随机过程考点总结1.pdf-得力文库

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1、一.概率论部分（30%）：1.随机事件和概率随机事件和样本空间的概念，随机事件的关系和运算（1）随机试验的定义：（1）试验可以在相同条件下重复进行；（2）试验的所有可能结果在试验前可以明确知道；（3）每次试验将要出现的结果是不确定的。满足上述特点的试验称为随机试验，简称随机试验为试验。用 E来表示。（2）样本空间的定义：随机试验的一切可能的结果组成的一个集合称为试验样本空间，记为。（3）随机事件的定义：样本空间的子集称为随机事件，简称事件。（4）随机事件的关系：事件之间的关系包括包含关系、相等关系、互不相容关系等事件的包含与相等：若事件A发生必然导致事件8发生，则称事件A包含于事件8,记为 A

2、uB或者若AuB且 BuA,即A =B,则称事件4与事件8相等。若事件A 和B 不能同时发生，则称事件A与B 互不相容（或互斥）（5）事件运算事件的和：事件A与事件B至少有一个发生的事件称为事件A与事件5的和事件，记为4|jB，事件发生意味着：或事件A发生，或事件3发生，或事件A与事件5都发生。事件的和可以推广到多个事件的情景。设有个事件A”A 2,A ，定义它们的和事件为 4,4,A,中至少有一个发生,记为Jt=l事件的积：事件A与事件8都发生的事件称为事件A与事件6的积事件，记为A0|B,也简记为事件 4n 8 （或A3）发生意味着事件A发生且事件3也发生，即A与5都发

3、生。类似的，可以定义个事件4,4,4 的积事件仆人=4,4,A,都发生。注：若事k=件A 和B 互不相容，则事件的差：事件A发生而事件3不发生的事件称为事件A与事件3的差事件，记为4-8。对立事件（或逆事件）：若 A|J B =。，则称A，B 为对立事件,记做4 =豆，有=A方。事件的概率定义（包括古典型概率，几何型概率）及其计算频率的定义：设 E为任一随机试验，A 为其中任一事件，在相同条件下，把 E独立的重复做”次，表示事件A在这八次试验中出现的次数（称为频数）。比值（A）=%/称为事件A在这八次试验中出现的频率。概率的统计定义(古典型概率)：设有随机试验E,若当试验的次数充分大时，事件

4、A的发生频率力(A)稳定在某数p附近摆动，则称数p为事件的概率，记为：尸(A)=p抽样问题：自N个元素中进行n次简单随机抽样抽样方式各种不同抽取方法总数还原有序N无序/+,1非还原有序玲无序分配问题:自n 个质点分配至 U N个盒子中分配方式各种不同抽取方法总数盒子能容纳任意多个质点可辨N质点不可辨盒子能容纳1 个质点可辨4质点不可辨5概率的公理化定义：事件域：设。是一样本空间，是。的某些子集组成的集类，如果它满足下列条件：n(1)Qed；(2)若 AeJ,贝|彳6士；(3)若 A”豆，“=1,2,.,贝 ij|j 4 e32 =1则称n 是Q上的一个事件域，3中的元素称为事件。定义：设。是一

5、样本空间，n 是。上的一个事件域，尸(。是定义在n 上取值为 o,i 上的实值函数，若P(。满足：(1)非负性：对于任一随机事件有P(A)2 0；(2)规范性：对于必然事件。，P(Q)=I；00、co(3)可列可加性：对于两两互不相容的事件4,4,4,，有 p UK =P(4)3=1 /i=l则称()为 3上的概率，而称(Q,3,P)为一个概率空间。几何型概率：(1)样本空间。是一个大小可以度量的几何区域(如线段、平面、立体)。Q(2)向区域内任意投一点，落在区域内任意点处都是“等可能的那么，事件A的概率由下式计算：P(A)=44,这里L(A)表示A的度量.则称此试验为几何概型.L(

6、Q)概率的性质：(1)P()=0;(2)设n个事件4*2,A“两两互不相容，则有P(4 U&UA UA.)=P(4)i=(3)对于任一一个事件:P(A)=1-P(A)(4)若事件满足：AuB,则有P(6 A)=P(8)P(A),注：对任意两个事件力,B有 P(A-B)=P(A)-P(A B)(6)P(AUB)=P(B)+P(A)-P(AB)对于n个事件：PLM=：P(4)-E P(4 4)+E P(4 4 4)-+(-1广)(44)=1 J i=i jn l /；0）。向平面任意投一长为1 （l a）的针，试求针与一条平行线相交的概率。解：设 x是针的中点 M 到最近的平行线的距离

