北京邮电大学出版社_线性代数习题答案(习题1-6).pdf

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1、线性代数习题及答案（北京邮电大学出版社戴斌祥主）编习题一（A类）1.求下列各排列的逆序数.(1)3 41 782 659;(3)n(n 1).3 2 1;【解】(1)r(3 41 782 659)=1 1;(2)T(9876543 2 1)=3 6;(2)9876543 2 1;(4)1 3.(I n1)(2/?)(2/?2).2.(3)T(/?(/?1).3 2 ,1)=0+1+2 +.+(/?1)=_ _；2(4)T(1 3.(2 n 1)(2/2)(2/?2).2)=0+1+.+(n 1)+(/?1)+(2)+1+0=(力1).2.求 出 j,k 使 9 级排列2 4jl 57k98为偶

2、排列。解：由排列为9 级排列，所以j,k 只能为3、6.由 2 排首位，逆序为0,4 的逆序数为0,1 的逆序数为3,7 的逆序数为0,9 的为0,8 的 为 1.由 0+0+3+0+U 4,为偶数.若j=3,k=6,则 j的逆序为1,5 的逆序数为0,k 的 为 1,符合题意；若 j=6,k=3,则 j 的逆序为0,5 的逆序数为 1,k 的为4,不符合题意.所以 j=3、k=6.3 .写出4 阶行列式中含有因子a 2 2 a 3 4的项。解：=（-以 5%2%3。4”由题意有：j2=2,j3=4.124 3故，2 43 A=/2 4=6 2 4 中含的 的2。3 4 项为：（-2 2 a

3、3 4。4彳 +（一1）4。1 3 2 2%4 41NN ，1 1 ZZ 34 x 7 1J ZZ 34 41即 为:一&a 2 2 a 3 4a 4 3+2 2 a 3 4a 4 14.在 6 阶行列式中，下列各项应带什么符号？(1 )。2 3。3 1。42。56。1 4465；解:。2 3 03 1。42。56 1 4a 65=。1 4。2 3。3 1。42 a 56a 65因为 7(43 1 2 65)=6,(_ 1尸43 1 2 65)=(-1)6=1所以该项带正号。(2 )。3 2。43%4“51 a 66a 2 5解：。3 2。43 41 4。51。66。2 5=1 4。2 5。3

4、 2 043 051。66因为 7(452 3 1 6)=8,(-l)r(452 3 l 6)=(-1)8=1所以该项带正号。5.用定义计算下列各行列式.0 2 0 012 3 00 0 100 0 2 0(1)；(2)3 0 0 03 0 4 50 0 0 40 0 0 1【解】P=(1)rmu,4!=2 4;(2)Z 1 2.0 1 0 00 0 2 00 0 0 n-0 0 0所以%2 =1%3 =2(3)由题意知：a,i,“=T其 余%=0=(1)77 aja2j2a3 j 3 anjn=(-l)r (t z +2 2(b +l)2 3+2?(c +1)2(c +2 2(d+l)2 (

5、J+2 2)(a +3/)S +3)(c +3)2)3+3产111a2 a3h2 Hc2 c3=(ab +b e+c a)111aha2h2c20 0 h0 a b 0(4)D,=(ad-bc)n;2n 0 c d 00 01 +6 11(5).1【证明】+a211(a+b)(a-b)左%i=2(a b)0b(a-b)a-b0b22b1(a+bXa-b)K a-b)=(a b)2a+b 叱(”丁=右端.2(a b)a-b 2 1a22a+14 a+4左端若全cc2&+14 8+4C 3 f2c+l4 c+4C4 fd224 +1 4 d+46。+9a22a+1 268+9C3-2C2b226+

6、1266c+9C二。4-2c22c+l266d+9d22d+26(3)首先考虑4阶范德蒙行列式:1X2X/(x)=1aa2a31bb2/1cc2c3(x-a)(x-h)(x 一 c)(a-h)(a 一 c)(h-c)从上面的4阶范德蒙行列式知，多项式f(x)的片的系数为1 a a1ah+ac)(a 一 b)(a-c)(b-c)=(ah+be+ac)1 h h21 c c2但 对(*)式右端行列式按第一行展开知彳的系数为两者应相等，故1 a2 a3(-1),+,I b2 h 1 c2 c,3(4)对仄按第一行展开，得ab 00 abd0ad-D -b c-=(ad-bcDM,据此递推下去，可得。

