高考数学函数真题汇编.pdf

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1、精品基础教育教学资料，仅供参考，需要可下载使用！高考数学 不等式真题汇编1.(2017 北 京)已知函数/(x)=3*-(：),则/(x)(A)(A)是奇函数，且 在R上是增函数(B)是偶函数，且 在R上是增函数(C)是奇函数，且 在R上是减函数(D)是偶函数，且 在R上是减函数2.(2017 北 京)已知函数/(x)=cosx-x(I)求曲线y=/(x)在点(0,7(0)处的切线方程；(H)求函数/(x)在 区 间 上 的 最 大 值 和 最 小 值.解：(1)f(x)=excosx-xfr(x)=ex(cosx-sin x)-1曲线 y=/(x)在点(O,/(O)处的切线斜率为 k=e(c

2、os 0-sin0)-l=0切点为(0,1)，曲线y=f(x)在点(0,/(0)处的切线方程为y=1(II)ff(x)=ex(cosx-sin x)-1 ,令 g(x)=/(x)；则 g(x)=e(cosx-sinx-sinx-cosx)=-2esinxT T当,可得g(x)=-2/sinx40,T T即有g(x)在 0,-J上单调递减，可得g(x)g(0)=0,所以/(X)在 g上单调递减，所以函数f(x)在区间 0,自上的最大值为/(0)=ecos0-0=l;=，兀、T 7 V 7 L 7 1最小值为/()=cos 2 2 2 23.(2017全国卷I)函数/(x)在(-8,+8)单调递减

3、，且为奇函数.若(1)=7 ,则满足-1 4/(X -2)4 1的x的取值范围是(D)4i l-aT iT .aVz,-,v4.（2017全国卷I）如 图，圆形纸片的圆心为O,半径为5 c m,该纸片上的等边三角形ABC的中心为Q D、E、尸为圆。上的点-D B C/E C A,分别是以B C,CA,为底边的等腰三角形。沿虚线剪开后，分别以BC,C A,为折痕折起AOBC,Q I,*8,使得D、E、尸重合，得到三棱锥。当 的 边 长 变 化 时，所得三棱锥体积（单 位：c m3）的最大值为 4而cm，5.(2017 全国卷 I)已知函数 f(x)=ae-A+(a-2)e-x(1)讨论/(x)的

4、单调性；(2)若f(x)有两个零点，求。的取值范围.解：(1)f(x)的定义域为(,+OQ),fx)=2ae2x+(a -2)/-1=(ae-l)(2ev+1)(i)若a W 0,贝|fx)0,所以/(x)在(,+oo)单调递减(ii)若a0,则 由/(x)=0的x =-Ina当w(-oo,-Ina)时,fx)0所以/(x)在(-00,-In a)单调递减，在(-In a,+00)单调递增。(2)(i)若a 0 ,由(1)知，/()至多有一个零点(ii)若a0,由(1%口，当x =-Ina时，/(x)取得最小值，最小值为/(-lna)=l-+ln当a =1时，由于f （一 In a）=0,故/

5、（%）只有一个零点；当ae(l,+oo)时，由于l-，+n a 0，即/(-ln a)0，故 x)没有零点；a当a e(0,1)时，l +lnavO,即/(InGvO又a又/(2)=a/+(a 2)e-le-2+2 0,故/(x)在(Y O,-In a)有一个零点。3设正整数。满 足%ln(T),a贝！/(H0)=en(a*+Q 2)%efl-n0 2他-/i0 03由于ln(l)-lna,因此/(x)在(一Ina,+oo)有一个零点a综 上，。的取值范围为(0,1)sin2xy-6.（2017全国卷I）函数 1 -cosx的部分图像大致为（C）7.（2017 全国卷 I）已知函数/（x）=l

6、nx+ln（2-x），则（C）A./W在（02）单调递增 B./W在（0,2）单调递减Cy=/W的图像关于直线x=1对称 D.y=f（x）的图像关于点（1,0）对称8.（2017全国卷I）已 知 函 数/=e*（e*-a）-ax.（1）讨论A）的单调性；（2）若/（x）N 0,求a的取值范围.解：(1)函数/(x)的定义域为(8,+8)J(x)=2e2 t-aex-a2=(2ex+a)(e r-a)若a =0,则/(x)=e 2 在(8,+oo)单调递增若a 0 ,则 由/(x)=0得x =lna当 x G(-oo,In a)时，fx)0；故/(x)在(-oo,In a)单调递减,在(In a

7、,+oo)单调递增若a 0 ,则由/”(x)=0彳 导x =ln()当 x w(-oo,ln(-1)时，/(x)0;故/(x)在(-8,In(-卞)单调递减，在(In(-令,+oo)单调递增(2)若。=0,则f(x)=e 2 1所以/(x)N0若。0，则 由(1)得，当x =lna时，/(x)取得最小值，最小值为/(In a)=-a2 In a,从而当且仅当一in a N 0,即a 1时，/(x)0若a 04 23综 上，a的取值范围是9.(2017全国卷n )若=-2是函数/(尤)=。2+6一现1的极值点，则/(x)的极小值为(C)A.-1 B.-23 C.5/D.l10.(2017全国卷口