7、，夕是针与此平行线的交角，显然0 0 x于是投针的可能位置可以表示为。1 0?乃,0 x 投针问题就相当于向平面区域Q 内投点的几何概型，设 A表示“针与任一平行线相交”事件则Ax)I O 9 z r,0 x 于是 P(4)A的面积。的面积2/a 7_1 兀a2条件概率的定义，事件的独立性定义条件概率的定义：设 A,B是样本空间。中的两个事件，定义尸（A I B）尚）为“在B发生下A的条件概率”，简称条件概率。乘法公式：P（B）0 P（AB）=P（B）P（4IB）若 P(A4 Ai)0,则P(A4.4T)=P(4)P(&IAJP(4IA4).P(4IA 4.4T)(4-a O、P LIA3=i

8、 )+5/=1全概率公式：44 4 为样本空间。的一个事件组，满足：（1）4A2 A”互不相容,且 P（4）0（i=l,2,），（2）4 U A 2 L L.U A,=O,则对于。中的任意一个事件 B都有:P（B）=P（A J P（B I4）+P（A2）P（8 I 4）+P（4,）P（5 I 4,J,由原因推知结果。贝叶斯公式：B 是样本空间。中一个事件44 4 为样本空间。的一个事件组，满足:（I）44 4 互不相容；且 P（4）o（i=i,2,）（2）A U A U.U A,P（A=名竺 1=_尸（A*）P4）_k P（B）P（4）P（8 IA J+P（4）P（*4）+P（4,）P（6

9、I 4）贝叶斯公式也称为后验概率。由结果推知原因事件独立性的概念：对于事件A,B 有 P（A 8）=P（A）P（8）,则称事件A,B 相互独立，简称A 与 B 独立。（互斥P（A 8）=0）注意：（1）必然事件和任意随机事件相互独立，不可能事件与任意随机事件相互独立。（2）互不相容时间爱你与相互独立不能同时成立。事件独立的充要条件是：P（A I6）=P（A）若四对事件A,B,“,B,A,8,X,跳中有一对是相互独立的，则另外三对也是独立的。多个事件的独立性：设有事件A，A,，对任意的，如果下式均成立：P（4 4）=P（4）P（4）尸（444）=p（4）p（A j）p（4）P（A A.A.）=P

10、（4）P（4）P（A.）则称n 个事件相互独立。例子:尸（可=0.3,P（0）=0 4,P（。万）=0.5,求尸（B I4U 百解：P（A豆）=P（A（1 8）=P（4 AB）=P（A）P（A 8）=0.5于是 P（A 8）=0.2P（B IA U B）=尸（B（AU 吊）+P（AU 邛 P（A）+P（B）-P（AB）P（）1尸（A）+P -尸（A可 42.一维随机变量及其分布（1）随机变量定义，分布函数定义及性质随机变量的定义：定义1设随机试验的样本空间为。，称定义在样本空间。上的实值单值函数X=X（e）为随机变量.设X是一个随机变量，如果它全部可能的取值只有有限个或可数无穷个，则称X为

11、一个离散型随机变量.离散型随机变量的分布列：设离散型随机变量X的可能取值为王,（其中任何两个都不同），X取各个值得概率分别为P，P2,记-（X=XJ =PK 优=1,2,）称p1t为离散型随机变量X的分布列，也称为概率分布（简称分布），显然分布列满足下列条件：/20（女=1,2广）且 =1。k=分布函数：设X为随机变量，x为任意实数，称/（x）=P（X 4x）为随机变量的分布函数,有如卜关系：P”当是离散性随机变量F（x）=P（X 4x）=2当是连续型性随机变量例子：现有7件产品，其中一等品4件，次等品3件，从中任取3件（不放回抽取），求（1）抽取3件产品中含有一等品件数X的分布列（2）X的分

12、布函数（3）抽取3件产品中含有一件一等品的概率解（1）X的可能取值为0,1,2,3分布函数的定义直接可得：p(x =0)=c c3c31J,p(x=l)=rlC2=3 5 )C：1 23 5 ,C2c l尸(X=2)=*=C71 83 5-0123 尸（X=3）=.C 洛4=,于是X的分布列为：3 51121 84,3 53 53 53 5.F(x)=0,x 0,0 x l3 5,l x 23 5,2 x 3（3）所求的概率表示为：X N 1 即尸 X N 1 =1 _ P X l =l _ P X=0 =3 4/3 5几种典型的离散型随机变量：两点分布，二项分布，泊松分布，几何分布两点分布和