7、2“=(ad-be)%,-)=(ad-be)2 D2(n_2)=(ad-bc)z D?=(ad-bc)n(ad-be)=(ad-he)1 1D2 n=(ad-bcY.(5)对行列式的阶数用数学归纳法.当 个2时，可直接验算结论成立，假定对这样的41阶行列式结论成立，进而证明阶数为时结论也成立.按的最后一列，把拆成两个刀阶行列式相加：D =l+o,1 1 11 l+a2 1 1+1 +4 111 +。2 1 100 1 1 1 111 1+an-l011 14但由归纳假设/.一1 1、2一1=aa2 an-i+z m从而有/、D”=ala2-an_i+anala2-an_l 1 +Z：I-=i

8、ai Jaa2，an-an i=l ai/8.计算下列阶行列式.x 1 11 x 1D-”:1 1 X【解】(1)各行都加到第一行,Xy0 000Xy .00 D,=000 Xyy00 0X再从第一行提出X+(/71),得2 2 22 2 2 2D=2 2 3 22 2 2 2 1 0 001 2 1 000 1 2 00D,=0 0 0 210 0 0 12将第一行乘Dn=x +(-l)1)后分别加到其余各行,得111X11x2=x+(-1)101x 1=(X +H 1)(%I)1o0X-11120D“二20002002 2000n-2按第二行展开一22 2 -201 0 -002 -000

9、0-n 2=-2(/i-2)!.4 f11 0000(3)行列式按第一列展开后，得Xy0 -00y00 000Xy-00Xy0 -00D”=x:+y(-i 严0Xy -00()0o-Xy*y0o-0X000 Xy=尤+(_ 严 广(4)D.2 1 0 0 02 0 0 0 00 1 0 0 01 2 1 0 01 2 1 0 01 2 1 0 00 1 2 0 00 1 2 0 00 1 2 0 0=+0 0 0 2 10 0 0 2 10 0 0 2 10 0 0 1 20 0 0 1 20 0 0 1 2-2 0”-l。,-2-即有D“一。,1=B i -Dn_2=-=D2-Dt=1由 （

10、2 一？1）+（%一2.2）+.一 +（2-2）=1 得D”2=YI 1,D =-1 +2 =+1.9.计算阶行列式.【解】各列都加到第一列，再从第一列提出i+z%，得131+4将第一行乘（1）后加到其余各行，得1 a2 40 1 00 1 1=1).00=1 +Z%1=10 0 0 11 0.计算阶行列式（其 中%w0,/=1,2,，）.一 1【解】行列式的各列提取因子an-j=1,2,，然后应用范德蒙行列式.14q1b.1b3a1hDn=(aia2-anr1a2绚2 2 32an rt-1(b.X H-Ia3 JX/J-1an)a J(%2 a )“”a2 J一、4 a J1 1.已知4阶

11、行列式中第3列元素依次为-1,2,求行列式的值。0,1,它们的余子式依次为8,7,2,1 0,解：D=a2%a2。2232为2-1201“14a24。3444，%=8,此3=7,3 3=2,“4 3=1 04n&%274O =Z(-1 产ai3Mi3i=(-1产 3 M 3+(_ 1产%3 M 23+(_ 1产 的3 M 33+(一1 严%3 M 43=(-1)4 (-1)-8 +(-1)5 2 -7+(-1)6 0 2 +(-1)7 1 -1 0=8 1 4 1 0 =3 2.1 2.用克拉默法则解方程组.4 X 1 +5X2=0,3再-7X2=2.(2)X1 -x2+x3=2,x1+2X2

12、=1,x1 x3=4.x1+x2+x3=5,x,+2X2-x3+x4=2,x2+2X3+3X4=3.5x,+6X2=1,再 4-5X2+6X3=0,%+5x3+6%=0 ,x3+5X4+6X5=0,x4+5x5=1.解4A3所以 =方1043D43x,-x2+x3=2(2)因为=2,3-1 0 11-1=-5-2方程组的系数行列式为1 21121-1-1仄=110二0-1-12-2=41 4-102-21-121-12D尸121=03-1=7104012所以玉=4 =D13T%2=aD=-4了x-三-X 3-D-_7-511101110-1-31-1-3121-110-1-31D=12-11=

