关于正整数平方和公式的证明.pdf

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1、关于自然数平方和公式的十种证明方法关于自然数平方和公式的十种证明方法摘要：在数列的教学过程中，大家都能够熟练掌握前摘要：在数列的教学过程中，大家都能够熟练掌握前 n n 个自然数的平方和公式：个自然数的平方和公式：Sn1222321但涉及到如何进行推导证明，但涉及到如何进行推导证明，很多学生却无很多学生却无n2=n(n1)(2n1)，6从下手。为了让学生在理解的基础上掌握数学公式，特收集整理了如下关于自然数平方和从下手。为了让学生在理解的基础上掌握数学公式，特收集整理了如下关于自然数平方和公式的十种证明方法，一方面解决学生的疑惑，另一方面以期学生能够举一反三，并有所公式的十种证明方法，一方面解

2、决学生的疑惑，另一方面以期学生能够举一反三，并有所创新。创新。关键词：自然数，平方和公式，十种证法，组合数性质，数学归纳法关键词：自然数，平方和公式，十种证法，组合数性质，数学归纳法方法一：观察、猜想、数学归纳法证明方法一：观察、猜想、数学归纳法证明2222对于自然数平方和公式的证明，对于自然数平方和公式的证明，通过观察、通过观察、分析，分析，得出猜想：得出猜想：Sn1 2 3 n应应32该该是是一一个个与与n有有关关的的一一个个多多项项式式，不不妨妨设设Sn An Bn C n D，分分别别取取1A 3A B C D 118A 4B 2C D 5B n 1,2,3,4时，得到：时，得到：22

3、7A9B 3C D 141C 64A16B 4C D 306D 01111Snn3n2n n(n 1)(2n 1)3266下面利用数学归纳法进行证明：下面利用数学归纳法进行证明：证明：证明：（1 1）当当n 1时，左边时，左边=1 1，右边，右边=1(11)(211)1，左边，左边=右边右边 当当n 1时，原式成立时，原式成立.（2 2）假设当假设当n k(k N)时，时，1 2 3 则当则当n k 1时，时，2222161k2k(k 1)(2k 1)成立，成立，6左边 122232k2(k 1)21k(k 1)(2k 1)(k 1)2617(k 1)(k2k 1)3612(k 1)(2k 7

4、k 6)61(k 1)(k 2)(2k 3)61(k 1)(k 1)12(k 1)16左边左边=右边右边 当当n k 1时，原式也成立时，原式也成立.由由（1 1）、（2 2）可知，）可知，Sn122232421n2n(n1)(2n1)对任意对任意6nN都成立。都成立。方法二：观察规律法方法二：观察规律法记记S1(n)1 23 45n n1 11 11 12 23 35 5 n,S2(n)12 2232 42523 36 614144 4101030305 515155555 n2 n nS1(n)S2(n)发现规律发现规律n nn(n1)2?1 12 23 34 45 5 n nS2(n)S

5、1(n)335373931132n13S2(n)2n12n1 n(n1)n(n1)(2n1)S1(n)3326接着用数学归纳法很容易证明等式的正确性（同方法一）接着用数学归纳法很容易证明等式的正确性（同方法一），这样就轻而易举地推出了前，这样就轻而易举地推出了前n个个自然数的平方和公式。这个妙不可言的推导过程是数学家波利亚的杰作，关键之处是他运自然数的平方和公式。这个妙不可言的推导过程是数学家波利亚的杰作，关键之处是他运用了用了“猜想猜想证明证明”的思路。的思路。方法三：恒等式法方法三：恒等式法（k 1)k 3k 3k 1，分别将，分别将 1 1，2 2，3 3，n-1n-1，n n 代代这种

6、方法借助于这个恒等式：这种方法借助于这个恒等式：入这个恒等式中的入这个恒等式中的 k k，就得到一系列式子：，就得到一系列式子：3322313 31231133 23 3223214333 332331n3(n 1)3 3(n 1)23(n 1)13(n 1）n3 3n23n 1将所得到的将所得到的n个等式的左右两边分别相加，可得到个等式的左右两边分别相加，可得到(n 1)313 3(12 2232 n2)3(1 2 3 n)n即即n 3n 3n 3(1 2 3 n)3加以整理，易得加以整理，易得1 2 3 n 方法四：巧用“方法四：巧用“1 1”法”法2222322222n(1 n)n21n