13、二项分布：若一个随机变量X 满足，且其分布为P（X=k）=C：p T,（左=0,1,2 一,）其中（0p 0）,则称则称X服从处参数为/I 的泊松分布记X F（2）几何分布：若一个随机变量X 满足,P（X =攵）=/1 住=1,2,），其中（0 1）,q =l ”，则称X服从处参数为p几何分布，记做X G（p）连续型随机变量：连续型随机变量的定义：如果存在一个非负可积函数“X）,对于任意实数x,有 P（XKx）=1/RM”则称X是连续型随机变量，f（x）称为X的分布函数或密度函数。P（aWX 0,X G(-O O,+O O),；/(X世=1几种典型的连续型随机变量：均匀分布，指数分布，正态

14、分布均匀分布：若随机变量X的分布密度为：fx)=h-aaxb,0,其他，则称X服从区间a,同上的均匀分布。简记为X U a,b,其分布函数为F(x)=b-a1,ax 0是常数。其分布函数为正态分布：若随机变量X的分布密度为(7产f(x)=-o o%0,为常数，则称X服从参数为(,cr2)的正态分布。记做X N出吟,其分布函数为1L川I P X F(x)=1 e V27io-J-若X N(,4)那么y=士上N(0,l)J-P(o x W b)=P正态分布的性质：(l)分布函数/(x)关于轴冗=4对称，(2)正态分布有线性性即：X N R,。：),Y N.2,切若 X,Y 相互独立，那么cX

15、 dY N 卜 4，+4匕；)3.二维随机变量及其分布二维随机变量的定义：定义：设 x,Y是应以在样本空间。上的两个随机变量，则（x,y）称为随机向量或随机变量。对于任意实数x,y 函数尸（x,y）=P X W y称为二维随机变量（X,Y）的分布函数，或称为随机变量X 和 Y 的联合分布函数。若将二维随机变量（x,y）看成是平面上的随机点（x,y）的坐标，则分布函数E（x,y）就表示随机点（X,y）落在以点（x,y）为顶点的左下方的无限矩形区域内的概率。二维分布函数：设（X,y）是二维随机变量，对于任意实数二元函数：R（x,y）=P（X Wx）n（y Wy”记为P（x Wy）

16、称为二维随机变量（X,y）的分布函数，或称为随机变量X 和 Y 的联合分布函数。p x X x2,y,y y2=F（x2,y2）-F（x2,yl）+F（x1,y,）-F（x,y2）如果二维随机变量（x,y）全部可能取到的不同值是有限对或可列的无限多时，则称（x,丫）是离散型随机变量。设二维离散型随机变量（x,y）所有可能取值为（x,i,j=l,2,记 P（X=玉,丫=匕）=r，,_/=1,2 一，则由概率定义有：3。，丛=1/=!j=l称 P（X=玉,丫=匕）=r,/=1,2/一为二维离散型随机变量（*,丫）的分布律，或随机变量X 和 Y 的联合分布律。可以用表格来表示X 和 Y 的联合分布律

17、。例子：设随机变量X 在 1,2,3,4四个正数中等可能的取一个值，另一个随机变量Y 在1X中等可能的取一整数值，试求（x,y）的分布律。解：有乘法公式容易求的（x,y）的分布律，易知（x=i,y =/）取值情况是：t =i,2,3,4,，是不大于，的整数且:尸(x=力=P(y=/1x=i)尸(x=i)=；,i=1,2,3,4,J 0,y0,其他0（1）求分布函数/（x,y）（2）求概率pyx解 X,y）F（x,y）=J：fj（x,小），平2产。x0,），0&x,y）=!。-叫（1-八。，。0（2）将（x,y）看作是平面上的随机点坐标，即有yx=（x,y）GG,G是xoy平面上直线y=x及其下

18、方的部分，于是PyWX=P（X,y）eG=JJG x,y）dxd），=|2 e（2 x+）dxdy=边缘分布：二维随机变量（X,y）作为一个整体，具有分布函数/（x,y）,而X,Y都是随机变量，各自也有分布函数，将它们记为Fx（x）和耳（y）,依次称为二维随机变量（X,y）关于X和关于Y的边缘分布函数，可以由分布函数/（x,y）确定。Fx（x）=P X x -P X ,)()=1,2,)/=分别称p”（i =1,2,）和p.j （j =1,2,）为（X,y）随机变量的独立性关于X和Y的边缘分布律（其中的记号p”中的“”表示P,.是由p,7关于j求和后得到的，同理记号p.j中的“表示p./

