数字信号处理第1章时域离散信号和.ppt

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1、第第1章章 时域离散信号和时域离散系统时域离散信号和时域离散系统 第第1章章 时域离散信号和时域离散系统时域离散信号和时域离散系统 1.1 引言引言 1.2 时域离散信号时域离散信号 1.3 时域离散系统时域离散系统1.4 时域离散系统的输入输出描述法时域离散系统的输入输出描述法 线性常系数差分方程线性常系数差分方程 1.5 模拟信号数字处理方法模拟信号数字处理方法1第第1章章 时域离散信号和时域离散系统时域离散信号和时域离散系统 1.1 引言引言 信号通常是一个自变量或几个自变量的函数。如果仅有一个自变量，则称为一维信号；如果有两个以上的自变量，则称为多维信号。本书仅研究一维数字信号处理的理

2、论与技术。关于信号的自变量，有多种形式，可以是时间、距离、温度、电压等，本书一般把信号看作时间的函数。2第第1章章 时域离散信号和时域离散系统时域离散信号和时域离散系统 本章作为全书的基础，主要学习时域离散信号的表示方法和典型信号、线性时不变系统的因果性和稳定性，以及系统的输入输出描述法，线性常系数差分方程的解法。最后介绍模拟信号数字处理方法。3第第1章章 时域离散信号和时域离散系统时域离散信号和时域离散系统 1.2 时域离散信号时域离散信号对模拟信号xa(t)进行等间隔采样，采样间隔为T，得到4第第1章章 时域离散信号和时域离散系统时域离散信号和时域离散系统 这里n取整数。对于不同的n值，x

3、a(nT)是一个有序的数字序列：xa(-T)、xa(0)、xa(T)，该数字序列就是时域离散信号。实际信号处理中，这些数字序列值按顺序放在存贮器中，此时nT代表的是前后顺序。为简化，采样间隔可以不写，形成x(n)信号，x(n)可以称为序列。对于具体信号，x(n)也代表第n个序列值。需要说明的是，这里n取整数，非整数时无定义，另外，在数值上它等于信号的采样值，即x(n)=xa(nT)，-n(1.2.2)5第第1章章 时域离散信号和时域离散系统时域离散信号和时域离散系统 信号随n的变化规律可以用公式表示，也可以用图形表示。如果x(n)是通过观测得到的一组离散数据，则其可以用集合符号表示，例如：x(

4、n)=1.3,2.5,3.3,1.9,0,4.16第第1章章 时域离散信号和时域离散系统时域离散信号和时域离散系统 1.2.1常用的典型序列(7种）1.单位采样序列(n)1，n=00，n0(1.2.3)单位采样序列也可以称为单位脉冲序列，特点是仅在n=0时取值为1，其它均为零。模拟信号和系统中单位冲激函数(t)t=0，取值无穷大，t0，取值为0，对t积分为1。单位采样序列和单位冲激信号如图所示。7第第1章章 时域离散信号和时域离散系统时域离散信号和时域离散系统 图单位采样序列和单位冲激信号(a)单位采样序列；(b)单位冲激信号8第第1章章 时域离散信号和时域离散系统时域离散信号和时域离散系统

5、2.单位阶跃序列u(n)1,n00,n0(1.2.4)单位阶跃序列如图所示。模拟信号中单位阶跃函数u(t)1,t00,t0,t0(n)与u(n)之间的关系如下式所示：(n)=u(n)-u(n-1)(1.2.5)(1.2.6)令n-k=m，代入上式得到9第第1章章 时域离散信号和时域离散系统时域离散信号和时域离散系统 图1.2.2单位阶跃序列10第第1章章 时域离散信号和时域离散系统时域离散信号和时域离散系统 3.矩形序列RN(n)1,0nN-10，其它n(1.2.8)上式中N称为矩形序列的长度。当N=4时，R4(n)的波形如图所示。矩形序列可用单位阶跃序列表示，如下式：RN(n)=u(n)-u