7、(n 1)(2n 1)611n(n1)1n(n1)(n2)(n1)n(n1)n(n1)(n2)(n1)n(n1)33An12 2334n(n1)1111230122341233452343331n(n1)(n2)(n1)n(n1)31123012234123345234311n(n1)(n2)(n1)n(n1)n(n1)(n2)012n(n1)(n2)33122232 n2122334n(n1)(1 23 n)1n(n1)1n(n1)(n2)n(n1)(2n1)326mm1m方法五：组合数性质法（利用组合数公式方法五：组合数性质法（利用组合数公式Cn Cn Cn1）21n2 n(n 1)n 2

8、Cn1Cn12 2232 n22112121(2C2C1)(2C32C2)(2C4C3)(2Cn1Cn)2221111 2(C2C32C4Cn1)(C1C2C3Cn)3222111 2(C3C32C4Cn)(C C C C1223n)322211 2(C4C4Cn1)(C3C3Cn)32 2Cn2Cn1 2(n 2)(n 1)n(n1)n321211n(n 1)(2n 1)62此种证法是一次公开课中，此种证法是一次公开课中，由李爱廷老师提出的一种证法。由李爱廷老师提出的一种证法。此种证法很简洁，此种证法很简洁，关键在于对关键在于对n进行了适当的分解，从而应用组合数性质，对公式进行了证明。进行了

9、适当的分解，从而应用组合数性质，对公式进行了证明。方法六：面积法方法六：面积法图中有图中有 n n 个正方形（边长每次加个正方形（边长每次加1 1）(我只画出我只画出 5 5 个个)，都置于图中最大的矩形中。，都置于图中最大的矩形中。矩形的宽即矩形的宽即 n n，矩形的长：，矩形的长：123n(n1)n2nn 22n2nn3n2矩形面积：矩形面积：n22左下部空余部分（矩形与全部正方形的差）可以分为左下部空余部分（矩形与全部正方形的差）可以分为n n-1-1 条，每条宽度均为条，每条宽度均为 1 1。i(i1)i2ii2i从上向下数第从上向下数第 i i 条长度条长度=1+2+3+=1+2+3

10、+i i=，则第，则第 i i 条面积也为条面积也为。222所有所有 n n-1-1 条的总面积：条的总面积：121222323(n1)2(n1)2222122232(n1)2123(n1)2(122232n2)n2123(n1)2n(n1)(122232n2)n222n2n2222(1 2 3 n)22为便于书写，设为便于书写，设t 1 2 3 n显然，大矩形面积显然，大矩形面积=全部正方形面积全部正方形面积+空余部分面积，则空余部分面积，则2222n2nt n3n22t 22n2nn n 2t t 232t n(n1)(2n1)6n2n(n1)(2n1)6即即12223242方法七：三角数

11、阵法方法七：三角数阵法此三角数阵中各项和为：此三角数阵中各项和为：1 2 3 4 再逆时针旋转再逆时针旋转 120120：2222n2此三角数阵中各项和为：此三角数阵中各项和为：1 2 3 4 再逆时针旋转再逆时针旋转 120120：2222n2此三角数阵中各项和为：此三角数阵中各项和为：1 2 3 4 将这将这 3 3 个三角数阵对应相加，得：个三角数阵对应相加，得：2222n22n12n12n12n12n12n12n12n12n12n1 2n12n1n(n1)n(n1)(2n1)项，则这三个三角数阵的和为：项，则这三个三角数阵的和为：.22n(n1)(2n1)又因为前三个三角数阵中各项的和

12、相等，则每个三角数阵中各项和为：又因为前三个三角数阵中各项的和相等，则每个三角数阵中各项和为：6n(n1)(2n1)即即12223242n26这个三角数阵有这个三角数阵有方法八：正方形数阵法方法八：正方形数阵法上述正方形数阵中的直线上面的数字之和等于上述正方形数阵中的直线上面的数字之和等于1 2 3 n，2222即 12 2232 n2 n(1 23 n)1(1 2)(1 23)1 23(n 1)n(n 1)12122 2323n2 n n22222n3 n2121(1 2232n2)(1 23 n)22232n3 n21 n(1 n)1222（1 2 3 n)(2n33n2 n)22224即