19、是由P,）关于i求和后得到的）对于连续型的随机变量（X,Y）设它的概率密度为“X,y）有fx（x）=J ：/（x,y）d y同理4（y）=1/（x,沙x分别称（x）和万（），）为（x,y）关于x和关于Y的边缘概率密度。例子：整数N等可能的在卜1 0十个值中去一个值，设O =O（N）是能整除N的正整数个数尸=1 F（N）是能整除N的素数的个数（1不是素数），试写出D和F的联合分布律，并求边缘分布。样本点12345678910D1223212434F0111121112D可能取值为1,2,3,4,F可能取值为0,1,2容易得到（。,尸）取（i,j）i =l,2,3,4,1 4i =0,l,2

20、的概率。例如 P O =1,尸=0 =而，P D =2,F=1=可得D和F的联合分布律及边缘分布律如下表所示：(),则称f、/%=r,y=y.p产 x =%.I y=匕 =一二包=D,i =1,2,为在y=y,.条件下随机变量XI p y=yj P j J的条件分布律。同理对于固定的i,若尸 x=x 0,则称=y/X =七 =工 =1,2/一为在*=若条件下随机变量YP X=X(.)P i.的条件分布律。例子：工厂中的-辆汽车的工序是有机器人完成的，包括紧固3只螺栓，和焊接2个焊点,x表示螺栓紧固不良的数目，Y表示焊点不良的数目，由累积资料显示(x,y)具有分布律:XY0

21、123叩=力00.8400.0300.0200.0100.90010.0600.0100.0080.0020.08020.0100.0050.0010.0010.020（1）求在X=1条件下，Y 的分布律，（2）求在Y=0条件下，X 的分布律解：在 X=1条件下，Y 的分布律：P（X=i）0.0910.0450.0320.0131.000P iX=1=X3,11P（X=1）0.04511 P”=l）0.045Px小Y=k012=8 X=16/92/91/9同理在Y=0条件下，X 的分布律例子：某人射击时集中目标的概率为P（O P 1）,射击直至集中目标两次为止，设 X 表示首次击中目标时所进行

22、的射击次数，Y 表示总共进行的射击次数，求 X 的 Y 联合分布律及条件分布律。解：Y=n表示在第n 此射击是击中目标，且在前n-1此中有一次击中目标，已知各次射击是独立的，于是不管机（?0,则称/架?为在条件Y=y下的x的条件概率人（y）密度记为：启y（xly）=；（；不，称匚/xi y（xly M x-J：x，y)为在条件Y=y下的fy()?)X的条件分布函数，记为尸（X 4 xlY =y）或F xv（xly）即F xw(xly)=P(X W xlY =y)=于(%)1)-dx类似的，定义源3 x）=勺斗和降X 3 X）=匚纬%Jx x7 JY例子：设G是平面上的有界区域

23、，其面积为A,若二维随机变量（X,y）具有概率密度“X,加 G0,其他则称（x,y）在G上服从均匀分布，线设二维随机变量（x,y）在圆域Y+/1上服从均匀分布，求条件概率F x1（xi y）解：由题意/（,），）=,x2+y2 1n ,且有边缘概率密度0洪他4(加 /(%加=7171-y2,l y l于是当一 1 y 1时有:71&y(xi y)*田710,其他0,其他=-/1 ,，_ J -y2 w J _ y 2y2 2yliI _ y-例子：设数X在区间（0,1）上随机的取值，当观察到X=x （x w（0,l）时数Y在（x,l）上随机的取值，求Y的概率密度函数6(y)。解：按题意既有概

24、率密度力(%)=：0其他，对于任意给定的值x e(0,1),在X=x条件下，Y的条件概率密度为：1 ,、-,X V 1Ai x(y i x)=1 1o,其他于是X和Y的联合概率密度为：1./(内)=源3)7%(了)=(1一0,其他o,其他相互独立的随机变量：定义：设F(x,y)及F x(x)，F y(y)分别是二维随机变量(X,y)的分布函数及边缘分布函数函数，若对于所有的x,y有：P x W x,y W y =P X x P yy 即尸(x,y)=G(x)耳(y)则称随机变量 X和Y相互独立。设(X,y)是连续型随机变量，/(x,y),fx(x),/y(y)分别是(X,y)的概率密度和边缘概