13、01-21=1-21=0-52=18/0;1230-14012301235 11 12 23 11 12 11 20 11 01 5 15 00 3 201=3 6;133 301 11 -12 -11 251=-1 8.23故原方程组有惟一解，为O (4)D =6 6 5,2 =1 5 0 7,2 =1 1 4 5,4 =70 3,&=3 95,2=2 1 2.1 5 0 7 2 2 9 3 7 79 2 1 2X,1 =-6-6-5-,一 =-1-3-3-,3=-3-5-,%44 =-1-3-3-9 5=-6-6-5-.2%+AX2 无 3 =L1 3.4满足什么条件时，线性方程组彳2X1

14、-X2+X3=2,有唯一解？4 占 +5X2-5X3-32 A解：力:几 14 5-1 2 2c 3 2(l)1 =A,1-5 4 5Z 100：；=（f 馋+4）要使方程组有唯一解，必须。0,于是：（X 1）5/1 +4）#04解得：4KL Z 工4当；I 不等于1,一一时，方程组有唯一解。51 4.;1 和为何值时，齐次方程组+%+=0，%+jux2+x3=0,玉 +2/JX2+毛=0有非零解？解】要使该齐次方程组有非零解只需其系数行列式2 1 11 1 =0,1 2 1即(l-2)=0.故=0或/1 =1时，方程组有非零解.15.求三次多项式/(X)=劭+%工3，使得/(-1)=0 J=

15、4 ,/(2)=3 ,/(3)=1 6.【解】根据题意，得f(一 )=4 q +Q,%=0；/(I)=o +Q +%+3 =4；/(2)=旬+2 q +4生+8%=3;3)=。+3%+9。2 +2 7%=1 6.这是关于四个未知数0,4 1,。2，。3的一个线性方程组，由于D=4 8,D。=3 3 6,=0 4=-2 4 0,D.=96.故得 a。=7,=0,a2=5,%=2于是所求的多项式为/(X)=7-5X2+2X3(B类)1.已知刀阶行列式的每一列元素之和均为零，则D=解：令aa2,ayn+。2 1 +，+an4)+出2 +,，+an2,an+a2n+a2la22,-a2Wa2a22a2

16、ni=2,3,、”%an2.an2 a”.2.Da3 a45x 1 2 33.写出行列式a=x x 1 2的展开式中包含X，和 丁 的项。12x3x 1 2 2x5x 1 2 3Cl a2x x 1 2Cl 与解：令以=Z l Z Z12x3“3 1 032x 1 2 2x04 1 a42比较可得：只 有 当/人 力=1234时，才能出现/项，当/川3/4=2134,4 231时，为丁项,故2中含/项为：+10 x4含 了3 项为：(I)4 2 a21。33“4 4 +(-1)“%4。22“33。4 1 =一5x，。4.已知4阶行列式=1311235134624472,试求4 1+4 2+4

17、3+A4 4，其中4)/(/=1，2,3,4)为行列式”的第4行第/列的元素的代数余子式。13解：因为=112 3 43 4 45 6 71 2 213所以4 4 1+4 4 2+4 4 3+4 4=12 3 4 13 4 4 币+1(-川 35 6 7 i=2,3.4 11 1 1 11 2 31 严。2153161 2r4+l(T)J=(-1)5 0 10-331 =(-D5(-l)1+1:=(6 (3)=3 3-01 1 11 a a25.解 方 程1 a j a214an=0 x ay1解：因 分：1X故 由 Z 0 可得:6.求出使一平面上三个点（王,%）,（2，为），（工 3,为）

18、位于同一直线上的充分必要条件【解】设平面上的直线方程为ax+b y+c=O（当。不同时为 0）按题设有axx+如 +c=0,ax2+b y2 4-c=0,ax3+奶 +c=0,则 以a,c为未知数的三元齐次线性方程组有非零解的充分必要条件为玉弘 1/%1=0工3 为 1上式即为三点(X 1,y1),(x2,%)，(%3，%)位于同一直线上的充分必要条件习题二(A 类)12 121.1.设 於 2 1 2 112 3 44 3 2 1B=-2 1 -2 10-10-1(1 )计 算3/-3 2 4+3及(2)若 才 满 足 不8求了(3)若，满 足(2 4-/)+2 (B-Y)=0,求 Y.3

19、63 643213 1 5解：(1)3A B-2-22A+33=2 44 268912 9-601 2-6-11 4-21 31 3-263 63118 2 8 23 3003 792 4638 74 233552 4021 65(2 )因4+48则X=B-A,即43211 2X=112 10-1 01 212 13 42101-1-4 0(3)因 为(2 A-H+2 (B-H所 以3片2 4+2 5,即2?Y=-(4+B)=-(3343211 2 1 2-21-21+2 1 2 1001 2 3 4)=t05152130332310To2310T432320224322.计算下列矩阵的乘积.

