北京邮电大学出版社_线性代数习题答案.docx

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1、线性代数习题及答案(北京邮电大学出版社戴斌祥主)编习题(A类)1 .求下列各排列的逆序数. 341782659 ;(2)987654321 ;(3)。!).321 ；(4) 13.(2/71)(2/7)(2/7 2).2.【解】(1) 7(341782659)=11； 7(987654321)=36;(3) 一)321)3+2 1 尸号;(4) 7(13.(2/71)(2/7)(2/72).2)=0+1+.+(/71)+(/71 )+(/72)+.+1+0=/X1)-2 .求出j , k使9级排列24j157k98为偶排列。解:由排列为9级排列,所以j.k只能为3、6.由2排首位,逆序为0,4

2、的逆序数为0 , 1的 逆序数为3,7的逆序数为0 , 9的为0 , 8的为1.由0+0+3+0+1=4 .为偶数,若j=3,k=6 ,则 j的逆序为1 , 5的逆序数为, k的为1,符合题意;若j=6,k=3,则j的逆序为0 , 5的逆序数 为1 , k的为4 ,不符合题意.所以 j=3、k=6.3 .写出4阶行列式中含有因子a22a34的项。解：=(-1)%1%2旬3旬4由题意有:j2=2, j3=4.1243故 jJihk = J 24=132回Da 中含的 a22a34 项为:22a34a43 +(%13a22a34a艮卩为:一a“a22a34a43+43a22。34a4i4,在6阶行

3、列式中,下列各项应带什么符号?(1 ) a23a31442。56al4a65 ；解:。23。31。42。56。14。65 =。14。23。31。42。56。65因为 ?(431265) =6 , (-1尸431265)=(_ 1)6=1所以该项带正号。(2 )。32043|45166。25解:旳2a4344a51a66% =壁%。32a43a5M.因为 7(452316) = 8 , (-l)r(452316)=(-l)8 = l所以该项带正号。5 .用定义计算下列各行列式.0 2 0 010 0 100；(2)3 0 0 030 0 0 400I0 - 02 3 0002 - 00 2 0.

4、(3)0 4 5000 .n 0 0 11100 0【解】(1)6( 1)X2314)41=24;(2)812.(3)由题意知:=Tn.i =其余他=0所以D, = (T)”脑川勺2%3anjnnl=(-1)4q2a23aM. an-,na.r(23-nl) = n-l= (-l)n-1-l-23(n-l)-n6 .计算下列各行列式.2 14-13-12-12 3-20 6-2ab -ac -ae bd cd -de -bf -cf -efa -1 00 h -1 0(3)；0 1 c -10 0 1d5 0 6【解】01 2 35 0 6-22 3 43 4 14 1 21 2 31(2)

5、D = ahcdef -1-1-1 -11 -1 = -Aabcdef ;-1 -1b(3)0 = a 10d 0 1-1 +(-l)2 0 c-1 1 +-1+ cd +1 dabed + a/? + id + cd +1;102341023410234。+210341011-32011-3勺+10412丐F02-2-2G+00-44+Q101230-1-1-1000-4= 160.(4)D7 .证明下列各式.aab b(1) 2a a+b 2b =(a-bf ;1i1a(fl +1)-(fl + 2)(a + 3)b2S + l，(b + 22)(b + 3)2c2(c + 1)2(c +

6、 22)(c + 3)2d2(J + l)2(J + 22)(d + 3)2(3) 1 b b3 = (ah + be + ca) 1 b b10 =(ad-bc)n ;1n/=! ai 71+【证明】（1）(a + b)(a b) b(a-b) b2左如=2(a - b)a-b2b001=(a -b)2=(a-b)3 =右端(+。)(8)b(a-b)2(。一 b) a-b左端為 。3。Cd26a+ 9a266 + 9口626c+ 9Q一女2c26d+9d12a +1 4a + 426 + 1 46 + 42c+ 1 4c+ 42d + l 4d + 42a +1 226 + 1 22c +1

7、 22d + l 2f(x) =a2b2c2X3 a3 b3 c3=(xa)(x-b)(x - c)(q b)(a c)(h c)(3)首先考虑4阶范德蒙行列式:从上面的4阶范德蒙行列式知,多项式才的x的系数为(ab + be + ac)(a 一 b)(a c)(b c) = (ab + be + ac)但对(*)式右端行列式按第一行展开知x的系数为两者应相等,故1 a2 (-1),+, 1 b2 b31 c2 3(4)对。,按第一行展开,得-bd 00 c0 dc 0=ad %t)一 be- 025T)= (/-6c)D2(fl.1)据此递推下去,可得=(ad-bc)D2g广(ad - 6c

