数字信号处理时域离散信号和.pptx

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1、11.1 引言 信号通常是一个自变量或几个自变量的函数。如果仅有一个自变量，则称为一维信号；如果有两个以上的自变量，则称为多维信号。本书仅研究一维数字信号处理的理论与技术。关于信号的自变量，有多种形式，可以是时间、距离、温度、电压等，本书一般把信号看作时间的函数。第1页/共81页2本章作为全书的基础，主要学习时域离散信号的表示方法和典型信号、线性时不变系统的因果性和稳定性，以及系统的输入输出描述法，线性常系数差分方程的解法。最后介绍模拟信号数字处理方法。第2页/共81页31.2 时域离散信号对模拟信号xa(t)进行等间隔采样，采样间隔为T，得到第3页/共81页4这里n取整数。对于不同的n值，x

2、a(nT)是一个有序的数字序列：xa(-T)、xa(0)、xa(T)，该数字序列就是时域离散信号。实际信号处理中，这些数字序列值按顺序放在存贮器中，此时nT代表的是前后顺序。为简化，采样间隔可以不写，形成x(n)信号，x(n)可以称为序列。对于具体信号，x(n)也代表第n个序列值。需要说明的是，这里n取整数，非整数时无定义，另外，在数值上它等于信号的采样值，即x(n)=xa(nT)，-n(1.2.2)第4页/共81页5信号随n的变化规律可以用公式表示，也可以用图形表示。如果x(n)是通过观测得到的一组离散数据，则其可以用集合符号表示，例如：x(n)=1.3,2.5,3.3,1.9,0,4.1第

3、5页/共81页61.2.1常用的典型序列(7种）1.单位采样序列(n)1，n=00，n0(1.2.3)单位采样序列也可以称为单位脉冲序列，特点是仅在n=0时取值为1，其它均为零。模拟信号和系统中单位冲激函数(t)t=0，取值无穷大，t0，取值为0，对t积分为1。单位采样序列和单位冲激信号如图1.2.1所示。第6页/共81页7 图1.2.1单位采样序列和单位冲激信号(a)单位采样序列；(b)单位冲激信号 第7页/共81页82.单位阶跃序列u(n)1,n00,n0(1.2.4)单位阶跃序列如图1.2.2所示。模拟信号中单位阶跃函数u(t)1,t00,t0,t0(n)与u(n)之间的关系如下式所示：

4、(n)=u(n)-u(n-1)(1.2.5)(1.2.6)令n-k=m，代入上式得到第8页/共81页9 图1.2.2 单位阶跃序列 第9页/共81页103.矩形序列RN(n)1,0nN-10，其它n(1.2.8)上 式 中 N称 为 矩 形 序 列 的 长 度。当 N=4时，R4(n)的 波 形 如 图1.2.3所示。矩形序列可用单位阶跃序列表示，如下式：RN(n)=u(n)-u(n-N)(1.2.9)(1.2.7)RN(n)=第10页/共81页11图1.2.3 矩形序列 第11页/共81页124.实指数序列x(n)=anu(n)，a为实数如果|a|1，则称为发散序列。其波形如图1.2.4所示

5、。第12页/共81页13 图1.2.4 实指数序列 第13页/共81页145.正弦序列x(n)=sin(n)式中称为正弦序列的数字域频率，单位是弧度，它表示序列变化的速率，或者说表示相邻两个序列值之间变化的弧度数。如果正弦序列是由模拟信号Xa(t)采样得到，那么xa(t)=sin(t)xa(t)|t=nT=sin(nT)x(n)=sin(n)第14页/共81页15因为在数值上，序列值与采样信号值相等，因此得到数字频率与模拟角频率之间的关系为=T(1.2.10)(1.2.10)式具有普遍意义，它表示凡是由模拟信号采样得到的序列，模拟角频率与序列的数字域频率成线性关系。由于采样频率fs与采样周期T

6、互为倒数，也可以表示成下式：(1.2.11)第15页/共81页166.复指数序列x(n)=e(+j0)n式中0为数字域频率，设=0，用极坐标和实部虚部表示如下式：x(n)=ej0nx(n)=cos(0n)+jsin(0n)由于n取整数，下面等式成立：ej(0+2M)n=ej0n,M=0,1,2第16页/共81页177.周期序列如果对所有n存在一个最小的正整数N，使下面等式成立：x(n)=x(n+N),-n0时称为x(n)的延时序列；当n0 0时，序列右移；n0时，序列左移；将x(m)和h(n-m)相同m的序列值对应相乘后，再相加。按照以上三个步骤可得到卷积结果y(n)。第40页/共81页41例

