《复变函数与积分变换》期末考试试卷A及答案.pdf

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1、 复变函数与积分变换 期 末 试 题（A）一.填 空 题（每小题3 分，共计15分）1印 的 幅 角 是（)；2.LH(-1+Z)的主值是）；3.占,/(0)=(）；z-s in z4.z=0 是-4的(R e s /,o o =(）极点；5.）;二.选 择 题（每小题3 分，共计15分）1.解析函数/（2）=（了,）+/（乂/）的导函数为（）;(A)f(z)=ux+iuy.(B)fz)=ux-i uy.(C)/(z)=Ux+ivy.(D)fz.)=uy+ivx.2.C 是正向圆周|W=3,如果函数/(Z)=(),则j/(z)d z=o.(A)3z-2(C)3(z-1)(z-2)2(D)3(z

2、-2尸I003.如果级数E%z”在 z=2 点收敛，则级数在n=（A）z=-2点条件收敛；（B）z=2 i 点绝对收敛；（C）Z =l +i点绝对收敛；（D）Z =l +2i点一定发散.4.下列结论正确的是（）（A）如果函数/（Z）在Z o 点可导，则/（Z）在Z o 点一定解析;(B)如果/(z)在C所围成的区域内解析，则4/(z)d z=。(C)如果&/(Z)d z=O,则函数/(z)在C所围成的区域内一定解析；(D)函数/)=卫直,)0+巾(羽,)在区域内解析的充分必要条件是”(x,y)、v(x,y)在该区域内均为调和函数.5.下列结论不正确的是().(A)8为s in 的可去奇点；c

3、o为s in z的本性奇点；z(C)8为一1T的孤立奇点；(D)00为 一的孤立奇点.s in -s in zz得分I-H 三，按要求完成下列各题(每小题10分，共 计40分)(1)设/(z)=%2+axy+by2+icx+d x y +y?)是解析函数，求 a,b,c,d.(2).计算z(z d z其中C是正向圆周：0=2；(3)z15计算 i=3(l +2)2(2 +/)y d z(4)函 数/(z)=z(z21)(Z+2)3(Z 3)2(sinz)3在扩充复平面上有什么类型的奇点？，如果有极点，请指出它的级.得分 四、（本 题14分）将函数/（z）=在以下区域内展开成罗朗级数;-z（Z-

4、1）(1)0|z-l|l,(2)0|z|l,(3)l|z|o o得 分 五.(本题10分)用 Laplace变换求解常微分方程定解问题y()-5y (x)+4y(x)=0）的傅立叶变换，并由此证明:复变函数与积分变换 期 末 试 题（A）答案及评分标准一.填 空 题（每小题3 分，共计15分）1.上 点 的 幅 角 是（工+2丘4=0,1,23）；2.L及（T +i）的主值是2 3 3；i(不l n 2+彳，*3./(z)=2，)(0)=(0),4.z=0是2 4 1+Zz-s in z 14 的(一级)极点；5./(z)=一,R e s/(z),o o =(T)；Z z二.选择题(每题3分，

5、共15分)1-5 B D C B D三.按要求完成下列各题(每小题10分，共40分)(1 ).设/(z)=/+。町+外+i(c%2+d x y +2)是 解 析 函 数，求a,b,c,d.解：因为/(Z)解析，由C-R条件du _ dv du _ dvdx dy dy dx2x+ay=dx+2y ax+2by=-2cx-dy,a=2,d =2,a=-2c,2。=d,c=-1,/?=1,给出C-R条件6分，正确求导给2分，结果正确2分。(2).计算、2 d z其中c是正向圆周:解：本题可以用柯西公式 柯西高阶导数公式计算也可用留数计算洛朗展开计算,仅给出用前者计算过程因为函数/(Z)=上寸在复平

6、面内只有两个奇点z尸0,Z 2=1,分别以力逐2(z-l)z为 圆 心 画 互 不 相 交 互 不 包 含 的 小 圆Cl,C2且 位 于C内=2m(y+27d e,=2mz,(z l)2 0z=l /z=O无论采用那种方法给出公式至少给一半分，其他酌情给分。15(3),一-7TdzW=3(1 +Z2)2(2+Z4)3解：设/(z)在有限复平面内所有奇点均在：闫3内，由留数定理154,-r r dz =-2m Re s /(z),o o I=3(1 +?)2(2+Z4)3(5分)=2m Re.y /()-(8 分)Z Z(I)1 5z z (l +-L)2(2+(-)4)3 zz z片4z(l

