《复变函数与积分变换》期末考试试卷及答案2.pdf

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1、复 变 函 数 与 积 分 变 换 期 末 试 题（A）吉 林 大 学 南 岭 校 区 2011年 12月 题 号*1二 四 五 六 总 分 得 分 一.填 空 题（每 小 题 3 分，共 计 15分）1理 1的 幅 角 是（);2.Ln(-l+z)的 主 值 是(3./。)=一，/(。)=(l+zz-sin z4.z=0是-4-的(Z5.z)=：,Res(z),g 二(););)极 点；);二.选 择 题（每 小 题 3 分，共 计 15分）1.解 析 函 数/（z）=（x,y）+iv（x,y）的 导 函 数 为（）；(A)f%z)=ux+iuy；(B)fz)=ux-iuy.(C)fXz)=

2、ux+ivy.(D)/(z)=uy+ivx.2.C 是 正 向 圆 周 忖=3,如 果 函 数/(z)=(),则，/(z)dz=0.(A)3(z-l)(C)3(z-l)z-2(z-2)2(D)3(z-2)237 oo3.如 果 级 数 Zc z”在 Z=2 点 收 敛，则 级 数 在 n=l(A)Z=-2 点 条 件 收 敛；(B)Z=2 i点 绝 对 收 敛；(C)z=l+i 点 绝 对 收 敛；(D)Z=l+2i点 一 定 发 散.4.下 列 结 论 正 确 的 是()(A)如 果 函 数/(z)在 Zo点 可 导，则/(z)在 Zo点 一 定 解 析；(B)如 果/(z)在 C所 围 成

3、 的 区 域 内 解 析，则/(z)dz=O(C)如 果 47(Z)dz=0,则 函 数/(z)在 C所 围 成 的 区 域 内 一 定 解 析；(D)函 数 f(z)=(x,y)+iu(%,y)在 区 域 内 解 析 的 充 分 必 要 条 件 是”(x,y)、v(x,y)在 该 区 域 内 均 为 调 和 函 数.5.下 列 结 论 不 正 确 的 是().(A)00为 sin，的 可 去 奇 点；g 为 sinz的 本 性 奇 点；z(C)8 为 丁 的 孤 立 奇 点；(D)8 为-1的 孤 立 奇 点.sin-sin zz三.按 要 求 完 成 下 列 各 题(每 小 题 10分，共

4、 计 4 0分)(1)设/(z)=/+axy+by+i(cx+dxy+y2)是 解 析 函 数，求 Q,b,C,d.(2).计 算-d z 其 中 C是 正 向 圆 周：|Z|*(3)计 算|=3(+z5Z2)2(2+Z4)ydz(4)函 数/(Z)=ZQ 2-1)(Z+2)3(Z-3)2(sin 3在 扩 充 复 平 面 上 有 什 么 类 型 的 奇 点？，如 果 有 极 点，请 指 出 它 的 级.得 分 四、(本 题 14分)将 函 数 z)=/在 以 下 区 域 内 展 开 成 罗 朗 级 数;-z Y z-l)(1)0|z-l|l,(2)0|z|l,(3)l|z|oo得 分 I五.

5、（本 题 1 0分）用 Laplace变 换 求 解 常 微 分 方 程 定 解 问 题 y(x)-5y(%)+4y(x)=exy(0)=y(0)=1六、（本 题 6分）求/二 e 一 削（万 0）的 傅 立 叶 变 换，并 由 此 证 明:工 e划 2夕 e复 变 函 数 与 积 分 变 换 期 末 试 题（A）答 案 及 评 分 标 准 填 空 题（每 小 题 3 分，共 计 1 5分）1.1一 的 幅 角 是（一+2以,。=0,1,2i）；2 311 c 3兀.2.L（-1+i）的 主 值 是（-ln 2+Z）；3./（0）=（o）,z-sin z4.z=0是 4 的（一 级）极 点;Z

