数字信号处理-时域离散随机信号处理(丁玉美)第1章.ppt

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1、数字信号处理时域离散随机信号处理 第一章第一章 时域离散随机信号的分析时域离散随机信号的分析 1.1 引言引言 1.2 时域离散随机信号的统计描述时域离散随机信号的统计描述 1.3 随机序列数字特征的估计随机序列数字特征的估计 1.4 平稳随机序列通过线性系统平稳随机序列通过线性系统 1.5 时间序列信号模型时间序列信号模型 数字信号处理时域离散随机信号处理 1.1 引引 言言 信号有确定性信号和随机信号之分。所谓确定性信号，就是信号的幅度随时间的变化有一定的规律性，可以用一个明确的数学关系进行描述，是可以再现的。而随机信号随时间的变化没有明确的变化规律，在任何时间的信号大小不能预测，因此不可

2、能用一明确的数学关系进行描述，但是这类信号存在着一定的统计分布规律，它可以用概率密度函数、概率分布函数、数字特征等进行描述。数字信号处理时域离散随机信号处理 实际中的随机信号常有四种形式：（1）连续随机信号：时间变量和幅度均取连续值的随机信号。（2）时域离散随机信号(简称随机序列)：时间变量取离散值，而幅度取连续值的随机信号。（3）幅度离散随机信号：幅度取离散值，而时间变量取连续值的随机信号。例如随机脉冲信号，其取值只有两个电平，不是高电平就是低电平，但高低电平的选取却是随机的。（4）离散随机序列(也称为随机数字信号)：幅度和时间变量均取离散值的信号。数字信号处理时域离散随机信号处理 利用计算

3、机只能处理随机数字信号。本书中针对时域离散随机信号展开分析与讨论。对于随机数字信号，需要增加量化效应的分析,但随着计算机位数的不断增多,量化效应逐渐不明显；为简单起见，本书中有时也将这种信号简称为随机序列。数字信号处理时域离散随机信号处理 随机信号X(t)是由它所有可能的样本函数集合而成的,样本函数用xi(t),i=1,2,3,表示。例如,图1.1.1表示的是n部接收机的输出噪声电压,图中xn(t)表示第n部接收机的输出噪声,称为第n条样本曲线。如果对随机信号X(t)进行等间隔采样，或者说将X(t)进行时域离散化,得到X(t1),X(t2),X(t3),所构成的集合称为时域离散随机信号。用序号

4、n取代tn，随机序列用X(n)表示。换句话说,随机序列是随n变化的随机变量序列。图1.1.2表示的就是图1.1.1随机 信号 经 过时域 离散 化形成 的随机 序列。相 应的xi(n),i=1,2,3,，称为样本序列，它们是n的确定性函数。样本序列也可以用xn表示。而X(t1),X(t2),X(t3)，或者X(1),X(2),X(3)，则都是随机变量。因此随机序列兼有随机变量和函数的特点。这里要注意,X(n)与xi(n)分别表示不同的含义(n,i=1,2,3,)，大写字母表示随机序列或者随机变量，小写字母表示样本序列。但在本书以后的章节中,为简单起见，也用小写字母x(n)或xn表示随机序列,只

5、要概念清楚,会分清楚何时代表随机序列,何时代表样本函数。数字信号处理时域离散随机信号处理 图 1.1.1 n部接收机的输出噪声 数字信号处理时域离散随机信号处理 图 1.1.2 n部接收机输出噪声的时域离散化 数字信号处理时域离散随机信号处理 1.2 时域离散随机信号的统计描述时域离散随机信号的统计描述 1.2.1 时域离散随机信号（随机序列）的概率描述时域离散随机信号（随机序列）的概率描述1.概率分布函数概率分布函数对于随机变量Xn,其概率分布函数用下式描述：(1.2.1)式中P表示概率。数字信号处理时域离散随机信号处理 2.概率密度函数概率密度函数如果Xn取连续值，其概率密度函数用下式描述

6、：上面(1.2.1)和(1.2.2)式分别称为随机序列的一维概率分布函数和一维概率密度函数，它们只描述随机序列在某一n的统计特性。而对于随机序列，不同n的随机变量之间并不是孤立的，为了更加完整地描述随机序列，需要了解二维及多维统计特性。数字信号处理时域离散随机信号处理 二维概率分布函数:(1.2.3)对于连续随机变量,其二维概率密度函数为(1.2.4)以此类推,N维概率分布函数为 数字信号处理时域离散随机信号处理 对于连续随机变量,其N维概率密度函数为 概率分布函数能对随机序列进行完整的描述,但实际中往往无法得到它。为此，引入随机序列的数字特征。在实际中，这些数字特征比较容易进行测量和计算,知