20、(1)=I-1233 2-1 0;(21 2 1 0-1 0 3 1 0 1 0 10 1 2-1(6)0 0 2 10 0-2 30 0 0 30 0 0-33 2-1 0-3-2 1 06 4-2 09 6-3 05(2)-3-1(3)(1 0);3 3(4)+a22x l+(。1 2 +2 1)X/2 +313+/1)玉1 3 +(。2 3 +3 2)%2 1 3 =立限内/=!j=一n 2 5 2 1a ana2+0 1 30 12-4(5)a2 a22。2 2 +a23；(6)0 0-43_ _a3。3 23 2 +。3 3 _0 0 0-9-1 1 f1 213.设4=-1 1 1

21、,B=1 3-11 -1 12 14求(1)A 5-2 4;(2)AB-BA,(3)(A +3)(4 3)=A 2 一3?吗?(3)由于AB丰BA,故(A+B)(A r/反-24 2-44o-【解】AB-2A=4 00;(2)AB-B A =5-3-1024 _-31-14.举例说明下列命题是错误的.若 人2=0,则4=0;若A*=A ,则 A=0 或 4=E;若AX=A y,A/。，则 丫=丫.【解】0 0（1）以三阶矩阵为例，取A=0 00 010,*=0,但 4 r00令A令A=则AX=AY,但X*Y.5.计算：-30 1 0(1)0 0 10 0 0cos。(2)sin。sin 0co

22、s。（为正整数）;1 0（3）（左为正整数）.A 1解：（1）-1 3 r*1 0 0 10 1=0o-To i1 0 0o-!To 1 o1 0 0 1oj|_0 0 00 0 1 0 1 00 0 0 0 0 10 0 0 0 0 00000 0 0000 0 00 0 0=0 0 0=QX3 0 0 0(2)cos。-sin。sin。cos。（左为正整数）,cos。sin。cos。Di-sin6 cos。1-sin。sin。cos(9cos 2。-2 sin cos2sin6cos。cos 26令产则 当42时,cos 2(9 sin 10-sin 2 cos 2。设 DFcos md

23、sin mO-sin/。cos m3成立，则Dscos mO sin mOcos。sin。-smmO cos mO-sin。cos 6cos m0 cos 0-sin mOsm 0 sin 0 cos mO+cos 9 sin mO-sin mO cos 0-cos mO sin 8 cos mO cos 0-sin m0 sin 0COS(7M+1)6 sin(m+l)6?一sin(/”+l)e cos(a+l)e故有：A=cos 6sin。coskd sinkd(3)令例=-sin。cos。-sin cos%。(左为正整数),1021则当Q 2时，有:0001114=211221m假 设D

24、肝11100成立,则201mA1011Ai=mA,A1(m+l)20故有I010A1kA1abdb6.设 4=-a-cda b,求I A I.ba解：由已知条件，A的伴随矩阵为abcdA*=-(a2+b2+c2+d2)-a-c-c-b=-(a2+b2+c2+d2)Abda-d-c b a又因为A*A=|A|E,所以有-(a2+b2+c2+d2)A2=A E ,且 同 0,即-(a2+h2+c2+d2)A2 =(/+b2+c2+J2)4|A|A|=|A|4|E|于是有 同=-(标 +0 2 +.2)4 =_/2 +/+7.已知线性变换芯=2%+%，弘=-3%+马，无2 =_ 2)|+3力+2%，

25、%=2 Z|+Z 3，3 =4/+%+5%=-2 2 +3 0,利用矩阵乘法求从Z,%2，0到X,的 线 性 变 换.【解】已知X=丁 一X2/3_=-2-241310 25 J%儿=4丫,一 切 一-31 0-JY=%=201=Bz,儿0-1 3 _，3 一-421 -X=AY=1Bz1 249&-1 0-1 1 6从而由4，?2，7 3至:玉，,3的线性变换为石=-4芍 +2Z2+Z3,-x2=1 2 zf-4Z2+9Z3,x3-1 0 Z|-z2+16Z3.8.设A,8为”阶方阵，且A为对称阵，证明：BAB也是对称阵.【证明】因为阶方阵/为对称阵，即/=4所以(B A B)=B /斤B

