析】（1）平移，利用齐次化的方法求解（2）利用平面几何知识，将几何问题转化为，求出的坐标，最后直线的斜率用的斜率表示，即可求解【小问1详解】由题知.由于平移不改变斜率,作平移变换.则点的坐标变为,点的坐标变为双曲线方程变为,即 设点与点连线的斜率为,则.式两边同除以得,即由题知,直线PQ不过点,所以设直线因为直

17、线PQ过点,所以,即,所以所以,代入(2)得方程的两根即为AP,AQ的斜率,由韦达定理所以直线AP,AQ的斜率之和为【小问2详解】(2)设AP斜率为斜率为联立,得.联立,得.由可知,AP为外接圆的切线,且设所以即,即 当时取等所以,直线PR的斜率的最大值为【点睛】关键点点睛：本题的关键是条件的等价转化，需要运用初中学习的弦切角定理.另外就是对含有，这个式子的处理，运算量很大，分子展开后还需要因式分解，最终转化为的二次函数问题.21. 已知数列满足：对任意质数p和自然数n，都；对任意互质的正整数对，都有（1）写出的前6项，观察并直接写出与能整除n的正整数的个数的关系；（2）设数列的前n项和为，证

18、明：【答案】（1）的前6项分别为1，2，2，3，2，4；的大小与能整除n的自然数个数相同 （2）证明见解析【解析】【分析】（1）根据题意赋值可得的前6项，然后根据前6项的值即可得出结论；（2）方法一：由（1）得出，然后分和两种情况进行证明即可； 方法二：设，利用不等式的放缩即可求解.【小问1详解】令，则；令，则；令，则；令，则；令，则；令，所以，所以的前6项分别为1，2，2，3，2，4观察归纳可知，的大小与能整除n的自然数个数相同【小问2详解】方法一：由（1），因为大于小于n的数不被n整除，故当为偶数时，为奇数时，得证方法二： 设先说明中为的项数恰为的正整数解数，故再证时，成立；时，22. 已

19、知直线l与曲线相切于点证明：（1）l与曲线恰存在两个公共点 ；（2） 【答案】（1）证明见解析 （2）证明见解析【解析】【分析】（1）将原函数与切线方程作差构造函数，证明该函数有2个零点即可；（2）将原问题转化为均值不等式，利用（1）所构造的函数特性求解.【小问1详解】 ，所以在 处的切线方程为 ，令，则原问题转化为 存在2个零点： ，并且 ， 令，则 ，显然 在递增，递减， ， ， ，故存在唯一的，使得 在递减，递增，递减，并且 ， ， ， ， ，下面证明 ：令 ，则 ， ，则 ，由于 ，即 ，考察函数 ，则 ，当 时单调递减， 时单调递增， ，并且当 时， ， 的图像大致如下图：下面证明极值点偏移问题：令 ， ， ， ， 是减函数， ， ，即 ， ，由于 ， 的大致图像如下图：故存在 ，并且只有当 时，当 时 ；【小问2详解】先证明 ，即 ，由（1）的结论知，只需证明，即，即 ，整理，只需 ，令，即证 ，即， 在递增 ，得证由均值不等式： ，故【点睛】本题难度很大，先要将公共点问题转化为零点问题，在判断 的符号的时候需要用到极值点偏移的知识，在草图上画出 的图像，在判断出 的图像，并且只有当 时， 才大于零这个图形特征，才能在第二问中运用基本不等式.