7、道这些数字特征也足够用了。常用的数字特征有数学期望、方差和相关函数。数字信号处理时域离散随机信号处理 1.2.2 随机序列的数字特征随机序列的数字特征1.数学期望数学期望(统计平均值统计平均值)随机序列的数学期望定义为(1.2.7)式中E表示求统计平均值。由上式可见，数学期望是n的函数，如果随机序列是平稳的，则数学期望是常数，与n无关。数字信号处理时域离散随机信号处理 2.均方值与方差均方值与方差 随机序列均方值定义为(1.2.8)随机序列的方差定义为(1.2.9)可以证明，上式也可以写成下式:(1.2.10)数字信号处理时域离散随机信号处理 一般均方值和方差都是n的函数,但对于平稳随机序列,

8、它们与n无关,是常数。如果随机变量Xn代表电压或电流，其均方值表示在n时刻消耗在1 电阻上的集合平均功率，方差则表示消耗在1电阻上的交变功率的集合平均。有时将x称为标准方差。数字信号处理时域离散随机信号处理 3.随机序列的相关函数和协方差函数随机序列的相关函数和协方差函数 我们知道,在随机序列不同时刻的状态之间，存在着关联性，或者说不同时刻的状态之间互相有影响，包括随机序列本身或者不同随机序列之间。这一特性常用自相关函数和互相关函数进行描述。自相关函数定义为(1.2.11)数字信号处理时域离散随机信号处理 自协方差函数定义为(1.2.12)式中的“*”表示复共轭。上式也可以写成(1.2.13)

9、对于零均值随机序列，mXn=mXm=0,则 这种情况下，自相关函数和自协方差函数没有什么区别。数字信号处理时域离散随机信号处理 对于两个不同的随机序列之间的关联性，我们用互相关函数和互协方差函数描述。互相关函数的定义为 式中pXn,Ym(xn,n,ym,m)表示Xn和Ym的联合概率密度。互协方差函数定义为 同样,当mXn=mYm=0时，cov(Xn,Ym)=rxy(n,m)数字信号处理时域离散随机信号处理 1.2.3 平稳随机序列及其数字特征平稳随机序列及其数字特征 在信息处理与传输中，经常遇到一类称为平稳随机序列的重要信号。所谓平稳随机序列，是指它的N维概率分布函数或N维概率密度函数与时间n

10、的起始位置无关。换句话说，平稳随机序列的统计特性不随时间的平移而发生变化。如果将随机序列在时间上平移k，其统计特性满足下式：(1.2.16)数字信号处理时域离散随机信号处理 这类随机序列就称为平稳随机序列。经常将上面这类随机序列称为狭义(严)平稳随机序列，这一严平稳的条件在实际情况下很难满足。许多随机序列不是平稳随机序列，但是它们的均值和均方差却不随时间而改变，其相关函数仅是时间差的函数。一般将这一类随机序列称为广义(宽)平稳随机序列。下面我们重点分析研究这类平稳随机序列。为简单起见，将广义平稳随机序列简称为平稳随机序列。数字信号处理时域离散随机信号处理 平稳随机序列的一维概率密度函数与时间无

11、关，因此均值、方差和均方值均与时间无关，它们可分别用下式表示：(1.2.17)(1.2.18)(1.2.19)二维概率密度函数仅决定于时间差，与起始时间无关；自相关函数与自协方差函数是时间差的函数。自相关函数rxx(m)与自协方差函数covxx(m)分别用下式表示:(1.2.20)(1.2.21)数字信号处理时域离散随机信号处理 对于两个各自平稳且联合平稳的随机序列,其互相关函数为(1.2.22)显然,对于自相关函数和互相关函数,下面公式成立:(1.2.23)(1.2.24)如果对于所有的m，满足公式：rxy(m)=0，则称两个随机序列互为正交。如果对于所有的m，满足公式:rxy(m)=mxm

12、y,covxy(m)=0，则称两个随机序列互不相关。数字信号处理时域离散随机信号处理 实平稳随机序列的相关函数、协方差函数具有以下重要性质：（1）自相关函数和自协方差函数是m 的偶函数,用下式表示:(1.2.25)(1.2.26)（2）(1.2.27)rxx(0)数值上等于随机序列的平均功率。数字信号处理时域离散随机信号处理（3）（4）(1.2.29)(1.2.30)上式说明大多数平稳随机序列内部的相关性随着时间差的变大，愈来愈弱。（5）(1.2.31)数字信号处理时域离散随机信号处理 1.2.4 平稳随机序列的功率密度谱平稳随机序列的功率密度谱 我们知道,平稳随机序列是非周期函数，且是能量无

13、限信号，无法直接利用傅里叶变换进行分析。但自相关函数也是非周期序列，却随着时间差m的增大，而趋近于随机序列的均值。如果随机序列的均值为0，即mx=0,rxx(m)是收敛序列，其Z变换用Pxx(z)表示如下:(1.2.32)且(1.2.3)数字信号处理时域离散随机信号处理 将(1.2.23)式进行Z变换，得到：(1.2.34)如果z1是其极点，1/z*1也是极点。如果z1在单位圆内，必须在单位圆外，收敛域一定包含单位圆，Pxx(z)的收敛域有以下形式：0Ra1 类似地,互相关函数的Z变换用Pxy(z)表示,有(1.2.35)数字信号处理时域离散随机信号处理(1.2.36)由于Pxx(z)的收敛域