8、)已 知 函 数 力=以 2以 x inx ,n/(x)0o(1)求。的 值；(2)证 明：X)存在唯一的极大值点与，且 1 /伍)0 等价于g(x)N 0因为 g(l)=0,g(x)2 0,故 g (l)=O,而 g (x)=a-4,g (l)=a-l,得 a =lX若 a =l,则 g (x)=lX当0 x 1 时，g (x)0,g(幻单调递增所以x =1是g(x)的极小值点，故 g(x)2 g =0,综 上，a =1(2)由(1)知/(x)=X2-x-xn x,ff(x)=2x -2-In x设(%)=2九一2 Inx ,贝！J/(x)=2-4x当 X(0,g)时，h(x)0.所以/2。

9、)在(0,3单调递减，在(L+8)单调递增.2 2又h(e-2)0,/?(1)0；当 x甘(%,1)时,(x)0；当 x e(l,+)时，h(x)0.因为f(x)=h(x),所以x =/是/(x)的唯一极大值点.由/(%)=0 得 In/=2(%-1),故/(%)=%(1-/).由/e(0,1)得/(毛)/(/)=I .所以/f(x0)2以11.(2017全国卷口)函数/(x)=ln(f2x 8)的单调递增区间是(D)A.(-oo,-2)B.(-oo,-l)C.(l,+oo)D.(4,+oo)12.(2017全国卷n)设函数(1)讨论)(x)的单调性；(2)当x N()时，/(x)奴+1 ,求

10、。的取值范围.解：(1)八 对=(1-2尤-/了令 小)=0得x =_ _ 0,x =_ +V 5当-夜)时，r(x)0；当 x e(-l+后,+8)时，f(x)0.所以/(x)在(-8,-1 -夜),(-1+0,+8)单调递减，在(-1-0,-1+后)单调递增.(2)/(x)=(l+x)(当时，设函数(x)=(1-x)ex,h(x)=-xex 0(x 0),因此(x)在 0,+8)单调递减，而(0)=1 ,故饵幻1,所以/(%)=(JT+1)/(X)x+1 ax+当0。0(x 0),所以g(x)在 0,+8)单调递增，而 g(0)=0,故 e，x+当0 x(l-x)(l+x)2,(l-x)(

11、l+x)2-x-l=x(l-a-x-x2),A/S 4(7 1-，贝|/(0,1),(1-莅)(1 +公)2-a r-l=o，故/(/)/+1当aKO时，取,Byx0 e(0,1),/(x0)(1-x0)(l+x0)2=1 ar0+1综 上，”的取值范围是 1,”）.13.（2017全国卷DI）已知函数/（幻=/一2%+。（。1+6-山）有唯一零点，则。=（C）x+l,x0,i14.（2017全国卷m）设函数则满足/。）+/（尤-弓）1的X的取值范围4,Xh U 乙(一 -7，+0 0)1 5（2 017全 国 卷 函 数 W+X+F的部分图像大致为（D）16.（2017全国卷m）已 知 函

12、数=/-2x+a（e、T+0-行）有唯一零点，则a=（C）A .-2_B-lC-1D.117.（2017全国卷D I）已知函数/（x）=lnx+办2+（北+1）乂（1）讨论/（x）的单调性；3（2）当 0时，证 明/（一；一一2.4a解：(1)f(x)的定义域为(0,+8),f(x)=-+2ax+2a+=X X若4之(),贝！当 x e(0,+oo)时，r(x)0，故/(x)在(0,+8)单调递增若0，则当x w(0,-5-)时，f(x)0；当X(-,+oo)时，f(x)02a 2a故/(x)在(0,-)单调递增，在(-J-,+8)单调递减。2a 2a(2)由(1)知，当a 0时，/(幻 在x

13、 =-取得最大值，最大值为2af(-)=ln(-)1-2a 2a 43I 1 3 1 1所以/(%)4一 二 一2等价于ln()-1 -2 ,g p in()+4-10；当%(1,+8),g x)0时，g(x)01 1 3从而当。0时，ln()+10,BP/(%)-22a 2a 4。18.(2017山东)已知当x e 0,1时，函数y=(3-炉 的 图象与)，=4+?的图象有且只有一个交点，则正实数机的取值范围是(B)(A)(0,l u 2V 3,+oo)(B)(O,l U 3,+)(C)(0,V 2U 2V 3,+)(D)(0,V 2 u 3,+oo)19.(2017山东)若函数e、/(x)

14、(e=2.71828是自然对数的底数)在/(力 的定义域上单调递增，则称函数/(X)具有M性质.下列函数中所有具有M性 质 的 函 数 的 序 号 为./(x)=2，(=3一*力=丁/(X)=X2+220(2017 山东)已知函数/(工)=丁+2c osx ,(x)=ex(c osx-sin x +2x-2)其中 e=2.71828是自然对数的底数.(I)求曲线y=/(x)在点(万J(x)处的切线方程；(口)令/(x)=g(x)-司(Q ER),讨论M x)的单调性并判断有无极值，有极值时求出极值.解：(I)由题意/(4)=乃 2 -2,又/(x)=2x-2sinx ,所以尸(万)=2 ，因

