2022年第一章《勾股定理》教案 .pdf

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1、名师精编优秀教案1.1、探索勾股定理（一）一、教学目标1、知识与技能：探索并理解直角三角形的三边之间的数量关系，进一步发展学生的说理和简单推理的意识及能力。2、过程与方法：经历用数格子的办法探索勾股定理的过程，进一步发展学生的合情推理意识，主动探究的习惯，进一步体会数学与现实生活的紧密联系。3、情感态度与价值观：培养数形结合的思想，体会数学与现实生活的紧密联系。二、教学重点、难点重点：了解勾股定理的由来并能用它解决一些简单问题。难点：勾股定理的发现，领会其内涵。三、教学方法：猜想、验证法四、教学手段：多媒体、三角尺五、教学过程：（一） 、创设问题的情境，激发学生的学习热情：我们知道，任意三角形

2、的三条边必须满足定理：三角形的两边之和大于第三边。对于等腰三角形和等边三角形的边，除满足三边关系定理外，它们还分别存在着两边相等和三边相等的特殊关系。那么对于直角三角形的边， 除满足三边关系定理外，它们之间也存在着特殊的关系，这就是我们这一节要研究的问题：勾股定理。出示投影1（章前的图文 P1 ）我国是最早了解勾股定理的国家之一介绍商高（三千多年前周期数学家）。出示投影2。 （书中P2 图 1 一 2）并回答：1、观察图1 一 2，正方形A 中有个小方格，即A 的面积为个面积单位。正方形B 中有个小方格即B 的面积为个面积单位。正方形C 中有个小方格，即C 的面积为个面积单位。2、你是怎样得出

3、上面结果的？在学生交流回答的基础上教师接着发问。3、图l 一 2 中， A、 B、C 之间的面积之间有什么关系？在学生交流后形成共识老师板书。A + B C ，接着提出图1 一 1 中 A、B、C 的关系呢？（二）、做一做出示投影3（书中 P3 图 1 一 3，图 1一 4 ) 提问：1、图 1 一 3 中， A 、B、C 之间有什么关系？2、图 1 一 4 中， A 、 B 、C 之间有什么关系？3、 从图 1 一 l 、 1 一 2 、1 一 3 、l 一 4 中你发现了什么？在学生讨论、交流形成共识后，老师总结：以直角三角形两直角边为边的正方形面积和，等于以斜边为边的正方形面积。（三）、

4、议一议1、图 1 一 1、1 一 2、1 一 3、1 一 4 中，你能用三角边的边长表示正方形的面积吗？2、你能发现直角三角形三边长度之间的关系吗？在同学的交流基础上，老师板书：直角三角边的两直角边的平方和等于斜边的平方。这就是著名的“勾股定理”。也就是说：如果直角三角形的两直角边为a、b，斜边为c。那么222cba我国古代称直角三角形的较短的直角边为勾，较长的直角边为股，斜边为弦，这就是勾股定理的由来3、分别以 5 厘米和 12 厘米为直角边作出一个直角三角形，并测量斜边的长度 （学生测量后回答斜边为13）请大家想一想（2）中的规律对这个三角形仍然成立吗？（回答是肯定的：成立。）4， （想一

5、想）：这里的 29 英寸（ 74 厘米）的电视机，指的是屏幕的长吗？指的屏幕的宽吗？那它指的是什么呢？（四）分层教学，拓展资源基础训练1为迎接新年的到来，同学们做了许多拉花布置教室，准备召开新年晚会，小刚搬来一架高为2.5 米的木梯，准备把拉花挂到2.4 米的墙上，则梯脚与墙角的距离应为米2如图，小张为测量校园内池塘A，B 两点的距离，他在池塘边选定一点C，使 ABC 90，并测得AC 长 26m，BC 长 24m，则 A，B 两点间的距离为mCBA精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 11 页名师精编优秀教案3如图，阴影部分