6、5.z）=w，Res/（z）,8=（t）；二.选 择 题（每 题 4 分，共 2 4分）1.解 析 函 数/（z）=M（x,y）+iv（x,y）的 导 函 数 为（B）；(A)/(Z)=(C)/(z)=%+i v；(B)/(z)=Ux-iuy.Ux+i vy；(D)fz)=uy+ivx2.C 是 正 向 圆 周 忖=3,如 果 函 数/（z）=（D），则/（z）dz=O.(A)力(C)M;(D)_A_co3.如 果 级 数 在 z=2 点 收 敛，则 级 数 在（C）M=1（A）z=-2 点 条 件 收 敛；（B）z=2i点 绝 对 收 敛；（O z=l+i点 绝 对 收 敛；（D）z=l+2

7、i点 一 定 发 散.4.下 列 结 论 正 确 的 是（B）（A）如 果 函 数/（Z）在 Zo点 可 导，则/（Z）在 Zo点 一 定 解 析;(B)如 果/(z)在 C 所 围 成 的 区 域 内 解 析，则/(z)dz=O(C)如 果 j/(Z)dz=O,则 函 数/(z)在 C 所 围 成 的 区 域 内 一 定 解 析；(D)函 数 f(z)=(,y)+h(%,y)在 区 域 内 解 析 的 充 分 必 要 条 件 是 w(x,y)v(x,y)在 该 区 域 内 均 为 调 和 函 数.5.下 列 结 论 不 正 确 的 是(D).(A)、8 为 sin 的 可 去 奇 点；(3)

8、、8 为 sinz的 本 性 奇 点；z9)、8 为 J 的 孤 立 奇 点.(。)、8 为 一 的 孤 立 奇 点；sin-s i n zz三.按 要 求 完 成 下 列 各 题(每 小 题 10分，共 4 0分)(1).设/(z)=+Q移+处 2+i(c/+dxy+y?)是 解 析 函 数，求 a,b,c,d.解：因 为/(Z)解 析，由 C-R条 件 du _ dv du _ 3vdy dy dx2x+ay=dx+2y ax+2by=-lex-dy,a=2,d=2,a=2c2b=d,c=l,b=-1,给 出 C-R条 件 6 分，正 确 求 导 给 2 分，结 果 正 确 2 分。(2)

9、.计 算，；一 k d z 其 中 c 是 正 向 圆 周：右(z-1)z解：本 题 可 以 用 柯 西 公 式 柯 西 高 阶 导 数 公 式 计 算 也 可 用 留 数 计 算 洛 朗 展 开 计 算,仅 给 出 用 前 者 计 算 过 程 因 为 函 数/(Z)=在 复 平 面 内 只 有 两 个 奇 点 Z尸 0,z2=1,分 别 以 Z”Z2(z-1)z为 圆 心 画 互 不 相 交 互 不 包 含 的 小 圆 C1,c2且 位 于 C 内ez=2m(Y+2m e,=2mz.(z 0z=l/z=0无 论 采 用 那 种 方 法 给 出 公 式 至 少 给 一 半 分，其 他 酌 情

10、给 分。f715(3).4 H-rrdz1=3(1+z2)2(2+z4)3解：设/(z)在 有 限 复 平 面 内 所 有 奇 点 均 在：目 3 内，由 留 数 定 理 dz=-2m Re sf(z),(5分)=2万 Resd)41z z(-)15_z(l+4)2(2+(-)4)3z z-(8 分)1Z(1+?)2(2Z4+1)3有 唯 一 的 孤 立 奇 点 z=0,Res(J),0=lim 抬)占=lim+齐:斤+口=】Z Z z-0 Z Z:_0(l+z)(2z+1)Z15q-一-r v dz=2 力-(io 分)l=3(l+?)2(2+/)3 万(4)函 数/(z)=彳 a T)(z

11、；2)Q 3 在 扩 充 复 平 面 上 有 什 么 类 型 的 奇(sin 改)点？，如 果 有 极 点，请 指 出 它 的 级.解：z)=Z(Z2 1)(Z+2)：(Z-3)2 的 奇 点 为 z=七 左=0,1,2,3,，8(sm 殁：)(1)z=k#=0,l,2,3,为(sin位)3=0的 三 级 零 点，(2)z=0,z=l,为/(z)的 二 级 极 点，z=-2是/*(z)的 可 去 奇 点，(3)z=3为/的 一 级 极 点，(4)z=2,3,4,为 f(z)的 三 级 极 点；(5)8 为 的 非 孤 立 奇 点。备 注：给 出 全 部 奇 点 给 5 分，其 他 酌 情 给

