2022高考数学应用题汇编.pdf

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1、1 8.（此 题 总 分 值 16分）如 下 图：一 吊 灯 的 下 圆 环 直 径 为 4 m,圆 心 为 0,通 过 细 绳 悬 挂 在 天 花 板 上，圆 环 呈 水 平 状 态，并 且 与 天 花 板 的 距 离（即。8）为 2%在 圆 环 上 设 置 三 个 等 分 点 为，4，4。点 C 为。8 上 一 点（不 包 含 端 点 0、B）,同 时 点 C 与 点 A1，A3,3 均 用 细 绳 相 连 接，且 细 绳 C41,CA2,CA3的 长 度 相 等。设 细 绳 的 总 长 为 y（1）设/C 4 0=9（rad）,将 y 表 示 成。的 函 数 关 系 式；（2）请 你 设

2、 计 9,当 角。正 弦 值 的 大 小 是 多 少 时，细 绳 总 长 y 最 小，并 指 明 此 时 8c 应 为 多 长。18.(I)解：在 Rr ACOA,中，2CA=-,C O=2tan0,.2 分 1 COS0y=3CA+CB=3-7 r+2-2tan。1 cos92(3-sin9)4 2cos0冗(o0；时，y0；sin。；时，y0,7 1v y=sine在 0,丁 上 是 增 函 数 4二 当 角。满 足 sinO=；时，y 最 小，最 小 为 4 a+2；此 时 BC=2-，16分 1 9.由 一 个 小 区 历 年 市 场 行 情 调 查 得 知，某 一 种 蔬 菜 在 一

3、 年 12个 月 内 每 月 销 售 量 P）单 位：吨）与 上 市 时 间。（单 位：月）的 关 系 大 致 如 图（1）所 示 的 折 线 A 8 C D E 表 示，销 售 价 格。（单 位：元/千 克）与 上 市 时 间 f（单 位：月）的 大 致 关 系 如 图（2）所 示 的 抛 物 线 段 G H K 表 示（”为 顶 点）.（1）请 分 别 写 出 PQ）,。关 于 f的 函 数 关 系 式，并 求 出 在 这 一 年 内 3 到 6 月 份 的 销 售 额 最 大 的 月 份？(2)图 中 由 四 条 线 段 用 荏 直 缱 围 成 的 平 面 区 域 为“，动 点 P(x,

4、y)在 M 内(包 括 边 界)，求 z=x-5y的 最 大 值；(3)由(2),将 动 点 P(x,y)所 满 足 的 条 件 及 所 求 的 最 大 值 由 加 法 运 算 类 比 到 乘 法 运 算(如 l 2x-3yM3Y2类 比 为 仁 一 43),试 列 出 P(x,y)所 满 足 的 条 件，并 求 出 相 应 的 最 大 值.-f+5r-119.解(I)=,-Z+110?3,3 t 6,6 t 9,9r12Q(f)=_l(f 4+6(012).16P Q)。=d)-3。-4)2+6 3?0 在 f e(3,6恒 成 立，所 以 函 数 在(3,6上 递 增 lo当，=6时，依)

5、。(，)总 产 5.；.6月 份 销 售 额 最 大 为 345。元.(II)5x+yll 1/)，z=x 5y.令 x_5y=A(x+y)+B(x_jO,A+B=lA-B=-5A=28=3那 么(HI)类 比 到 乘 法 有 z=x_5y=_2(x+y)+3(x_y).由-22 4 2(x+y)10,3 3(x y)21,-194 z 11,那 么(z)=11.7 max5xyllx X Xi x 7，求 Z=的 最 大 值.由 一 女 孙 一 四 1-7 y5 y5 yA+8=l A=-2A-3=-5=8=3/.(孙)-2 J_ l(Xy)3 343121 251/,343 343/_12

6、_1 z-2-5-,那 么 1 W=251 8.此 题 总 分 值 15分 如 图 甲，一 个 正 方 体 魔 方 由 2 7 个 单 位（长 度 为 1 个 单 位 长 度）小 立 方 体 组 成，把 魔 方 中 间 的 一 层 EFGH-E FG H 转 动 a,如 图 乙，设 a 的 对 边 长 为 x.1 1 1 1（1）试 用 a 表 小 x；（2）求 魔 方 增 加 的 外 表 积 的 最 大 值.1 8.命 题 立 意：此 题 主 要 考 查 数 学 建 模 和 解 决 实 际 问 题 的 能 力，考 查 运 算 求 解 能 力.解：由 题 意 得、+点+就=3,解 得 x=3*