14、包含单位圆，因此rxx(m)的傅里叶变换存在。令z=exp(j),代入(1.2.32)式，有(1.2.37)(1.2.38)将m=0代入上式，得到(1.2.39)数字信号处理时域离散随机信号处理（1）功率谱是的偶函数：(1.2.40)功率谱是的偶函数这一结果,可直接由自相关函数是时间差的偶函数证明。由于功率谱和自相关函数都是实、偶函数，它们还可以表示为(1.2.41)(1.2.42)数字信号处理时域离散随机信号处理（2）功率谱是实的非负函数，即 Pxx()0 性质(2)的证明见下节。类似地，对于互功率谱,有(1.2.43)(1.2.44)(1.2.45)数字信号处理时域离散随机信号处理 1.2

15、.5 随机序列的各态历经性随机序列的各态历经性 我们知道集合平均要求对大量的样本进行平均,实际中这种做法是不现实的。在很多情况下，可以用一条样本曲线描述随机序列，因此可以用样本曲线进行测量和分析。设x(n)是平稳随机序列X(n)的一条样本曲线，其时间平均值为(1.2.46)类似地，其时间自相关函数为(1.2.47)数字信号处理时域离散随机信号处理 式中表示时间平均算子。如果平稳随机序列的集合平均值与集合自相关函数值依概率趋于平稳随机序列样本函数的时间平均值与时间自相关函数，即满足下面两式：x(n)=mx=EX(n)x*(n)x(n+m)=rxx(m)=EX*(n)X(n+m)(1.2.48)(

16、1.2.49)则称该平稳随机序列具有各态历经性。平稳随机序列虽有各态历经性的和非各态历经性的两种，但在实际中遇到的平稳随机序列，一般都是各态历经性的。这样我们用研究平稳随机序列的一条样本曲线代替研究其集合，用时间平均代替集合平均，这给研究平稳随机序列带来很大的方便。数字信号处理时域离散随机信号处理 1.2.6 特定的随机序列特定的随机序列 1.正态（高斯）随机序列正态（高斯）随机序列正态随机序列x(n)的N维联合概率密度函数用下式表示：(1.2.50)式中 数字信号处理时域离散随机信号处理 数字信号处理时域离散随机信号处理 上面公式表明，正态（高斯）随机序列仅决定于其均值矢量M以及方差阵var

17、X。具有指数型自相关函数的平稳高斯过程称为高斯马尔可夫过程。这种信号的自相关函数和谱密度函数为 高斯马尔可夫也是一种常见的随机信号，适合于大多数物理过程，具有较好的精确性，数学描述简单。因为当m时，自相关函数趋近于0，所以均值为0，过程的自相关函数特性完全描述了过程的特性。数字信号处理时域离散随机信号处理 2.白噪声序列白噪声序列 如果随机序列x(n)，其随机变量是两两不相关的，即 式中 mn mn 则称该序列为白噪声序列;如果白噪声序列是平稳的，则 cov(xn,xm)=2mn(1.2.54)数字信号处理时域离散随机信号处理 式中,2是常数。设均值mxn=m=0，其功率谱Pxx(ej)=2，

18、在整个频带上功率谱是一个常数。如果白噪声序列服从正态分布，序列中随机变量的两两不相关性就是相互独立性，称为正态白噪声序列。显然，白噪声是随机性最强的随机序列,实际中不存在,是一种理想白噪声,一般只要信号的带宽大于系统的带宽,且在系统的带宽中信号的频谱基本恒定,便可以把信号看作白噪声。注意：正态和白色是两种不同的概念，前者是指信号取值的规律服从正态分布，后者指信号不同时刻取值的关联性。数字信号处理时域离散随机信号处理 3.谐波过程谐波过程谐波过程用下式描述：(1.2.55)式中，Ai和i(i=1,2,3,N)是常数，i(i=1,2,3,N)是服从均匀分布的独立随机变量，其概率密度用下式表示：(1

19、.2.5)也可以将(1.2.55)式写成下式:式中(1.2.5)(1.2.5)数字信号处理时域离散随机信号处理 可以证明,这种谐波信号模型是平稳的,设N=1,计算它的统计平均值和自相关函数：(1.2.59)(1.2.60)数字信号处理时域离散随机信号处理 上式中第一项积分为0，因此(1.2.61)由于谐波过程的统计平均值与时间n无关,自相关函数仅与时间差m有关,谐波过程是平稳的。当N大于1时，也有同样的结论，可以证明：(1.2.62)数字信号处理时域离散随机信号处理 1.2.7 随机信号的采样定理随机信号的采样定理 对于平稳随机信号，如果其功率谱严格限制在某一有限频带内，该随机信号称为带限随机

