时域离散信号和系统(数字信号处理).ppt

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1、第二章第二章 时域离散信号和系统时域离散信号和系统 第第2章章 时域离散信号和系统时域离散信号和系统 第二章第二章 时域离散信号和系统时域离散信号和系统 2.1 时域离散信号时域离散信号序列序列模拟信号xa(t)进行等间隔采样，采样间隔为T，得到其中：n取整数。该数字序列就是时域离散信号。为简化直接用x(n)表示。需要说明的是，这里n取整数，非整数时无定义，另外，在数值上它（x(n)）等于信号的采样值，即x(n)=xa(nT)，-n第二章第二章 时域离散信号和系统时域离散信号和系统 信号随n的变化规律可以用公式表示，也可以用图形表示。如果x(n)是通过观测得到的一组离散数据，则其可以用集合符号

2、表示，例如：x(n)=1.3,2.5,3.3,1.9,0,4.1序序列列：一个时域离散信号是自变量为整数n的函数，称之为序列。x(n)-n其中x(n）表示序列的第n个数，表示集合，x(n）在整数n处才有定义，n非整数时无定义，但不意味着x(n）为零。第二章第二章 时域离散信号和系统时域离散信号和系统 2.1常用的典型序列1.单位采样序列(n)单位采样序列也可以称为单位脉冲序列，特点是仅在n=0时取值为1，其它均为零。它类似于模拟信号和系统中的单位冲激函数(t)，但不同的是(t)在t=0时，取值无穷大，t0时取值为零，对时间t的积分为1。单位采样序列和单位冲激信号如图下图所示。第二章第二章 时域

3、离散信号和系统时域离散信号和系统 图单位采样序列和单位冲激信号(a)单位采样序列；(b)单位冲激信号第二章第二章 时域离散信号和系统时域离散信号和系统 2.单位阶跃序列u(n)单位阶跃序列下图所示。它类似于模拟信号中的单位阶跃函数u(t)。(n)与u(n)之间的关系如下式所示：(n)=u(n)-u(n-1)令n-k=m，代入上式得到第二章第二章 时域离散信号和系统时域离散信号和系统 单位阶跃序列第二章第二章 时域离散信号和系统时域离散信号和系统 3.矩形序列RN(n)1,0nN-10，其它n上式中N称为矩形序列的长度。当N=4时，R4(n)的波形如图所示。矩形序列可用单位阶跃序列表示，如下式：

4、RN(n)=u(n)-u(n-N)RN(n)=第二章第二章 时域离散信号和系统时域离散信号和系统 图1.2.3矩形序列第二章第二章 时域离散信号和系统时域离散信号和系统 4.实指数序列x(n)=anu(n)，a为实数如果|a|1，则称为发散序列。其波形如图所示。第二章第二章 时域离散信号和系统时域离散信号和系统 实指数序列第二章第二章 时域离散信号和系统时域离散信号和系统 5.正弦序列x(n)=sin(n)式中称为正弦序列的数字域频率，单位是弧度，它表示序列变化的速率，或者说表示相邻两个序列值之间变化的弧度数。如果正弦序列是由模拟信号xa(t)采样得到的，那么xa(t)=sin(t)xa(t)

5、|t=nT=sin(nT)x(n)=sin(n)第二章第二章 时域离散信号和系统时域离散信号和系统 因为在数值上，序列值与采样信号值相等，因此得到数字频率与模拟角频率之间的关系为=T它表示凡是由模拟信号采样得到的序列，模拟角频率与序列的数字域频率成线性关系。由于采样频率fs与采样周期T互为倒数，也可以表示成下式：第二章第二章 时域离散信号和系统时域离散信号和系统 6.复指数序列x(n)=e(+j0)n式中0为数字域频率，设=0，用极坐标和实部虚部表示如下式：x(n)=ej0nx(n)=cos(0n)+jsin(0n)由于n取整数，下面等式成立：ej(0+2M)n=ej0n,M=0,1,2第二章

6、第二章 时域离散信号和系统时域离散信号和系统 7.周期序列如果对所有n存在一个最小的正整数N，使下面等式成立：x(n)=x(n+N),-n0时称为x(n)的延时序列；当n00时，序列右移；n0时，序列左移；将x(m)和h(n-m)相同m的序列值对应相乘后，再相加。按照以上三个步骤可得到卷积结果y(n)。第二章第二章 时域离散信号和系统时域离散信号和系统 例设x(n)=R4(n)，h(n)=R4(n)，求y(n)=x(n)*h(n)。解按照公式，上式中矩形序列长度为4，求解上式主要是根据矩形序列的非零值区间确定求和的上、下限，R4(m)的非零值区间为：0m3，R4(n-m)的非零值区间为：0n-