7、也,一,ae1+sina+cosaC,6 分)（2）魔 方 增 加 的 外 表 积 为 S=8 磊,由(1)得 s=.22期 四 生 也 _,ae(1+sina+cosa)2(J,(10 分)令=sina+cosa=sin36c2-1)那 么 S=36(1+022f+1+7272（当 且 仅 当，=无 即 a 二 作 时 等 号 成 立）,答：当 a 寸 时，魔 方 增 加 的 夕 卜 表 积 最 大 为 1。8-72五.（15分）17.此 题 总 分 值 15分 请 你 为 某 养 路 处 设 计 一 个 用 于 储 藏 食 盐 的 仓 库（供 融 化 高 速 公 路 上 的 积 雪 之 用

8、）.它 的 上 部 是 底 面 圆 半 径 为 5 m 的 圆 锥，下 部 是 底 面 圆 半 径 为 5 m 的 圆 柱，且 该 仓 库 的 总 高 度 为 5m.经 过 预 算,制 造 该 仓 库 的 圆 锥 侧 面、圆 柱 侧 面 用 料 的 单 价 分 别 为 400元/m?、100元/n u,问 当 圆 锥 的 高 度 为 多 少 时,该 仓 库 的 侧 面 总 造 价（单 位：元）最 少？1 7.命 题 立 意：此 题 主 要 考 查 数 学 建 模 和 解 决 实 际 问 题 的 能 力，考 查 运 算 求 解 能 力.解：（法 一）设 圆 锥 母 线 与 底 面 所 成 角 为

9、。，且。（当）（2 分）4那 么 该 仓 库 的 侧 面 总 造 价 y=12兀 x5x5（l-tan0）xlOO+J x 2兀 x 5x凌 磊 x400=5 0=10兀（,2x-1）（）得 工=速,（13分）Jx2+25 3经 检 验 得，当 x=时，侧 面 总 造 价），最 小，此 时 圆 锥 的 高 度 为 m.（15分）3.在 一 个 六 角 形 体 育 馆 的 一 角 M A N内，用 长 为 的 围 栏 设 置 一 个 运 动 器 材 储 存 区 域（如 下 图）NA=120,8 是 墙 角 线 AM上 的 一 点，C 是 墙 角 线 AN上 的 一 点.（1）假 设 BC=a=2

10、0,求 储 存 区 域 面 积 的 最 大 值;（2）假 设 AB=AC=10,在 折 线 M B C N内 选 一 点。，使 8。+OC=20,求 四 边 形 储 存 区 域 QBAC的 最 大 面 积.解：（1）设 AB=x,AC=y,x 0,y 0.由 20,=x?+%-2 孙 cosl20 2盯-2 x y c o sl2 0,得 孙 W202 2022-2 co sl2 0 4sin2 6010073 202S=xysinl20 2 2 4sin 2 60202 cos 60 202-2sin 60 cos 60=-=-4sin 600 4 tan 60J 3即四 边 形 DBAC面

11、 积 的 最 大 值 为 粤 I 当 且 仅 当 x=y时 取 到.（2）由。8+。=2 0,知 点。在 以 8,C 为 焦 点 的 椭 圆 上，：S=_LxlOxlOx史=25小，.要 使 四 边 形 D B A C 面 积 最 大，只 需 A O 8 C 的 面 积 最 大，此 Mfic 2 2 时 点。到 B C 的 距 离 最 大，即。必 为 椭 圆 短 轴 顶 点.由 BC=10j?,得 短 半 轴 长 b=5,S、8c。面 积 的 最 大 值 为 万 x5=253.因 此，四 边 形 ACDB面 积 的 最 大 值 为 5 M.3.某 直 角 走 廊 的 示 意 图 如 下 图，其

12、 两 边 走 廊 的 宽 度 均 为 2m.b（1）过 点 P 的 一 条 直 线 与 走 廊 的 外 侧 两 边 交 于 4 8 两 点，且 与 走 廊 的 一 边 的 夹 角|为 e（oe 1）,将 线 段 A S 的 长 度/表 示 为。的 函 数；二（2）一 根 长 度 为 5 m 的 铁 棒 能 否 水 平（铁 棒 与 地 面 平 行）通 过 该 直 角 走 廊？请 说 明 理 由（铁 棒 的 粗 细 忽 略 不 计）.解：（1）根 据 图 得/（0）=8 P+AP=&+/？,0（0,g）.sint）cost）2（2）铁 棒 能 水 平 通 过 该 直 角 直 廊，理 由 如 下：2

