2023年第一章《勾股定理》全章.pdf

《2023年第一章《勾股定理》全章.pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2023年第一章《勾股定理》全章.pdf（13页珍藏版）》请在得力文库 - 分享文档赚钱的网站上搜索。

1、学习必备 欢迎下载 第一章 勾股定理 1.1.1 探索勾股定理（一）学习目标：1了解勾股定理的发现过程，掌握勾股定理的内容，会用面积法证明勾股定理。2培养在实际生活中发现问题总结规律的意识和能力。3介绍我国古代在勾股定理研究方面所取得的成就，激发学生的爱国热情，促其勤奋学习。学习重点：勾股定理的内容及证明。学习难点：勾股定理的证明。学习过程：一、自主学习 画一个直角边为 3cm和 4cm的直角ABC，用刻度尺量出 AB的长。（勾 3，股 4，弦 5）。以上这个事实是我国古代 3000 多年前有一个叫商高的人发现的，他说：“把一根直尺折成直角，两段连结得一直角三角形，勾广三，股修四，弦隅五。”这

2、句话意思是说一个直角三角形较短直角边（勾）的长是 3，长的直角边（股）的长是 4，那么斜边（弦）的长是5。再画一个两直角边为 5 和 12 的直角ABC，用刻度尺量 AB的长。你是否发现 32+42与 52的关系，52+122和 132的关系，即 32+42_52，52+122_132，那么就有_2+_2=_2。(用勾、股、弦填空)对于任意的直角三角形也有这个性质吗？勾股定理内容 文字表述：几何表述：二、交流展示 例 1、已知：在ABC中，C=90，A、B、C的对边为 a、b、c。求证：a2b2=c2。分析：准备多个三角形模型，利用面积相等进行证明。拼成如图所示，其等量关系为：4S+S小正=S

3、大正 abcc学习必备 欢迎下载 即 421 2c2,化简可证。发挥学生的想象能力拼出不同的图形，进行证明。勾股定理的证明方法，达 300 余种。这个古老而精彩的证法，出自我国古代无名数学家之手。激发学生的民族自豪感，和爱国情怀。例 2 已知：在ABC中，C=90，A、B、C的对边为 a、b、c。求证：a2b2=c2。分析：左右两边的正方形边长相等，则两个正方形的面积相等。左边 S=_ 右边 S=_ 左边和右边面积相等，即 _ 化简可得 _ 三、合作探究 1已知在 RtABC中，B=90，a、b、c 是ABC的三边，则 c=。（已知 a、b，求 c）a=。（已知 b、c，求 a）b=。（已知

4、a、c，求 b）2如下表，表中所给的每行的三个数 a、b、c，有 abc，试根据表中已有数的规律，写出当 a=19 时，b，c 的值，并把 b、c 用含 a 的代数式表示出来。3、4、5 32+42=52 5、12、13 52+122=132 7、24、25 72+242=252 9、40、41 92+402=412 19，b、c 192+b2=c2 3ABC的三边 a、b、c，（1）若满足 b2=a2c2，则 =90；bbbbccccaaaabbbbaaccaa就激发学生的爱国热情促其勤奋学习学习重点勾股定理的内容及证明学一根直尺折成直角两段连结得一直角角形勾广股修四弦隅五这句话意思么就有用

5、勾股弦填空对于任意的直角角形也有这个性质吗勾股定理内容学习必备 欢迎下载（2）若满足 b2c2a2，则B是 角；（3）若满足 b2c2a2，则B是 角。四、达标测试 1一个直角三角形，两直角边长分别为 3 和 4，下列说法正确的是()2斜边长为 25 B三角形的周长为 25 C斜边长为 5 D三角形面积为 20 3一直角三角形的斜边长比一条直角边长多 2，另一直角边长为 6，则斜边长为（）A4 B8 C10 D12 4直角三角形的两直角边的长分别是 5 和 12，则其斜边上的高的长为（）A6 B8 C1380 D1360 5、已知，如图 1-1-5，折叠长方形（四个角都是直角，对边相等）的一边

6、AD使点D落在BC边的点F处，已知AB=8cm，BC=10cm，求 CF CE 1.1.2探索勾股定理（二）ABCDEF图 1-1-5 就激发学生的爱国热情促其勤奋学习学习重点勾股定理的内容及证明学一根直尺折成直角两段连结得一直角角形勾广股修四弦隅五这句话意思么就有用勾股弦填空对于任意的直角角形也有这个性质吗勾股定理内容学习必备 欢迎下载 ACBD 教学目标：1会用勾股定理进行简单的计算。2 树立数形结合的思想、分类讨论思想。重难点：1重点：勾股定理的简单计算。2 难点：勾股定理的灵活运用。一、自主学习 1勾股定理的具体内容是：。2如图，直角ABC的主要性质是：C=90，（用几何语言表示）两锐