7、 +?)2i(2z4+l)3有唯一的孤立奇点z =0,Re s g)3,0 =l i m (7)4 =l i m 限 开:斤 上 市=iZ Z Z T O Z Z g o (1 +Z )(2z +1)J 5qX=,3(-I-+-Z2-)-2-(-2-+-r vdz=2而 -(io 分)Z4)3(4)函数/(z)=z(z ；l)(z：2)Q一3在扩充复平面上有什么类型的奇(sin 改)点？，如果有极点，请指出它的级.解：z)=2 Txz+2心3)2 的奇点为z=七左=0,1,2,3,，8(s i n z)(1)z=V,无=0,1,2,3,为(silled =0的三级零点,(2)z=0,z=l,为

8、/(z)的二级极点，z=2是/(z)的可去奇点，(3)z=3为/(z)的一级极点，(4)z =2,3,4，为/(Z)的三级极点；(5)8为/(Z)的非孤立奇点。备注：给出全部奇点给5分，其他酌情给分。四、(本题1 4分)将函数/(=在以下区域内展开成罗朗级数；Z(Z-1)(1)0 1 -1|1 ,(2)0|z|1 ,(3)1|00解：(1)当0 上-1 1f(z)=i=!r Jr?U-1)(z-i)(z-i +D1 2而1一r-=Z(-l y a w(z -1 +1)M00=Z(T)(z-1 尸n=000z)=Z(T)%(z l 尸 -6 分=0(2)当0 忖 1J-2/j T _ FTj 7

9、 =2 乙 4z (z -l)Z (l-z)Z n=000v*n-2、=Zz-1 0 分n=0(3)当1 忖 0)=ep-i 0(夕 0)i i 26F(。)=方 +方 =2 2(6 0)-4 分p-ia)/3+ICD +苏 *)4 万f(t)=r eicaF(o)d(D(60)_L71 工82小 862十 0)5分1n(coscot+isinait)da(尸0)coscut.i 产力sin a,.于-+-da)+匕J夕-+-8-T do W(0)器迹如。）6分彳4竺 二 俳I复变函数与积分变换 期 末 试 题(B)一.填空题(每小题3 分，共计15分)1.匕 的 幅 角 是()；2.L (一

10、 +i)的主值是2()；3.=(),/(Z)=x2+2xy-y2+i(ax2+2xy+y2)在 复 平 面 内 处 处 解I0 是2一-ssi一n z 的()极点；5./&)=一i,z zRe s /(z),o o=()；二.选择题(每小题3 分，共计15分)1 .解析函数/(z)=(,y)+z v(x,y)的导函数为()；(A)f z)=uy+ivx.(B)/z)=nx-i uy.(C)f(z)=ux+ivy.(D)/()=%+%.2.C 是正向圆周|z|=2,如果函数/(z)=(),则j/(z)dz=o.(A)-3=-；(B)3与?；(C)3?；(D)3z-1 z-l3 .如 果 级 数

11、在 z=2 i 点收敛，n=l(A)z=-2 点条件收敛；(C)z=l +i 点绝对收敛；4 .下列结论正确的是()(z-1)(z-1)则级数在(B)z=-2 i 点绝对收敛;(D)z=l +2 i 点一定发散.(A)如果函数/(Z)在Z o 点可导，则/(Z)在Z o 点一定解析;(B)如果4/(z)dz=O,其中C 复平面内正向封闭曲线，则/(z)在C 所围成的区域内一定解析；(C)函 数 在 Z。点解析的充分必要条件是它在该点的邻域内一定可以展开成为z-Z o 的幕级数，而且展开式是唯一的；(D)函数/(z)=“(x,y)+i v(x,y)在区域内解析的充分必要条件是(x,y)、v(x,

12、y)在该区域内均为调和函数.5.下列结论不正确的是().(A)、I n z是复平面上的多值函数；(B)、co s z是无界函数；(C)、s i n z 是复平面上的有界函数；(D)、/是周期函数.得 分 IM 三.按 要 求 完 成 下 列 各 题(每 小 题 8分，共 计 5 0 分)(1 )设 f (z)=(x,y)+i(x 2+g(y)是 解 析 函 数，且/(0)=0 ,求g(y),u(x,y),f(z).(2).计算2 八/.、上+1)(Z T)y d z.其中C 是正向圆周忖=2；工2 J.(3).计 算 十 二 出，其中C是正向圆周|z|=2；(4).利用留数计算 口 _1)_2