20、信号。如果平稳随机信号X(t)的功率谱Pxx()满足下式：则称X(t)为低通性带限随机信号，式中c表示功率谱的最高截止频率。设以采样间隔T对平稳随机信号X(t)进行采样，采样后随机序列为X(n)，只要采样频率fs满足：或者(1.2.63)数字信号处理时域离散随机信号处理 则有以下采样插值公式:(1.2.64)可以证明,在均方意义上,X(t)等于1，即(1.2.6)数字信号处理时域离散随机信号处理 1.3 随机序列数字特征的估计随机序列数字特征的估计 1.3.1 估计准则估计准则一般来说，根据观测数据对一个量（参数）或者同时对几个量（参数）进行推断，是估计问题。例如，通信工程中的信号参数和波形，

21、包括振幅、频率、相位、时延和瞬时波形。这里无论对何种量估计，都必须根据观测值进行估计，而观测存在观测误差（或者把观测误差看成噪声），虽然被估计的参数是确定量，观测数据却是随机的，由观测值推算出的估计量存在随机估计误差。因此如何判定估计方法的好坏，是统计估计的基本问题。数字信号处理时域离散随机信号处理 假定对随机变量x观测了N次，得到N个观测值：x0,x1,x2,xN-1，希望通过这N个观测值估计参数，称为真值，它的估计值用表示。是观测值的函数，假定该函数关系用F表示，(1.3.1)数字信号处理时域离散随机信号处理 图 1.3.1 估计量的概率密度曲线 数字信号处理时域离散随机信号处理 1.偏移

22、性偏移性令估计量的统计平均值与真值之间的差值为偏移B，其公式为(1.3.2)如果B=0，称为无偏估计。无偏估计表示估计量仅在它的真值附近摆动，这是我们希望有的估计特性。如果B0，则称为有偏估计。如果随着观察次数N的加大，能够满足下式：(1.3.)则称为渐近无偏估计，这种情况在实际中是经常有的。数字信号处理时域离散随机信号处理 2.估计量的方差估计量的方差如果两个估计量的观察次数相同，又都是无偏估计，哪一个估计量在真值附近的摆动更小一些，即估计量的方差更小一些，就说这一个估计量的估计更有效。如果和都是x的两个无偏估计值，对任意N，它们的方差满足下式：式中(1.3.4)则称比更有效。一般希望当N时

23、，。数字信号处理时域离散随机信号处理 3.一致性一致性均方误差均方误差在许多情况下，比较两个有偏估计值是较麻烦的。偏移较小的估计值，可能有较大的方差，而方差较小的估计值可能有较大的偏移，此时使用与估计值有关的均方误差会更方便。估计量的均方误差用下式表示：(1.3.5)如果估计量的均方差随着观察次数的增加趋于0，即估计量随N的加大，在均方意义上趋于它的真值，则称该估计是一致估计。估计量的均方误差与估计量的方差和偏移的关系推导如下：数字信号处理时域离散随机信号处理(1.3.6)上式表示，随N的加大，偏移和估计量方差都趋于零，是一致估计的充分必要条件。通常对于一种估计方法的选定，往往不能使上述的三种

24、性能评价一致，此时只能对它们折衷考虑，尽量满足无偏性和一致性。下面讨论均值、方差、自相关函数的估计方法，均假设随机序列平稳且具有各态历经性，集合平均可以用长时间的时间平均代替。数字信号处理时域离散随机信号处理 1.3.2 均值的估计均值的估计假设已取得样本数据：xi(i=0,1,2,N-1)，均值的估计量用下式计算：(1.3.7)式中N是观察次数。下面用已介绍的方法评价它的估计质量。数字信号处理时域离散随机信号处理 1.偏移偏移（1.3.8）因此 B=0，说明这种估计方法是无偏估计。数字信号处理时域离散随机信号处理 2.估计量的方差与均方误差估计量的方差与均方误差 在计算上式时，与数据内部的相

25、关性有关，先假设数据内部不相关，那么(1.3.9)(1.3.10)数字信号处理时域离散随机信号处理 以上式表明，估计量的方差随观察次数N增加而减少，当时，估计量的方差趋于0。这种情况下估计量的均方误差为 这样，当N时，B=0,，是一致估计。结论是：当数据内部不相关时，按照（1.3.7）式估计均值，是一种无偏的一致估计，是一种好的估计方法。如果数据内部存在关联性，会使一致性的效果下降，估计量的方差比数据内部不存在相关情况的方差要大，达不到信号方差的1/N。数字信号处理时域离散随机信号处理 当序列的n与i相差m时，E(xn-mx)(xi-mx)=cov(m),而N点数据中相距m点的样本有N-m对，