7、1.3.4设x(n)=R4(n)，h(n)=R4(n)，求y(n)=x(n)*h(n)。解按照(1.3.7)式，上式中矩形序列长度为4，求解上式主要是根据矩形序列的非零值区间确定求和的上、下限，R4(m)的非零值区间为：0m3，R4(n-m)的非零值区间为：0n-m3，其乘积值的非零区间，要求m同时满足下面两个不等式：第41页/共81页420m3n-3mn因此，当 当 第42页/共81页43卷积过程以及y(n)波形如图1.3.2所示，y(n)用公式表示为n+10n3y(n)=7-n4n60其它第43页/共81页44图1.3.2 例1.3.4线性卷积 第44页/共81页45卷积中主要运算是翻转、

8、移位、相乘和相加，这类卷积称为序列的线性卷积。设两序列分别的长度是N和M，线性卷积后的序列长度为N+M-1。线性卷积服从交换律、结合律和分配律。它们分别用公式表示如下：x(n)*h(n)=h(n)*x(n)(1.3.8)x(n)*h1(n)*h2(n)=(x(n)*h1(n)*h2(n)(1.3.9)x(n)*h1(n)+h2(n)=x(n)*h1(n)+x(n)*h2(n)(1.3.10)第45页/共81页46以 上 三 个 性 质 请 自 己 证 明。(1.3.8)式 表 示 卷 积 服 从 交 换 律。(1.3.9)和(1.3.10)式分别表示其结合律和分配律。第46页/共81页47图1

9、.3.3 卷积的结合律和分配律 第47页/共81页48再考查(1.2.13)式，它也是一个线性卷积公式，它表示的是序列本身与单位取样序列的线性卷积等于序列本身，表示如下：如果序列与一个移位的单位取样序列(n-n0)进行线性卷积，就相当于将序列本身移位n0(n0是整常数)，如下式表示：(1.3.11)第48页/共81页49上式中只有当m=n-n0时，才可能有非零值，因此得到y(n)=x(n-n0)x(n-n0)=x(n)*(n-n0)(1.3.12)第49页/共81页50例1.3.5在图1.3.4中，h1(n)系统与h2(n)系统级联，设x(n)=u(n)h1(n)=(n)-(n-4)h2(n)

10、=anu(n)，|a|1求系统的输出y(n)。图1.3.4 例1.3.5框图 第50页/共81页51解先求第一级的输出m(n)，再求y(n)。m(n)=x(n)*h1(n)=u(n)*(n)-(n-4)=u(n)*(n)-u(n)*(n-4)=u(n)-u(n-4)=R4(n)y(n)=m(n)*h2(n)=R4(n)*anu(n)第51页/共81页52=anu(n)*(n)+(n-1)+(n-2)+(n-3)=anu(n)+an-1u(n-1)+an-2u(n-2)+an-3u(n-3)还可以将y(n)用下式表示y(n)=(n)+(1+a)(n-1)+(1+a+a2)(n-2)+u(n-3)

11、第52页/共81页531.3.4系统的因果性和稳定性如果系统n时刻的输出，只取决于n时刻以及n时刻以前的输入序列，而和n时刻以后的输入序列无关，则称该系统具有因果性质，或称该系统为因果系统。如果n时刻的输出还取决于n时刻以后的输入序列，在时间上违背了因果性，系统无法实现，则系统被称为非因果系统。因此系统的因果性是指系统的可实现性。线性时不变系统具有因果性的充分必要条件是系统的单位取样响应满足下式：h(n)=0，n0(1.3.13)第53页/共81页54所谓稳定系统，是指系统有界输入，系统输出也是有界的。系统稳定的充要条件是系统的单位取样响应绝对可和，用公式表示为(1.3.14)证明 先证明充分