13、 2r（0）=（y）+（n）zsinu cosvO-sin0-2-cos0 O-cos0+2-sin0 2（sin30-cos?0）=-+-=-sin2 0 cos2 0 sin2 0 cos2 0令/,=。得，0=%7 1当 0。二 时，/（。）0,/（。）为 减 函 数；4兀 7 1当 T 0，/（。）为 增 函 数：4 2所 以 当 时，/（0）有 最 小 值 4&,因 为 4、万 5,所 以 铁 棒 能 水 平 通 过 该 直 角 走 廊.19.（本 小 题 总 分 值 16分）如 图 一 块 长 方 形 区 域 A2C,AD=2（k m）,AB=（k m）.在 边 A O 的 中 点

14、。处，有 一 个 可 转 动 的 探 照 灯，其 照 射 角 NEOF 始 终 为,，设/A O E=a 探 照 灯 O 照 射 在 长 方 形 A8CD内 部 区 域 的 面 积 为 S.4(1)当 O W a V7 1时，写 出 S 关 于 a 的 函 数 表 达 式；2(2)当 时，求 S 的 最 大 值.4(3)假 设 探 照 灯 每 9 分 钟 旋 转“一 个 来 回”(0E自 0 A 转 到 O C,再 回 到 0 4 称“一 个 来 回，忽 略 0 E 在 0 4 及。C 反 向 旋 转 时 所 用 时 间)，且 转 动 的 角 速 度 大 小-定，投 4 5 边 上 有 一 点

15、 G,且 Z A P G=M,求 点 G 在“一 个 来 回”6中，被 照 到 的 时 间.19.解：1 过。作 O/7L8C,，为 垂 足.当 O W a W 上 时，4E 在 边 A 8 上，F 在 线 段 8 上(如 图，TT此 时，A E=tana,F H tan(-a),2 分 4 C C C c Q 正 方 形 0A4H OAE&OHF=1-tana-tan(-a).4 分 当 q V a V 上 时，4 2E 在 线 段 8”上，尸 在 线 段 C”上(如 图)，此 时，E H=,F H=，-，6 分 tana tan 4-a)EF=J+-1-.tana./3兀 tan(-a)/

16、:S=S-1-2 tana tan(3 _a)4 7综 上 所 述,I I 兀 l-t a n a tan(a),(0 W a W2 2 48 分(2)当 OW aW71 时，S=1 1 tana 1 tan(兀 一 a),4 2 2 41 0D P 5=2(1+tana+-).0 分 2 1+tana OWaW，.OW tana.即 1+tana W2.4/.1+tana+-三 2五.1+tana；.SW 2一 出.“ita n a=6 1时，S 取 得 最 大 值 为 2 J 7.12分（3）在 一 个 来 回 中，O E共 转 了 2 x 2 1=43兀 T其 中 点 G 被 照 到 时

17、，共 转 了 2 巴=.14分 6 3兀 那 么“一 个 来 回”中，点 G 被 照 到 的 时 间 为 9 x 2=2（分 钟）.16分 37t1 7.（本 小 题 总 分 值 14分）第 十 八 届 省 运 会 将 于 2021年 9 月 在 徐 州 市 举 办.为 营 造 优 美 的 环 境，举 办 方 决 定 在 某“葫 芦”形 花 坛 中 建 喷 泉.如 图，该 花 坛 的 边 界 是 两 个 半 径 为 10米 的 圆 弧 围 成，两 圆 心。,、。之 间 的 距 离 为 10米.1 2（1）如 图 甲，在 花 坛 中 建 矩 形 喷 泉，四 个 顶 点 A,B,C,O 均 在 圆

18、 弧 上，。于 点 M.设 1 2ZA O M=0,求 矩 形 的 宽 A B为 多 少 时，可 使 喷 泉 4 B C D的 面 积 最 大；（2）如 图 乙，在 花 坛 中 间 铺 设 一 条 宽 为 2 米 的 欣 赏 长 廊 以 作 休 闲 之 用，那 么 矩 形 喷 泉 变 为 两 个 全 等 的 等 腰 三 角 形，其 中 NA=N 5,NO=4 米.假 设 4 4。囚 求 喷 泉 的 面 积 的 取 值 范 围.C（第 17题 图 甲）（第 17题 图 乙）17.(1)在 直 角 AAO2M 中，AW=10sine,0 2 M=1 0 c o s 0,那 么 A。=20cos0+

19、10,所 以 矩 形 A5CD 的 面 积 S=20sin0(20cos0+10)=200(2sin0cos0+sinO),.4 分 7T令/(9)=2sin0cosO+sin0,O 0,那 么/(0)=2cos2。+cos0=4cos20+cosO-2,令 尸(0)=0,得 c o s 9=奥 二 L 设 cosO0=U，且 0、二 工，列 表 如 下：0(0%)00跳 苧/(6)+0-/(6)/极 大 值 所 以 当。=%,即 AB=色 也 竽 区 时，矩 形 4 8 8 的 面 积 最 大.10分(2)由 易 得,喷 泉 的 面 积 S=20sine(10cos。+4)=100sin 2

