定积分公式表优质资料.doc

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1、定积分公式表优质资料(可以直接使用，可编辑 优质资料，欢迎下载）1.y=c(c为常数) y=0 2.y=xn y=nx(n-1) 3.y=ax y=axlna y=ex y=ex 4.y=logax y=logae/x y=lnx y=1/x 5.y=sinx y=cosx 6.y=cosx y=-sinx 7.y=tanx y=1/cos2x 8.y=cotx y=-1/sin2x 9.y=arcsinx y=1/1-x2 10.y=arccosx y=-1/1-x2 11.y=arctanx y=1/1+x2 12.y=arccotx y=-1/1+x2(1) (2) (3) (4) (5

2、) (6) (7) (8) (9) (10) (11) 对这些公式应正确熟记.可根据它们的特点分类来记.公式（1）为常量函数0的积分，等于积分常数.公式（2）、（3）为幂函数 的积分，应分为与 .当 时， ，积分后的函数仍是幂函数，而且幂次升高一次.特别当 时，有 .当 时，公式（4）、（5）为指数函数的积分，积分后仍是指数函数，因为 ，故 （ ， ）式右边的 是在分母，不在分子，应记清.当 时，有 . 是一个较特殊的函数，其导数与积分均不变.应注意区分幂函数与指数函数的形式，幂函数是底为变量，幂为常数；指数函数是底为常数，幂为变量.要加以区别，不要混淆.它们的不定积分所采用的公式不同.公式（

3、6）、（7）、（8）、（9）为关于三角函数的积分，通过后面的学习还会增加其他三角函数公式.公式（10）是一个关于无理函数的积分公式（11）是一个关于有理函数的积分下面结合恒等变化及不定积分线性运算性质，举例说明如何利用基本积分公式求不定积分.例1 求不定积分 .分析：该不定积分应利用幂函数的积分公式.解： （为任意常数 ）例2 求不定积分 .分析：先利用恒等变换“加一减一”，将被积函数化为可利用基本积分公式求积分的形式.解：由于 ，所以 （为任意常数 ）例3 求不定积分 .分析：将 按三次方公式展开，再利用幂函数求积公式.解： (为任意常数 )例4 求不定积分 .分析：用三角函数半角公式将二次

4、三角函数降为一次.解： （为任意常数 ）例5 求不定积分 .分析：基本积分公式表中只有 但我们知道有三角恒等式： 解： （为任意常数 ）同理我们有：（为任意常数 ）例6 （为任意常数 ）基本积分表1、2、3、4、5、6、7、8、9、10、11、12、13、14、 其中为双曲正弦函数15、 其中为双曲余弦函数基本积分表的扩充16、17、18、19、20、21、22、23、24、25、sinsin=-cos(+)-cos(-)/2【注意右式前的负号】 coscos=cos(+)+cos(-)/2 sincos=sin(+)+sin(-)/2 cossin=sin(+)-sin(-)/2sin +s

5、in=2sin(+)/2cos(-)/2 sin -sin =2cos(+)/2sin(-)/2 cos +cos =2cos(+)/2cos(-)/2 cos -cos =-2sin(+)/2sin(-)/2 【注意右式前的负号】三角函数公式大全同角三角函数的基本关系 倒数关系: tan cot1 sin csc1 cos sec1 商的关系： sin/costansec/csc cos/sincotcsc/sec 平方关系： sin2()cos2()1 1tan2()sec2() 1cot2()csc2()平常针对不同条件的常用的两个公式 sin +cos =1 tan *cot =1一个

6、特殊公式 （sina+sin）*（sina+sin）=sin（a+）*sin（a-） 证明：（sina+sin）*（sina+sin）=2 sin(+a)/2 cos(a-)/2 *2 cos(+a)/2 sin(a-)/2 =sin（a+）*sin（a-）锐角三角函数公式 正弦： sin =的对边/ 的斜边 余弦：cos =的邻边/的斜边 正切：tan =的对边/的邻边 余切：cot =的邻边/的对边二倍角公式 正弦 sin2A=2sinAcosA 余弦 1.Cos2a=Cos2(a)-Sin2(a) =2Cos2(a)-1 =1-2Sin2(a) 2.Cos2a=1-2Sin2(a) 3.