6、是一个半圆，则阴影部分的面积为 （不取近似值）4底边长为16cm，底边上的高为6cm 的等腰三角形的腰长为cm5一艘轮船以16km/h 的速度离开港口向东北方向航行，另一艘轮船同时离开港口以12km/h 的速度向东南方向航行，它们离开港口半小时后相距km提高训练6一个长为10m 为梯子斜靠在墙上，梯子的顶端距地面的垂直高度为8m，梯子的顶端下滑2m 后，底端滑动m7如图所示的图形中，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边长为7cm，则正方形A，B，C，D 的面积的和是cm28已知 Rt ABC 中， C 90，若14bacm，10ccm，则 RtABC 的面积

7、为（） （A）24cm2（B）36cm2（C）48cm2（ D） 60cm29如图，分别以直角三角形的三边为边长向外作正方形，然后分别以三个正方形的中心为圆心，正方形边长的一半为半径作圆，记三个圆的面积分别为S1，S2，S3，则 S1， S2， S3之间的关系是（） （A）321SSS（B）321SSS（C）321SSS（D）无法确定10暑假中，小明和同学们到某海岛去探宝旅游，按照如图所示的路线探宝 . 他们登陆后先往东走8km，又往北走2km，遇到障碍后又往西走 3km，再折向北走6km 处往东一拐，仅走1km 就找到了宝藏，则登陆点到埋宝藏点的直线距离为km知识拓展11如图，已知直角ABC

8、 的两直角边分别为6， 8，分别以其三边为直径作半圆，求图中阴影部分的面积12如图，有一块直角三角形纸片，两直角边AC6cm，BC8cm，现将直角边AC 沿直线 AD 折叠，使它恰好落在斜边AB 上，且与AE 重合，求CD 的长（四）、巩固练习精选练习，掌握应用：勾股定理的应用是本节教学的重点，一定要让学生熟练地掌握在直角三角形中已知两边求第三边的方法，为此，可设计下列三组具有梯度性的练习：练习 1(填空题 ) 321SSS32168埋宝藏点登陆点7cmDACB86CBABACDE257精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 1

9、1 页名师精编优秀教案已知在 RtABC中， C=90。若 a=3，b=4，则 c=_；若 a=40，b=9，则 c=_；若 a=6，c=10，则 b=_；若 c=25，b=15，则 a=_。练习 2(填空题 ) 已知在 RtABC中， C=90， AB=10 。若 A=30，则 BC=_，AC=_ ；若 A=45，则 BC=_，AC=_ 。练习 3 已知等腰三角形ABC的边长分别是AB=AC=5cm 、BC=6cm 。求：(1)BC 边的高 AD的长；(2) ABC的面积ABCS。六、作业布置：1、课本P6 习题 1.1 2 、 3、4 七、板书设计：八、教学反思：1.1、探索勾股定理（二）

10、一、教学目标1、知识与技能：掌握勾股定理和它的简单应用。2、过程与方法：经历运用拼图的方法说明勾股定理是正确的过程，进一步掌握勾股定理。3、情感态度与价值观：在数学活动中发展学生的探究意识和合作交流的习惯。二、教学重点、难点重点：能熟练应用拼图法证明勾股定理难点：用面积证勾股定理三、教学方法：计算 -推理 -验证四、教学手段：多媒体五、教学过程：（一） 、创设问题情境，激发学生学习热情，导入课题我们已经通过数格子的方法发现了直角三角形三边的关系，究竟是几个实例，是否具有普遍的意义，还需要加以论证，下面就是今天所要研究的内容，下边请大家画四个全等的直角三角形，并把它剪下来，用这四个直角三角形拼一

11、拼、摆一摆， 看看能否得到一个含有以斜边c 为边长的正方形，并与同学们交流。在同学操作的过程中，教师展示投影1（书中 P7 图 1 7）接着提问：大正方形的面积可表示为什么？同学们回答有两种可能： （1）2)(ba（2）2421cab在同学交流形成共识后教师把这两种表示大正方形面积的式子用等号连接起来。22421)(cabba请同学们对上式进行化简，得到：22222cabbaba即222cba这就可以从理论上说明了勾股定理存在。请同学们回去用别的拼图方法说明勾股定理。（二） 、讲解例题精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 11