25、率密度，则X和Y相互独立的条件是/(%#=%(%)人()几乎处处成立(在平面上出去“面积”面积为0的点，处处成立)。(X,Y)是离散型随机变量，X和Y相互独立的条件是：对于(X,y)的所有可能的值(4力)有：P x=X j,y =,=尸 X =xip Y=yj随机变量函数的分布：一维随机变量函数的分布：例子：设随机变量X具有一下分布律，试求y =(x-i)2的分布律：X-1012pk0.2 0.3 0.1 0.4解：Y的所有可能取值为0,1,4p y =o =p (x-1)2 =o =p(x =1)=0.1Py=1=PX=0+PX=2=0.7Py=4 =PX=-1=0.2,所以Y的分布律为:Y

26、014Pk0.10.70.2例子：设随机变量X具有概率密度x八 )/、一，0 x v 4%(x)=80,其他求随机变量y=2X+8的概率密度解：分别记x,Y的分布函数为3(x)，K(y)，现求K(),)6(y)=P y y=P 2X+8”=P X y 8y-82将号(y)关于y求导，得y=2 X+8的概率密度为:fy(y)=fx二 42y-8 V y-882220,其他Mg/0,其他例子：设随机变量x具有概率密度fx(x),00 X 00,求y=x 2的概率密度。解：分别记X,Y的分布函数为吊(x),4()，)，现求耳(y),由于丫 =*2 2 0,于是当y 4 0时，4(y)=0,

27、y0时有Fr(y)=Pyy=Px2y=p(-VFx 00,y0二维随机变量函数的分布:(-)Z =X+y的分布设(X,y)的概率密度为则2 =乂+丫的分布函数为:Fz()=P Z z=J j ,这里的积分区域G:x +y W z 是直线x +y =2及X+)0其在左下方的半平面，如图，化为累次积分得：Fz(z)=j j f(x,y)d x d y,固定z和y对积分/(x,做变量替换，令x =“一y 得，f f(x,y)d x=y)d u 于是F z(z)=tLd yy 叫八由概率密度的定义即得Z的概率密度为：/(z)=J：(z y,y)d y 由对称性/又可以写成/z(z)

28、=：/(x,z x)d y若两个变量相互独立则上式可以化为：/z (Z)=7X (Z -y)人()力和/z (Z)=J：/x(X)万(Z 一X)小(注意这是卷积)例子：设X和Y是相互独立的随机变量，它们服从N(0,1)分布，其概率密度为:1fx(%)=e 2,-oo x oo兀1 _Z4(y)=-=e 2,-0 0 x 0 07 2兀求2=乂+丫的概率密度。解：由前面的结论心(Z)=j：/x(x)/y(z x)d xx2(Z T)2-e L-e 2 ax2 4 J-0 02万 J 令/=x 得/2(z)=Je 4 j e2d x-=e 4即Z满足N(0,2)分布。若X,N 3,苏)(j=1,

29、2,它们相互独立，弧和Z=X1+X?+X”仍然满足正太分布，Z(M+生+“,b；+b；+端)一般地：有限个相互独立的正太随机变量的线性组合仍然服从正态分布。(二)M=max(X,Y)&N =min(X,y)的分布，设X,Y是相互独立的随机变量，它们的分布函数分别为F jx)和耳()，由于M=max(X,y)等价于X和Y都不大于Z,故有PM 4 z=PX V z/A z 又由于X和Y相互独立，得到M=max(X,y)的分布函数为：工1a x (?)=PM z=P x z,y z =px z py z=l _ P Xz,yz=l -P X z P y z,即%耐(2)=1 1一心卜)口一6

30、卜)以上结果推广到n个相互独立的随机变量，设X”X2,X,是n个相互独立的随机变量，它们的分布函数分别为4,(毛)(=1，2,川则M=max(X”X2,X“)及N=min(XX2,，X“)的分布函数分别为：工印(%)=4(z)&(z)，/M(Z)=1 口F%(z)l&00,xo0,y0,0 0,a手求三种情况下L 的寿命Z 的概率密度。解：串联情况由于右，L2中一个损坏，系统就停止工作，系统寿命为：Z=min(X,Y)由题意:Fx(x)l-e-ax 0,、1 0,x 0 7 t 0,y 0于是Z=min(X,F)概率密度为：九.(z)=(a+)0,z 0(2)并联情况:等效为求2=0 *(

31、乂,丫)，直接有结论可得2=0 *(乂,丫)分布函数为:/-口十),z 0,x(z)=Fx(z)F y(z)=八 0,z 0Z=max(X,Y)密度为：/m ax(%)=aeaz+pepz(a+J3)e0,z 0(3)备用情况，此时系统寿命是乙,4 两者寿命之和，即2=乂+丫，卷积公式:/(2)=,力(2 _)，)人仃)办=，卜5 _ 外于是2=*+丫概率密度为:z)=卜二力(z _ y)/y(y”y=言I0,z 0(3)商的分布：设(X/)的概率密度为/(x,y),求 Z=*弓仁)=J J x，yMxdy=j|f(x,y)dxdy+J J f(x,y)dxdyy-0)yyz(yy)

