复变函数与积分变换期末考试试卷A及答案.pdf

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1、?复 变 函 数 与 积 分 变 换？期 末 试 题(A)答 案 及 评 分 标 准?复 变 函 数 与 积 分 变 换？期 末 试 题(A)一.填 空 题(每 小 题 3 分，共 计 1 5 分)1.”3的幅角是(21 3In 2 i):3.9 Az sin z2k,k 0,1,2)；2.3f(z)彳 2,伸)(0)-I-71 -4.z o 是 的(一级)极点；5.f(z)，R e s f(z),z zL n(1 i)的主值是(o)；(-1)；二.选 择 题(每 小 题 3 分，共 计 1 5 分)1 .解析函数f(Z)u(x,y)iv(x,y)的导函数为(B)；(A)f(Z)ux i l

2、l y ；(B)f (z)U x i uy；(C)f (z)U x 叽；(D)f (2)U y i V x.2.C 是正向圆周z 3,如 果 函 数 f(z)(D),，贝(z)dz 0.(A)3 3(z 1),(D)3z 2(B)3(zi)z2 7 (Z 2;D3.如果级数 CnZ”在 Z 2 点收敛，则级数在(C)n 1(A)z 2 点条件收敛；(B)z 2 i 点绝对收敛；(C)z 1 i 点绝对收敛；(D)z 1 2 i点一定发散.4.下列结论正确的是(B)(A)如果函数f(z)在 Z。点可导,则 f(z)在 Z。点一定解析;(B)如果f(z)在 C 所围成的区域内解析，则 f(z)dz

3、 0c(C)如果？f(z)d z o,则函数f(z)在 C 所围成的区域内一定解析；C(D)函数f(z)u(x,y)iv(x,y)在区域内解析的充分必要条件是u(x,y)、v(x,y)在该区域内均为调和函数.5.下列结论不正确的是(D).1(A)为 s in 的 可 去 奇 点；(B)z1(C)为 1 的孤立奇点；(D)sin z三.按要求完成下列各题(每小题.计算2 千 12其中C 是正向圆周：Z 2z15 计 算i23(1 z2)2(2*严z(z2 1)(z 2)3(Z 3)2(sin z)3(4)函数 f(z)如果有极点，请指出它的级四、(本题14分)将函数f(z).z2(z为 sin

4、z 的 本 性 奇 点；1为 一-的 孤 立 奇 点.sin z10分，共 计 4 0 分)H w/、/2、旦版?*岛而黜,a h e rl在扩充复平面上有什么类型的奇点云在以下区域内展开成罗朗级数；(1)0|z 1 1,(2)0|z 1,(3)1|z五.(本 题 1 0 分)用 Laplace变换求解常微分方程定解问题y(x)5y(x)4y(x)ey(0)y(0)1六、(本题6分)求f e P(0)的傅立叶变换，并由此证明:m三.按要求完成下列各题(每小题10分，共40分)22 22(1).退 f (z)x a x v b v i(c x d x v v )层解析的和，求a,b,c,d.解：

5、因为f (Z)解 析，由C-R条件U V U Vx y y X2x ay dx 2y ax 2by 2cx dya 2,d a,a 2c,2b d,c 1,b 1,给出C-R条件6分，正 确 求 导 给2分，结果正确2分。Ze ,(2).计算：c dz其中c是正向圆周：C(z 1)z解：本题可以用柯西公式柯西高阶导数公式计算也可用留数计算洛朗展开计算，仅给出用前者计算过程Z因为函数f(z)乞丁在复平面内只有两个奇点Z i O,z21 分别以Z i ,z2(z 1)Z为圆心画互不相交互不Cl,C2且位于c内ze j d zc (z 1)2zzeze门H d zCi z d zC 2(z 1)22

6、，亿1)22K-)无论采用那种方法给出公式至少给一半分,其他酌情给分。(3).3(1打 z1 5r r d zz2)2(2 z4)3解：设f(z)在有限复平面内所有奇点均在:3内，由留数定理15(1 z2)2(2z4)3d z2 iResf(z),(5分)2iRe|_|f(1-|-(8 分)1 1f(-Hz z(1)15一 1 1、4)3 Z20 Um】)，亍有唯一的孤立奇点 0,z(1号 厂41 1 .zf(1)_1Resf()-2.0 z z|m，z lim(1 z2)2(2z4-1)3z 015n_!_dz(io分)I I Q/u O O/r Qz(z2 1 )(z 2)3(4)函 数f

