抛物线中相关结论.docx

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1、. x1 x2 = 4 p 2 ，y1 y, y1 y2、焦点弦长：A(x1 , y1 ) 、且 AB 过焦点 F ，则| AB |= xB(x2 , y2 ) 在抛物线上，抛物线的有关结论圆锥曲线中抛物线的有关结论山东省德州市实验中学 肖成荣SDAOBp2= 2sin q由于抛物线的离心率是常数，导致了许多自身具有的规律性，再加上抛物线的方程比较简单，所以灵活性就更加显现，了解了抛物线的规律性后在处理抛物线的相关问题时会起到事半功倍的效果。下面就抛物线的结论作以归整，供参考！一、焦点 F ( p ,0) 处的结论2二、点 D( p,0) 处的结论例：抛物线 y 2 = 2 px 上的点到 A

2、(a,0) 的最近距离是多少？1、焦半径长： A(x1 , y1 ) ， F (p2,0) ，| AF |= x1+p2；结论： D( p,0) 是抛物线 y 2 = 2 px 上到点 A(a,0) 的距离最近的点为顶点的分界点，1+ x2+ p ，A(a,0) 在 D( p,0) 左边顶点到点 A(a,0) 的距离最近，右边横坐标为a - p 的那两个抛物或| AB |=2 psin 2 q（q 为直线l 与抛物线对称轴的夹角）；线上的点到点 A(a,0) 的距离最近.3、过焦点的直线与抛物线相交于A、B 两点，分别过 A、B 两点作准线的垂线，垂足分别为 M、N，MN 的中点为 G。（1）

3、两相切：以焦半径 AF 为直径的圆与 y 轴相切；以焦点弦 AB 为直径的圆与抛物线的准线相切.三、点 E(2 p,0) 处的结论A, B 是抛物线 y 2 = 2 px( p 0) 上的两点，OA OB ， A(x1 , y1 ) ， B(x2 , y2 ) ，则（2）三直角：AGB = 900y2 = -4 p2 ；.直线 AB 过定点(2 p,0) ；.求 AB 中点的轨迹方程；MFN = 900 GF AB.过 O 向 AB 引垂线，求垂足 T 的轨迹方程；.求DAOB 面积的最小值.（3）六定值：焦点弦两端点A(x1 , y1 ) 、 B(x2 , y2 ) 的对应坐标MRA结论：

4、A(x1 , y1 ) 、 B(x2 , y2 ) 是抛物线 y 2 = 2 px( p 0) 上的两点，O 为抛物线的顶点，（1）AOB = 900 直线 AB 过点 E(2 p,0) .（2） x= 4 p 2 ， y= -4 p 2 .1 x21 y2的乘积是定值： x1 x2 =3OA OB = -p 2 ；4p 242= - p 2 ，GOSFpD2pEx四、准线上的有关结论过抛物线的焦点的直线交抛物线于两点A, B ，再以 A, B 为切点作抛物线的切线，其交点在抛物线的准线上，且两切线垂直。反过来， 准线上任意一点做抛 AF = m, BF = n ，则| GF |= mn .1

5、m+1n=2p，NB物线的切线有两条，且两条切线垂直，两切点连线过抛物线的焦点。下面对上面的结论做出证明。1, x1 x, y1 y证明：依据 2、焦点弦长的代数法推导过程可知， x1 x抛物线的有关结论一、焦点 F (p ,0) 处的结论23、过焦点的直线与抛物线相交于A、B 两点，分别过 A、B 两点作准线的垂线，垂足分别为 M、N，MN 的中点为 G1、焦半径长： A(x1 , y1 ) ， F (p2,0) ，| AF |= x1+p2.（1）两相切：以焦半径 AF 为直径的圆与 y 轴相切；证明：焦半径 AF 的中点到 y 轴的距离为(利用梯形中位线等于两底和的一半)证明：根据抛物线

6、的定义, | AF |= AM = x1+p2.d =121 p( OF + AA ) =(+ AA ) =2 2AM2=AF2( A 为 AM 与 y 轴的交点)，这就证明了2、 焦点弦长： A(x1 , y1 ) 、 B(x2 , y2 ) 在抛物线上，且 AB 过焦点 F ，则圆心到 y 轴的距离等于直径 AF 的一半，所以以焦半径 AF 为直径的圆与 y 轴相切.| AB |= x1+ x2+ p ，或| AB |=2 psin 2 q（q 为直线l 与抛物线对称轴的夹角）.以焦点弦 AB 为直径的圆与抛物线的准线相切.证明：焦点弦 AB 的中点到抛物线的准线的距离为(利用梯形中位线等