32、dx】dyfz =J：(yz,y)dy-J：(yz,y)dy.所以/z =J Jyf(yz,y)dy.当X,Y相互独立时，心(1)=1m/%()4)办，_4卜)和万()是*和丫的密度函数。4.数字特征随机变量的数学期望定义：设离散型随机变量X的分布律为P(X=x)=p,女=1,2,.若级数收敛,k=00则级数Z/P*的和称为随机变量X的数学期望，记为E(x),即E l X l u Z-q P k。k=l设连续型随机变量X的概率密度为/(x),若积分J l M G W x绝对收敛，则积分的值称为随机变量X的期望，记为E(X),B|J(X)=数学期望简称期望，又称均值。一般地，求

33、随机变量函数g(X)的数学期望计算公式为：E g(x)=0/(x)=(9 夕 00,x O0,x 0由题意N=min(X1,X2)的分布函数为：-K 础N 的概率密度为：/、0加人)=。0,x 0于是 N 的数学期望为：E N =Rmin(x)dx=e-2xedx=|例子：设风速V 在(0,4)上服从均匀分布，即具有概率密度1/3)=0 v 0),k 是常数，求 W 的数学期望。解：由结论直接得：E（W）=|kv2 f （vylv-kv2-dv例子：设随机变量（x,y）的概率密度为f 3 i,/、-3 2，一1f（x,y）2 x3y-x|o,其他求的O解：由前面的结论得：响=W a，扭力=J：

34、R呆仆=|4.卜匚匚9（X，y y=E/的=1期望的性质：（1）常数C 的期望，就等于C；（2）E（CX）=CE（X）,C 是常数（3）E（X+Y）=E（X）+E（Y）；（4）X,Y 相互独立则：（%/）=（%）（7）例子：设电路中的电流I 和电阻R 是两个相互独立的随机变量，其概率密度为:g(i)=2z,0zl、0,其他r2,z、,0 r 3h r)=90,其他求电压的均值。解：E（V）=E（/R）=E（R）E（/）=力二浊 dr_ 2-3随机变量的方差:反映随机变量偏离均值程度的一个指标。定义：设 X 是一个随机变量，若E XE（x）存在，则称E,X E（x）为 X 的方差，记为）（x

35、）或Var（x）,即：O（X）=V（X）=E X-E（X）。应用中，还引入与随机变量具有相同量纲的量向处记为b（X）称为标准差或均方差。根据定义:O(X)=E X_ E(X)2 =E|X2 _2 X E(X)+E(X)2=E(X2)-2 E(X)(X)+E(X)2=E(X2)-E(X)2即 O(X)=E(X 2)_ E(X)丁例子：设随机变量X 具有数学期望E(x)=和方差O(X)=(X)(3)设 X,Y 是两个随机变量，则有D(x +y)=o(x)+z)(y)+2 E (x-E(x)(y-E(y)若 x,Y相互独立，则有。(x +y)=o(x)+D(y),这一个性质可以推广到任意有限个相互独

36、立的随机变量之和。(4)0(X)=O的充要条件是X 以概率1取常数C,即P X=C =1定理：设随机变量X 具有期望E(x)=，O(x)=c r 2,对于任意正数,不等式2P|X%成立，称为切比雪夫不等式。协方差和相关系数定义：E XE(X)Y(y)称为随机变量x 与Y的协方差，记为。小(乂，丫)，即 C oy(X,y)=E X-E(X)y-E(y),而夕xy=C(X，y),称为随机变量X 与 Y 的相关系数。是一个无量纲的量。由定义知:C ov(X,Y)=C ov(Y,X),C o v(X,X)=O(X)对于两个随机变量：o(x y)=o(x)+o(y)2C o|x,y),Co x,y)=(

37、x r)-(x)E(y)性质：(1)Cov(aX+c,bY+d)=abCov(X,Y).(2)cov(x1+x2,y)=cov(x1,r)+c w(x2,y)（3）若XY独立，则PJ,=0(4)|pxJ l若 XY 独立，D(aX+bY)=a2D(X)+b2D(Y)(6)EX?8,2 8 则(Xy)2 4破2后丫2对于二维正太随机变量（X,y）来说，X和Y不相关与X和Y相互独立是等价的。协方差矩阵定义：（1）设X和Y是随机变量，若（X*）=1,2,存在，称它为X的k阶原点矩。简称k阶矩。（2）后*七（*）丁,&=2,3广,存在，则称为k阶中心矩。（3）石（乂*）,/=1,2/-存在，则称为X