12、性。第54页/共81页55因为输入序列x(n)有界，即|x(n)|B,-n，B为任意常数如果系统的单位取样响应h(n)满足(1.3.14)式，那么输出y(n)一定也是有界的，即|y(n)|第55页/共81页56例1.3.6设线性时不变系统的单位取样响应h(n)=anu(n)，式中a是实常数，试分析该系统的因果稳定性。解由于n0时，h(n)=0，所以系统是因果系统。只有当|a|1时 第56页/共81页57因此系统稳定的条件是|a|1；否则，|a|1时，系统不稳定。系统稳定时，h(n)的模值随n加大而减小，此时序列h(n)称为收敛序列。如果系统不稳定，h(n)的模值随n加大而增大，则称为发散序列。

13、第57页/共81页58例1.3.7设系统的单位取样响应h(n)=u(n)，求对于任意输入序列x(n)的输出y(n)，并检验系统的因果性和稳定性。解h(n)=u(n)y(n)=x(n)*h(n)=因为当n-k0，求输出序列y(n)。解n=1时，n=0时，n=-1时，n=-n时，y(n-1)=a-1(y(n)-(n)y(0)=a-1(y(1)-(1)=0y(-1)=a-1(y(0)-(0)=-a-1y(-2)=a-1(y(-1)-(-1)=-a-2y(n-1)=-an-1将n-1用n代替，得到y(n)=-anu(-n-1)第67页/共81页681.5 模拟信号数字处理方法 在绪论中已介绍了数字信号

14、处理技术相对于模拟信号处理技术的许多优点，因此人们往往希望将模拟信号经过采样和量化编码形成数字信号，再采用数字信号处理技术进行处理；处理完毕，如果需要，再转换成模拟信号，这种处理方法称为模拟信号数字处理方法。其原理框图如图1.5.1所示。图中的预滤与平滑所起的作用在后面介绍。本节主要介绍采样定理和采样恢复。第68页/共81页69图1.5.1 模拟信号数字处理框图 第69页/共81页701.5.1采样定理及A/D变换器对模拟信号进行采样可以看作一个模拟信号通过一个电子开关S。设电子开关每隔周期T合上一次，每次合上的时间为T，在电子开关输出端得到其采样信号。第70页/共81页71图1.5.2 对模

15、拟信号进行采样 第71页/共81页72上式中(t)是单位冲激信号，在上式中只有当t=nT时，才可能有非零值，因此写成下式：(1.5.1)(1.5.2)第72页/共81页73我们知道在傅里叶变换中，两信号在时域相乘的傅里叶变换等于两个信号分别的傅里叶变换的卷积，按照(1.5.2)式，推导如下：设(1.5.3)按照(1.5.1)式，第73页/共81页74式中，s=2/T，称为采样角频率，单位是弧度/秒，(1.5.4)(1.5.5)第74页/共81页75上式表明采样信号的频谱是原模拟信号的频谱沿频率轴，每间隔采样角频率s重复出现一次，或者说采样信号的频谱是原模拟信号的频谱以s为周期，进行周期性延拓而

16、成的。在图1.5.3中，设xa(t)是带限信号，最高截止频率为c，其频谱Xa(j)如图1.5.3(a)所示。第75页/共81页76图1.5.3 采样信号的频谱 第76页/共81页77(1)对连续信号进行等间隔采样形成采样信号，采样信号的频谱是原连续信号的频谱以采样频率为周期进行周期性的延拓形成的，用公式(1.5.5)表示。(2)设连续信号xa(t)属带限信号，最高截止频率为c，如果采样角频率s2c(fs2fc)，那么让采样信号xa(t)通过一个增益为T，截止频率为s/2的理想低通滤波器，可以唯一地恢复出原连续信号xa(t)。否则s2c(fs2fc)会造成采样信号中的频谱混叠现象，不可能无失真地

17、恢复原连续信号。第77页/共81页78图1.5.5 A/DC原理框图 第78页/共81页79将模拟信号转换成数字信号由A/DC(Analog/DigitalConverter)完成，A/DC的原理框图如图1.5.5所示。通过按等间隔T对模拟信号进行采样，得到一串采样点上的样本数据，这一串样本数据可看作时域离散信号(序列)。设A/DC有M位，那么用M位二进制数表示并取代这一串样本数据，即形成数字信号。因此，采样以后到形成数字信号的这一过程是一个量化编码的过程。例如：模拟信号xa(t)=sin(2ft+/8)，式中f=50Hz，选采样频率fs=200Hz，将t=nT代入Xa(t)中，得到采样数据.第79页/共81页80图1.5.8 D/AC方框图 1.5.2数字信号转换成模拟信号第80页/共81页课件81感谢您的观看。第81页/共81页