7、于两底和的一pp证明：根据焦半径公式，| AF |= x +，| BF |= x +.1222pp AB = AF + BF = (x +) + (x +) = x + x + p .122212根据抛物线的定义，| AF |= AM = p + AF cosq,可得| AF |=p| BF |= BN = p - BF cosq ,得| BF |= 1 + cosq .p1 - cosq.11AB半) d =( AM + BN ) =( AF + BF ) =这就证明了圆心到准线的距离等于直222径 AB 的一半，所以以焦点弦 AB 为直径的圆与抛物线的准线相切.（2）三直角：AGB = 9

8、00 MFN = 900 GF AB证明：根据以焦点弦 AB 为直径的圆与抛物线的准线相切，设切点为 G，则 G 为 MN 的中点，AGB = 900 .| AB |= AF + BF =pp+1 - cosq1 + cosq=2 p1 - cos2 q=2 p sin 2 q. AM / FC / BN (C 为准线与对称轴的交点) AMF = MFC (内错角).又 AM = AF AMF = AFM ,AFM = MFC .（或采用代数法通过联立方程组求出，如下a) 直线 AB 斜率不存在时，经检验符合结论.b) 直线 AB 斜率存在时，方程为 y = tan q (x - p ) ，由

9、2同理BFN = NFC ,得MFN = 900 .在DAMG 与DAFG 中， AM = AF , AG = AG, FG = GM .p y = tanq (x -)2y2 = 2 px消去 y 得tan 2 qx2 - p(tan 2 q + 2)x +tan 2 qp24= 0 DAMG 与DAFG 全等，AFG = AMF = 900 .（3）六定值：焦点弦两端点 A(x1 , y1 ) 、 B(x2 , y2 ) 的对应坐标的乘积是定值：得 x1+ x2=p(tan2 q + 2)tan 2 q2=p24.x1 x2=p 2423= - p 2 ，OA OB = -p2 .4 AB

10、 = x1+ x2+ p =p(tan 2 q + 2)tan 2 q+ p = 2 p(1 +1tan 2 q) =2 p sin 2 q）.2=p24.2= 2 px1 , y= 2 px2 ( y1 y. x1 x解： A, B 是抛物线 y = 2 px( p 0) 上的两点，所以 A( 1, y1 ) ， B(此关于 x0 二次函数对称轴为 x= - y2 又 y1 y= (a - p) - 2() + a2 = 2ap - p2 .PA = (x- a) + (y- 0) = x抛物线的有关结论因为 y 21222 0) 得 y1 y2= - p2 .（1） 当 x0= a - p

11、 0 即a 0) 上的两点，OA OB ， A(x1 , y1 ) ， B(x2 , y2 ) ，则证明：因为| AB |=2 p sin 2 q，点 O 到 AB 的距离d =p2sinq .= 4 p 2 ，y= -4 p2 ；.直线 AB 过定点(2 p,0) 。.求 AB 中点的轨迹方程；21 y2.过 O 向 AB 引垂线，求垂足 T 的轨迹方程。.求DAOB 面积的最小值.所以 SDAOB1=d AB =2p2 2sin q.2y 22 py 22, y2 ) ，2 p二、点 D( p,0) 处的结论例：抛物线 y 2 = 2 px 上的点到 A(a,0) 的最近距离是多少？解：设

12、抛物线上任一点 P(x0 , y0 ) ，则 y0 2 = 2 px0 .y 2 y 2 .OA OB ，得OA OB = 0 ，即 124 p2y 2 y 2x1 x2 = 41 p22= 4 p2 .+ y1 y2= 0 .Q y1 y2 0 y1 y2= -4 p2 ；20202200- 2ax + a2 + 2 px00= a - p .= x02- 2(a - p)x0+ a2 （ x0 0 ）.y 2y 2.当过 AB 的直线与 x 轴垂直时，Q 1= 2, y2 p2 p1 y1 = 2 p ，AB 的直线方程为 x = 2 p ，过(2 p,0) . y2 y12= -4 p2