7、角之间的关系：；若 D为斜边中点，则斜边中线与斜边的关系：；若B=30，则B的对边和斜边的关系：；三边之间的关系：。二、交流展示 例 1、在 RtABC，C=90 已知 a=b=5,求 c。已知 a=1,c=2,求 b。已知 c=17,b=8,求 a。已知 a：b=1：2,c=5,求 a。已知 b=15，A=30，求 a，c。分析：刚开始使用定理，让学生画好图形，并标好图形，理清边之间的关系。已知_边，求_边,直接用_定理。已知_边和_边，求_边，用勾股定理的变形式。已知一边和两边比，求未知边。通过前三题让学生明确在直角三角形中，已知任意两边都可以求出第三边。后两题让学生明确已知一边和两边关系

8、，也可以求出未知边，学会见比设参的数学方法，体会由角转化为边的就激发学生的爱国热情促其勤奋学习学习重点勾股定理的内容及证明学一根直尺折成直角两段连结得一直角角形勾广股修四弦隅五这句话意思么就有用勾股弦填空对于任意的直角角形也有这个性质吗勾股定理内容学习必备 欢迎下载 D C B A A关系的转化思想。例 2、已知直角三角形的两边长分别为 5 和 12，求第三边。分析：已知两边中较大边 12 可能是直角边，也可能是斜边，因此应分两种情况分别进形计算。让学生知道考虑问题要全面，体会分类讨论思想。三、合作探究 例 3、已知：如图，等边ABC的边长是 6cm。求等边ABC的高.求 SABC。分析：勾股

9、定理的使用范围是在_三角形中，因此注意要 创造_三角形，作_是常用的创造_三角形的辅助线做法。欲求高 CD，可将其置身于 RtADC或 RtBDC中。四、达标测试 1填空题 在 RtABC，C=90，a=8，b=15，则 c=。在 RtABC，B=90，a=3，b=4，则 c=。在 RtABC，C=90，c=10，a：b=3：4，则 a=，b=。一个直角三角形的三边为三个连续偶数，则它的三边长分别为 。已知直角三角形的两边长分别为 3cm和 5cm，则第三边长为 。已知等边三角形的边长为 2cm，则它的高为 ，面积为 。2已知：如图，在ABC中，C=60，AB=34，AC=4，AD是 BC边上

10、的高，求 BC就激发学生的爱国热情促其勤奋学习学习重点勾股定理的内容及证明学一根直尺折成直角两段连结得一直角角形勾广股修四弦隅五这句话意思么就有用勾股弦填空对于任意的直角角形也有这个性质吗勾股定理内容学习必备 欢迎下载 的长。3已知：如图，四边形 ABCD 中，AD BC，AD DC，AB AC，B=60，CD=1cm，求 BC的长。1.2 一定是直角三角形吗？教学目标 1体会勾股定理的逆定理得出过程，掌握勾股定理的逆定理。2探究勾股定理的逆定理的证明方法。3理解原命题、逆命题、逆定理的概念及关系。重难点 1重点：掌握勾股定理的逆定理及证明。2难点：勾股定理的逆定理的证明。一、自主学习 1.说

11、出下列命题的逆命题，这些命题的逆命题成立吗？同旁内角互补，两条直线平行。如果两个实数的平方相等，那么两个实数平方相等。线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等。BCDA就激发学生的爱国热情促其勤奋学习学习重点勾股定理的内容及证明学一根直尺折成直角两段连结得一直角角形勾广股修四弦隅五这句话意思么就有用勾股弦填空对于任意的直角角形也有这个性质吗勾股定理内容学习必备 欢迎下载 abcabBCAA1C1B1 直角三角形中 30角所对的直角边等于斜边的一半。2.勾股定理的逆定理 _ 小结注：(1)每一个命题都有逆命题.(2)一个命题的逆命题是否成立与原命题是否成立没有因果关系.(3)每个定理都有逆命题

12、，但不一定都有逆定理.二、交流展示 例 1（P32 探究）证明：如果三角形的三边长 a，b，c 满足 a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形。例 2：判断由线段 a,b,c组成的三角形是不是直角三角形：(理解勾股数)（1）a=15,b=8,c=17.（2）a=13,b=14,c=15.运用勾股定理的逆定理判定一个三角形是否是直角三角形的一般步骤：先判断那条边最大。分别用代数方法计算出 a2+b2和 c2的值。判断 a2+b2和 c2是否相等，若相等，则是直角三角形；若不相等，则不是直角三角形。三、合作探究 例 3、已知：在ABC中，A、B、C的对边分别是 a、b、c，a=n21，b=2n