12、分。四、(本 题 14分)将 函 数/(z)=T 在 以 下 区 域 内 展 开 成 罗 朗 级 数;zYz-1)(1)0|-1|1,(2)0 忖 1,(3)1|z|00解：(1)当 0 上-1|1=-=-r-丫?a-i)(z-1)(z-1+i)1 0(z T+D 窝 OO=Z(T)(Z T)Tn=0f(z)=(-1广-6 分 二 0(2)当 0闫 11 1 1 00/(Z)=-=-=一 3 Zj(z-1)z28n-2 i=LZ-io 分 二 0(3)当 1 同 8 8 1 8/=-7 Z(-)=Z F-14 分 Z n=O Z n=O Z每 步 可 以 酌 情 给 分。五.(本 题 10分)

13、用 Laplace变 换 求 解 常 微 分 方 程 定 解 问 题:y”(x)-5y(x)+4y(x)=exy(0)=1=y(o)=1解：对 y（x）的 Laplace变 换 记 做 L（s）,依 据 Laplace变 换 性 质 有 52L(5)-5-1-5(sL(s)-1)+4L(s)=整 理 得（5 分）L(s)=-d-(5+1)(5-1)(5-4)S-l-1-1-10(5+1)6(5-1)15(5-4)5-1(7 分)-1-1-10(5+1)6(5-1)15(5-4)y(x)=-A+-e+10 6 15（10分）六、（6 分）求/）二。一 削（夕 0）的 傅 立 叶 变 换，并 由

14、此 证 明:r cosat)+疗 邓 e-p解：F(a)=e-i0)-3 分 F(a)=R T”/力+e e d t(夕 0)=以 吐 汕 山+不 限 如 出（夕 0）e(P-i(O)tP-i(o B+i(o(夕 0)0方（。）=2BP-io)P+ia)J32+(o2(夕 0)4 分/)=匚 e,a耳(/0)_W 用 0 8)1 p p 1 斤+疗(cosat+isin(a)d(o(夕 0)夕 sin atfl2+a)2COSfi/,l 产 5-Tda)+fl+a)Ldo)(夕 0)/(V 前 3 m 6分复 变 函 数 与 积 分 变 换 期 末 试 题(B)吉 林 大 学 南 岭 校 区

15、2011年 1 2月 题 号*1二 四 五 六 总 分 得 分 一.填 空 题(每 小 题 3 分，共 计 15分)1.”的 幅 角 是()；22.乙(一+，)的 主 值 是()；3.。=(),/(z)=x2+2盯 一)，2+i(a%2+2%y+y2)在 复 平 面 内 处 处 解 析.r n z-sin z4.Z=U 是 一 j 的()极 点；z/、15./(z)=,Res 尸 二()；二.选 择 题(每 小 题 3 分，共 计 15分)1.解 析 函 数/(z)=U(x,y)+iv(x,y)的 导 函 数 为()；(A)fXz)=uy+ivx；(B)=ux-iuy.(C)fXz)=ux+i

16、vy.(D)f z)=ux+iuy.2.C 是 正 向 圆 周 忖=2,如 果 函 数 z)=(),则 4/(z)dz=o.(A)3z(B)；z-1(C)3z(z-D2(D)3(z-D23.如 果 级 数 在 z=2i点 收 敛，则 级 数 在 M=1(A)z=-2点 条 件 收 敛；(B)z=-2i点 绝 对 收 敛；(C)z=l+i点 绝 对 收 敛；(D)z=l+2i点 一 定 发 散.4.下 列 结 论 正 确 的 是()(A)如 果 函 数 f(z)在 z()点 可 导,则/(z)在 z()点 一 定 解 析；(B)如 果 j/(zMz=O,其 中 C 复 平 面 内 正 向 封 闭

17、 曲 线，则/(z)在 C 所 围 成 的 区 域 内 一 定 解 析；(C)函 数/(z)在 Z。点 解 析 的 充 分 必 要 条 件 是 它 在 该 点 的 邻 域 内 一 定 可 以 展 开 成 为 Z-Z。的 基 级 数，而 且 展 开 式 是 唯 一 的；(D)函 数/(z)=(x,y)+(x,y)在 区 域 内 解 析 的 充 分 必 要 条 件 是”(x,y)、v(x,y)在 该 区 域 内 均 为 调 和 函 数.5.下 列 结 论 不 正 确 的 是().(A)、Inz是 复 平 面 上 的 多 值 函 数；(B)、COSZ是 无 界 函 数；(C)、sinz是 复 平 面