13、 .31 (- y2 ) = 2 4 p2 = 4 p（利用均值定理，当且仅当 y可化为消去 y1 , y2 得4 y 2 = 4 px - 8 p 2 .y= - y2 时(y - y ) , y - y 即 -,抛物线的有关结论当过 AB 的直线与 x 轴不垂直时，由两点式得2 py y2 py =x +12=(x - 2 p) .y + yy + yy + y121212y 2 x - 12 py 2y 22- 12 p2 p=y - y1y - y21，化简得4 p 2 .结论： A(x1 , y1 ) 、 B(x2 , y2 ) 是抛物线 y 2 = 2 px( p 0) 上的两点，

14、O 为抛物线的顶点，（1）AOB = 900 直线 AB 过点 E(2 p,0) ；（2） x= 4 p 2 ， y= -4 p 2 .1 x21 y2对于结论中的已知直线 AB 过点 E(2 p,0) AOB = 900 ，可以根据上面的结论所以上面直线恒过点(2 p,0) .综上所述直线 AB 过定点(2 p,0) .x1 x2= 4 p 2 ， y1 y2= -4 p2 ，利用数量积证明：.设 AB 中点为 K(y 212 py 2+ 22 p y , 12+ y22) ，即点 K 的坐标的参数方程为因 为 直 线 AB 过 点 E(2 p,0) ， 所 以 x1 x2OA OB = x

15、+ y= 0 证得AOB = 900 .1 x21 y2= 4 p 2， y1 y2= -4 p2， 所 以y 2 + y 2x =124 px = y 2 + y 24 p12+ y2 y = y + y y = y12122即 y 2 = p(x - 2 p)所以 AB 中点的轨迹方程为 y 2 = p(x - 2 p) .设 T 点坐标为(x, y)，因为点(2 p,0) 在直线 AB 上，T 点在直线 AB 上，且OT AB .得OT AB = 0 得出(x, y) (x - 2 p, y)= 0 ，化简得 x2 - 2 px + y 2 = 0 .所以垂足 T 的轨迹方程为 x2 -

16、 2 px + y 2 = 0 .四、准线上的有关结论过抛物线的焦点F P ,0 的直线交抛物线于两点A, B ，再以 A, B 为切点作抛物 2线 y 2 = 2 px 的切线，其交点在抛物线的准线 x = - p 上，且两切线垂直。反过来，2准线x = - p 上任意一点做抛物线 y 2 = 2 px 的切线有两条，且两条切线垂2直，两切点连线过抛物线的焦点F P ,0 . 2证明：抛物线 y 2 = 2 px 上的点 A(x1 , y1 ) 、 B(x2 , y2 ) 处的切线方程为：. DAOB 面积为 SDAOB= 1 2P y21- y2；y1 y = p(x + x1 ) ,y2

17、 y = p(x + x2 ) .- y = y + (- y ) 2 y12121取等号，即当且仅当直线 AB 与对称轴垂直时取到 ），此时DAOB 面积的最小值为 p(x- x) ( - x两切线的交点坐标为 2 y11 y2p x12p2112) P y12+ y22 .所以两切线的交4 ，所以满足 y1 y+ x1 ) ，y2 y抛物线的有关结论点坐标在直线 x = - p 上.2答案：A C 163两切线斜率分别为k1=py1，k2=py2，得k1k2 =py1py2=p2y1 y2=p2- p2= -1.所以两切线垂直. P反过来，设准线上的点坐标为 -2, y0 ，做两条切线切点

18、分别为 A(x1 , y1 ) 、B(x2 , y2 ) ，那么以 A(x1 , y1 ) 为切点的切线为 y1 y = p(x + x1 ) ，以 B(x2 , y2 ) 为切点的切线为 Py2 y = p(x + x2 ) ，都过点 -2, y00= p(-p20= p(-p2+ x2 ) ，也就是说点 A(x1 , y1 ) ， B(x2 , y2 ) 都在直线 y0 y = p(x - p ) 上，2过点 A, B 的直线有且只有一条，所以直线 AB 的方程为 y0 y = p(x - P定点 F ,0 .根据前面的证明，两条切线互相垂直. 2p ) ，该直线恒过2如果把这些结论能熟练掌握，在抛物线部分做题将游刃有余，不妨试试。练习1.过抛物线 y2=2px(p0)的焦点作直线交抛物线于 P(x1,y1)、Q（x2,y2）两点，若x1+x2=3p，则|PQ|等于（ ）A.4pB.5pC.6pD.8p2.已知点P（m,3）是抛物线y=x2+4x+n 上距点 A（-2,0）最近一点，则 m+n 等于()A.1B.3C.5D.73.过抛物线 y2=4x 的焦点 F，作倾角为p3的弦 AB，则 AB 的长是_.5