38、和Y的人+/阶混合矩（4）E X-E（x）Ay-E（y）/p =1,2,则称为X和Y的M +/阶混合中心矩二维随机变量（XX2）有四个二阶中心矩（假设都存在）C“=E X=E(X 1)2、.%=EXE(X|)XE(XJ 白记为：与为C 2 1=E X2-E(X2)X,-(X,)SIe22=X2-(X2)2C22)称为（X1,X?）的协方差矩阵定义：设随机变量x=（X1,X2,x J和y=化,巴,Z J的各二阶混合矩都存在，则定义随机变量x和Y的x?协方差矩阵为:C o v(x,y)=E(x-(x)(y-(y)(X,-(%,)(/,-(/,)(x2-(x2)(-E(y,)(x“-E(x/(yE(

39、yJ)C o v(X)Cov(X1，K)Cov(X2,Yt)COV(X2,Y2)C o v(X)Cov(Xn,Y2)(x,-(x,)(y2-(y2)(x2-(x2)(-(y2)(X,-E(X“化 E 化)C o v(X/)-Cov(X2,Yin)Cov(Xn,Ym)_(x,-E(x1)(ym-(ym)(x2-(x2)(rw-(ym)(X“-E(X,2(匕-E 0)特别的：当随机变量X=(X1,X2,，X“y的各二阶混合矩都存在，则X的协方差矩阵为:Co X,X)=E(X-E(X)(%-(%)o(x j C-X2)C阿XI,X,J=COT(X2,X,)D(X2)-Cov(X2,Xm)Cov(X,

40、Xj Cov(Xn,X2)D(X“)_性质：(1)当随机变量X=(X1,X2,，X,)的协方差矩阵Cov(X)为n阶正定的方用(2)当随机变量X=(X”X2,，X,y的各分量两两独立，则随机向量X的协方差矩阵为n阶对角方阵；(3)当随机变量X=(X,X2,X“y的各分量独立同分布，则随机向量X的协方差矩阵为Con(X)=/“，其中/“为n阶单位阵。(4)设 A 是阶矩阵，则 CO(AX)=ACOV(X)AT(5)两个随机变量X=(XX2,，xj和y=(X，L，A,B是两个鹿*机阶矩阵，Cov(AX,By)=A C o i X/)*二.随机过程部分(70%)母函数的定义和性质：设X是非

41、负的整数值随机变量，分布列为p*=P(X=k),A =0,l,，则称P(s)T )江pksk为 X 的母函数k=0性质：(1)非负整数值随机变量的分布列有其母函数唯一确定。p=P(X=O)=P，P 1=P(X=1)=P(O),P2=p(x=2)=3/、河)(0)P k=P(X=k =(2)设 P(s)是 X 的母函数，若 EX存在则：E X=P(1),若 D X存在则 OX=P(1)+P(1)_P(1)2(3)独立随机变量之和的母函数等于母函数的乘积(4)若 X X2,是相互独立且同分布的非负整数值随机变量，N 是与X X2,独立的非N负整数值随机变量，则丫=工乂*的母

42、函数”(s)=G(P(s)其中G(s),P(s)分别是Nk=和 X1的母函数特征函数：定义 1.10：设随机变量的分布函数为/(x)则称g(f)=J 尸(x),8 x +8 为 X 的特征函数。C CX 为离散型随机变量，分布列p =P(X=x)k=1,2,则 g(f)=Zei Ut P k为离散k=型随机变量X 的特征函数X 为连续型随机变量，概率密度为/(x),则 g(/)=J：e (x)d x 为连续型随机变量X 的特征函数。性质：(1)g(0)=l,|g ，W l,g(T)=g(f),g(f)在(一oo,+oo)上一致连续。(3)若随机变量 X 的 n 阶矩存在，则 X 的特

43、征函数可以微分n 次，且当后W 时g(k)(0)=ikEXk(4)g(。是非负定函数，即对任意的正整数n 及任意实数九5 。和复数4,马,Z“有：_ g&T/)Z A&N 0(5)若 X“X2,X”是相互独立的随机变量,则X=X I+X?+X”的特征函数是g(/)=g|(f)g 2(f)g.(f)(6)随机变量的分布函数由其特征函数唯一确定。定义1.1 1设X =(X|,X 2,X)是n维随机变量，f =4)CR则称g(f)=g&，f 2F)=E e x =E e x p 为 X 的特征函数_ I k=1 _例1.1：设X服从5(,p),求X的特征函数g(f),及E X,E X D X解：分