8、 鼠2)=(ad -6c)* D, = (ad -bc) (ad -be) =(ad -bc)nD2n = (ad -bcY.(5)对行列式的阶数/?用数学归纳法.当2时,可直接验算结论成立,假定对这样的n 1阶行列式结论成立,进而证明阶 数为时结论也成立.按,的最后一列,把为拆成两个阶行列式相加:1 + 01 - 11D =1 + a2 - 11+11 11q1 + 011 1011 + 2, ,1011 1 + %011 1a.但由归纳假设, 帛! !。二的2厂I i=l % 丿( 1 Dn = aa2 an- + anaa2 心I i=i ai )(、 ( I i+Z = i+z7 n

9、卬 i=i %丿i.丿廿8.计算下列阶行列式.x 1 11 x 1D. =11 Xa- y 0 - 0 0Oxy- 0 00 0 0- % yy 0 0 0 x1222222 2(2) Dn =2232222n210 00121 00(4) D =012 00000 21000 12【解】(1)各行都加到第一行,再从第一行提出x+(1),得Dn =% + (-1)将第一行乘（1）后分别加到其余各行,得)=x + (n-l)1x-1= (X + 7t-l)(X-l)n-1.x-1. =可F1111200020102002 00按第二行展开0 n-2200 =一2(一2)!.-2x y 00 0y

10、 0 0 0 00 x y 0 0x y 0 0=X: :+ y(-1 严0 x y 0 00 0 0 x y: :y 0 0 0 x0 0 0 x y=X x5T)+ y.(l)(+LyM-l)行列式按第一列展开后,得D,%”+(1严.2 1 0 0 02 0 0 0 00 1 01 2 1 0 01 2 1 0 01 2 10 1 2 0 00 1 2 0 00 1 2=+0 0 0 2 10 0 02 10 0 00 0 0 1 20 0 0 1 20 0 0(4) D,。 2 -2%0 00 00 02 11 2D,一D.1一-0“-2DDI=1(2-%) + + ( )= TD” -

11、 D = n - l, a = 1 + 2 = +1.9.计算阶行列式.【解】各列都加到第一列,再从第一列提出1 + 4,得将第一行乘（1）后加到其余各行,得1 a2 %(0102=1+。0 1i=l丿:：*00 000 = 1 + Qj .i=110.计算阶行列式（其中4。0,1 = 1,2,）.【解】行列式的各列提取因子“/（ = 1,2,然后应用范德蒙行列式.=3出产n Lljinui 丿它们的余子式依次为8,7,2,11.已知4阶行列式中第3列元素依次为1 ,2,0,1 10 ,求行列式的值。a解:D=的 31Qia2a22 a32 %2-120114a24a34a44,M|3=8,

12、M23=7, M33 = 2, M43=10O = Z(T)h%M3=(-1 尸3M3 + (1 产%3M23 + (T 严 a33M33 + (-1产3M43=(一 1)4 (一 1)8 + (-1)5 2 7 + (-1)6 2 + (1)7 1 10=8 14 10 = 32.12.用克拉默法则解方程组.4M + 5 =0, (1)J 13%- 7=2.玉一Z + x3 = 2, (2 ) 玉 + 2x2= 1,/1 一七=4.王+3 = 5,x2 + 2 尤3 + 3x4 = 3.5 尤1+ 6x2= 1,X1 + 5x2 + 6x3= 0,x2 + 5x3 + 6 =0, x3 +

13、5x4 + 6x5 = 0,x4 +5x5 = 1.【解】（1 ）因为为 + 5x2 = 03玉-7x2 = 2D=-7所以玉D _ 10 D43,x2%1 - x2 + x3 = 2(2)因为,苞 + 2x2【x3 = 4D=m+1(5 = 212.15072293779212X.=,=，X-, = , X =,九s =-I 665133 3 35 4133 5 6652X1 + A,x2 x3 = 1,13.满足什么条件时,线性方程组 一+七=2,有唯一解?4 +5x2 -5x3 = 32 2解:。=-14 5-112 /I-542-15= (2-1) 45 =52 + 4)要使方程组有唯