13、)2 d z。其中C是正向圆周|z|=3；，/、Z(Z2-1)(Z+2)3(5)函 数/(幻=-一寻一在扩充复平面上有什么类型的奇点？，如果(sinz)有极点，请指出它的级.得分四、(本题1 2 分)将函数/(z)=F _K在以下区域内展开成罗朗级z(zT)(1)o|z-l|l,(2)0|z|1 ,(3)1|z|0 0得 分 五.(本 题 10分)用 Laplace变换求解常微分方程定解问题-1 f/(x)-5/(x)+4y(x)=,y(0)=y(0)=1六、（本题8 分）求=（尸 0）的傅立叶变换，并由此证明:得分 复变函数与积分变换 期末试题简答及评分标准（B）J-1 填空题（每小题3 分

14、，共计15分）1.匕的幅角是（一 至 +2 M,k=0 l,2,）；2.L （一1 一，）的2 4主 值 是（g l n 2-吁 ）；3./=+/，/（。）=（0 ）；4./（）=-,Re s（z）,O=（o ）；5./（z）=,z、zR e s /,o o =（o ）；得分二.选 择 题（每小题3 分，共计15分）得分1-5 A A C C C三.按要求完成下列各题（每小题10分，共计40分）（1）求a,b,c,d 使/（z）=/+a孙+勿2+j（c%2+d孙+/）是解析函数,解：因为/（z）解析，由c-R条件du _ dv du _ dvdx dy dy dx2x+ay=dx+2y ax+

15、2by=-2cx-dy,Q=2,d=2,a=-2c2b=d,c=1,/?=1,给出C-R 条件6 分，正确求导给2 分，结果正确2 分。（2）-z（z-l）2 dz其中C是正向圆周忖=2；解：本题可以用柯西公式 柯西高阶导数公式计算也可用留数计算洛朗展开计算,仅给出用前者计算过程因为函数/)=在复平面内只有两个奇点Z=0,Z2=L分别以Z ,Z 2(z-l)z为 圆 心 画 互 不 相 交 互 不 包 含 的 小 圆 且 位 于C内I dz=dz+1 zc 2 r d z二2(Z 1)1+2m 二U-D2=0z=O(3).计算 一7心(一)d z,其中C是正向圆周用=2；=2 md yz1解：

16、设/(z)在有限复平面内所有奇点均在：目2内，由留数定理f 27(z)dz=-2而 R e s/(z),o =2加c_i1|z|0 0(5分)24 一 )一z ez _ z ezz-z2(l +z2!?X/11 1 1 、y +-)(l+-+-)z z z-(?+Z H-1-1-2!3!z 4!z、“1 1 1 、7,0(1+=+F*1-)Z Z Z,1 111+一一 一(1+1+1 +1一号t 2!3!3r8 dz=-1力，/、(z2-l)(z+2)3(4)函数/(z)=-一-在扩充复平面上有什么类型的奇点？，如果有(s i n z)极点，请指出它的级./(z)的奇点为z=%,%=0,1,2

17、,3,，o oz k,k 0,l,2,3,为(sinz)3=0的三级零点,z=1,为/的 二 级 极 点，z=-2是/的可去奇点,为/仁)的三级极点0 0为/(N)的非孤立奇点。给出全部奇点给5分。其他酌情给分。|得 分|1四、(本题1 4分)将函数/(z)=2,八1 _1 zYz+D朗级数；(1)0 Z+1 1,(2)o|z|1,(3)l|z|(1)0|z +1|1 ,(2)0|z|1,(3)1|z|0 C解：(1)当0|z+l|lf(z)=1=1 r-1-丫?U +1)U +l)(1-U+1)1 00 00而“(7+八 =0仁+1)此+1)”(l-(z+l)=0 ,!=000/(Z)=Z(

18、Z+D-2-二0(2)当0 闫 11 1 h/(z)=A 7 +n,Z(T)z Z十 u Z =o00=Z(T)z 10 分/?=0(3)当1 忖 8/、1 1/(z)=)=z-(z+l)z3(l +l)z在以下区域内展开成罗：00)-16分i 1 3 1 z)=Z(与=2(1)三Z n=0 Z n=0 Z14 分得分 五.(本 题10分)用Lap l ace变换求解常微分方程定解问题I的傅立叶变换，并由此证明:4-00 cosatfdco=l解：/（切=/3=e-iaxdt2 分-icot ico C c：一 八e.e-e 2 s i n 69-=i-=-ico,co co-14分/,2兀e()do5 分171Ei sin coe-dcoC D1 M-si-n-o(cosa)t+isin(ot)da)71 cosin co cos cotco,i rdco-71/sin sin a,-acoC D712JT dCD=pj%MI6分得分