7、Cos2a=2Cos2(a)-1 正切 tan2A=（2tanA）/（1-tan2(A)）三倍角公式sin3=4sinsin(/3+)sin(/3-) cos3=4coscos(/3+)cos(/3-) tan3a = tan a tan(/3+a) tan(/3-a) 半角公式 tan(A/2)=(1-cosA)/sinA=sinA/(1+cosA); cot(A/2)=sinA/(1-cosA)=(1+cosA)/sinA. sin2(a/2)=(1-cos(a)/2 cos2(a/2)=(1+cos(a)/2 tan(a/2)=(1-cos(a)/sin(a)=sin(a)/(1+cos

8、(a) 和差化积 sin+sin = 2 sin(+)/2 cos(-)/2 sin-sin = 2 cos(+)/2 sin(-)/2 cos+cos = 2 cos(+)/2 cos(-)/2 cos-cos = -2 sin(+)/2 sin(-)/2 tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB=tan(A+B)(1-tanAtanB) tanA-tanB=sin(A-B)/cosAcosB=tan(A-B)(1+tanAtanB)两角和公式 cos(+)=coscos-sinsincos(-)=coscos+sinsinsin(+)=sincos+cossinsin(-)=

9、sincos -cossin积化和差 sinsin = cos(-)-cos(+) /2 coscos = cos(+)+cos(-)/2 sincos = sin(+)+sin(-)/2 cossin = sin(+)-sin(-)/2双曲函数 sinh(a) = ea-e(-a)/2 cosh(a) = ea+e(-a)/2 tanh(a) = sin h(a)/cos h(a) 公式一： 设为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等： sin（2k）= sin cos（2k）= cos tan（2k）= tan cot（2k）= cot 公式二： 设为任意角，+的三角函数值与的三角函数

10、值之间的关系： sin（）= -sin cos（）= -cos tan（）= tan cot（）= cot 公式三： 任意角与 -的三角函数值之间的关系： sin（-）= -sin cos（-）= cos tan（-）= -tan cot（-）= -cot 公式四： 利用公式二和公式三可以得到-与的三角函数值之间的关系： sin（-）= sin cos（-）= -cos tan（-）= -tan cot（-）= -cot 公式五： 利用公式-和公式三可以得到2-与的三角函数值之间的关系： sin（2-）= -sin cos（2-）= cos tan（2-）= -tan cot（2-）= -co

11、t 公式六： /2及3/2与的三角函数值之间的关系： sin（/2+）= cos cos（/2+）= -sin tan（/2+）= -cot cot（/2+）= -tan sin（/2-）= cos cos（/2-）= sin tan（/2-）= cot cot（/2-）= tan sin（3/2+）= -cos cos（3/2+）= sin tan（3/2+）= -cot cot（3/2+）= -tan sin（3/2-）= -cos cos（3/2-）= -sin tan（3/2-）= cot cot（3/2-）= tan (以上kZ) Asin(t+)+ Bsin(t+) = (A +B

12、 +2ABcos(-) sin t + arcsin (Asin+Bsin) / A2 +B2; +2ABcos(-) 表示根号,包括中的内容诱导公式 sin(-) = -sin cos(-) = cos tan (-)=-tan sin(/2-) = cos cos(/2-) = sin sin(/2+) = cos cos(/2+) = -sin sin(-) = sin cos(-) = -cos sin(+) = -sin cos(+) = -cos tanA= sinA/cosA tan（/2）cot tan（/2）cot tan（）tan tan（）tan 诱导公式记背诀窍：奇变偶

13、不变，符号看象限万能公式 sin=2tan(/2)/1+(tan(/2) cos=1-(tan(/2)/1+(tan(/2) tan=2tan(/2)/1-(tan(/2) 其它公式(1) (sin)+(cos)=1 (2)1+(tan)=(sec) (3)1+(cot)=(csc) 证明下面两式,只需将一式,左右同除(sin)，第二个除(cos)即可 (4)对于任意非直角三角形,总有 tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC 证: A+B=-C tan(A+B)=tan(-C) (tanA+tanB)/(1-tanAtanB)=(tan-tanC)/(1+tantanC) 整理

14、可得 tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC 得证 同样可以得证,当x+y+z=n(nZ)时,该关系式也成立 由tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC可得出以下结论 (5)cotAcotB+cotAcotC+cotBcotC=1 (6)cot(A/2)+cot(B/2)+cot(C/2)=cot(A/2)cot(B/2)cot(C/2) (7)(cosA）+(cosB）+(cosC）=1-2cosAcosBcosC (8)（sinA）+（sinB）+（sinC）=2+2cosAcosBcosC 其他非重点三角函数 csc(a) = 1/sin(a) sec(a)