18、 上 的 有 界 函 数；(D)、二 是 周 期 函 数.得 分 I-M 三.按 要 求 完 成 下 列 各 题(每 小 题 8 分，共 计 50分)(1)设/(z)=(x,y)+i(，+g(y)是 解 析 函 数，且/(0)=0,求(2).计 算，-(?+l)(z-02出.其 中 C 是 正 向 圆 周 国=2；（3）.计 算(1 Z)Iezdz其 中 C 是 正 向 圆 周|z|=2；（4）.利 用 留 数 计 算 W q _ l）（z _ 2）2 其 中 C 是 正 向 圆 周|z|=3；(5)函 数/(幻=ZU?-l)(z+2)3(sin位 产 在 扩 充 复 平 面 上 有 什 么

19、类 型 的 奇 点？，如 果 有 极 点，请 指 出 它 的 级.得 分|四、(本 题 12分)将 函 数/(Z)=7 在 以 下 区 域 内 展 开 成 罗 朗 级-zYz-l)(1)o|z-l|1,(2)o|z|1,(3)1|z|得 分 五.(本 题 1 0分)用 Laplace变 换 求 解 常 微 分 方 程 定 解 问 题 y(x)5y(%)+4y(x)=e y(0)=y(0)=1六、（本 题 8 分）求/（）=e 一 削（夕 0）的 傅 立 叶 变 换，并 由 此 证 明:复 变 函 数 与 积 分 变 换 期 末 试 题 简 答 及 评 分 标 准（B）吉 林 大 学 南 岭 校

20、 区 2011年 1 2月 题 号*1二 四 五 六 总 分 得 分.填 空 题（每 小 题 3 分，共 计 15分）1/7T1.的 幅 角 是(-一+2,=01,2,-);2 42.。2(-1一，)的 主 值 是(-ln2-i-)；2 43.7=1 2，/(。)=(0)；1+Z4.=,R e s(z),0=(o)z5./(z)=7,R e s(z),8 1 二(o)；二.选 择 题（每 小 题 3 分,共 计 15分）1./一/是 解 析 函 数/(z)=(,y)+川(x,y)的 实 部，则(A)；(A)f(z)=2(x+iy)；(B)f/(z)=2(x-iy).(C)f/(z)=2(y+i

21、x)；(D)f(z)=2(y-ix).2.c 是 正 向 圆 周 忖=2,如 果 函 数/(Z)=(A),则。(z)dzwo.1 sinz(A)；(B)-z-1 z1 13.如 果 级 数 cz在 z=2i点 收 敛,=1 7；(D)-(Z 3)(z l)则 级 数 在（C）（A）z=2点 条 件 收 敛；（B）z=-2i点 绝 对 收 敛;(C)z=l+i点 绝 对 收 敛；(D)Z=l+2i点 一 定 发 散.4.下 列 结 论 正 确 的 是(C)(A)如 果 函 数/(Z)在 Zo点 可 导，则/(Z)在 Zo点 一 定 解 析；(B)如 果 4/(z)dz=O,其 中 C 复 平 面

22、 内 正 向 封 闭 曲 线，则/(z)在 C 所 围 成 的 区 域 内 一 定 解 析；(C)函 数/(z)在 Zo点 解 析 的 充 分 必 要 条 件 是 它 在 该 点 的 邻 域 内 一 定 可 以 展 开 成 为 z-Zo的 事 级 数，而 且 展 开 式 是 唯 一 的；(D)函 数/(z)=(x,y)+iv(x,y)在 区 域 内 解 析 的 充 分 必 要 条 件 是”(x,y)、v(x,y)在 该 区 域 内 均 为 调 和 函 数.5.下 列 结 论 不 正 确 的 是(C).(A)Inz是 复 平 面 上 的 多 值 函 数；(B)cosz是 无 界 函 数；(C)s