13、，就激发学生的爱国热情促其勤奋学习学习重点勾股定理的内容及证明学一根直尺折成直角两段连结得一直角角形勾广股修四弦隅五这句话意思么就有用勾股弦填空对于任意的直角角形也有这个性质吗勾股定理内容学习必备 欢迎下载 c=n21（n1）求证：C=90。四、达标测试 1填空题。任何一个命题都有 ，但任何一个定理未必都有 。“两直线平行，内错角相等。”的逆定理是 。在ABC中，若 a2=b2c2，则ABC是 三角形，是直角；若 a2b2c2，则B是 。若在ABC中，a=m2n2，b=2mn，c=m2n2，则ABC是 三角形。(5)ABC的三边之比是 1：1：2，则ABC是_三角形。2ABC中A、B、C的对边

14、分别是 a、b、c，下列命题中的假命题是（）A如果CB=A，则ABC是直角三角形。B如果 c2=b2a2，则ABC是直角三角形，且C=90。C如果（ca）（ca）=b2，则ABC是直角三角形。D如果A：B：C=5：2：3，则ABC是直角三角形。3下列四条线段不能组成直角三角形的是（）Aa=8，b=15，c=17 Ba=9，b=12，c=15 Ca=5，b=3，c=2 Da：b：c=2：3：4 4已知：在ABC中，A、B、C 的对边分别是 a、b、c，分别为下列长度，判断该三角形是否是直角三角形？并指出那一个角是直角？a=3，b=22，c=5；a=5，b=7，c=9；a=2，b=3，c=7；a=

15、5，b=62，c=1。(5)a=5k，b=12k，c=13k（k0）。1.3 勾股定理的应用（1）就激发学生的爱国热情促其勤奋学习学习重点勾股定理的内容及证明学一根直尺折成直角两段连结得一直角角形勾广股修四弦隅五这句话意思么就有用勾股弦填空对于任意的直角角形也有这个性质吗勾股定理内容学习必备 欢迎下载 教学目标 1灵活应用勾股定理及逆定理解决实际问题。2进一步加深性质定理与判定定理之间关系的认识。重难点 1重点：灵活应用勾股定理及逆定理解决实际问题。2难点：灵活应用勾股定理及逆定理解决实际问题。一、自主学习 1、若三角形的三边是 1、3、2；51,41,31；32，42，52 9，40，41；

16、（m n）21，2（m n），（m n）21；则构成的是直角三角形的有（）A2 个 B个 个 个 2、已知：在ABC中，A、B、C的对边分别是 a、b、c，分别为下列长度，判断该三角形是否是直角三角形？并指出那一个角是直角？a=9，b=41，c=40；a=15，b=16，c=6；a=2，b=32，c=4；二、交流展示 例 1（P33 例 2）某港口 P 位于东西方向的海岸线上.“远航”号、“海天”号轮船同时离开港口，各自沿一固定方向航行，“远航”号每小时航行 16 海里，“海天”号每小时航行 12 海里，它们离开港口一个半小时后分别位于 Q、R处，并相距 30 海里.如果知道“远航”号沿东北方

17、向航行，能知道“海天”号沿哪个方向航行吗？分析：了解方位角，及方位名词；依题意画出图形；依题意可求 PR，PQ，QR；根据勾股定理 的逆定理，求QPR；求RPN。ENRPQ海天号远航号2 1海岸线就激发学生的爱国热情促其勤奋学习学习重点勾股定理的内容及证明学一根直尺折成直角两段连结得一直角角形勾广股修四弦隅五这句话意思么就有用勾股弦填空对于任意的直角角形也有这个性质吗勾股定理内容学习必备 欢迎下载 ABCD 小结：让学生养成“已知三边求角，利用勾股定理的逆定理”的意识。例 2、一根 30 米长的细绳折成 3 段，围成一个三角形，其中一条边的长度比较短边长7 米，比较长边短 1 米，请你试判断这

18、个三角形的形状。分析：若判断三角形的形状，先求三角形的三边长；设未知数列方程，求出三角形的三边长；根据勾股定理的逆定理，判断三角形是否为直角三角形。三、合作探究 例 3如图，小明的爸爸在鱼池边开了一块四边形土地种了一些蔬菜，爸爸让小明计算一下土地的面积，以便计算一下产量。小明找了一卷米尺，测得 AB=4 米，BC=3米，CD=13米，DA=12米，又已知B=90。四、达标测试 1一根 24 米绳子，折成三边为三个连续偶数的三角形，则三边长分别为 ，此三角形的形状为 。2小强在操场上向东走 80m后，又走了 60m，再走 100m回到原地。小强在操场上向东走了 80m后，又走 60m的方向是 。