14、一解,必须W0 ,于是:（ 1）（5 + 4） w04解得:4 w 1,4 -54当/不等于1 , 时,方程组有唯一解。14.和何值时,齐次方程组+ 尤2 + 爲=0,玉+卩X? +冗3 = 0，%1 + 24 + 3 = 0有非零解?【解】要使该齐次方程组有非零解只需其系数行列式2 11! ! =0,1 2 !即;z(l-/l) = 0.故 =0或/1 = 1时,方程组有非零解.15.求三次多项式/(X)= &+。 +。2 +。,使得/(-I) = 0,/(l) = 4,/(2) = 3,/(3) = 16.【解】根据题意,得f (一1)即q + a, % =0；/(I) = & +q +a

15、) +% =4;/(2) =a0 + 2al + 4% + 8% = 3;/(3) = % +3% +9a2 +274 = 16.这是关于四个未知数为,小的个线性方程组,由于D = 48, Do = 336, 0, =0,Z)2 = -240, D3 = 96.故得 % = 7, at = 0, a2 = 5, a3 = 2于是所求的多项式为/(x) = 7-5+2(B类)1.已知阶行列式的每一列元素之和均为零,则=，a2a22a2nan an2 an5 1 2 33.写出行列式=x x 12的展开式中包含和的项。12x3x 1 2 2x2.0“1213l4222324= Z (-1尸的向明宀

16、34,4a32。33。343 423“44比较可得:只有当/3=1234时,才能出现项,当，2厶/4 =2134,4231时,为项,故。（中含项为:+10x4含项为:（川上。21a33a44+（-1）侬2422a33a41=一5。134,已知4阶行列式=112 3 43 4 45 6 71 2 2,441 + A42 + 3 + A,其中 ,( = L2,3,4)为行列式的第4行第/列的元素的代数余子式。13 解:因为=112 3 43 4 45 6 71 2 22 3 41 1 23 4 4ci+(-l)3 0 15 6 7/=2.3,41 4 51 1 11 0 0所以I + 2 +3 +

17、4 =3I1 =(-1 严 161 2=(-1)5 o 10 -335 l+i 111 =(-D5(-l)+1 厶=-(-6-(-3) = 35.解方程0.x a a；a故由=0可得:j 6.求出使一平面上三个点（X,必）,（,必），（，为）位于同一直线上的充分必要条件【解】设平面上的直线方程为ax+byc=O （a不同时为）按题设有ax + by + c = 0,4*0 且 AE(3)令 A则仁4匕但處5.计算:解:).(2 )令年cos。-sin。sin。cos8_sin。 cos。cos。-sin 6k(A为正整数),则当公2时,Di-cos。-sin。sin。cos。cos 202 s

18、in。cos-2 sin。cos。cos 26cos 20sin 2。-sin 20 cos 2。、cos mO si设D一 sin m。ccos m0 sir D仆F-sin mO con冶亠亠成立,则jsm0_m0 cos 0smO |_-sinsin。cos 0cos 机。cos 0 - sin m3 sin 3 sin 3 cos m3 + cos 3 sin m3-sin m3 cos -cosm(9sin 3 cos m3 cos 6 sin 加 sin6cos (/n +1)/9sin(m+ 1)。-sin(m + l) cos(，” + l)6(3)令D就cos。-sin。si

19、n。cos。cos e-sink。sin cos 女。当心2时,有:a=Drry-1mA1kA6.设 A =-a(A为正整数),则12ZmA10(m +1)2 1-c-d,求|A|.解:由已知条件,A的伴随矩阵为A* = -(a2 +b2 +c2 +d2)ad= _(42 +h2 +c2 +d2)A又因为A*A = |A|E,所以有 -(a2 +b2 +c2 +d2)A2 = |A|E,且同0 ,-(a2+b2+c2 + d2)A2 = (a2+b2+c2+d2)4AA = |A|4|E|A| = ,(00100o-(4)120021301214_qblGa2b2c2qbyCy-0 C2 3c

20、l0000 c2 2b2 - 3c2二2a32b32c30 c3 2b3 - 3c3 _a2 - 3%3b3c 3。3由此又可得q = 0,243 = 0,2q = 0,出3% = 0， c2 = 2b3q - b2 -34, 2b2 -3c2 - 2c3, 2b3c = C 一 3c,所以%00即与可交换的一切方阵为02b0b、 3b3% = % =q = 0, c2 2b3, C3 =b-, 3 3.其中q,也为任意数.13.求下列矩阵的逆矩阵.【解】(1)5-2(2)1 -2 10 1 -20 011-12 607-7 4 -16-32 14 -2121200_ 1丄0263丄_5_J_