12、 页名师精编优秀教案例 1、飞机在空中水平飞行，某一时刻刚好飞到一个男孩头顶正上方4000 米处，过了20 秒，飞机距离这个男孩头顶5000 米，飞机每时飞行多少千米？分析：根据题意， 可以先画出符合题意的图形。如右图， 图中 ABC的 C 90，AC = 4000 米， AB=5000 米欲求飞机每时飞行多少千米，就要知道20 秒时间里飞行的路程， 即图中的CB 的长，由于ABC 的斜边 AB =5000 米， AC= 4000 米，这样BC 就可以通过勾股定理得出，这里一定要注意单位的换算。解：由勾股定理得)(945222222千米ACABBC即 BC=3 千米飞机20 秒飞行 3 千米那

13、么它l 小时飞行的距离为：5403203600（千米时）答：飞机每小时飞行540 千米。（三） 、议一议：展示投影2（书中图19)观察上图应用数格子方法判断图中的三角形的三边长是否满足222cba同学在议论交流形成共识后，老师总结。勾股定理存在于直角三角形中，不是直角三角形就不能使用勾股定理。（四）分层教学根据本班学生及教学情况可在教学过程中选择下述内容进行补充或拓展. 基础训练1若 ABC 中， C=90， （1）若 a=5，b=12，则 c= ； （2）若 a=6，c=10，则 b= ；（3）若 a b=3 4，c=10，则 a= ， b= . 2某农舍的大门是一个木制的矩形栅栏，它的高为

14、2m，宽为 1.5m，现需要在相对的顶点间用一块木棒加固，木板的长为.3直角三角形两直角边长分别为5cm，12cm，则斜边上的高为. 4等腰三角形的腰长为13cm，底边长为10cm，则面积为（） A30 cm2 B130 cm2 C120 cm2 D60 cm2 提高训练5轮船从海中岛A 出发，先向北航行9km，又往西航行9km，由于遇到冰山，只好又向南航行4km，再向西航行6km，再折向北航行2km，最后又向西航行9km，到达目的地B，求 AB 两地间的距离 . 6一棵 9m 高的树被风折断，树顶落在离树根3m 之处，若要查看断痕，要从树底开始爬多高？知识拓展7折叠长方形ABCD 的一边 A

15、D ，使点 D 落在 BC 边的 F 点处，若AB=8cm ，BC=10cm ，求 EC 的长. 六、作业布置：1、 习题 1.2 1、2。七、板书设计：课题（一） . (二)八、教学反思：ECFBDA精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 11 页名师精编优秀教案青出朱方青方朱入朱出青入青入青出青出A B C E D F G H I 1.1、探索勾股定理（ 3）一、教学目标1.掌握勾股定理 ,运用适当的剪切、拼接等方法验证勾股定理. 2.运用勾股定理解决一些实际问题. 3 通过用不同的方法验证勾股定理.培养学生的创新能力和解决

16、实际问题的能力. 4.在观察、讨论的过程中 ,鼓励学生大胆联想 ,培养学生数形结合的意识 . 5.通过对”青朱出入图”的学习,对学生进行爱国主义教育 . 二、教学重、难点重点：勾股定理的验证及其应用. 难点：勾股定理的验证三、教学方法：四、教学手段： 多媒体五、教学设计 : 一.导入新课我们已经通过测量、数格子和图形割补等方法发现 :图中两个小正方形的面积之和恰好等于大正方 形 的 面积,那么,我们能否将这个大正方形通过适当的剪切后 再 拼 接成两个小的正方形.(课件显示教材第 12 页图 1-10) 在学生观察思考的基础上给出下面的方法: 我们将图中的两个小正方形分别翻折过来,得到下图 .(