20、。+80sin。，由 为 看,夕 知,26 呜 卞,所 以 函 数 g(e)=10 0 sin 2 0+8 0 sin 6是 单 调 增 函 数，所 以 S e 5()有+40,10()+4()向.3 分 答：(1)矩 形 的 宽 4 8=沾。；2后 米)时，可 使 喷 泉 A BCO的 面 积 最 大；(2)喷 泉 的 面 积 的 取 值 范 围 是 50有+4 0,100+40向(单 位：平 方 米).14分 17.1本 小 题 总 分 值 14分)如 图，某 生 态 园 将 一 三 角 形 地 块 A 8 C的 一 角 A P 0开 辟 为 水 果 园，种 植 桃 树，角 4 为 120

21、。，AB,AC的 长 度 均 大 于 200米.现 在 边 界 AP,A Q处 建 围 墙，在 尸。处 围 竹 篱 笆.(1)假 设 围 墙 4 P,A。总 长 为 2 0 0米，如 何 围 可 使 三 角 形 地 块 A P Q的 面 积 最 大？(2)A尸 段 围 墙 高 1米，A。段 围 墙 高 1.5米，造 价 均 为 每 平 方 米 100元.假 设 围 围 墙 用 了 20000元，问 如 何 围 可 使 竹 篱 笆 用 料 最 省？17.解 设 4P=x 米，4Q=y 米.那 么 x+y=200,A4尸。的 面 积 1$S=x)sinl20=xy.3 分 2 4，5 W 乎(2)

22、2=2500.当 且 仅 当 x=y=100时 取，心.6 分(注：不 写=成 立 条 件 扣 1分)(2)由 题 意 得 100 x(l.x+1.5-y)=20000,即 x+L5y=200.8 分 要 使 竹 篱 笆 用 料 最 省，只 需 其 长 度 P Q 最 短，所 以 PQ2=X 2+y 2-2 A y c o s l 2 0=心+y 2+盯=(200-1.5y)2+2+(200-l.5y)y=1.75y2-400y+40000()?)800,200旧,200当 y=7-时，P Q 有 最 小 鱼-，此 时 x=，7,.11分 13分 答：(1)当 AP=AQ=100米 时，三 角

23、 形 地 块 AP。的 面 积 最 大 为 250()点 平 方 米;当 米 皿=邙 米 时 可 使 竹 篱 笆 用 料 最 省.14分 18.(本 小 题 总 分 值 14分)因 发 生 意 外 交 通 事 故，一 辆 货 车 上 的 某 种 液 体 泄 漏 到 一 渔 塘 中.为 了 治 污,根 据 环 保 部 门 的 建 议，现 决 定 在 渔 塘 中 投 放 一 种 可 与 污 染 液 体 发 生 化 学 反 响 的 药 剂.每 投 放 以 IV。4,且 a eR)个 单 位 的 药 剂，它 在 水 中 释 放 的 浓 度 y(克/升)随 着 时 间 x(天)变 化 的 函 数 关 系

24、 式 近 似 为 y=a-f(x)，其 中 4-1(0 x4)/(x)=8-：5-lx(4x10)假 设 屡 次 投 放，那 么 某 一 时 刻 水 中 的 药 剂 浓 度 为 每 次 投 放 的 药 剂 在 相 应 时 刻 所 释 放 的 浓 度 之 和.根 据 经 验，当 水 中 药 剂 的 浓 度 不 低 于 4(克/升)时，它 才 能 起 到 有 效 治 污 的 作 用.(1)假 设 一 次 投 放 4 个 单 位 的 药 剂，那 么 有 效 治 污 时 间 可 达 几 天？(2)假 设 第 一 次 投 放 2 个 单 位 的 药 剂,6天 后 再 投 放。个 单 位 的 药 剂，要

25、使 接 下 来 的 4 天 中 能 够 持 续 有 效 治 污，试 求 a 的 最 小 值(精 确 到 0.1,参 考 数 据:取 1.4).18.解：(1)因 为。=4,所 以 y=8-x.1 分 20-2x(4x10)64那 么 当 0 x 4 时，由 424,解 得 xNO,所 以 此 时 0 W x 4 38-x分 当 4x10 时，由 20-2x24,解 得 xW8,所 以 此 时 4 x W 8.5分 综 合，得 0Wx8,假 设 一 次 投 放 4 个 单 位 的 制 剂，那 么 有 效 治 污 时 间 可 达 8 天.6分(2)当 6 WxWlO 时,y=2x(5-1x)+a(