26、因此 数字信号处理时域离散随机信号处理(1.3.11)式中 上式表明当数据之间存在相关性时，按照（1.3.7）式估计均值，其估计量的方差下降不到真值的1/N。也可将上式表示成(1.3.12)数字信号处理时域离散随机信号处理 1.3.3 方差的估计方差的估计 已知N点样本数据xi(i=0,1,2,N-1)，假设数据之间不存在相关性，且信号的均值mx已知，方差用下式估计：(1.3.13)可以证明这是一致估计，但实际中一般mx是不知道的。下面分析数据之间不存在相关性，均值也不知道的情况下，方差的估计方法。方差估计用下式计算：(1.3.14)数字信号处理时域离散随机信号处理 式中的均值估计值 用（1.

27、3.7）式计算。下面分析它的偏移性，按照上式，有(1.3.15)式中的第二项已经推出，即(1.3.9)式。式中的第三项推导如下：(1.3.16)数字信号处理时域离散随机信号处理 将(1.3.9)式和(1.3.16)式代入(1.3.15)式，得到 上式表明，按照（1.3.7）式估计方差，是有偏估计，但是渐进无偏。为了得到无偏估计，可以用下式计算：（1.3.18）之间的关系是 和（1.3.19）数字信号处理时域离散随机信号处理 将上式两边取统计平均值，并将（1.3.17）式代入，得到（1.3.20）上式表明，按照（1.3.18）式估计方差，是无偏估计。另外可以证明它也是一致估计，证明从略。如果数据

28、之间存在相关性，也按照（1.3.18）式进行计算方差，可以证明是有偏估计，但是渐近无偏估计，方差估计值的统计平均值如下式：(1.3.21)数字信号处理时域离散随机信号处理 1.3.4 随机序列自相关函数的估计随机序列自相关函数的估计 1.无偏自相关函数的估计无偏自相关函数的估计估计公式为 0mN-1 1-Nm0 将上面两式写成一个表达式：（1.3.22）数字信号处理时域离散随机信号处理 下面分析这种自相关函数的估计质量，首先分析偏移性：（1.3.23）因此,B=0,这是一种无偏估计。下面推导估计量的方差:（1.3.24）数字信号处理时域离散随机信号处理 为了分析简单，假设x(n)是实的、均值为

29、0的高斯随机信号，求和号内的部分可以写成下式：(1.3.25)数字信号处理时域离散随机信号处理 式中，令r=k-n 此时求和域发生了变化，如图1.3.2所示，根据变化后的求和域(k,r)，估计量的方差推导如下:图 1.3.2 求和域的变化 数字信号处理时域离散随机信号处理(1.3.26)一般观测数据量N很大，(1.3.27)数字信号处理时域离散随机信号处理 2.有偏自相关函数的估计有偏自相关函数的估计 有偏自相关函数用 表示，计算公式如下：(1.3.28)对比（1.3.22）式，不同的是求平均时只用N去除，这是不合理的，但下面可推导出它服从渐近一致估计的原则，比无偏自相关函数的估计误差小，因此

30、以后需要由观测数据估计自相关函数时，均用上式进行计算。下面先分析它的偏移性。数字信号处理时域离散随机信号处理 对比（1.3.22）式和(1.3.28)式，无偏自相关函数与有偏自相关函数的关系式为（1.3.29）因为 是无偏估计，因此得到（1.3.30）上式说明 是有偏估计，但是渐近无偏，其偏移为（1.3.31）数字信号处理时域离散随机信号处理 在（1.3.30）式中,的统计平均值等于其真值乘以三角窗函数wB(m)（或称巴特利特窗函数）,(1.3.32)三角窗函数的波形如图1.3.3所示。只有当m=0时，才是无偏的，其它m都是有偏的，但当N时，wB(m)1，B0,因此 是渐近无偏。数字信号处理时

31、域离散随机信号处理 图 1.3.3 三角窗函数 数字信号处理时域离散随机信号处理 按照（1.3.29）式,估计量的方差为 将（1.3.27）式代入上式,得到(1.3.34)显然,当N时,，并且 由以上得到结论：虽然是有偏估计，但是渐近一致估计，估计量的方差小于的方差。因此实际中多用这种有偏自相关函数估计。注意，以后有偏自相关函数改用 表示。数字信号处理时域离散随机信号处理 1.4 平稳随机序列通过线性系统平稳随机序列通过线性系统 1.4.1 系统响应的均值、系统响应的均值、自相关函数和平稳性分析自相关函数和平稳性分析 设所研究的线性系统是稳定非时变的，其单位脉冲响应为h(n),输入是平稳随机序