13、 12 2232 n2方法九：图表法方法九：图表法11(2n33n2 n)n(n 1)(2n 1)66图图 1-a1-a 是一个分为是一个分为nn个小方格的表，每一行的小方格里均依序写上从个小方格的表，每一行的小方格里均依序写上从 1 1 到到 n n 这这 n n 个自然个自然n2(n 1)数。很明显，表中所有数字总和为：数。很明显，表中所有数字总和为：n(1 23 n)2再用剪刀把这个表如图再用剪刀把这个表如图 1-b1-b 那样从小到大地剪成几块，那么，第那样从小到大地剪成几块，那么，第 k k 块的数字和为：块的数字和为：1 23 k k k个k(k 1)k2231k2k22也就是说，

14、每一块的数字和分别为：也就是说，每一块的数字和分别为：3211 1,223212 2,223213 3,22321n n22它们的总和等于它们的总和等于3213n(n 1)(1 2232 n2)(1 23 n)(12 2232 n2)2224这个又应等于表中所有数字的总和，这个又应等于表中所有数字的总和，32n(n 1)n2(n 1)222即(1 2 3 n)242经整理，易得经整理，易得1 2 3 n 22221n(n 1)(2n 1)6方法十：堆垛法方法十：堆垛法（n 1)块边长为块边长为 1 1 的立方体排成一个边长为的立方体排成一个边长为n1的正方垛，的正方垛，我们先用我们先用在它的上

15、面，在它的上面，再用再用n22块立方体排成边长为块立方体排成边长为n的正方垛，以后向上逐层每边减少一块，也都排成正方垛，到最上的正方垛，以后向上逐层每边减少一块，也都排成正方垛，到最上面一层只有一块立方体为止，面一层只有一块立方体为止，一共排了一共排了n1层，层，如图如图 2-a2-a 所示，所示，这这n1层立方体的总数是：层立方体的总数是：12 2232 n2(n 1)2现在我们在图现在我们在图 2-a2-a 的最上面一层添上的最上面一层添上2 1 3块立方体，就使得最上面两层都成为边长块立方体，就使得最上面两层都成为边长为为 2 2 的正方垛（如图的正方垛（如图2-b2-b）.接着，我们再

16、在最上面两层各添上接着，我们再在最上面两层各添上3 2 5块立方体，就使块立方体，就使得最上面三层都成为边长为得最上面三层都成为边长为 3 3 的正方垛的正方垛（如图（如图 2-c2-c）.随后，随后，在最上面三层各添上在最上面三层各添上4 3 7块立方体如此继续下去，直到在块立方体如此继续下去，直到在n层上面各添上层上面各添上(n 1)n 2n 1块立方体为止，块立方体为止，就得到一个每边长就得到一个每边长n1的正方体（如图的正方体（如图2-d2-d）.这时，大正方体中所含的小立方体的块数为这时，大正方体中所含的小立方体的块数为22222222（n 1)3.在整个过程中，添加的小立方体块数为

17、在整个过程中，添加的小立方体块数为13 2537 n(2n 1)1(211)2(221)3(231)n(2n 1)2(12 2232 n2)(1 23 n)因此有因此有12 2232 n2(n 1)2 2(12 2232 n2)(1 23 n)(n 1)3即即3(12 2232 n2)(n 1)3(n 1)2化简即得化简即得1 2 3 n 2222n(n 1)21n(n 1)(2n 1).6堆垛求和法是我国北宋科学家沈括创立的一种独特的方法堆垛求和法是我国北宋科学家沈括创立的一种独特的方法.它是通过巧妙的几何代数变换它是通过巧妙的几何代数变换来研究数列求和问题的来研究数列求和问题的.这种方法在

18、级数理论的发展史上有十分重要的地位，并产生了深远这种方法在级数理论的发展史上有十分重要的地位，并产生了深远的影响的影响.【参考文献】【参考文献】11朱月祥朱月祥.自然数平方和公式的推导方法自然数平方和公式的推导方法 J.J.中学生数学（高中版）中学生数学（高中版）,2014,11,2014,11（501501）22杜春辉杜春辉.导出导出1 2 3 4 2222n2公式的三种方法公式的三种方法J.J.数学学习与研究数学学习与研究,2009,11,2009,11（8080）33查道庆查道庆.组合数公式在数列求和中的应用组合数公式在数列求和中的应用J.J.学术研究学术研究,2014,2014（7 7）44韩萍韩萍.关于求自然数平方和的几种方法关于求自然数平方和的几种方法J.J.雅安教育学院学报（综合版雅安教育学院学报（综合版）,1999,1999（2 2）