26、-1).9分 2 8-(x-6)=10 x+-a=(14x)+-L。一 4,因 为 14-xw4,8,而 lWa4,14-x 14-x所 以 4J74,8,故 当 且 仅 当 14=4 7时,y有 最 小 值 为 8 一 a-4.12分 令 847-。424,解 得 2 4-1 6 0 4。44,所 以。的 最 小 值 为 2 4-1 6 6 b 1.6.14分 17.(本 小 题 总 分 值 14分)A、8 两 地 相 距 2 R,以 A 8 为 直 径 作 一 个 半 圆，在 半 圆 上 取 一 点 C,连 接 AC、B C,在 三 角 形 A8C内 种 草 坪(如 图)，M、N 分 别

27、为 弧 AC、弧 B C 的 中 点，在 三 角 形 AMC、三 角 形 BNC上 种 花，其 余 是 空 地.设 花 坛 的 面 积 为 S,草 坪 的 面 积 为 S,取 NA8C=0.1 2 C(1)用。及 R 表 示 和 s,；(2)求 今 的 最 小 值.A_2B217.(1)因 为 Z A B C=0,那 么 AC=2Rsin。,8c=2Rcos,那 么 S=A C BC=27?2sin0cos0=7?2sin20.3 分 2 2设 4 8 的 中 点 为 O,连 M O、N O,那 么 M O I AC,N0_L8C.易 得 三 角 形 A M C 的 面 积 为 R2sin0(

28、lcos0),三 角 形 8NC的 面 积 为&cos(l-sinO),/.S=R?sin0(l-cos0)+&sinO(l-cosO)i=/?2(sin0+cos0-2sin 0 cos0).S _ 7?2(sin0+cos0-2sin0 cos0)_ sin0+cos0 1S 2Rz sin0 cos0 2sin 0 cos0令 sin。+cos0=t e(l,在，那 么 2sin0cos。=，2-1.=-1=一 1.3 的 最 小 值 为 近 一 1.3 2 1 1 32 T-一 217.本 小 题 总 分 值 14分)据 环 保 部 门 测 定，某 处 的 污 染 指 数 与 附 近

29、污 染 源 的 强 度 成 正 比，与 到 污 染 源 距 离 的 平 方 成 反 比，比 例 常 数 为 k(k 0).现 相 距 18km的 A,B 两 家 化 工 厂 污 染 源)的 污 染 强 度 分 别 为。力，它 们 连 线 上 任 意 一 点 C 处 的 污 染 指 数)，等 于 两 化 工 厂 对 该 处 的 污 染 指 数 之 和.设 AC=x(k m).(1)试 将 y 表 示 为 x 的 函 数；(2)假 设 a=l,且 x=6 时，y 取 得 最 小 值，试 求 b 的 值.1 7.解：(1)设 点 C 受 A 污 染 源 污 染 程 度 为 丝，点 C 受 B 污 染

30、 源 污 染 程 度 为 一,其 中 为 比 例 系 x2(18-X)2数，S.k0.14分 ka kb从 而 点 C 处 受 污 染 程 度 y=+.6 分 X2(18-X)2k kb 2)因 为 a=l,所 以，y=-+-X2(1 8-幻 28分.2 2b.ZQ 18y=k+,令 y1=(),得 x=-=，-X3(18-X)3J 1+布 12分 又 此 时 x=6,解 得 匕=8,经 验 证 符 合 题 意.所 以，污 染 源 8 的 污 染 强 度 6 的 值 为 8.14分 19.一 走 廊 拐 角 处 的 横 截 面 如 下 图，内 壁 b G 和 外 壁 B C都 是 半 径 为

31、1 m 的 四 分 之 一 圆 弧，A B,。分 别 与 圆 弧 相 切 于 8,C 两 点，E F/AB,G H/C D,且 两 组 平 行 墙 壁 间 的 走 廊 宽 度 都 是 1 m.(1)假 设 水 平 放 置 的 木 棒 N 的 两 个 端 点 M,N 分 别 在 外 壁。和 A 8 上，且 木 棒 与 内 壁 圆 弧 相 切 于 点 P.设 NCM N=O(r a d),试 用。表 示 木 棒 M N 的 长 度/)；19.(1)如 图，设 圆 弧/G 所 在 的 圆 的 圆 心 为 Q,过。点 作 垂 线，垂 足 为 点 T,且 交 N 或 其 延 长 线 与 于 5,并 连

