北京邮电大学出版社线性代数习题答案(习题1-6).doc

《北京邮电大学出版社线性代数习题答案(习题1-6).doc》由会员分享，可在线阅读，更多相关《北京邮电大学出版社线性代数习题答案(习题1-6).doc（107页珍藏版）》请在得力文库 - 分享文档赚钱的网站上搜索。

1、线线性代数性代数习题习题及答案及答案（北京邮电大学出版社（北京邮电大学出版社 戴斌祥主）编戴斌祥主）编习题习题一一（ （A 类类） ）1. 求下列各排列的逆序数. (1) 341782659； (2) 987654321； (3) n(n 1)321； (4) 13(2n 1)(2n)(2n 2)2. 【解】 (1) (341782659)=11; (2) (987654321)=36;(3) (n(n 1)321)= 0+1+2 +(n 1)=;(1) 2n n(4) (13(2n 1)(2n)(2n 2)2)=0+1+(n 1)+(n 1)+(n 2)+1+0=n(n 1). 2. 求出

2、j，k 使 9 级排列 24j157k98 为偶排列。 解：由排列为 9 级排列，所以 j,k 只能为 3、6.由 2 排首位，逆序为 0,4 的逆序数为 0，1 的逆序 数为 3，7 的逆序数为 0，9 的为 0，8 的为 1.由 0+0+3+0+1=4，为偶数.若 j=3,k=6，则 j 的逆序 为 1，5 的逆序数为 0，k 的为 1,符合题意；若 j=6,k=3,则 j 的逆序为 0，5 的逆序数为 1，k 的为 4，不符合题意.所以 j=3、k=6.3. 写出 4 阶行列式中含有因子的项。2234a a解：D4=1 2 3 4() 1 12 23 34 4( 1)j j j j jj

3、jja aaa由题意有：232,4.jj故1234141243243241j j j jjj D4中含的项为：2234a a(1243)(3241) 1122344313223441( 1)( 1)a a a aa a a a 即为：1122344313223441a a a aa a a a4. 在 6 阶行列式中，下列各项应带什么符号？（1）；233142561465a a a a a a解：233142561465142331425665a a a a a aa a a a a a因为，(431265)6(431265)6( 1)( 1)1 所以该项带正号。（2）324314516625

4、a a a a a a解：324314516625142532435166a a a a a aa a a a a a因为，(452316)8(452316)8( 1)( 1)1 所以该项带正号。5. 用定义计算下列各行列式.(1)； (2). （3）020000103000000412300020304500010100 00200001 000n n 【解】(1) D=( 1)(2314)4!=24; (2) D=12.（3）由题意知：12231,11 210nnnija aan an a 其余所以1 2() 1 12 23 3(2341) 1223341,111( 1)( 1)( 1)1

5、 2 3(1)(231)1( 1)!nj jj njjjnjnn nnnnnDa aaaa a aaannnnn 6. 计算下列各行列式.(1)； (2) ；2141 3121 1232 5062 abacae bdcdde bfcfef (3)； (4) .100 110 011 001a b c d 1234234134124123【解】(1) ;1250623121012325062rrD(2) ;111 4111111Dabcdefabcdef 210110111(3)( 1)111011001011;bcDaa bcdccddddabcdabadcd 321221133142 144

6、121023410234102341034101130113(4)160.10412022200441012301110004rrccrrccrrrr ccrrD 7. 证明下列各式.(1) ；22322()111aabbaabbab(2) ；2222222222222222(1)(2)(3)(1)(2)(3)0(1)(2)(3)(1)(2)(3)aaaabbbbccccdddd(3) 232232232111()111aaaabbabbccabbcccc(4) ；20000()0000n nababDadbccdcd(5) .1211111 11111111nni iiina aaa a 【

7、证明】(1) 1323223()()() 2()2 001()()()()()2()21ccccab abb abb ababbab abb ababbabababab 且且且且.(2) 32213142 412222-2-223222144692126 214469212602144692126 2144692126cccccccc ccaaaaaa bbbbbb cccccc dddddd 且且且且.(3) 首先考虑 4 阶范德蒙行列式:232323231 1( )()()()()()()(*)1 1xxx aaaf xxa xb xc ab ac bcbbb ccc从上面的 4 阶范德蒙