32、列x(n)，输出为 因为输入是平稳随机序列，Ex(n-k)=mx，故(1.4.1)数字信号处理时域离散随机信号处理 这样,mx与时间无关，my也与时间无关。先假定输出是非平稳的，那么，输出的自相关函数为 因为x(n)是平稳的，因此 所以（1.4.2）数字信号处理时域离散随机信号处理 对于（1.4.2）式,令l=r-k,得到(1.4.3)式中(1.4.4)v(l)通常称为h(n)的自相关函数，也可以将v(l)写成卷积形式：v(l)=h*(l)*h(-l)=h*(-l)*h(l)(1.4.5)上式表示v(l)是h*(l)与h(-l)离散卷积或者是h*(-l)和h(l)的离散卷积。这样线性系统输出的

33、自相关函数等于输入自相关函数与线性系统单位脉冲响应的自相关函数的卷积。数字信号处理时域离散随机信号处理 1.4.2 输出响应的功率谱密度函数输出响应的功率谱密度函数 设将（1.4.5）、(1.4.3)式分别写成Z变换形式,表示如下:(1.4.6)(1.4.7)将z=ej代入上式，得到输出功率谱：Pyy(ej)=Pxx(ej)H(ej)H*(ej)=Pxx(ej)|H(ej)|2(1.4.8)如果h(n)是实序列，（1.4.5）、(1.4.6)、(1.4.7)式简化为 数字信号处理时域离散随机信号处理 v(l)=h(l)*h(-l)(1.4.9)V(z)=H(z)H(z-1)(1.4.10)Py

34、y(z)=Pxx(z)H(z)H(z-1)(1.4.11)下面利用(1.4.8)式证明功率谱密度函数的非负性质。如果mx=0，按照（1.4.1）式,my=0,再按照(1.2.39)式和相关函数的性质(2),得到 将(1.4.8)式带入上式,得到 数字信号处理时域离散随机信号处理 由于Pxx(ej)和|H(ej)|2均是的偶函数,假设系统的幅度特性|H(ej)|如图1.4.1所示,因此 故 Pxx(ej)0,最后证明了信号的功率谱密度函数是实、偶、非负函数。数字信号处理时域离散随机信号处理 图 1.4.1 理想带通滤波器的幅度特性 数字信号处理时域离散随机信号处理 1.4.3 系统的输入、系统的

35、输入、输出互相关函数输出互相关函数 线性非时变系统输入与输出之间互相关函数为(1.4.12)因此，输入、输出之间的互相关函数等于系统的单位脉冲响应与输入自相关函数的卷积。一般称(1.4.12)式为输入、输出互相关定理。设x(n)是另均值平稳随机序列，（1.4.12）式的Z变换为(1.4.13)输入、输出的功率谱表示为(1.4.14)数字信号处理时域离散随机信号处理 1.4.4 相关卷积定理相关卷积定理 将前面推导出的（1.4.3）式和(1.4.4)式重写如下：该公式用语言叙述如下：x(n)与h(n)卷积的自相关函数等于x(n)的自相关函数和h(n)的自相关函数的卷积。或者简单地说,卷积的相关等

36、于相关的卷积。用一般公式表示如下：如果 e(n)=a(n)*b(n)f(n)=c(n)*d(n)那么 ref(m)=rac(m)*rbd(m)(1.4.15)数字信号处理时域离散随机信号处理 例例1.4.1 假设系统的输入、输出和单位脉冲响应分别用x(n)、y(n)和h(n)表示，试求输入、输出互相关函数和输入自相关函数之间的关系。解解 按照相关卷积定理，得到 x(n)=x(n)*(n)y(n)=x(n)*h(n)rxy(m)=rxx(m)*rh(m)式中 数字信号处理时域离散随机信号处理 将该式带入上式，得到 rxy(m)=rxx(m)*h(m)这就是已经推导出的输入、输出互相关卷积定理。对

37、于实、平稳随机信号相关函数的性质(1)，得到输出、输入互相关函数和输入自相关函数之间的关系：ryx(m)=rxy(-m)=rxx(-m)*h(-m)=rxx(m)*h(-m)Pyx(z)=Pxx(z)H(z-1)数字信号处理时域离散随机信号处理 例例1.4.2 按照图1.4.2推导两个系统的输出互相关函数与输入互相关函数之间的关系。解解 y1(n)=x1(n)*h1(n)y2(n)=x2(n)*h2(n)按照相关卷积定理,有(1.4.16)数字信号处理时域离散随机信号处理 图1.4.2 例1.4.2图数字信号处理时域离散随机信号处理 按照图1.4.2还有下面关系式,作为练习,请读者自己证明。(

38、1)(2)(1.4.17)(1.4.18)(1.4.19)(1.4.20)数字信号处理时域离散随机信号处理 例例1.4.3 已知实平稳白噪声x(n)的功率谱是2x，使通过一个q阶的FIR网络(对这里q阶的解译，请参考本章1.5节)，求输出自相关函数ryy(m)、功率谱Pyy(ej)、互相关函数rxy(m)和互谱Pxy(ej)。解解 设系统的传输函数用下式表示：式中系数bn是实数，按照（1.4.8）式，网络输出的功率谱为 数字信号处理时域离散随机信号处理 数字信号处理时域离散随机信号处理 因为(n)的傅里叶变换是1，(n+m)+(n-m)的傅里叶变换是2 cos(m)，那么对上式进行反变换，得到