26、A B,故348也为对称阵.9.设九方为阶对称方阵，证明：4 3为对称阵的充分必要条件是/后物.【证明】已 知/=A,ff=B、若4 3是对称阵，即(4为=A B.贝”A 年(A S)=B A =B A,反之，因A 4B A,则 A B)=ff A =B A=A B,所以，/夕为对称阵.1 0.4为阶对称矩阵，夕为阶反对称矩阵，证明：(1)是对称矩阵.(2)A B 及是对称矩阵，/班曲是反对称矩阵.【证明】因 A=4 B氏故(#)z=ff-B=B-(B)=m；(AB BAY=U 5)(皿)=B A A B=BA A (B)=AB BA-(AB+BA)=(A3)+(BA”=B A+/B=BA+A

27、-(B)=(A 济 BA).所 以。是对称矩阵，AB 应是对称矩阵，/小如是反对称矩阵.1 1.求 与/=1可交换的全体二阶矩阵.0 1a b【解】设与/可交换的方阵为，则由c d1 1a ba b1 10 1c dc d0 1得a+c b+d a a+bc d c c+da b由对应元素相等得c=0,由a,即与/可交换的方阵为一切形如 的方阵，其 中a,。0 a为任意数.1 0 0 1 2.求 与4=0 1 2可交换的全体三阶矩阵._0 1 -2_【解】由于0 0 0A=E+0 0 2而且由可得qa2a3瓦b2%A-C2。3_-0 00 00 10o-2-3_1 -3o-2-3_za2a q

28、b2 C24 C3=-0 00 00 1一0q2bl 3cj-000 _0C22b2-3c2=2c”32b32c30C32b3c3a2 3%b?-3/?3C2 3c3由此又可得C =0,2h1 3C=0,2a3=0,%3a3 -0,c2=2b3,c3-b2-3b3,2h2-3c2-2c3,2b3 3c3 =3c3,所以a,=&3=b=%=0,c2 2b3,c3 b2 3b3.fl,0 0即与/可交换的一切方阵为0 b2 2b3其中火力2也为任意数.0 4 d-3b313.求下列矩阵的逆矩阵.1 2-1(3)3 4-25-4 -1【解】123(2)012001-1000(4)1200213012

29、14 _(1)5-2-2 1 _-1216 0(3)-74 -1V-32 14 -2(4)1 -2 10 1 -20 0 15241120004021222860031 4.利用逆矩阵，解线性方程组X+尤2+=L 2X2+2X3=1,.X,-X2=2.1 1【解】因0 21 -11 1=1 ,而 02 112-112/00故10 _2 _211 5.证明下列命题：若/,3是同阶可逆矩阵，则 若/可 逆，则/可 逆 且（/）若 AA=E,则（/），=（/）(AB=BA.=(A)【证明】（1）因对任意方阵c,均 有（/斤加,=|。|及而4 5均可逆且同阶，故可得|加 BA=ABE（BA：）=（/A

30、B（BA）=（AB）A（BB）A=(AB)ABEA=A B(AB)u i*o,II*o,(AS),=BA：(2)由于 4/=|川区故，从而(/)=M I (A )=M I A.于是A(A)=AA 1-UI A=E,所以(A i),=(/)(3)因/=,故/可 逆 且/=/.由 (/)=(A )，得a)=(Ai)=(/)，.1 6.已知线性变换xl=2yl+2y2+y3,=3)1 +%+5%，工3=3%+2%+3%,求从变量演,2，3到变量%，2，丁3的线性变换【解】已知且1/1=1片0,故）可逆,-A Y,-7y=A X=6-4 93 -7 X,3 2-4所以从变量玉,X 3到 变 量%，为，

31、%的线性变换为M =-7 玉 4彳2+9七，y2=6XI+3X2-7X3,y3=3X+2X2-4X3,17.解下列矩阵方程.1123X=42-6IX221-102211-10(4)110101142100【解】令 介X001112011301X0000101002123；层42-61-40-23-10.由于A3-2故原方程的惟一解为3-1-2 412 618-2-207同理10(2)X=0010001112-1421 8.设4 =112303X=40(4)X=01300-4-2，4 3 =4 +2 3,求5.【解】而由4居4+25得（/1E)B-A.223A-2E1-1201=IwO,即A 2