32、接 P 0,再 过 N 点 作 T 0 的 垂 线，垂 足 为 W.在 Rf&VWS 中，因 为 N W=2,Z S W=6,2所 以 N S=COS0因 为 M N 与 圆 弧 F G 切 于 点 P,所 以 尸。J.M N,在 R Q Q P S,因 为 尸。=1,N P Q S=。，所 以 Q S=-1 _,Q T _ Q S=2 _ _ LcosO cosO 假 设 S 在 线 段 7 G 上，那 么 TS=Q T QS在 RfASTM 中，M STS Q T-Q Ssin0 sin0因 此 M N=NS+M S=NS+Q T-Q SsinO 假 设 S 在 线 段 G T 的 延 长

33、 线 上，那 么 TS=QS Q T在 RfASTM 中，M STS Q S-Q Tsin0 sin0因 此 NS。小 NS+。肾 2f e)=M N=N S+Q T-Q S 2sinO cos0+(sinO sinO cos 9)2(sin0+cos0)-lsinO cos0(oe),8分(2)设 sin。+cos。=/(1，,那 么 sin。cos。=-,4r 2因 此/(O)=gQ)=-.四 一 1因 为 g=一+1),又 所 以 gQ)0恒 成 立，“2 1)2因 此 函 数 g(f)=二 在 f 6(1，是 减 函 数，所 以 gQ)=g(J K=*万-2,12 1 min即 M N

34、=4 0 2.min答：一 根 水 平 放 置 的 木 棒 假 设 能 通 过 该 走 廊 拐 角 处，那 么 其 长 度 的 最 大 值 为 2.17.（本 小 题 总 分 值 1 4分）某 建 筑 公 司 要 在 一 块 宽 大 的 矩 形 地 面（如 下 图）上 进 行 开 发 建 设，阴 影 局 部 为 一 公 共 设 施 不 能 建 设 开 发，且 要 求 用 栏 栅 隔 开（栏 栅 要 求 在 直 线 上），公 共 设 施 边 界 为 曲 线/（幻=1-以 2（。0）的 一 局 部，栏 栅 与 矩 形 区 域 的 边 界 交 于 点 M、N,切 曲 线 于 点 P,设 P Q J

35、Q）.（1）将 A O M N（O 为 坐 标 原 点）的 面 积 S 表 示 成 f的 函 数 S（t）；（2）假 设 f=g,S（t）取 得 最 小 值，求 此 时 a 的 值 及 S（t）的 最 小 值.17.解：m y=2 a x,直 线 M N 的 斜 率 为-2”,直 线”N 的 方 程 为 y-（1-a n）=-2atx-t）,八，i-at2-at2+2ati l+ah.“l+afz令 y=0,得 x=+f=-=/.M（,0）2at 2at 2at 2at令 x=0,得 y=1 G2+2 2=1+2,.*.N（0,1+Q2）,A r、1 1+32、(1+。12)2:.N M O

36、N 的 面 积 S Q)=K F(1+G2)=-,2 2at 4GI,、3 2+2。2-1(2+l)(如 2-1)II)5)=-;-=-，4at2 4at2因 为。0j 0,由 S(f)=0，得 3。，2-1=0,得/-当 3 G 21 0,即/时，SQ)O,y/3a当 3 g-1 0,即 0 t 时，S)0/.当，=时,S 有 最 小 值.3ai i i 4在，二 处，SQ）取 得 最 1、值,故 有-二 K，。=不 2 43a 2 34 1故 当=不=彳 时,SQ)3 2 min(1+抖 _23 217.（本 小 题 总 分 值 14分）在 综 合 实 践 活 动 中，因 制 作 一 个

37、工 艺 品 的 需 要，某 小 组 设 计 了 如 下 图 的 一 个 门（该 图 为 轴 对 称 图 形），其 中 矩 形 A B C D 的 三 边 A B、BC、C D 由 长 为 6 分 米 的 材 料 弯 折 而 成，B C 边 的 长3为 2f分 米 曲 线 AOD拟 从 以 下 两 种 曲 线 中 选 择 一 种：曲 线 C 是 一 段 余 弦 曲 线（在 如 下 图 的 2 平 面 直 角 坐 标 系 中，其 解 析 式 为 y=c o s x-l）,此 时 记 门 的 最 高 点 0 到 BC边 的 距 离 为 C）；曲 线 c 是 1 29一 段 抛 物 线，其 焦 点 到