6、(n-N)(1.2.9)(1.2.7)RN(n)=11第第1章章 时域离散信号和时域离散系统时域离散信号和时域离散系统 图1.2.3矩形序列12第第1章章 时域离散信号和时域离散系统时域离散信号和时域离散系统 4.实指数序列x(n)=anu(n)，a为实数如果|a|1，则称为发散序列。其波形如图所示。13第第1章章 时域离散信号和时域离散系统时域离散信号和时域离散系统 图1.2.4实指数序列14第第1章章 时域离散信号和时域离散系统时域离散信号和时域离散系统 5.正弦序列x(n)=sin(n)式中称为正弦序列的数字域频率，单位是弧度，它表示序列变化的速率，或者说表示相邻两个序列值之间变化的弧度

7、数。如果正弦序列是由模拟信号Xa(t)采样得到，那么xa(t)=sin(t)xa(t)|t=nT=sin(nT)x(n)=sin(n)15第第1章章 时域离散信号和时域离散系统时域离散信号和时域离散系统 因为在数值上，序列值与采样信号值相等，因此得到数字频率与模拟角频率之间的关系为=T(1.2.10)(1.2.10)式具有普遍意义，它表示凡是由模拟信号采样得到的序列，模拟角频率与序列的数字域频率成线性关系。由于采样频率fs与采样周期T互为倒数，也可以表示成下式：(1.2.11)16第第1章章 时域离散信号和时域离散系统时域离散信号和时域离散系统 6.复指数序列x(n)=e(+j0)n式中0为数

8、字域频率，设=0，用极坐标和实部虚部表示如下式：x(n)=ej0nx(n)=cos(0n)+jsin(0n)由于n取整数，下面等式成立：ej(0+2M)n=ej0n,M=0,1,217第第1章章 时域离散信号和时域离散系统时域离散信号和时域离散系统 7.周期序列如果对所有n存在一个最小的正整数N，使下面等式成立：x(n)=x(n+N),-n0时称为x(n)的延时序列；当n00时，序列右移；n0时，序列左移；将x(m)和h(n-m)相同m的序列值对应相乘后，再相加。按照以上三个步骤可得到卷积结果y(n)。41第第1章章 时域离散信号和时域离散系统时域离散信号和时域离散系统 例设x(n)=R4(n

9、)，h(n)=R4(n)，求y(n)=x(n)*h(n)。解按照(1.3.7)式，上式中矩形序列长度为4，求解上式主要是根据矩形序列的非零值区间确定求和的上、下限，R4(m)的非零值区间为：0m3，R4(n-m)的非零值区间为：0n-m3，其乘积值的非零区间，要求m同时满足下面两个不等式：42第第1章章 时域离散信号和时域离散系统时域离散信号和时域离散系统 0m3n-3mn因此，当当43第第1章章 时域离散信号和时域离散系统时域离散信号和时域离散系统 卷积过程以及y(n)波形如图所示，y(n)用公式表示为n+10n3y(n)=7-n4n60其它44第第1章章 时域离散信号和时域离散系统时域离散

10、信号和时域离散系统 图1.3.2例线性卷积45第第1章章 时域离散信号和时域离散系统时域离散信号和时域离散系统 卷积中主要运算是翻转、移位、相乘和相加，这类卷积称为序列的线性卷积。设两序列分别的长度是N和M，线性卷积后的序列长度为N+M-1。线性卷积服从交换律、结合律和分配律。它们分别用公式表示如下：x(n)*h(n)=h(n)*x(n)(1.3.8)x(n)*h1(n)*h2(n)=(x(n)*h1(n)*h2(n)(1.3.9)x(n)*h1(n)+h2(n)=x(n)*h1(n)+x(n)*h2(n)(1.3.10)46第第1章章 时域离散信号和时域离散系统时域离散信号和时域离散系统 以

11、上三个性质请自己证明。(1.3.8)式表示卷积服从交换律。(1.3.9)和(1.3.10)式分别表示其结合律和分配律。47第第1章章 时域离散信号和时域离散系统时域离散信号和时域离散系统 图1.3.3卷积的结合律和分配律48第第1章章 时域离散信号和时域离散系统时域离散信号和时域离散系统 再考查(1.2.13)式，它也是一个线性卷积公式，它表示的是序列本身与单位取样序列的线性卷积等于序列本身，表示如下：如果序列与一个移位的单位取样序列(n-n0)进行线性卷积，就相当于将序列本身移位n0(n0是整常数)，如下式表示：(1.3.11)49第第1章章 时域离散信号和时域离散系统时域离散信号和时域离散