8、行列式知，多项式 f(x)的 x 的系数为2221 ()()()()(),11aa abbcac ab ac bcabbcacbbcc但对（*）式右端行列式按第一行展开知 x 的系数为两者应相等，故231 123231 ( 1),11aa bb cc(4) 对 D2n按第一行展开，得22(1)2(1)2(1)00000000(),nnnnabababab Dabcdcdcdcddcad Dbc Dadbc D据此递推下去，可得2 22(1)2(2)11 2()()()()()()nnnnnnDadbc DadbcDadbcDadbcadbcadbc2() .n nDadbc(5) 对行列式的阶

9、数 n 用数学归纳法. 当 n=2 时，可直接验算结论成立，假定对这样的 n 1 阶行列式结论成立，进而证明阶数 为 n 时结论也成立. 按 Dn的最后一列，把 Dn拆成两个 n 阶行列式相加：1 1 2 211211111011111110111111101111111.nnnnnnaaaaDaaa aaa D 但由归纳假设11121 111,nnn iiDa aaa 从而有1121121 1121 111111111.nnnnn iinnnnni iiiiiDa aaa a aaaa aaaaaa 8. 计算下列 n 阶行列式.(1) (2) ；11 1111nx xDx 12222222

10、2232222nDn (3). (4).000 000000 000nxy xy Dxy yx 2100012100012000002100012nD 【解】(1) 各行都加到第一行，再从第一行提出 x+(n 1),得11111(1),11nxDxnx将第一行乘（ 1）后分别加到其余各行，得1111110(1)(1)(1).001n nxDxnxnxx(2) 按第二行展开2131112222 10000 10100 1002010002nrrnrrrrDn 2222 0100 2(2)!.00200002nn (3) 行列式按第一列展开后，得1(1)(1)(1)10000000000000 (

11、 1)000000000000( 1)( 1).n nnnnnnnxyyxyxy Dxyxyxyyxxyx xyyxy (4) 210002000001000121001210012100012000120001200000210002100021000120001200012nD .122nnDD即有 112211nnnnDDDDDD由 得 112211nnnnDDDDDDn.11,121nnDDn Dnn 9. 计算 n 阶行列式.1212121 11nn nnaaa aaaDaaa 【解】各列都加到第一列，再从第一列提出，得11ni ia232323 12311 1111,11nnnni

12、n inaaaaaaDaaaaaaa将第一行乘（ 1）后加到其余各行，得23111 0100 11.00100001nnnnii iiaaaDaa 10. 计算阶行列式（其中）.n0,1,2,iain.1111 123 2222 1122332222 1 1223 3 1111 123nnnn n nnnn nnn nnnn nn nnnn naaaaabababab Daba ba ba bbbbb【解】行列式的各列提取因子,然后应用范德蒙行列式.1(1,2, )n jajn3121232222 3121 12 1231111 3121231 12 11111()().nnnn nn nnn

13、nn nnjin n j i nijbbbb aaaabbbbDa aaaaaabbbb aaaabba aaaa 11. 已知 4 阶行列式 D 中第 3 列元素依次为-1，2，0，1，它们的余子式依次为 8，7，2，10，求 行列式 D 的值。解：D=，1112142122243132344142441 2 0 1aaa aaa aaa aaa132333438,7,2,10MMMM4 3 33 11 32 33 34 3 13132323333343434567( 1)( 1)( 1)( 1)( 1)( 1)( 1) 8( 1)2 7( 1)0 2( 1)1 10 8 14 1032.i

14、 ii iDa Ma Ma Ma Ma M 12. 用克拉默法则解方程组.（1） （2）1212450, 372.xx xx 12312132, 21, 4.xxx xx xx (3) (4) 123123412342345,2 1,2 2,233.xxxxxxxxxxxxxx 121232343454556 1,56 0,56 0,560,51.xx xxx xxx xxx xx 【解】（1）因为1212450 372xx xx D=；D1=；D2=454337 051027 40832所以12 12108,.4343DDxxDD （2）因为12312132214xxxxxxx D=1( 1

15、)2,3111111 1200315 101012r ii D1=211001121201201361401611 D2=12112111110011422141022D3=112112 1210317 104012 所以312 1231347,.555DDDxxxDDD (3)方程组的系数行列式为1110111013113121110131180;1210521211012112301401230123D123451101510 1111211118;36;22111211 3123032311501115 2111211136;18.12211212 01330123DDDD 故原方程组有