7、m3，其乘积值的非零区间，要求m同时满足下面两个不等式：第二章第二章 时域离散信号和系统时域离散信号和系统 0m3n-3mn因此，当当第二章第二章 时域离散信号和系统时域离散信号和系统 卷积过程以及y(n)波形如图所示，y(n)用公式表示为n+10n3y(n)=7-n4n60其它第二章第二章 时域离散信号和系统时域离散信号和系统 线性卷积第二章第二章 时域离散信号和系统时域离散信号和系统 卷积中主要运算是翻转、移位、相乘和相加，这类卷积称为序列的线性卷积。设两序列分别的长度是N和M，线性卷积后的序列长度为(N+M-1)。线性卷积服从交换律、结合律和分配律。它们分别用公式表示如下：x(n)*h(

8、n)=h(n)*x(n)x(n)*h1(n)*h2(n)=(x(n)*h1(n)*h2(n)x(n)*h1(n)+h2(n)=x(n)*h1(n)+x(n)*h2(n)第二章第二章 时域离散信号和系统时域离散信号和系统 图1.3.3卷积的结合律和分配律第二章第二章 时域离散信号和系统时域离散信号和系统 序列与单位取样序列的线性卷积等于序列本身，表示如下：如果序列与一个移位的单位取样序列(n-n0)进行线性卷积，就相当于将序列本身移位n0(n0是整常数)，如下式表示：第二章第二章 时域离散信号和系统时域离散信号和系统 上式中只有当m=n-n0时，才可能有非零值，因此得到y(n)=x(n-n0)x

9、(n-n0)=x(n)*(n-n0)第二章第二章 时域离散信号和系统时域离散信号和系统 例在图中，h1(n)系统与h2(n)系统级联，设x(n)=u(n)h1(n)=(n)-(n-4)h2(n)=anu(n)，|a|1求系统的输出y(n)。图1.3.4例框图第二章第二章 时域离散信号和系统时域离散信号和系统 解先求第一级的输出m(n)，再求y(n)。m(n)=x(n)*h1(n)=u(n)*(n)-(n-4)=u(n)*(n)-u(n)*(n-4)=u(n)-u(n-4)=R4(n)y(n)=m(n)*h2(n)=R4(n)*anu(n)第二章第二章 时域离散信号和系统时域离散信号和系统=an

10、u(n)*(n)+(n-1)+(n-2)+(n-3)=anu(n)+an-1u(n-1)+an-2u(n-2)+an-3u(n-3)还可以将y(n)用下式表示y(n)=(n)+(1+a)(n-1)+(1+a+a2)(n-2)+u(n-3)第二章第二章 时域离散信号和系统时域离散信号和系统 系统的因果性和稳定性如果系统n时刻的输出，只取决于n时刻以及n时刻以前的输入序列，而和n时刻以后的输入序列无关，则称该系统具有因果性质，或称该系统为因果系统。如果n时刻的输出还取决于n时刻以后的输入序列，在时间上违背了因果性，系统无法实现，则系统被称为非因果系统。因此系统的因果性是指系统的可实现性。线性时不变

11、系统具有因果性的充分必要条件是系统的单位取样响应满足下式：h(n)=0，n0第二章第二章 时域离散信号和系统时域离散信号和系统 非因果系统的延时实现第二章第二章 时域离散信号和系统时域离散信号和系统 所谓稳定系统，是指系统有界输入，系统输出也是有界的。系统稳定的充分必要条件是系统的单位取样响应绝对可和，可表示为证明证明先证明充分性。第二章第二章 时域离散信号和系统时域离散信号和系统 因为输入序列x(n)有界，即|x(n)|B,-n，B为任意常数如果系统的单位取样响应h(n)满足那么输出y(n)一定也是有界的，即|y(n)|第二章第二章 时域离散信号和系统时域离散信号和系统 下面用反证法证明其必

12、要性。如果h(n)不满足上式，即，那么总可以找到一个或若干个有界的输入引起无界的输出，例如：x(n)=令n=0第二章第二章 时域离散信号和系统时域离散信号和系统 例设线性时不变系统的单位取样响应h(n)=anu(n)，式中a是实常数，试分析该系统的因果稳定性。解由于n0时，h(n)=0，所以系统是因果系统。只有当|a|1时第二章第二章 时域离散信号和系统时域离散信号和系统 因此系统稳定的条件是|a|1；否则，|a|1时，系统不稳定。系统稳定时，h(n)的模值随n加大而减小，此时序列h(n)称为收敛序列。如果系统不稳定，h(n)的模值随n加大而增大，则称为发散序列。第二章第二章 时域离散信号和系

13、统时域离散信号和系统 例设系统的单位取样响应h(n)=u(n)，求对于任意输入序列x(n)的输出y(n)，并检验系统的因果性和稳定性。解h(n)=u(n)y(n)=x(n)*h(n)=因为当n-k0时，u(n-k)=0；n-k0时，u(n-k)=1，因此，求和限为kn，所以第二章第二章 时域离散信号和系统时域离散信号和系统 上式表示该系统是一个累加器，它将输入序列从加上之时开始，逐项累加，一直加到n时刻为止。因此是因果系统下面分析该系统的稳定性：此系统为非稳定系统第二章第二章 时域离散信号和系统时域离散信号和系统 时域分析方法和频率分析方法。模拟领域微分方程描述。傅里叶变换将时间域函数转换到频