32、H可逆，故B =(A 2 E)-%=21-12-1230141-121230311-1记/(A)=aaE+atA H-a-4-3423386-5-3110=29-664-123-21291 9.设 机 次 多 项 式/(x)=/+qxd-Fa,，/(A)称 为 方 阵4的m次多项式.(1)A =4A证明A4.若，/(A)=fW/(2)iA=P B P,证明 5 4 =P A,pT,f(B)=Pf(A)p-.【证 明】(1)A2100,A34,o0即k=l和k=3时，结论成立.今假设Ak00利那么Ak+AkA=0小 oo 守044o0所 以，对 一 切 自 然 数 匕 都有*若0o若 一 而/(

33、A)=a()E+qA+amA1+am Q m22=4+%4+%/00UQ+Q I4”=(4)一 一 /(A)J(2)由 与 4=P BP,得B=PAP且B=(PAP)=P#Pf (B)=a0E+axB 4-卜 amBm=a0E+alPAP-+-+amPAp-=P(a0E+q A+amAm)P-1=(A)P 1-1-4-1 020 .设pTAP=/.其中尸=,A=,求4.1 1 0 2【解】因P 可逆，且 P =13|_T4,，故由A=P/P-1得A,=(PAP-)=P(A)P 1-11-41F-11 Jo2JL 343J-31 _ 4-1-4 1F1 01 i I1 1 Jo 210J _j_

34、L 3 3 JIF-1 +21 2-4 +22l_ri365 1364-3|_ 1-210 4-210 J-L-34 1-34 021 .设阶方阵A的伴随矩阵为A,证明：(1)若 I A I=0 ,则 I A*I=0;(2)|A*|=An-.【证明】（1）若1/1=0,则必有1/1=0,因若I 则有/（4）1=,由此又得/=-|000 c0 o-1 00 00E2oO0000(2)-1-1 2 1 O-1-1 2 1 0-2-2 4 2 04 2+1(-2)00 0 0 0(2,4)、3 0 6-1 1心+1(-3)03 0-413 0 6 3 1r4 +l(-3)03 0 0 1-1-1 2

35、 1 O-1-1 2 1O-10 3 0 0 1r3+2(-l)0 3 0 01r3+(-4)0 3 0-4 10 0 0-400 0 0 0 00 0 0 002 5.利用初等变换求下列矩阵的逆矩阵。1-1 2 1 O-1-1 2 0o-0 3 0 0 1m+3(-1)0 3 0 01c(2,5)0 0 0 1 00 0 0 1o0 0 0 0 00 0 0 00c(3,4),1 0 0 2-fI 0 0 0 o-0 1 0 0 30 1 0 0 0c4+l(-2)=o0 0 1 0 00 0 1 0 00 00 0 0 0 0c5+l(l)0 0 0 0 01 4 5+2(-3)解：（1）

36、对（A I E）作初等行变换:3-2 0-13 2 10 2 21(1)3 1 5(2)1 -2-3-23 2 3-3 1 21-1 1 1 r-11 221 1 1 0(3)-4 01;(4)1 1 0 01-6-1-11 0 0 03 2 1 1 0 03 1 50 1 03 2 30 0 13 2 1 1 0n i A ir2r30n+K-D+1(-1),一300j j-1 1 O 1 20 0 3 J 1 2O i O。i 2 2 4 iO O II-1 1 O O 1 121-67 21_ L 2|3 0-0。1 3|2.i O Oo L o-1-1,I、|r2-2R、，、I r-A

37、.77,_2|3,2|-2 2 一 父，早I_I 2 I i Il)-)用+2(-2)、0 0 1 1 .1 0-2 2 J7 2 93 0 0 5 2-20 1 0-1 -1 20 0 1 1 .1-(J-2 2 _r2+3(4),呜1(-72_3632所以jf=-1-1210122（2）对（A I E）作初等行变换:3-2 0-11 0 o o-1-2-3-2 0 0 1 00 2 2 1 0 1 0 0“1,3)、0 2 2 1 0 1 0 01 -2-3-2 0 0 1 03-2 0-11 0 0 03 1 2 1 0 0 0 13 1 2 1 0 0 0 1、-Ts厂1+4(1)0

38、0 10 10 0 10 00 0 0 0 1r 3 +4(-l)0 0 0 0 1-1 1 0 1 01 0 0 0H 2 +3 )0 1 0-1 0c 2 +K-l)|0 10-0 0 1 0 00 0 1 00 0 0 0 1c 4 +l(-l)0 0 0 01 0 0 0 010 0 0 04 4 +2(1)、0 1 0 0 0c(4,5)、01 0 0 00 0 1 0 000 1 0 00 0 0 0 100 0 1 0所以 N (4)=4。所以 A(4)=3。(2)4=r3+1-12-23 00 32(-1)2 1 04-2 06-1 10 0 1-1-1 20 0 0r2+l(