16、惟一解，为3124 12341,2,2,1.DDDDxxxxDDDD 1234512345(4)665,1507,1145,703,395,212.15072293779212,.66513335133665DDDDDDxxxxx 13. 满足什么条件时，线性方程组有唯一解？12312312321, 2, 4553xxx xxx xxx 解：D=32(1)2121 1110 455450c =1(1)(1) (54)45要使方程组有唯一解，必须 D，于是：0(1) (54)0解得：1241,5 当不等于 1，时，方程组有唯一解。4 514. 和 为何值时，齐次方程组1231231230, 0,

17、 20xxx xxx xxx 有非零解? 【解】要使该齐次方程组有非零解只需其系数行列式11 0,11121 即(1)0.故或时，方程组有非零解. 0115. 求三次多项式，使得23 0123( )f xaa xa xa x( 1)0,(1)4,(2)3,(3)16.ffff【解】根据题意，得0123012301230123( 1)0;(1)4;(2)2483;(3)392716.faaaafaaaafaaaafaaaa这是关于四个未知数的一个线性方程组，由于0123,a a a a012348,336,0,240,96.DDDDD 故得01237,0,5,2aaaa 于是所求的多项式为23(

18、 )752f xxx（ （B 类类） ）1. 已知 n 阶行列式 D 的每一列元素之和均为零，则 D= 。解： 令 D=111211121112222121(1)21222212222,3,1212nnnnnnnrinninnnnnnnnnaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa =21222120000nnnnnaaaaaa 2.D3. 写出行列式 D4=的展开式中包含和的项。5123 12 123 122x xx x xx3x4x解：令 D4=5123 12 123 122x xx x xx11121314212223243132333441424344aaaaaaaaaaaaaa

19、aa1 2 3 41 2 3 4() 1 12 23 34 4( 1)j j j j jjjj j j j ja aaa比较可得：只有当时，才能出现项，当时，为项，12341234j j j j 4x12342134,4231j j j j 3x故中含项为：4D4x410x含项为：。3x(2134)(4231)3 1221334414223341( 1)( 1)5a a a aa a a ax 4. 已知 4 阶行列式 D4=，试求，其中为123433441567112241424344AAAA4(1,2,3,4)jAj 行列式 D4的第 4 行第 j 列的元素的代数余子式。解：因为 D4=1

20、234334415671122所以414243441234 3344 1567 1111AAAA1( 1)4 12,3,411231233011( 1)01114564561000c ii 4 1( 4)551 112311( 1) 011( 1) ( 1)36036r ( 6( 3)3. 5. 解方程12 222 12121111110.nnnnn naaaaaaxaaa解：因 D=1212111111 12121212(1) (1)11111111 1011110111nnnnnnnn nn nnnnnn nnnnaaaaaaaaaaaa xaaaxaaa =+122111 1211111

21、1( 1)111nnnnn nn naaaxaaa 12 222 12111 1212111111111nnnnn n nnn nn naaaaaaaaaaaa故由 D=0 可得：1( 1)nx 12 222 12111 121212111 12111111111111111111nnnnn n nnn nn nnnnn nn naaaaaaaaaaaaaaaaaa 因为=1212111111 1212111111 111111nnnnnnnn nnaaaaaaaaaaaa 1()nij j i nVaa 所以( 1)x 12 222 12121111 111()nnnnn nij j i n

22、aaa aaaaaa aa 6. 求出使一平面上三个点位于同一直线上的充分必要条件.112233( ,),(,),(,)x yxyxy【解】设平面上的直线方程为 ax+by+c=0 (a,b 不同时为 0) 按题设有1122330, 0,0,axbyc axbycaxbyc 则以 a,b,c 为未知数的三元齐次线性方程组有非零解的充分必要条件为1122331 10 1xy xy xy上式即为三点位于同一直线上的充分必要条件.112233( ,),(,),(,)x yxyxy习题习题 二二（ （A 类类） ）1.1. 设 A=，B=，1212 2121 1234 432121210101 1 计