23、in z 是 复 平 面 上 的 有 界 函 数；(D)/是 周 期 函 数.得 分 I M 三.按 要 求 完 成 下 列 各 题(每 小 题 10分，共 计 4 0分)(1)求 a,b,C,d 使/(z)=/+axy+by2+i(cx2+dxy+2)是 解 析 函 数,解：因 为/(z)解 析，由 C-R条 件 du _ dv du _ dvdx dy dy dx2x+ay=dx+2y ax+2by=2cx dy,a=2,d=2,a=2c,2b=d,c=1,b=1,给 出 C-R条 件 6 分，正 确 求 导 给 2 分，结 果 正 确 2分。(2).j 式 z T)?”其 中,是 正 向

24、 圆 周|W=2；解：本 题 可 以 用 柯 西 公 式 柯 西 高 阶 导 数 公 式 计 算 也 可 用 留 数 计 算 洛 朗 展 开 计 算,仅 给 出 用 前 者 计 算 过 程因 为 函 数/(z)=在 复 平 面 内 只 有 两 个 奇 点 z尸 0,z2=1,分 别 以 Z,Z2(Z-1)z为 圆 心 画 互 不 相 交 互 不 包 含 的 小 圆 C,c2且 位 于 C 内=2力(与 Z+2m-(Z 1产=02=0(3).计 算 Z%z4Tl 出，其 中 C是 正 向 圆 周 闫=2；解：设/(z)在 有 限 复 平 面 内 所 有 奇 点 均 在：|z|2内，由 留 数 定

25、 理，/氏=一 2万 R e s(z),8=2加 j-(5 分)也=21 忖 8Z3ez(1 z)Z 2/2/i 1 1 1 1 1 1、-二-Z(1 H 1-7 H-r+)(H 1-H-T+,)1 z 2!?3!?z?z(,Z 2+,ZH-1-1 1 W1 1 1 1、1-1-小-)(1 H-1-H-r H-)2!3!z 4!?z z2?.Y+1+1+5 t 2!3!3f81 J(z)d z=-产 乙、U2-l(z+2 3(4)函 数/(z)=-一 在 扩 充 复 平 面 上 有 什 么 类 型 的 奇 点？，如 果 有(sin/)极 点，请 指 出 它 的 级./(z)的 奇 点 为 z=

26、3 左=0,1,2,3,，8z=A,A=0,l,2,3,为(sin位=0的 三 级 零 点,z=l,为/的 二 级 极 点，z=-2是/1 的 可 去 奇 点,朗 级 数;z=0,2,-3,4,为/(z)的 三 级 极 点；8 为/Xz)的 非 孤 立 奇 点。给 出 全 部 奇 点 给 5 分。其 他 酌 情 给 分。四、(本 题 14分)将 函 数/(Z)=在 以 下 区 域 内 展 开 成 罗 z(z+l)(1)0|z+l|l,(2)0|z|l,(3)l|z|(1)0|z+1|1,(2)0|z|1,(3)1|z|oo解：(1)当 o|z+l|lf(z)=-=-r-丫?(z+l)(z+1)

27、(l-(z+l)(l-(z+1),J=0 n=0oo z)=Z(Z+I)T-6 分 n=0(2)当 0忖 11 1 8-10分 1J、么)一 2/iT-Z a+1)z，(l+z1 二 1 二 1/=F Z()=Z(T)r-14 分 Z 7?=0 Z=o ZOO/i=0(3)当 1 忖 8 1得 分 五.(本 题 10分)用 Laplace变 换 求 解 常 微 分 方 程 定 解 问 题(%)+2y(x)-3y(x)=ex y(0)=0,y(0)=1解：对 y（x）的 Laplace变 换 记 做 L（s）,依 据 Laplace变 换 性 质 有 S2L(S)-1+2sL(s)-3L(s)=

28、5+1整 理 得(5+1)(5-1)(5+4)1 3 1 ay(x)=-x-e-3x（5 分）（7 分）（10分）六、（本 题 6 分）求,（）104-0 0.rsintycosd/,-da)=o0)解：/（助=3/。）力 J-OO口 的 傅 立 叶 变 换,%Mi1/(0)=e-i(ad t-2 分 1e.2sinG-=i=-4-1(0,C O C D/Q)=*一/(劭 d G _ 5 分 1 小/空 do71(0并 由 此 证 明:1 r8sm 0/.一 I-(cos(X X+1 sin a)tlco兀 A 2 产 sinocostyr,i M sinssinor,二 一-d co+-dco C O 兀 工 8 3得 分