7、(z)(z 3产在扩充复平面上有什么类型的奇点,(sin z)s如果有极点，请指出它的级解一 z(z2 1)(z 2)3(z 3)2 砧 六 上 斗.，c f C Cf(Z)3 的奇点为 Zk,k 0,1,2,3,(sin z)(1)z k,k 0,1,2,3为(sin z)30的 三 级 零 点，(2)级 极 点,z2 0,2 1,为 亿)的二2是f(z)的可去奇点，(3)z 3为f(z)的一级极点，(4)z 2,3,4，为f(z)的 三 级 极 点；(5)为f(Z)的非孤立奇点。备注：给出全部奇点给5分，其他酌情给分。四、(本题14分)将函数f(z)1)在以下区域内展开成罗朗级数;G51(

8、z 1 1)1 n(Z 1)n1)nn(z 1)n 1f(z)(1)n 1n(z 1)n 2n 0(2)当 0f z2(Z 1)1 0(3)当 1f(Z)Z2(Z 1)?f(Z)1 4每步可以酌情给分。五.(本题1 0分)用L a p l a c e变换求解常微分方程定解问题：y (x)5y (x)4 y(x)e xy(0)1 y(o)1解：对y(x)的L a p l a c e变换记做L(S)，依据L a p l a c e变换性质有s2L(s)s 1 5(s L(s)1)4 L(s)-s 1整理得S(s1)(s1)(s 4)s11 110(s 1)110(s 1)6(s 1)56(s1)1

9、 115(s 4)s 1115(s 4).(7 分)y（x）10六、（6分）求fe叫I15,4 xe(10 分)解：F0e e dt(F()e ife dti t e e00）的傅立叶变换，并由此证明:*dtI0)3分0)e(dt e(0i tdt(0)e（1）t0 e(i)t0)F()A-0)4 分f(t)12e+()d6-5分12i te-222do）22(cos t i sint)d(0)0)02f(t)COS t220),2ori?复 变 函 数 与 积 分 变 换？期 末 试 题(B).填空题(每小题3分，共 计15分)f(z)析.4.1.口的幅角是(22xy y2 i(ax22xy

10、;2.Ln(复平面i)的主值是oz sin z是 3-的()极点；5.f(z);3.Resf(z),二.选择题(每小题3分，共 计15分)1.解析函数f(z)u(x,y)iv(x,y)的导函数为(A)f (2)U y i V x ；(B)f (z)U x i u：(C)f (2)u x i V y ；(D)f (Z)U x i U y.2.C是正向圆周z 2,如果函数f(z)()，则。f(z)dzc(A)无；(B)半；(6潟：(F)；3.如果级数 CnZn在Z2i点收敛,n 1(A)z 2点条件收敛；(C)z 1 i点绝对收敛；则级数在(B)z2i点绝对收敛；(D)z 1 2i点一定发散.4

11、.下列结论正确的是()(A)如果函数f(z)在Z。点可导，则f(z)在Z o点一定解析；(B)如果：c f d z O,其中C复平面内正向圭寸闭曲线，则f(z)在C所围成C的区域内一定解析；(C)函数f(z)在Z。点解析的充分必要条件是它在该点的邻域内一定可以展开成为Z Z。的幕级数，而且展开式是唯一的；(D)函数 f(z)u(x,y)i v(x,y)在区域内解析的充分必要条件是 u(x,y)、v(x,y)在该区域内均为调和函数.5.下列结论不正确的是().(A)、I n z是复平面上的多值函数；(B)、CO S Z是无界函数；(C)、s i n z是复平面上的有界函数；(D)、e z是周期函