23、算 3A-B，2A+3B；2 若 X 满足 A+X=B，求 X；3 若 Y 满足（2A-Y）+2（B-Y）=0，求 Y.解：（1）3A-B=-=。3636 6363 33912 432121210101 1315 8282 37913 2A+3B=+=。2424 4242 2468 12963 6363 0303 141387 2525 2165 （2）因 A+X=B，则 X=B-A，即X=-=。432121210101 1212 2121 1234 3111 4040 1335 （3）因为（2A-Y）+2（B-Y）=0，所以 3Y=2A+2B，即Y=（A+B）=（+）=2 32 343212

24、1210101 1212 2121 1234 55332020231133 =。10102233 440033 222233 2. 计算下列矩阵的乘积.（1）； （2） ；1 132102 3 =5001 0312 0213 （3） ； （4） ；3 212341 0 111213112321222323132333aaax xxxaaax aaax （5） ； （6） .111213212223313233100 011 001aaa aaa aaa 12101031 01010121 00210023 00030003 【解】(1) (2); (3) (10);3210 3210;6420

25、 9630 5 3 1 (4) 33 222 11 1222333122112133113233223 11()()()ijij ija xa xa xaax xaax xaax xa x x(5); (6) .111212132122222331323233aaaaaaaaaaaa 1252 0124 0043 0009 3. 设，111 111 11 1 A121 131 214 B求(1);(2) ；(3) 吗?2ABAABBA22()()A+ BABAB【解】(1) (2) 242 2;400024 ABA440 ;531311 ABBA(3) 由于 ABBA,故(A+B)(A B)A

26、2 B2. 4. 举例说明下列命题是错误的.(1) 若， 则； (2) 若， 则或；2AOAO2AAAOAE(3) 若， 则.AX = AYAOX =Y 【解】(1) 以三阶矩阵为例，取,但 A02001 ,000000 0AA(2) 令,则 A2=A,但 A0 且 AE110 000 001 A(3) 令11021 ,=,0111210110 AYX0则 AX=AY,但 XY. 5. 计算：（1）；（2）（k 为正整数）； （3）（k 为正整数）.3010001000 cossin sincosk 101k 解：（1）=3010001000 010 001 000 010 001 000 0

27、10 001 000 001 000 000 010 001 000 =。3 3000 000 000 O（2）令 Dk=（k 为正整数），则当 k=2 时，cossin sincosk D2=cossin sincos cossin sincos cos22sincos 2sincoscos2 =；cos2sin2 sin2cos2 设 Dm=成立，则cossinsincosmmmm Dm+1=cossinsincosmmmm cossin sincos =coscossinsinsincoscos sin sincoscossincoscossinsinmmmm mmmm =.cos(1)

28、sin(1) sin(1)cos(1)mm mm 故有：Dk=.cossin sincosk cossin sincoskk kk (3) 令 Dk=（k 为正整数），则101k 当 k=2 时，有：D2=；10 1 10 1 10 21 假设 Dm=成立，则10 1m 10 1m Dm+1=；10 1m 10 1 10 (1)1m 故有=。101k 10 1k 6. 设，求|. abcd badc cdab dcba A=A解解：由已知条件，的伴随矩阵为A22222222()()abcdbadcabcdabcdcdabdcba A =A又因为，所以有A A= A E，且，22222()abc

29、dA = A E0A即 42222222224()()abcdabcdA =A A = AE于是有 .2222422222()()abcdabcd A7. 已知线性变换112112212321331233232,3, 232,2, 45;3 ,xyyyzz xyyyyzz xyyyyzz 利用矩阵乘法求从到的线性变换.123,z zz123,x x x【解】已知112233112233210 ,232415310 ,2010134211249101 16xyxyxyyzyzyz XAYYBzXAYABzz,从而由到的线性变换为123,z zz123,x x x11232123312342, 1

30、249, 1016 .xzzz xzzz xzzz 8. 设，为阶方阵，且为对称阵，证明：也是对称阵.ABnAB AB 【证明】因为 n 阶方阵 A 为对称阵，即 A=A,所以 (BAB)=BAB=BAB, 故也为对称阵.B AB 9. 设 A，B 为 n 阶对称方阵，证明：AB 为对称阵的充分必要条件是 AB=BA. 【证明】已知 A=A,B=B，若 AB 是对称阵，即(AB)=AB. 则 AB=(AB)=BA=BA,反之，因 AB=BA,则(AB)=BA=BA=AB, 所以，AB 为对称阵. 10. A 为 n 阶对称矩阵，B 为 n 阶反对称矩阵，证明： (1) B2是对称矩阵. (2)