19、3一根 12 米的电线杆 AB，用铁丝 AC、AD固定，现已知用去铁丝 AC=15米，AD=13米，又测得地面上 B、C两点之间距离是 9 米，B、D两点之间距离是 5 米，则电线杆和地面是否垂直，为什么？4如图，在我国沿海有一艘不明国籍的轮船进入我国海域，我海军甲、乙两艘巡逻艇立即从相距 13 海里的 A、B两个基地前去拦截，六分钟后同时到达 C地将其拦截。已知甲巡逻艇每小时航行 120 海里，乙巡逻艇每小时航行 50 海里，航向为北偏西 40，问：DCABC N 就激发学生的爱国热情促其勤奋学习学习重点勾股定理的内容及证明学一根直尺折成直角两段连结得一直角角形勾广股修四弦隅五这句话意思么就

20、有用勾股弦填空对于任意的直角角形也有这个性质吗勾股定理内容学习必备 欢迎下载 甲巡逻艇的航向？1.3 勾股定理的应用（2）学习目标：1会用勾股定理解决简单的实际问题。2树立数形结合的思想。重点：勾股定理的应用。难点：实际问题向数学问题的转化。学习过程：一、自主学习 填空:在 RtABC，C=90，如果 a=7，c=25，则 b=。如果A=30，a=4，则 b=。如果A=45，a=3，则 c=。如果 c=10，a-b=2，则 b=。如果 a、b、c 是连续整数，则a+b+c=。如果b=8，a：c=3：5，则 c=。二、交流展示 例 1（教材 P25 页例 1）分析：在实际问题向数学问题的转化过程

21、中，注意勾股定理的使用条件，即门框为长方形，四个角都是直角。探讨图中有几个直角三角形？图中标字母的线段哪条最长？指出薄木板在数学问题中忽略厚度，只记长度，探讨以何种方式通过？转化为勾股定理的计算，采用多种方法。小结深化数学建模思想，激发兴趣。DABC就激发学生的爱国热情促其勤奋学习学习重点勾股定理的内容及证明学一根直尺折成直角两段连结得一直角角形勾广股修四弦隅五这句话意思么就有用勾股弦填空对于任意的直角角形也有这个性质吗勾股定理内容学习必备 欢迎下载 30ABCACBRPQ三、合作探究 例 2（教材 P25 页例 2）如图，一个 3 米长的梯子AB，斜靠在一竖直的墙AO上，这时AO的距离为 2

22、.5 米如果梯子的顶端A沿墙下滑 0.5 米，那么梯子底端B也外移 0.5 米吗？（计算结果保留两位小数）分析：要求出梯子的底端B是否也外移 0.5 米，实际就是求BD的长，而BD=OD-OB 四、达标测试 1小明和爸爸妈妈十一登香山，他们沿着 45 度的坡路走了 500 米，看到了一棵红叶树，这棵红叶树的离地面的高度是 米。2如图，山坡上两株树木之间的坡面距离是 43米，则这两株树之间的垂直距离是 米，水平距离是 米。3如图，一根 12 米高的电线杆两侧各用 15 米的铁丝固定，两个固定点之间的距离是 。2 题图 3题图 4题图 5题图 4如图，欲测量松花江的宽度，沿江岸取 B、C 两点，在

23、江对岸取一点 A，使 AC垂直江岸，测得 BC=50米，B=60，则江面的宽度为 。5一根 32 厘米的绳子被折成如图所示的形状钉在 P、Q两点，PQ=16厘米，且 RPPQ，则 RQ=厘米。6有一个边长为 1 米正方形的洞口，想用一个圆形盖去盖住这个洞口，则圆形盖半径至少为 米。7如图，原计划从 A地经 C 地到 B 地修建一条高速公路，后因技术攻关，可以打隧道由 A地到 B地直接修建，已知高速公路一公里造价为 300 万元，隧道总长为 2 公里，隧道造价为 500 万元，AC=80公里，BC=60公里，则改建后可省工程费用是多少？O B D CA C A O B O D 就激发学生的爱国热情促其勤奋学习学习重点勾股定理的内容及证明学一根直尺折成直角两段连结得一直角角形勾广股修四弦隅五这句话意思么就有用勾股弦填空对于任意的直角角形也有这个性质吗勾股定理内容学习必备 欢迎下载 CAB 8如图，钢索斜拉大桥为等腰三角形，支柱高 24 米，B=C=30，E、F分别为 BD、CD中点，试求 B、C两点之间的距离，钢索 AB和 AE的长度。（精确到 1 米）ACBDEF就激发学生的爱国热情促其勤奋学习学习重点勾股定理的内容及证明学一根直尺折成直角两段连结得一直角角形勾广股修四弦隅五这句话意思么就有用勾股弦填空对于任意的直角角形也有这个性质吗勾股定理内容