15、 = 1/cos(a) 编辑本段内容规律 三角函数看似很多，很复杂，但只要掌握了三角函数的本质及内部规律就会发现三角函数各个公式之间有强大的联系。而掌握三角函数的内部规律及本质也是学好三角函数的关键所在. 1、三角函数本质： 1 根据右图，有 sin=y/ r; cos=x/r; tan=y/x; cot=x/y。 深刻理解了这一点，下面所有的三角公式都可以从这里出发推导出来，比如以推导 sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB 为例： 推导： 首先画单位圆交X轴于C，D，在单位圆上有任意A，B点。角AOD为，BOD为，旋转AOB使OB与OD重合，形成新AOD。 A(cos,s

16、in),B(cos,sin),A(cos(-),sin(-) OA=OA=OB=OD=1,D(1,0) cos(-)-12+sin(-)2=(cos-cos)2+(sin-sin)2 和差化积及积化和差用还原法结合上面公式可推出（换(a+b)/2与(a-b)/2） 单位圆定义 单位圆 六个三角函数也可以依据半径为一中心为原点的单位圆来定义。单位圆定义在实际计算上没有大的价值；实际上对多数角它都依赖于直角三角形。但是单位圆定义的确允许三角函数对所有正数和负数辐角都有定义，而不只是对于在 0 和 /2 弧度之间的角。它也提供了一个图象，把所有重要的三角函数都包含了。根据勾股定理，单位圆的等式是：

17、图象中给出了用弧度度量的一些常见的角。逆时针方向的度量是正角，而顺时针的度量是负角。设一个过原点的线，同 x 轴正半部分得到一个角 ，并与单位圆相交。这个交点的 x 和 y 坐标分别等于 cos 和 sin 。图象中的三角形确保了这个公式；半径等于斜边且长度为1，所以有 sin = y/1 和 cos = x/1。单位圆可以被视为是通过改变邻边和对边的长度，但保持斜边等于 1的一种查看无限个三角形的方式。 两角和公式 sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB sin(A-B) = sinAcosB-cosAsinB cos(A+B) = cosAcosB-sinAsinB co

18、s(A-B) = cosAcosB+sinAsinB tan(A+B) = (tanA+tanB)/(1-tanAtanB) tan(A-B) = (tanA-tanB)/(1+tanAtanB) cot(A+B) = (cotAcotB-1)/(cotB+cotA) cot(A-B) = (cotAcotB+1)/(cotB-cotA)小组赛A组俄罗斯乌拉圭埃及沙特阿拉伯进球数净胜球积分名次俄罗斯0:303:135:038462乌拉圭3:031:031:035591埃及1:300:101:202-400沙特阿拉伯0:500:102:132-533B组葡萄牙西班牙摩洛哥伊朗进球数净胜球积分名次

19、葡萄牙3:311:03西班牙3:311:03摩洛哥0:100:10伊朗0:101:03C组法国澳大利亚秘鲁丹麦进球数净胜球积分名次法国2:131:03澳大利亚1:201:11秘鲁0:100:10丹麦1:111:03D组阿根廷冰岛克罗地亚尼日利亚进球数净胜球积分名次阿根廷1:110:30冰岛1:110:20克罗地亚3:032:03尼日利亚2:030:20E组巴西瑞士哥斯达黎加塞尔维亚进球数净胜球积分名次巴西1:112:03瑞士1:112:13哥斯达黎加0:200:10塞尔维亚1:201:03F组德国墨西哥瑞典韩国进球数净胜球积分名次德国0:102:13墨西哥1:032:13瑞典1:201:03韩

20、国1:200:10G组比利时巴拿马突尼斯英格兰进球数净胜球积分名次比利时3:035:23巴拿马0:301:60突尼斯2:501:20英格兰6:132:13H组波兰塞内加尔哥伦比亚日本进球数净胜球积分名次波兰1:200:30塞内加尔2:132:21哥伦比亚3:031:20日本2:212:13小组赛排名规则：1） 积分2） 净胜球数3） 进球数4） 同分球队之间比赛结果5） 同分球队之间的净胜球6） 同分球队之间的进球数7） 公平竞赛积分每张黄牌扣1分间接红牌（两黄）扣3分红牌扣4分黄牌后直接红牌扣5分淘汰赛A1: VS B2乌拉圭 VS？：？B1: VS A2？ VS俄罗斯？：？ VS？：？ VS？：？C1：D2？ VS？：？ VS？：？D1：C2？ VS？：？ VS？：？ VS？：？E1：F2？ VS？：？F1：E2？ VS？：？ VS？：？ VS？：？G1：H2？ VS？：？H1：G2？ VS？：？