39、上式表明输出信号的自相关函数ryy(m)有限长，存在于q之间。类似地，可求出互谱和互相关函数为 数字信号处理时域离散随机信号处理 例例1.4.4 设实平稳白噪声x(n)的方差是2x,均值mx=0，让x(n)通过一个网络，网络的差分方程为y(n)=x(n)+ay(n-1)式中a是实数。求网络输出的功率谱和自相关函数。解解 先用归纳法求网络输出的自相关函数 ryy(m)=Ey(n)y(n+m)令m=0,则 ryy(0)=Ey2(n)=E(x(n)+ay(n-1)2ryy(0)=Ex2(n)+a2Ey2(n-1)+2aEx(n)y(n-1)数字信号处理时域离散随机信号处理 上式中y(n-1)发生在x

40、(n)之前，它只和x(n-1),x(n-2),有关，而且x(n)是白噪声，x(n)和x(n-1)x(n-2),无关，因此上式中的第三项等于0,那么 令m=1，则 ryy(1)=Ey(n)y(n+1)ryy(1)=Ey(n)(ay(n)+x(n+1)=aryy(0)数字信号处理时域离散随机信号处理 令m=2,则 ryy(2)=Ey(n)y(n+2)=Ey(n)(ay(n+1)+x(n+2)=aryy(1)=a2ryy(0)总结规律，因此有 下面再求网络输出的功率谱,由给定的网络差分方程,得到网络系统函数 数字信号处理时域离散随机信号处理 网络输出功率谱为 式中,a是网络的极点,为了稳定,要求|a

41、|1。a愈接近于单位圆，功率谱峰愈尖锐，带宽愈窄，但相关函数衰减愈慢；反过来，a愈小，功率谱下降愈慢，自相关函数衰减愈加快。数字信号处理时域离散随机信号处理 1.5 时间序列信号模型时间序列信号模型 图 1.5.1 平稳随机序列的信号模型 数字信号处理时域离散随机信号处理 1.5.1 三种时间序列模型三种时间序列模型假设信号模型用一个P阶差分方程描述:x(n)+a1x(n-1)+apx(n-p)=w(n)+b1w(n-1)+bqw(n-q)(1.5.1)式中,w(n)是零均值、方差为2w的白噪声;x(n)是我们要研究的随机序列。根据系数取值情况，将模型分成以下三种。数字信号处理时域离散随机信号

42、处理 1.滑动平均模型（滑动平均模型（Moving Average，简称简称MA模型）模型）当（1.5.1）式中ai=0,i=1,2,3,p时,该模型称为MA模型。模型差分方程和系统函数分别用下式表示：x(n)=w(n)+b1w(n-1)+bqw(n-q)H(z)=B(z)B(z)=1+b1z-1+b2z-2+bqz-q(1.5.2)(1.5.3)上式表明该模型只有零点,没有除原点以外的极点，因此此模型也称为全零点模型。如果模型全部零点都在单位圆内部，则是一个最小相位系统，且模型是可逆的。数字信号处理时域离散随机信号处理 2.自回归模型（自回归模型（Autoregressive,简称简称AR模

43、型）模型）当（1.5.1）式中bi=0,i=1,2,3,，q时，该模型称为AR模型。模型差分方程和系统函数分别用下式表示：x(n)+a1x(n-1)+a2x(n-2)+apx(n-p)=w(n)A(z)=1+a1z-1+a2z-2+apz-p 上式表明该模型只有极点,没有除原点以外的零点，因此该模型也称为全极点模型。只有当全部极点都在单位圆内部时，模型才稳定。数字信号处理时域离散随机信号处理 3.自回归自回归-滑动平均模型（简称滑动平均模型（简称ARMA模型）模型）该模型的差分方程用（1.5.1）式描述，系统函数用下式表示：式中，分子部分称为MA部分，分母部分称为AR部分，这两部分无公共因子，

44、应分别满足稳定性和可逆性的条件。数字信号处理时域离散随机信号处理 关于滤波器的长度和阶数作如下说明：滤波器长度一般是指滤波器的单位脉冲响应的长度，对于FIR滤波器或者MA模型,其单位脉冲响应的长度是有限长的，长度就是系数的个数；对于IIR滤波器或者AR模型、ARMA模型，其单位脉冲响应的长度则是无限长的，一般只讲它的阶数，阶数是指（1.5.5）、(1.5.6)式中的p的大小，如果用差分方程表示，则p就是差分方程的阶数。对于FIR滤波器或者MA模型的阶数，则是指（1.5.3）式中q的大小，或者说是它的长度减1。数字信号处理时域离散随机信号处理 1.5.2 三种时间序列信号模型的适应性三种时间序列