12、系统 上式中只有当m=n-n0时，才可能有非零值，因此得到y(n)=x(n-n0)x(n-n0)=x(n)*(n-n0)(1.3.12)50第第1章章 时域离散信号和时域离散系统时域离散信号和时域离散系统 例在图中，h1(n)系统与h2(n)系统级联，设x(n)=u(n)h1(n)=(n)-(n-4)h2(n)=anu(n)，|a|1求系统的输出y(n)。图1.3.4例框图51第第1章章 时域离散信号和时域离散系统时域离散信号和时域离散系统 解先求第一级的输出m(n)，再求y(n)。m(n)=x(n)*h1(n)=u(n)*(n)-(n-4)=u(n)*(n)-u(n)*(n-4)=u(n)-

13、u(n-4)=R4(n)y(n)=m(n)*h2(n)=R4(n)*anu(n)52第第1章章 时域离散信号和时域离散系统时域离散信号和时域离散系统=anu(n)*(n)+(n-1)+(n-2)+(n-3)=anu(n)+an-1u(n-1)+an-2u(n-2)+an-3u(n-3)还可以将y(n)用下式表示y(n)=(n)+(1+a)(n-1)+(1+a+a2)(n-2)+u(n-3)53第第1章章 时域离散信号和时域离散系统时域离散信号和时域离散系统 系统的因果性和稳定性如果系统n时刻的输出，只取决于n时刻以及n时刻以前的输入序列，而和n时刻以后的输入序列无关，则称该系统具有因果性质，或

14、称该系统为因果系统。如果n时刻的输出还取决于n时刻以后的输入序列，在时间上违背了因果性，系统无法实现，则系统被称为非因果系统。因此系统的因果性是指系统的可实现性。线性时不变系统具有因果性的充分必要条件是系统的单位取样响应满足下式：h(n)=0，n0(1.3.13)54第第1章章 时域离散信号和时域离散系统时域离散信号和时域离散系统 所谓稳定系统，是指系统有界输入，系统输出也是有界的。系统稳定的充要条件是系统的单位取样响应绝对可和，用公式表示为(1.3.14)证明证明先证明充分性。55第第1章章 时域离散信号和时域离散系统时域离散信号和时域离散系统 因为输入序列x(n)有界，即|x(n)|B,-

15、n，B为任意常数如果系统的单位取样响应h(n)满足(1.3.14)式，那么输出y(n)一定也是有界的，即|y(n)|56第第1章章 时域离散信号和时域离散系统时域离散信号和时域离散系统 例设线性时不变系统的单位取样响应h(n)=anu(n)，式中a是实常数，试分析该系统的因果稳定性。解由于n0时，h(n)=0，所以系统是因果系统。只有当|a|1时57第第1章章 时域离散信号和时域离散系统时域离散信号和时域离散系统 因此系统稳定的条件是|a|1；否则，|a|1时，系统不稳定。系统稳定时，h(n)的模值随n加大而减小，此时序列h(n)称为收敛序列。如果系统不稳定，h(n)的模值随n加大而增大，则称

16、为发散序列。58第第1章章 时域离散信号和时域离散系统时域离散信号和时域离散系统 例1.3.7设系统的单位取样响应h(n)=u(n)，求对于任意输入序列x(n)的输出y(n)，并检验系统的因果性和稳定性。解h(n)=u(n)y(n)=x(n)*h(n)=因为当n-k0，求输出序列y(n)。解n=1时，n=0时，n=-1时，n=-n时，y(n-1)=a-1(y(n)-(n)y(0)=a-1(y(1)-(1)=0y(-1)=a-1(y(0)-(0)=-a-1y(-2)=a-1(y(-1)-(-1)=-a-2y(n-1)=-an-1将n-1用n代替，得到y(n)=-anu(-n-1)68第第1章章