31、 AB BA 是对称矩阵，AB+BA 是反对称矩阵.【证明】因 A=A,B= B,故 (B2)=BB= B( B)=B2; (AB BA)=(AB) (BA)=BA AB = BA A( B)=AB BA; (AB+BA)=(AB)+(BA)=BA+AB = BA+A( B)= (AB+BA). 所以 B2是对称矩阵，AB BA 是对称矩阵，AB+BA 是反对称矩阵.11. 求与 A=可交换的全体二阶矩阵.11 01 【解解】设与 A 可交换的方阵为,则由ab cd =,11 01 ab cd ab cd 11 01 得.acbdaab cdccd由对应元素相等得 c=0,d=a,即与 A 可

32、交换的方阵为一切形如的方阵，其中 a,b0ab a 为任意数.12. 求与 A=可交换的全体三阶矩阵.100012012 【解解】由于A=E+,000002013 而且由111111222222333333000000 ,002002013013abcabc abcabc abcabc 可得111222333333232323023000 023222. 023333cbc cbcabc cbcaabbcc 由此又可得1113232332322333230,230,20,30,2 ,3 ,232 ,233 ,cbcaaacb cbbbccbccc所以2311233230,2 ,3 .aabcc

33、b cbb即与 A 可交换的一切方阵为其中为任意数.12332300 02 03a bb bbb 123,a b b13. 求下列矩阵的逆矩阵.(1) ； (2) ；12 25 123 012 001 (3)； (4) ；121342541 1000 1200 2130 1214 【解】(1) ; (2) ;52 21 121012001 (3) ; (4) ;12601741632142 1000110022 1110263 1511 824124 14. 利用逆矩阵，解线性方程组12323121, 221, 2.xxx xx xx 【解】因,而1231111 0221 1102x x x

34、111 0022110故1 12311101111122 .0221113012211022 1112xxx 15. 证明下列命题： (1) 若 A，B 是同阶可逆矩阵，则（AB）*=B*A*. (2) 若 A 可逆，则 A*可逆且（A*） 1=（A 1）*. (3) 若 AA=E,则（A*）=(A*) 1. 【证明】（1） 因对任意方阵 c，均有 c*c=cc*=|c|E,而 A,B 均可逆且同阶，故可得|A|B|B*A*=|AB|E(B*A*) =(AB) *AB(B*A*)=(AB) *A(BB*)A* =(AB) *A|B|EA*=|A|B|(AB) *. |A|0,|B|0, (AB

35、) *=B*A*. (2) 由于 AA*=|A|E,故 A*=|A|A 1,从而(A 1) *=|A 1|(A 1) 1=|A| 1A. 于是 A* (A 1) *=|A|A 1|A| 1A=E, 所以(A 1) *=(A*) 1. (3) 因 AA=E，故 A 可逆且 A 1=A. 由(2)(A*) 1=(A 1) *,得 (A*) 1=(A) *=(A*). 16. 已知线性变换11232123312322, 35,323,xyyy xyyyxyyy 求从变量到变量的线性变换.123,x x x123,y yy【解】已知112233221 ,315323xy xy xy XAY且|A|=1

36、0,故 A 可逆，因而1749 ,637324 YA XX所以从变量到变量的线性变换为123,x x x123,y yy112321233123749, 637,324,yxxx yxxxyxxx 17. 解下列矩阵方程.(1) ；1246 1321 X =(2)；211211 210210 111111 X(3) ；142031 121101 X=(4) .010100043100001201001010120 X【解】(1) 令 A=;B=.由于12 13 4621 13211A故原方程的惟一解为13246820.112127XA B同理(2) X=; (3) X=; (4) X=100 010 001 11 104 210 .034102 18. 设，,求.423 110 123 A=2AB = A+ BB【解】由 AB=A+2B 得(A 2E)B=A. 而223 10,1102 121 AE即 A 2E 可逆，故11223423 (2)110110121123143423386 .1531102961641232129 BAEA19. 设次多项式，记,m01( )m mf xaa xa x01( )m mfaaaAE