45、信号模型的适应性(1)沃尔德分解定理：任意一个实平稳随机序列x(n)均可以分解成：x(n)=u(n)+v(n)，式中u(n)是确定性信号,v(n)是具有连续谱分布函数的平稳随机MA序列。这里确定性部分可以不存在或者事先去掉，MA部分常常是有限阶的。该定理说明MA信号模型具有普遍使用的性质。由于ARMA信号模型包含了MA模型部分，因此ARMA信号模型也具有普遍使用的性质。对于AR信号模型的适用性，下面予以说明。数字信号处理时域离散随机信号处理（2）任意一个MA序列可用无限阶AR信号模型表示，或者用阶数足够大的AR信号模型近似表示。证明如下：设MA序列为 b0=1 对上式进行Z变换得到 X(z)=

46、B(z)W(z)式中，B(z)是MA信号模型的系统函数，或者说是bi(i=1,2,3,)序列的Z变换。设MA信号模型满足可逆性条件，即B-1(z)存在，令 B-1(z)=G(z)=1+g1z-1+g2z-2+数字信号处理时域离散随机信号处理 这样 X(z)G(z)=(1+g1z-1+g2z-2+)X(z)=W(z)对上式进行Z反变换，得到 x(n)+g1x(n-1)+g2x(n-2)+=w(n)上式表示的就是x(n)的AR信号模型差分方程，因此证明了一个时间序列可以用有限阶MA信号模型表示时，也可以用无限阶的AR模型表示，对于ARMA模型也同样可以证明。数字信号处理时域离散随机信号处理 例如,

47、ARMA模型系统函数为 设AR模型系统函数用HAR(z)表示：令HAR(z)=H(z),即 可以求出ci系数 数字信号处理时域离散随机信号处理 以上说明MA和ARMA模型可以用无限阶AR模型表示。反过来的结论也正确。例如：用MA模型表示：i=0 i1 数字信号处理时域离散随机信号处理 以上表明三种信号模型可以相互转化，而且都具有普遍适用性，但是对于同一时间序列用不同信号模型表示时，却有不同的效率。这里说的效率,指的是模型的系数愈少，效率愈高。一般AR模型适合表示时间序列的功率谱有尖峰而没有深谷的信号，MA模型适合表示其功率谱有深谷而没有尖峰的信号，ARMA模型则适合尖峰和深谷都有的情况。如果信

48、号的功率谱有尖峰而没有深谷，用具有极点的AR模型表示将比用MA模型表示用的系数少，即效率高。但AR模型比较其它两种模型计算简单，许多研究人员喜欢采用AR模型，只要阶数选高些，近似性较好。数字信号处理时域离散随机信号处理 1.5.3 自相关函数、功率谱与时间序列信号模型的关系自相关函数、功率谱与时间序列信号模型的关系 1.有理谱信号有理谱信号如果信号模型输出的功率谱是ej或者cos的有理函数，这种随机信号称为有理谱信号。分析(1.5.7)式，如果zi是H(z)的极点，z-1i就是H(z-1)的极点，Pxx(z)一定包含下面的因子：(z-zi)(z-1-zi)=1-zi(z+z-1)+z2i 上式

49、表示H(z)H(z-1)是(z+z-1)的函数，设该函数用V()表示，可以写成下式：H(z)H(z-1)=V()数字信号处理时域离散随机信号处理 令z=ej，得到 上式说明有理谱信号的功率谱是ej或者cos的有理函数。数字信号处理时域离散随机信号处理 2.谱分解定理谱分解定理 如果功率谱Pxx(ej)是平稳随机序列x(n)的有理谱，那么一定存在一个零极点均在单位圆内的有理函数H(z),满足 式中，ak,bk都是实数，a0=b0=1,且|k|1,|k|1。数字信号处理时域离散随机信号处理 我们知道系统函数的极点只能分布在单位圆内部，才能构成因果稳定的系统，而零点分布不影响系统的因果稳定性。单位圆

50、上可以有零点但不能有极点，否则极点在单位圆上会使系统不稳定。这样我们总可以用单位圆内部的零极点组成一个系统H(z)（该系统自然是最小相位系统），又因为系统系数是实数，圆外的零极点必定与圆内的零极点共轭对称。这样除了单位圆内部零极点外，用其它零极点组成的系统函数必定是H(z-1)。这是谱分解定理的一种解释，定理证明请参考文献1。下面用例子说明。数字信号处理时域离散随机信号处理 例例1.5.1 已知有理谱如下式：我们把所有可能的分解形式写出来：(1)(2)数字信号处理时域离散随机信号处理(3)(4)在以上四种分解情况中，只有（1）满足极零点均在单位圆内部，因此按照谱分解定理的约束条件，只能唯一地分