14、率域。时域离散系统系统则用差分方程描述。序列的傅里叶变换2.4 序列的傅里叶变换的定义及性质序列的傅里叶变换的定义及性质 第二章第二章 时域离散信号和系统时域离散信号和系统 2.4.1序列傅里叶变换的定义定义(2.4.1)为序列x(n)的傅里叶变换，可以用FT(FourierTransform)缩写字母表示。FT成立的充分必要条件是序列x(n)满足绝对可和的条件，即满足下式：(2.4.2)第二章第二章 时域离散信号和系统时域离散信号和系统 为求FT的反变换，用ejn乘(2.4.1)式两边，并在-内对进行积分，得到(2.4.3)(2.4.4)式中因此第二章第二章 时域离散信号和系统时域离散信号和

15、系统 例2.4.1设x(n)=RN(n)，求x(n)的FT解：(2.4.5)设N=4，幅度与相位随变化曲线如图所示。第二章第二章 时域离散信号和系统时域离散信号和系统 图2.4.1R4(n)的幅度与相位曲线第二章第二章 时域离散信号和系统时域离散信号和系统 2.4.2序列傅里叶变换的性质1.FT的周期性在定义(2.4.1)式中，n取整数，因此下式成立M为整数(2.4.6)因此序列的傅里叶变换是频率的周期函数，周期是2。这样X(ej)可以展成傅里叶级数，其实(2.4.1)式已经是傅里叶级数的形式，x(n)是其系数。第二章第二章 时域离散信号和系统时域离散信号和系统 图2.2.2cosn的波形第二

16、章第二章 时域离散信号和系统时域离散信号和系统 2.线性那么设式中a,b为常数3.时移与频移设X(ej)=FTx(n)，那么(2.4.7)(2.4.8)(2.4.9)第二章第二章 时域离散信号和系统时域离散信号和系统 4.FT的对称性在学习FT的对称性以前，先介绍什么是共轭对称与共轭反对称以及它们的性质。设序列xe(n)满足下式：xe(n)=x*e(-n)(2.4.10)则称xe(n)为共轭对称序列。为研究共轭对称序列具有什么性质，将xe(n)用其实部与虚部表示xe(n)=xer(n)+jxei(n)将上式两边n用-n代替，并取共轭，得到x*e(-n)=xer(-n)-jxei(-n)第二章第

17、二章 时域离散信号和系统时域离散信号和系统 对比上面两公式，左边相等，因此得到xer(n)=xer(-n)(2.4.11)xei(n)=-xei(-n)(2.4.12)由上面两式得到共轭对称序列其实部是偶函数，而虚部是奇函数。类似地，可定义满足下式的称共轭反对称序列xo(n)=-x*o(-n)(2.4.13)第二章第二章 时域离散信号和系统时域离散信号和系统 将x0(n)表示成实部与虚部如下式：xo(n)=xor(n)+jxoi(n)可以得到xor(n)=-xor(-n)(2.4.14)xoi(n)=xoi(-n)(2.4.15)即共轭反对称序列的实部是奇函数，而虚部是偶函数。第二章第二章 时

18、域离散信号和系统时域离散信号和系统 例2.4.2试分析x(n)=ejn的对称性解：将x(n)的n用-n代替，再取共轭得到：x*(-n)=ejn因此x(n)=x*(-n)，满足(2.4.10)式，x(n)是共轭对称序列，如展成实部与虚部，得到x(n)=cosn+jsinn由上式表明，共轭对称序列的实部确实是偶函数，虚部是奇函数。第二章第二章 时域离散信号和系统时域离散信号和系统 对于一般序列可用共轭对称与共轭反对称序列之和表示，即x(n)=xe(n)+xo(n)(2.4.16)式中xe(n),xo(n)可以分别用原序列x(n)求出，将(2.4.16)式中的n用-n代替，再取共轭得到x*(-n)=xe(n)-xo(n)(2.4.17)利用(2.4.16)和(2.4.17)两式，得到(2.4.18)(2.4.19)第二章第二章 时域离散信号和系统时域离散信号和系统 5.时域卷积定理设y(n)=x(n)*h(n),则Y(ej)=X(ej)H(ej)(2.4.32)证明令k=n-m第二章第二章 时域离散信号和系统时域离散信号和系统 6.频域卷积定理设y(n)=x(n)h(n)(2.4.33)第二章第二章 时域离散信号和系统时域离散信号和系统 7.帕斯维尔(Parseval)定理(2.4.34)第二章第二章 时域离散信号和系统时域离散信号和系统 表2.2.1序列傅里叶变换的性质