38、 准 线 的 距 离 为 J,此 时 记 门 的 最 高 点 O到 BC边 的 距 离 为 3。）o 2（1）试 分 别 求 函 数 C）、的 表 达 式 I 2（2）要 使 得 点 O到 BC边 的 距 离 最 大，应 选 用 哪 一 种 曲 线？此 时 最 大 值 是 多 少？解：(1)/zC)=4-f-c o sf 1 2.jh(t)=i t 2-t+3.6 分 由 于=T+siiU 0恒 成 立,-3所 以 函 数 力 在 1,彳 上 单 调 递 减，L 2_因 此，h V）=h（1）=3-coslmax 1K 5,.13-cosl 3-c o s=一 所 以 选 用 C3 2 212

39、分 14分 1 7.（本 小 题 总 分 值 15分）某 农 户 准 备 建 一 个 水 平 放 置 的 直 四 棱 柱 形 储 水 窖（如 图），其 中 直 四 棱 柱 的 高 44=10加，两 底 面 是 高 为 2根，面 积 为 I 1 1 1 1io加 2的 等 腰 梯 形，且 NAOC=OO 9 假 设 储 水 窖 顶 盖 每 平 方 米 的 造 价 为 100元，侧 面 每 平 方 米 的 造 价 为 400元，底 部 每 平 方 米 的 造 价 为 500元。（1）试 将 储 水 窖 的 造 价 y 表 示 为。的 函 数;（2）该 农 户 如 何 设 计 储 水 窖，才 能 使

40、 得 储 水 窖 的 造 价 最 低，最 低 造 价 是 多 少 元（取 6=1.73）。17.【解 析】（1）过 A 作 AE_LZ）C,垂 足 为 E,那 么 AE=2,DE二 A。,tan0 sinO4令 AB=x,从 而 CD=x+-tanB故 J_x2x|x+x+2 I4tan0二 10,2 2解 得 x=5-,CD=5+-,.4 分 tanO tanO所 以 y=(20+2AO x 1()x 400+(10AB)x 500+(10CD)x 100=8000+8000 x_+5000 x|5-|+1000|5+|sin9 I tanO)(tan9 J=38000+80001-A-1

41、Y O0 1|.7 分 VsinO tanO J 2 J2_ccq 0(2)m y=38000+8000 x-,sinv.C八 八 八 sin2 0-(2-cosO)cos0 8000(1-2cos 0)所 以 y=8000-=-.10 分 SH12U sin2U令 y=0,那 么 6=,当。时，y 0,此 时 函 数 y 单 调 递 增。所 以 当。=三 时，y=38000+800(娘=51840。3 min答：当 44。=6(?时，等 价 最 低，最 低 造 价 为 51840元。.15分 18.如 图，矩 形 ABCD 是 一 个 观 光 区 的 平 面 示 意 图，建 立 平 面 直

42、角 坐 标 系，使 顶 点 A 在 坐 标 原 点 O,B,D分 别 在 x 轴，y轴 上，A D=3 百 米，AB=a 百 米(3WaW“4)观 光 区 中 间 叶 形 阴 影 局 部 M N 是 一 个 人 工 湖，它 的 左 下 方 边 缘 曲 线 是 函 数 y=的 图 象 的 一 段.为 了 便 于 游 客 观 光，拟 在 观 光 区 铺 设 一 条 穿 越 该 观 光 区 的 直 路(宽 度 不 计)，要 求 其 与 人 工 湖 左 下 方 边 缘 曲 线 段 M N 相 切(切 点 记 为 P)，并 把 该 观 光 区 分 为 两 局 部，且 直 线 左 下 局 部 建 设 为

43、花 圃.设 点 P 到 A D 的 距 离 为 t,f(t)表 示 花 圃 的 面 积.(1)求 花 圃 面 积 f(t)的 表 达 式；(2)求 f 的 最 小 值.【用 析】由 这 意 可 知 壬 故 过 点 P 的 切 战 方 程 为 二 一 3/工 r).睥=1与 1 楂 的 文.员 为(2,0).与 产 插 文 点 为().；)j2rCo 者，9 3 号 时.划 线 上 下 方 区 域 为 止 的 三 角 形.4 a 击 143,即 l4rJ时,切 线 左 下 方 区 域 为 2.匈 伸 号，11 2=4（；-卜 2）,3=6L?6，了 3.1=竽 V4,-T 2 讨./）=仙./一

44、 组 绯&）,I.,./衣（3.2 稣 或./（,一/（2）=2o y4,下 面 比 较 2a9 与 学 的 大 小,当 3o 学.刈/“一；当 4=3 时,2。一 芋=学.m/Wmi=.18.某 地 拟 模 仿 图 甲 建 造 一 座 大 型 体 育 馆，其 设 计 方 案 侧 面 的 外 轮 廓 线 如 图 乙 所 示：曲 线 A 8 是 以 点 E 为 圆 心 的 圆 的 一 局 部，其 中 E（0,f）0/0）的 一 局 部；C O 1 A。，且 C。恰 好 等 于 圆 E 的 半 径.假 定 拟 建 体 育 馆 的 高。8=50米.假 设 要 求 8=30米，4。=246 米，求 r