21、丄_ 824-124.00014.利用逆矩阵,解线性方程组K015.证明下列命题:（1）若,8是同阶可逆矩阵,则（48）*=夕4. 若可逆,则.可逆且（力.）1=（力1 ） *.若则（力厂=（力）1.【证明】（1 ）因对任意方阵c ,均有c*c=c=岡,而,8均可逆且同阶,故可得=（功8力）=（力5） 力（88）力，14*0,6*0,(AS) =SA(2)由于仁故=|44从而(4=|”(4 1) 1=|4 %.于是A (A 1)*= 1刊| %=所以 =(4) 1.(3)因AA=E,故A可逆且A 1=4由(4) 1=(4 1) ,得(4).)*=(4).16.已知线性变换X =2)1+2% +

22、 %(工？ =3%+必+5, /3=3%+2% + 3%，求从变量再,3到变量M，必，%的线性变换.【解】已知-7 -4 9 YAX 63 -7 X,32-4所以从变量,爲到变量扌,%，的线性变换为1=-7%1 -4x2 +9x3,y2 - 6X| +3x2 -7x3,y3 =3玉 +2x2 -4x3,17.解下列矩阵方程.1 2(1)13-61-10111-1-1011-142_2-1(4)-40-23-10【解】(1)令=B=-613-1-21故原方程的惟解为X = AB18.设 A =3 一2441-1-618-2-2071,4-1300-4-2,A3 = 4 + 23,求 B.【解】由

23、8=4+28得(4 2E)B=A.2 A-2E= 1 -12 3-1 0 =-10,2 1即Z 2f可逆,故3 8 62 -9 -6-2 12 923-1一4-10121-123 = (A-2E)= 1-12 31 02 319.设加次多项式，(x) = Qo+%x +。”,记/(4)=劭 + %4 + 4,4 ,/(A) 称为方阵4的加次多项式.4(1)4=,证明,片/一/(A)(2)设 =尸名尸,证明=屋尸1 , f(B) = Pf(A)P-l.【证明】=40 a3= 4 即A=2和公3时,结论成立. 下 一今假设0a那么“4 = 1叫4 00片0所以,对一切自然数,都有屋二0才而f(A)

24、 = a0E + alA + - + amA141_ijLL4十14 + +q 川 4”000 + q+品=(4) )由与尸得B=PAP 1.且印二(PAP 1)*= PAkP *又f(B) = a0E + aB+- + amB,n=&E + qPAP + + amPAmp-=P(a0E + % A + + amA)P-= Pf(A)p-.-i _41r_! 20.设 pT4P = /.其中尸=,A=,求 A?11 JL0 2_【解】因PT可逆,且尸7 =J. 13 -14-1,故由 = p/pT建=(尸/尸=尸(。)尸-111 jlooT-1 -41F1 01 1 J|_0 21043丄-3

25、1 i33! 丄一3 31P-1 + 212 -4 + 212l_F1365 13645|_ 1-2104-210 J-|_-341 -34021 .设阶方阵4的伴随矩阵为A* ,证明:(1)若 | A | = 0 ,则 | A* | = 0 ；(2)“4I1=,由此又得【证明】(1 )若囲1=0 ,则必有同=0 ,因若I A|*0 ,则有明(4)AAEAA A 1=14(4) 1=0,这与I A性是矛盾的,故当=0 ,则必有|升=0.(2)由4=|4|,两边取行列式,得HII 川=1,若|件,则| 4冃| 1若|4|=0,由(1)知也有=| 1.22 .设求 AB ; (2) BA ; (3

26、) A- ； (4) | A心(为正整数).A-12320001090000461300329(1)AB =1-200-250000-23005-719 8 0030 13 00(2) BA =0 0 33 140 0 52 22（4）|町=（球.23.用矩阵分块的方法,证明下列矩阵可逆,并求其逆矩阵.1 2 02 5 0 (1)0030 0 0 0 0 0-2 0 10 2 0 (3) 0 0 10 0 00 0 00 00 00 01 00 10 2,1 30 01 00 1(2)002-20 3-10 2 11 0 03 0 0【解】（1）对做如下分块其中r ,3 0 01 2A =； A, = 0 1 012 5A,的逆矩阵分别为所以可逆,且A a2A-A；1-2同理(2)A-A.A；1A2丄00-12211_3002-2-2001000001000