17、课件显示教材第12 页图 1-11).在左下图中 ,大正方形和两个小正方形有很多重叠的部分,你能将两个小正方形中多出的部分剪下正好补到大正方形上去吗? （二）相关资料介绍这就是历史上有名的”青朱出入图”.刘徽在他的中给出了注解 , 依其面积关系有a2+b2=c2”青朱出入图”不用运算,单靠移动几块图形就直观地证出了勾股定理 ,真是”无字的证明”精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 11 页名师精编优秀教案a C b abcabc下面我们就一起去体验一下这个”无字证明”吧!也许我们还能创造出多种多样的”无字证明”呢 ! （三）

18、.做一做(1)任作一个 RtABC, 如图,以其斜边 AB为边向直角顶点 C所在一侧作正方形ABDE. 延长 BC 交 DE于 F;过 D作 BF的垂线 DG,G为垂足 ;在线段 CA上截取 CH等于 BC; 过 H作 AC的垂线 HI,交AB于 I,沿这些线将正方形剪开 ,就得到了一副五巧板 . (2)取两副五巧板 ,将其中的一副拼成一个以C 为边长的正方形 ;将另一副拼成两个边长分别为 a,b的正方形 . (3)你能用五巧板拼出”青朱出入图”吗? 当然可能有部分是重复的 . (4)利用五巧板 ,你还能通过怎样的拼图验证勾股定理。（四） 议一议： (课件显示教材第 14 页图 1-15).用

19、数格子的方法判断图中三角形的三边长是否满足 a2+b2=c2？精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 11 页名师精编优秀教案（五） 随堂练习1、一个直角三角形的斜边为20cm ，且两直角边的长度之比为3：4，求（1）两直角边的长 .（2）斜边上的高线长 . 2、利用作直角三角形，在数轴上表示点5【感悟与启示】通过这节课的学习你都学到了些什么？让你感触最深的是哪一种证法？有哪些地方还是让你感到疑惑的？你还想知道有关勾股定理的其它的证法吗？(六)课堂小结 : 本节课我们运用适当的剪切后再拼接的方法验证勾股定理.并运用勾股定理解决一

20、些实际问题 . 六、作业 : 1.P15的习题 1.3 2. 查阅还有哪些勾股定理的证明方法。3. 你能不能自己也去画一画、拼一拼，设计一种方案去验证勾股定理？七、板书设计 （略）八、教学反思：1.2、 能得到直角三角形吗一、教学目的1、知识与技能：掌握直角三角形的判别条件，并能进行简单应用；教学思考：进一步发展数感，增加对勾股数的直观体验，培养从实际问题抽象出数学问题的能力，建立数学模型2、过程与方法：会通过边长判断一个三角形是否是直角三角形，并会辨析哪些问题应用哪个结论3、情感态度与价值观：敢于面对数学学习中的困难，并有独立克服困难和运用知识解决问题的成功经验，进一步体会数学的应用价值，发

21、展运用数学的信心和能力，初步形成积极参与数学活动的意识二、教学重点、难点重点：探索并掌握直角三角形的判别条件。难点：运用直角三角形判别条件解题三、教学方法：实验猜想归纳论证四、教学手段：多媒体五、教学过程：（一）创设情境，激发学生兴趣、导入课题展示一根用13 个等距的结把它分成等长的12 段的绳子，请三个同学上台，按老师的要求操作。甲：同时握住绳子的第一个结和第十三个结。乙：握住第四个结。丙：握住第八个结。拉紧绳子，让一个同学用量角器，测出这三角形其中的最大角。问：发现这个角是多少？（直角。）精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，

22、共 11 页名师精编优秀教案展示投影1。 （书 P9图 110）教师道白：这是古埃及人曾经用过这种方法得到直角，这个三角形三边长分别为多少？( 3、4、5 ) ，这三边满足了哪些条件？( 222543） ， 是不是只有三边长为3、 4、 5 的三角形才可以成为直角三角形呢？现在请同学们做一做。（二）做一做下面的三组数分别是一个三角形的三边a、b、c。5、12、13 7、 24、25 8、15、17 1、这三组数都满足222cba吗？同学们在运算、交流形成共识后，教师要学生完成。2、分别用每组数为三边作三角形，用量角器量一量，它们都是直角三角形吗？同学们在在形成共识后板书：如果三角形的三边长a、