44、布列为：P(X =k)=C：p/i,q=i _ p,k=0,1,2,ng(f)=/y p l i =c；(p e)i =+g)k=0 k=0由性质可知：E X =-z g (O)=-Z y(p e +q)”=n p ,由 r=oEX，=(T g(O)=(-i%(p e +“=n p q +n-p-a，/=o例子1.2设X N(O,1),求X的特征函数g(f)且 7=f e 2 d x ）=j xdF（x I y）=j x f （x l y）d=x l K =y）X其中尸（x I y）=P X 0均值函数用、和协方差函数Bx(s,。解：期望的定义：E X(t)=E(Ycos(0t)+Z sin

45、(0t)(a，看作为常数)=c o s )EY+s in )E Z=0由于Y,Z 是相互独立的随机变量：氏(s/)=&(s j)=E X(s)X(f)=E Y c os(e s)+Z s in(8s)E y c os(a)+Z s in(/)=c os (6s)c os)E(y2)+s in (6s)s in (%)-c r 2 c os s)6例子：随机过程X )=y+Z f,f 0,其中Y,Z是相互独立的N(0,l)的随机变量，求 x (f),fo的一，二维概率密度。解：由于Y,Z是相互独立的正态分布，其线性组合也是正态分布，要计算 x(f)j 0的-二维概率密度，只要计算数字特征机x(

46、f)，Dx(/),P x(s，/)即可：mx(t)=E Y+Zt =E Y+t E Z=QDx(t)=D(Y+Zt)=D Y +t2D Z =l+t2Bx(s,t)=E X X (f)机x (s)%(0=E(Y +Z s)(Y +Z f)=1 +s fP(S n=Bx(M _ 1 +s tAKNTMO和+$2)(I+/)x (，)/()的一，二维概率密度为：fM.(x)=-亚；西-e x p,t 0fs l(x)=-1/e x p(),y(f),f 0是一个二阶矩过程，那么斗丫(.s j)=E(X (s)-m*($)(丫($)啊1)，$/e T ,为 X(f),fO ,y(f),t o的互协方

47、差函数,称R x y(s/)=E x(s)y(f)a x Q),f o,y(/)j 0的互相关函数。如果对于任意的sj eT,有（s,f）=O则称 X（f）,f 0 ,丫（。/0 互不相关。显然：有结论/丫（5，/）=勺丫（5/）一啊（S）啊）随机过程的分布律定义：X?=x（，）,f 0 是一个随机过程，那么对于任意的 2 1 和44,”eT，随机向量（X&）,X （弓）,X （乙）的联合分布函数为：心.,“（玉，X 2.，X,J=P X&）玉，X 4）W x,把这些分布函数的全体：/=月，4，乜（再,工 2 L2,），3 2 广“7,21 称为/=X）/0 的有限维分布函数族。有限维

48、分布函数族有如下的性质：（1）对称性：对于 22,的任意排列孔,小右由%.（西,工 2,“（4,%,也就是说把他,乙顺序打乱后有限维分布函数族还是相等。（2）相容性：?“时，”（玉，/）=a,，x,“，x”oo）定理2.1（K ol m og or ov 存在定理）设已给参数集T满足对称性和相容性的条件分布函数族 E则必存在概率空间（QJ,P）及定义在其上的随机过程 X（f）/eT。限维分布函数族是F。随机过程的概率特征也可以通过随机过程的有限维特征函数族中=卜”,“（夕2，一,0）：”2/一 4 7，21 来完整的描述，其中：g ,（a，纭、a）=E e x po 有相同的参数集，廿

49、 2,f“wT，4由，,。GT，则n+m 个随机变量的联合分布函数为：FXY（*,乂2 一,乂”（，,，2，-，4）,匕,丫 2,，,，9 2，7,）=/旧12，-、匕&冉，-认）4 信黑，一，匕（强-）则称随机过程 x（t）,f o 和 y（/）j 0 相互独立。离散型条件数学期望：条件数学期望概率论或随机数学中最重要的问题之一，应用广泛。E（X Y=y）=x fx Y（x）dx为Y =y时X的条件数学期望，这是一个具体的数值。让取它的所有可能值，记E（X|Y）为条件数学期望，这是一个随机变量。定义：E（x|y）=Z4r）m）E（x|y =y J,期%引（。）=7 2 7 1 5 2 7

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