17、时域离散信号和时域离散系统时域离散信号和时域离散系统 1.5 模拟信号数字处理方法模拟信号数字处理方法 在绪论中已介绍了数字信号处理技术相对于模拟信号处理技术的许多优点，因此人们往往希望将模拟信号经过采样和量化编码形成数字信号，再采用数字信号处理技术进行处理；处理完毕，如果需要，再转换成模拟信号，这种处理方法称为模拟信号数字处理方法。其原理框图如图所示。图中的预滤与平滑所起的作用在后面介绍。本节主要介绍采样定理和采样恢复。69第第1章章 时域离散信号和时域离散系统时域离散信号和时域离散系统 图1.5.1模拟信号数字处理框图70第第1章章 时域离散信号和时域离散系统时域离散信号和时域离散系统 1

18、.5.1采样定理及A/D变换器对模拟信号进行采样可以看作一个模拟信号通过一个电子开关S。设电子开关每隔周期T合上一次，每次合上的时间为T，在电子开关输出端得到其采样信号。71第第1章章 时域离散信号和时域离散系统时域离散信号和时域离散系统 图1.5.2对模拟信号进行采样72第第1章章 时域离散信号和时域离散系统时域离散信号和时域离散系统 上式中(t)是单位冲激信号，在上式中只有当t=nT时，才可能有非零值，因此写成下式：(1.5.1)(1.5.2)73第第1章章 时域离散信号和时域离散系统时域离散信号和时域离散系统 我们知道在傅里叶变换中，两信号在时域相乘的傅里叶变换等于两个信号分别的傅里叶变

19、换的卷积，按照(1.5.2)式，推导如下：设(1.5.3)按照(1.5.1)式，74第第1章章 时域离散信号和时域离散系统时域离散信号和时域离散系统 式中，s=2/T，称为采样角频率，单位是弧度/秒，(1.5.4)(1.5.5)75第第1章章 时域离散信号和时域离散系统时域离散信号和时域离散系统 上式表明采样信号的频谱是原模拟信号的频谱沿频率轴，每间隔采样角频率s重复出现一次，或者说采样信号的频谱是原模拟信号的频谱以s为周期，进行周期性延拓而成的。在图中，设xa(t)是带限信号，最高截止频率为c，其频谱Xa(j)如图1.5.3(a)所示。76第第1章章 时域离散信号和时域离散系统时域离散信号和

20、时域离散系统 图1.5.3采样信号的频谱77第第1章章 时域离散信号和时域离散系统时域离散信号和时域离散系统(1)对连续信号进行等间隔采样形成采样信号，采样信号的频谱是原连续信号的频谱以采样频率为周期进行周期性的延拓形成的，用公式(1.5.5)表示。(2)设连续信号xa(t)属带限信号，最高截止频率为c，如果采样角频率s2c(fs2fc)，那么让采样信号xa(t)通过一个增益为T，截止频率为s/2的理想低通滤波器，可以唯一地恢复出原连续信号xa(t)。否则s2c(fs2fc)会造成采样信号中的频谱混叠现象，不可能无失真地恢复原连续信号。78第第1章章 时域离散信号和时域离散系统时域离散信号和时

21、域离散系统 图1.5.5A/DC原理框图79第第1章章 时域离散信号和时域离散系统时域离散信号和时域离散系统 将模拟信号转换成数字信号由A/DC(Analog/DigitalConverter)完成，A/DC的原理框图如图所示。通过按等间隔T对模拟信号进行采样，得到一串采样点上的样本数据，这一串样本数据可看作时域离散信号(序列)。设A/DC有M位，那么用M位二进制数表示并取代这一串样本数据，即形成数字信号。因此，采样以后到形成数字信号的这一过程是一个量化编码的过程。例如：模拟信号xa(t)=sin(2ft+/8)，式中f=50Hz，选采样频率fs=200Hz，将t=nT代入Xa(t)中，得到采样数据.80第第1章章 时域离散信号和时域离散系统时域离散信号和时域离散系统 图1.5.8D/AC方框图数字信号转换成模拟信号81