23、b、c 满足222cba，那么这个三角形是直角三角形。满足222cba的三个正整数，称为勾股数。大家可以想这样的勾股数是很多的。今后我们可以利用“三角形三边a、b、c 满足222cba时，三角形为直角形”来判断三角形的形状，同时也可以用来判定两条直线是否垂直的方法。（三）讲解例题例 1 一个零件的形状如图，按规定这个零件中A 与 BDC 都应为直角，工人师傅量得零件各边尺寸：AD = 4 ，AB = 3, DC = 12 , BC=13 ，这个零件符合要求吗？分析：要检验这个零件是否符合要求，只要判断ADB 和 DBC 是否为直角三角形，这样勾股定理的逆定理即可派上用场了。解：在 ABD 中，

24、222222516943BDADAB所以 ABD 为直角三角形A =90在 BDC 中, 2222221316914425125BCDCBD所以 BDC 是直角三角形CDB =90 因此这个零件符合要求。ABCD4531213（四）随堂练习：下列几组数能否作为直角三角形的三边长？说说你的理由9，12，15；15，36，39；12，35，36；12，18，222一个三角形的三边长分别是cmcmcm25,20,15，则这个三角形的面积是（）A250 2cmB1502cmC200 2cmD不能确定3如图 1：在ABC 中，BCAD于D，20,12,9ACADBD，则ABC 是（）A等腰三角形B锐角三

25、角形C直角三角形D钝角三角形4将直角三角形的三边扩大相同的倍数后，得到的三角形是（）(图 1) A直角三角形B锐角三角形C钝角三角形D不能确定5、已知 ?ABC 中 BC=41, AC=40, AB=9, 则此三角形为_三角形 , _是最大角 . 6、四边形ABCD 中已知 AB=3 ，BC=4 ，CD=12 ，DA=13 ，且 ABC=900，求这个四边形的面积DABC精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 11 页名师精编优秀教案ABCD4312137、习题 1.3 （五）读一读P11 勾股数组与费马大定理。直角三角形判定定

26、理：如果三角形的三边长a，b， c（六）小结：1、满足 a2 +b2=c2，那么这个三角形是直角三角形2、满足 a2 +b2=c2的三个正整数，称为勾股数勾股数扩大相同倍数后，仍为勾股数六、作业布置： 1、课本P12 1 .3 1、2、3。七、板书设计：课题（一） . (二)八、教学反思：1.3、蚂蚁怎样走最近一、教学目标1、教学知识点：能运用勾股定理及直角三角形的判别条件(即勾股定理的逆定理)解决简单的实际问题. 2、能力训练要求： （1）.学会观察图形，勇于探索图形间的关系，培养学生的空间观念. （2） .在将实际问题抽象成几何图形过程中，提高分析问题、解决问题的能力及渗透数学建模的思想.

27、 3 情感与价值观要求： （1）.通过有趣的问题提高学习数学的兴趣. (2).在解决实际问题的过程中，体验数学学习的实用性，体现人人都学有用的数学. 二、教学重点、难点：重点：探索、发现给定事物中隐含的勾股定理及其逆及理，并用它们解决生活实际问题. 难点：利用数学中的建模思想构造直角三角形，利用勾股定理及逆定理，解决实际问题. 三、教学方法：引导探究归纳四、教学手段：多媒体课件、用矩形纸片做成的圆柱、剪刀五、教学过程：1、创设问题情境，引入新课：前几节课我们学习了勾股定理，你还记得它有什么作用吗？例如：欲登12 米高的建筑物，为安全需要，需使梯子底端离建筑物5 米，至少需多长的梯子？根据题意，

28、(如图 )AC是建筑物，则AC=12米， BC=5米， AB是梯子的长度.所以在Rt ABC中，AB2=AC2+BC2=122+52=132 ；AB=13 米 . 所以至少需13 米长的梯子 . 2、讲授新课：、蚂蚁怎么走最近精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 11 页名师精编优秀教案ABAB出示问题：有一个圆柱，它的高等于12 厘米，底面半径等于3 厘米在圆行柱的底面A 点有一只蚂蚁，它想吃到上底面上与A 点相对的B 点处的食物，需要爬行的的最短路程是多少？(的值取 3)（1） 同学们可自己做一个圆柱，尝试从 A 点到 B