12、数.得分三 按要求完成下列各题(每小题 8分，共 计5 0分)(1)设 f (z)u(x,y)i(x2 g(y)是解析函数，且 f (0)0,求g(y),u(x,y),f 亿).(2).计算2 1：z i严.其中,是正向圆周z 2.2 1Z(3).计 算%才e d z,其中c是正向圆周z 2；(4).利用留数计算。C(z 1)(Z 2)2、.其中C是正向圆周zz(z2 1)(z 2)3(5)函数f(z)3在扩充复平面上有什么类型如果有的奇点，(s i n z)极 点，请指出它的级四、(本题1 2分)将函数f(z)2(乜)在以下区域内展开成罗朗级数；z(z 1)(1)0|Z 1 1,(2)0 Z

13、 1 ,(3)1 z五.(本 题1 0分)用L a p l a c e变换求解常微分方程定解问题y(x)5y(x)4y(x)y(o)y(o)1六、(本题8分)求f (t)e叫 )的傅立叶变换，并由此证明:c o s 3?复变函数与积分变换？期末试题简答及评分标准(B)一.填 空 题(每 小 题3分，共计1 5分)匚 的幅角是(2k,k 0 1,2,);2.L n (1 i)的主值是41 I n 2i-).3.f(z)3)(0)；2 4 八s i n z cw、4.f(z)Resf(z),0;5.t(z)2z，Resf(z),()；二.选 择 题(每 小 题3分，共计1 5分)1-5 A A C

14、 C C三.按要求完成下列各题(每小题1 0分，共计4 0分)(1 )求 a,b,C,d 使 f (z)x2 a x y b y2 i(e x2 d x y y?)是解析函数，解：因为f (z)解析，由C-R条件u V u V2x ay dx 2y ax 2by 2cx dy,a 2,d 2,a 2c,2b d,c 1,b 1,给出C-R条件6 分，正确求导给2 分 结果正确 2 分。1(2).Cz(z 1)2，其中C 是正向圆周解：本题可以用柯西公式柯西高阶导数公式计算也可用留数计算洛朗展开计算，仅给出用前者计算过程1因为函数f(z)亍在复平面内只有两个奇点Zi亿1)Z0,Z2 1,分别以

15、q,Z2为圆心画互 不相交互不 Ci,C2且位dz dz dzc.7 2(Z 1 )22 心 J7 I 2亿1产3z e.一dz 其中C是正向圆周z 2；z)解：设f(Z)在有限复平面内所有奇点均在：由留数定理z|2f(z)dz i Res f(z),ic 1(5分)z”(1 z)(1 2!z2(z2111 12!3!z 4!z2Ci(112!8 z23dz 32i(4)函数f(Z)空 1)亿32)在扩充复平面上有什么类型的奇点，如果有极(si n z)点，请指出它的级.f(z)的奇点为 zk,kO,1,2,3,k,kO,1,2,3,为(sin z)3 0 的三级零点，1，为f(z)的二级极点

16、，2是f(z)的可去奇点，0,2,3,4，为f(z)的三级极点；为f(z)的非孤立奇点。给出全部奇点给5分。其他酌情给分。四、(本题14分)将函数f(z)1 1)在以下区域内展开成罗朗级数;(1)1 ,(2)1 ,(3)1(1)0(2)3 品 7)(z1)(1(z1)J而(1(z1)(z1)nln 0n(z 1)nnOf(z)n(z1)n2n0(2)当 0 Z 1侬 尢1)Z(1)nzn2 Z1 0n 0分(3)当 1 z,z2(Z 1)f(2)(bn(1)n-AZ nOZ no14 分五.（本题10分）用Laplace变换求解常微分方程定解问题y(x)2y(x)3y(x)y(0)o,y(0)1解：对y（x）的Laplace变换记做L（s），依据Laplace变换性质有S2L(S)1整理得2SL（S）31_网1s 1（5分）L(s)S2(7(S1)(S1)(S4)I 分）y(x)J x 3 x e e4 81 3 x-e8(10得分 六、（本题6分）求,一分）1 110 11的傅立叶变换，并由此证明sin cos t,d02t14t 1Ot 1解：F()ef(t)dt1 itF()edt2 分2sin盼tF()d2sin丽(cos t isint)dsin cos t,a sin sinsin cos(1)o T l(2)0 Z 1 -(3)1 Z001解：（1 ）当01o0 1