45、与 a 的 值;假 设 要 求 体 育 馆 侧 面 的 最 大 宽 度。厂 不 超 过 75米，求”的 取 值 范 围;假 设。=，求 A。的 最 大 值.（参 考 公 式：假 设/（幻=不 二 7，那 么（幻=-J）25 z ja-x解：因 为。=50-3。，解 得:20.2分此 时 圆 E:x2+(y-20)2=302,令 y=0,得 AO=104，所 以 O O=A D-A O=24-75-105=1475,将 点。(1韭 30)代 入 y=-ax2+50(。0)中，解 得。=.4 分 49 因 为 圆 E 的 半 径 为 50-，所 以 C=50f,在)=一 数 2+50中 令 y=5

46、0 f,得。O=J T,那 么 由 题 意 知 F0=50_f+产 W75对 f e(0,25 恒 成 立，.8分 所 以 JFp 25 25 25W 恒 成 立，而 当 夜=了，即 f=25时，+了 取 最 小 值 10,故 口 W10,解 得。之 上.10分 V a 100(3)当。=安 时，OD=5下,又 圆 E 的 方 程 为 x2+(y f)2=(507)2,令 y=0,得=1()42 5 T,所 以 A。=,从 而 AOM/XOnloVTrT+sJZevfKZS),.12 分 又 因 为/=5(=一+3)=5(空 士 2*,令/=0,得=5,.14分 J25 T 币 J25 T M

47、当 fe(0,5)时，/,(/)0,/单 调 递 增；当 f e(5,25)时，/单 调 递 减，从 而 当”5时，/取 最 大 值 为 25有 答：当 f=5 米 时，A。的 最 大 值 为 254 米.16分(说 明：此 题 还 可 以 运 用 三 角 换 元，或 线 性 规 划 等 方 法 解 决，类 似 给 分)方 法 二：令，=25cos2a,a e0,g),那 么 4。=10。25-r+5=10 x5sina+5x5cosa=10 x5sin a+5x5cos a25j?sin(a+(|),其 中。是 锐 角，且 tan 0,y 0),求 z=A。=5x(2x+y)的 最 大 值.

48、根 据 线 性 规 划 知 识，当 直 线 y=-2x+z与 圆 弧 心+=25(无 2 0 4 2 0)相 切 时，z 取 得 最 大 值 为 254 米.19.某 园 林 公 司 方 案 在 一 块。为 圆 心,R(R为 常 数)为 半 径 的 半 圆 形(如 图)地 上 种 植 花 草 树 木，其 中 弓 形 C M O C 区 域 用 于 欣 赏 样 板 地，AO C O 区 域 用 于 种 植 花 木 出 售，其 余 区 域 用 于 种 植 草 皮 出 售 欣 赏 样 板地 的 本 钱 是 每 平 方 米 2 元，花 木 的 利 润 是 每 平 方 米 8 元，草 皮 的 利 润 是

49、 每 平 方 米 3 元.(1)设 N C O O=。，C M O=/,分 别 用。，/表 示 弓 形 C M O C 的 面 积 S=/(9),5=g(/);弓 弓(2)园 林 公 司 应 该 怎 样 规 划 这 块 土 地，才 能 使 总 利 润 最 大？(参 考 公 式:扇 形 面 积 公 式 S=，R力=-/?/)2 2以 犯，S=/?2 sin。，AOCD 2S=/(0)=-/?2(0-sin0).又 S=R l,S R2sin，扇 2 AOCD 2 RS.=g(/)=；R(/-/?sin：).弓 2 A(2)设 总 利 润 为)，元，草 皮 利 润 为)，元，花 木 地 利 润 为

50、 y，欣 赏 样 板 地 本 钱 为 y1 2 3y=3(：兀/?2;/R),y=L R I sin0-8,y=；R(/-RsinO)2,:.y=y+y-y=3(K/?2-!-/?20)+J-/?2sin0-8-/?2(0-sin0)-2.1 2 3 2 2 2 2=1/?237T-(50-lOsine).设 g(9)=50-10sin6 0 w(0,冗).g(e)=5-10cos6,.12 分 1,jrg0)不 送(0)在 0 e(0,)上 为 减 函 数;Z o1 jrg,(0)O,COS0,g(。)在 0 G(,汽)上 为 增 函 数.2 3当 o=；时，g(0)取 到 最 小 值，此