39、-2)r3+l(-3),1 O-4 0 1 -10 00 30 32 1 00-4 00-4 10 0 1-1-1 2 1 00 0 0-4 0-100 3 00 3 00 0 00 0 100o-01 r2(-i)4c2+5(-3)、0 3 0-4 10 0 0 0 01 0 0 0 00 0 0 1 0 3+7c4 +lc(2,4)c(3,5)所 以R(3)P(-TA1(_3A-10014(-2)D-1(00(0(=3.4 15 1(70 3 0 00 0 0 0)0 0 0-0 0 0)10 0)0002 6 8)4 21 95 3 40 15 200 1 4一0 2 51 3 63 1

40、4 326 32 77-1 0 00 1 00 0 11021715 _r123m+3(-2)0670010250 0 0 0 10 0 0 0 00 0 0 o-104 21 9 176 3 4 10 0 0 00 1 40 2 51 3 63 13 286 28 61 1 0 0 1 40 1 0 2 50 0 1 3 6所 以A(4)4=r4 +25 3=2。01025-2)4 +5+4-56r4 +3(-iK-l)1(-4)r4 +35)-10000(-3).r5+2(-5)0 0 3 9 180 0 6 18 36r5+3(-6)0 0 0 0 00 0 0 0 0(5)4=r3+2

41、1 01 10 10 0_0 1(-1)1 0 0 1 0 1 0 00 0 0 0 1-1 0 01 0 0.2 +l(T)L o 1 1 0 01 1 0 0 0 1100 1 1J o 1 0 1 1 i o i o o l Fi o i o o-0 1-1 0 0 0 1-1 0 00 0 2 0 0-Z 0 0 1 0 00 0 110 0 0 1 1 00 0 1 1 1J o 0 1 1 11 0 0 0 01 p 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 00 0 1 0 0”5+4(T)L 0 0 1 0 0=0 0 0 1 0 0 0 0 1 00 0 0 1 1

42、J|_0 0 0 0 1_a a la a aC l ci 0 1a2 ci 矿 ciC l1 a-0 a-a2 i-a2 a-a2i=2,3,4 2 2 i 2a 1J y a-a a-a i-aa a a a a aa a 0 1-10r2+3(-l)a l+a -0 0 1-1j r3+4(-l).H5+2rl+：r2+r4 +3(-r5+3(-所 以 R(6)/=当 睁 1r.z 11 -(-1)3(-1)3(1)-D-1)1A)=1aaa-)a5。a1aa100ni=2,3,4rf4 +3(-2 a)、1 a a a0 1 -1 00 0 1 -10 0 0 l+3a4 (4)=4;

43、1；)=3.相 关 列 变 换、1 0 0 00 1 0 00 0 1 00 0 0 1 +3。当。7 1且 a H 西3当 a=l 时，R(A)=当4 =时，R(A31122 7.已知/=2(1,-1,0),2a2.若 R(A/B)=2,求 a。3-123-1238 3。0-4因为所以当为a任意实数时,4-a4-a-1-3-4-4 6-4-6=-16*0,2-a4-2。6 3。均有 R(A B B)=2。（B类）-3 6-91.C2.C3.C4.C215.设矩阵公2,为2阶单位矩阵，矩 阵B满足物=5+2式 则|引=2 1解：因为灰，且 血=/2瓦 则砌-后2 3-1 2B A-E)=2 -

44、B=2(A -1 1 1 一又 A-E=,所 以(4-3)-=一-1 1J 2 11 11 -1层-I引=21 1 1 2 -2 6.设/=4 t 3 ,夕为3阶非零矩阵，且/走0,则t=3 -1 1解：因为/比0,且夕为非零矩阵，则有1/1=0。反证法证明以上结论。如 果|4|*0,则4可逆，存 在/）=因 为4居“所以/庐0-比。与夕为非零矩阵矛盾。故 有I/1 =0。1 2 -2又，=4 f 3 ,所以3 -1 1-2117t-8-7117=7(r-8)+7 x l l=7(/-8+l l)=7(z+3)所 以t=-3.7.已知矩阵1 1 1k 1的 秩 为3,则k=1 k 1解 由于R