29、 点沿圆柱的侧面画出几条路线，你觉得哪条路线最短呢？（小组讨论）（2）如图，将圆柱侧面剪开展开成一个长方形，从A 点到 B 点的最短路线是什么?你画对了吗 ? （3）蚂蚁从A 点出发，想吃到B 点上的食物，它沿圆柱侧面爬行的最短路程是多少？（学生分组讨论，公布结果）我们知道，圆柱的侧面展开图是一长方形.好了，现在咱们就用剪刀沿母线AA 将圆柱的侧面展开(如下图 ). 我们不难发现，刚才几位同学的走法：(1)A A B；(2)A B B；(3)A DB；(4)A B. 哪条路线是最短呢？你画对了吗？第(4)条路线最短 .因为“两点之间的连线中线段最短”. 、做一做：教材14 页。李叔叔随身只带卷

30、尺检测AD ， BC 是否与底边AB 垂直，也就是要检测DAB=90 ，CBA=90 .连结 BD 或 AC， 也就是要检测DAB 和 CBA 是否为直角三角形.很显然，这是一个需用勾股定理的逆定理来解决的实际问题. 、随堂练习出示投影片1.甲、乙两位探险者，到沙漠进行探险.某日早晨8 00 甲先出发，他以6 千米 /时的速度向东行走 .1 时后乙出发， 他以 5 千米 /时的速度向北行进.上午 1000， 甲、乙两人相距多远？2.如图， 有一个高1.5 米， 半径是 1 米的圆柱形油桶，在靠近边的地方有一小孔，从孔中插入一铁棒，已知铁棒在油桶外的部分是0.5 米，问这根铁棒应有多长？1.分析

31、：首先我们需要根据题意将实际问题转化成数学模型. 解： (如图 )根据题意，可知A 是甲、乙的出发点，1000 时甲到达 B 点，则 AB=2 6=12(千米 )；乙到达C 点，则 AC=1 5=5(千米 ). 在 RtABC 中， BC2=AC2+AB2=52+122=169=132，所以 BC=13 千米 .即甲、乙两人相距13 千米 . 2.分析：从题意可知，没有告诉铁棒是如何插入油桶中，因而铁棒的长是一个取值范围而不是固定的长度，所以铁棒最长时，是插入至底部的A 点处，铁棒最短时是垂直于底面时. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -

32、第 10 页，共 11 页名师精编优秀教案解：设伸入油桶中的长度为x 米，则应求最长时和最短时的值. (1)x2=1.52+22，x2=6.25，x=2.5 所以最长是2.5+0.5=3(米). (2)x=1.5 ，最短是1.5+0.5=2( 米). 答： 这根铁棒的长应在23 米之间 (包含 2 米、 3 米). 3.试一试 (课本 P15) 在我国古代数学著作九章算术中记载了一道有趣的问题，这个问题的意思是：有一个水池， 水面是一个边长为10 尺的正方形 .在水池正中央有一根新生的芦苇，它高出水面1 尺.如果把这根芦苇垂直拉向岸边，它的顶端恰好到达岸边的水面 .请问这个水池的深度和这根芦苇的长度各为多少？我们可以将这个实际问题转化成数学模型. 解：如图，设水深为x 尺，则芦苇长为(x+1)尺，由勾股定理可求得：(x+1)2=x2+52，x2+2x+1=x2+25 解得 x=12 则水池的深度为12 尺，芦苇长13 尺. 、课时小结这节课我们利用勾股定理和它的逆定理解决了生活中的几个实际问题.我们从中可以发现用数学知识解决这些实际问题，更为重要的是将它们转化成数学模型. 六、作业布置：课本 P14、习题 6.4. 七、板书设计：课题（一） . (二)八、教学反思：精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页，共 11 页