45、（A）=3,则|4|=0,即111 1k 11 k1 111 11111111 /、1 =(女+3)1 k11=(A+3)0k-001 1k100k-1t1 11k()00k-=(k +3)(&-l)3 =0.由 此 得 =3或k 1.当&=1时，显然有R(A)=1;当=3时，A的左上角的3阶子式-3 1 11-3 1=76*0.1 1 -3故当且仅当女=3时，R（A）=3.1 0 28.设/为4 x 3矩阵，且R(4)=2,而岳 0 2 0-1 0 3贝”R(AB)1 0 2解：因为I引=0 2 0=1 0*0,所以夕可逆。-1 0 3所以 R (AB)(4)=2.9.设 方 阵A满 足A-

46、A-2 E=0,证明：A及A+2 E都可逆，并 求A 及(A+2 E)L证明：因为A-2 =0,所以E)=E,两边取行列式.则同 g(A-E)=l w O所以 所以 A 可逆，A-1=g(A-E).又 A 2-A 2 E=0 得 A?=A+2 E,由 A 可逆,则A 2可逆，所以A+2 E可逆(A +2 E)T=(T)T=火)2 =1(A2-2 A +E)10.设/是 阶 方 阵，满足A A =E,且1川I A +E I=O,因为 1-|川2 0,（I川0）所以|/+团=0。11.若3阶方 阵/的伴随矩阵为/*,且1川=；，求的1（3 4尸一 2 A*1值。解：1/|=2-4）=3,AfA=A

47、-E所以 A*=I A I A-ii i 7所以（3 4 尸 一2 A*=；4一|2 1 A l 4-1=（：-1）4一|=-1 A-则 I（3 4尸 一2 A*1=-A-=（-）3-I A-h-.3 3 2 7 、a.12 .设4=,其中q.j;i,，=1,2,证明：与A可交换的只能是囚 囚 2一囚”则 AB=%&2 a2a2 2-a2a2 ,BA、a,。,、a a.a an,由 A8=8A 可得，aVlax=aVla.5由 a.w%,i*j,所以当 i r l,即=0N=2,3U，同Qi、理 可 得 与=0 0 川,/=2,3广、)所以8=%：是对角矩阵.、13.设A为n阶方阵(n2),A

48、,为A的伴随矩阵，试证：(1)当 R(A)=n 时,R(A )=n;(2)当 R(A)=n-l 时,R(A )=1;(3)当 R(A)n-l 时，R(A，)=0.潮：(1)由R(A)=，所以A可逆.而A A*=|A|EA所以LA*=E,所以A*可逆，即R(A*)=.(2 )下面先证明一个矩阵秩的性质.设矩阵A、B0 (08尸孱-A B y (0-A B y-A B(E)+(-AB)所以秩=V B)B尸30E秩+(A8)0、而秩性)、1,故秩A =l.(3)由R (A )c t3=c xt+a、.3 2 a7.作一个以(1,0,1,0)和(1,-1,0,0)为行向量的秩为4 的方阵.解：因向量(

49、1,0,0,0)与(1,0,1,0)和(1,-1,0,0)线性无关，所以(1,0,0,0)可作为方阵的一个行向量，因(1,0,0,1)与(1,0,1,0),(1,-1q0)线性无关，所以(1,0,0,1)可作为方阵的一个行向量.所以方阵 可 为：1,0,0),(01 0、-1 0 000 000 1,1,0,0,8.设 风,。2,a,的 秩 为 r 且 其 中 每 个 向 量 都 可 经 区,见，?线 性 表 出 证 明：必,七,a,为名,a2,a,的一个极大线性无关组.【证明】若(1)线性相关，且不妨设四,见,6(Z001f0k-01k10k-00k-0001k110-k-k00l k000

50、当=1 时，的秩为2,四,为其一极大无关组.当A W 1 时，a，a 2,%线性无关，秩为3,极大无关组为其本身.1 0 .确定向量夕3 =(2，。，使向量组。=(1,1,0),2 2 =(1,1,1),力，与 向 量 组=(0,1,1),%=(1,2,1),。3=(1，厂1)的秩相同，且笈，可由必，。2。3线性表出一【解】由于-1 1 2-1 12 一5=(/血 夕3)=1 1 a0 1b_0 1 b_0 0a-2而 R(A)=2,要使 R(A)=R(5)=2,需。-2=0,即 a=2,又-0 1 1 2-1 2 0 a1 2 0 a0 1 1 21 1 -1 b0 0 0 b-a+2要使儿