15、此，曲线y=/(x)在点(肛幻)处的切线方程为y-(42 _ 2)=2万(不 一 4),即 y=27vx-7r2-2.(II)由题意得/?(%)=(c osx-sinx +2x-2)-(x2+2c osx),因为/(x)=ev(c os x -sin x +2x -2)+ex(-sin x-c os x +2)-(2x -2sin x)=2ex(x -sin x)-2a(x -sin x)=2(e-a)(x-sinx),令 a(x)=x sinx，贝 n/(x)=l c osx 20。所以加(x)在 R 上单调递增.所以 当 x 0 时，n?(x)0；当 xv()时,mx)0(1)当 a 0,

16、当 x v 0 时，7?z(x)0 时，”(j)0,h(x)单调递增,所 以 当 x =0 时，取到极小值，极小值是/7(0)=-2-1 ；(2)当a0时，h(x)=2(ex-el n ayx-sinx)由/?(x)=。彳 导 xt=In(7 ,x2=0当0 1 时,lna O,(x)单调递增；当 x e(ln“,0)时，*-J11”0,(x)0,h(x)0 ,单调递增.所 以 当 x=lna 时 (x)取得极大值.极大值为，2(ln a)=-ci m。-21n。+sin(In a)+c os(in a)+2,当 x=0 时 (x)取到极小值，极 小 值 是h0)=-2a-；当 a =l 时，

17、lna =O,所以当时，/(x)0,函数力在(-00,+00)上单调递增，无极值；当a l 时，l n a 0，所以当XY O,0)时，*a J o,厅(x)0,(外单调递增；当 x e(O,lna)时，e-Jn 0,/f(x)O,/(x)0,(x)单调递增.所以当x=0 时刀卜)取到极大值，极 大 值 是/?(0)=-2a-l；当 x =lna 时 取 得 极 小 值，极小值是/?(lna)=-a In2a-21na +sin(lna)+c os(lna)+2综上所述：当“4 0 时，(x)在(Y O,0)上单调递减，在(0,+oo)上单调递增，函数(x)有极小值，极小值是“0)=-2a-l

18、；当0 a l 时，函数/?卜)在(,0)和(1)1凡+8)上单调递增，在(0 n“)上单调递减，函数万有极大值，也有极小值，极大值是力(0)=-2.-1；极小=-a lr)2 a-21nq +sin(lna)+c os(lna)+2.23.(2 017山东)已知f(x)是定义在R 上的偶函数，且/(x +4)=/(x-2).若当 X G-3,0 时，/(x)=6-，则/(919)=624.(2017 山东)已知函数 f(x)=x3-a x2,a e R ,(1)当a =2时，求曲线y=/(x)在点(3,/(3)处的切线方程；(2)设函数g(x)=/(x)+(x-a)c osx-sinx ,讨

19、论g(x)的单调性并判断有无极值，有极值时求出极值.解：(1)由题意一a x ,所以 当。=2时，f(3)=0,f(x)=x2-2x所以广(3)=3因 此，曲线)，=/(x)在点(3,/(3)处的切线方程是y=3(x -3),即3x -y-9=0(2)因为 g(x)=/(x)+(x a)c osx sinx，所以 g (x)=/(%)+c os x (x a)sin x c os x=x(x-a)-(x-ci)sinx=(x-a)(xsin x)令(x)=x-sinx ,贝!|()=1-c os%NO,所以/i(x)在 R上单调递增因为献0)=0，所以当 0时，h(x)0;当 0时，h(x)0

20、(1)当以 0 时,gx)=(x-a)(x-sin x),当xw(-8,a)时,x-a 0 g(x)单调递增;当 xw(aO)时,x-a 0,gr(x)0 ,g a)0,g(x)单调递增，所以 当x 二 a时g(x)取到极大值，业大旗是gS)=-!a-s in a ,o当X二 0 时g(x)取到H 卜值,极小值艳g(0)=-a.(2)当a-OHj,=当 x e(f+8)时,g(x)0.g(x)垂调递增；所 以 g(x)在(,+8)上埴调递增，冢均无极大值也无极小值(3)当。0时.g(x)n(x-a)(x-sinx)当 XW(Y,0)时.x-a0.g(x)单调递增；当xw(0,。)时，x-a0,

21、gXx)0.g(x)0,g(x)单调递增。所以 当x=0时g(x)取到极大值,极大值是g(0)”；当x n 0时g(x)取到极小值，极小隹 是g(G=-sina.僚上所述：当a 0时,函数式x)在(f 0)和(4+功上单调递增，在(。，。)上单调递减，函数既有极大值，又有极小值.极大值是g(o)=-。.极小值是g(a)二/一sina.625.(2017天津)已知函数f(x)=x2-x +3tx 1.X若关于x的不等式/(x)之号+a|在R上恒成立，则a的取值范围是(A)(A)一号,2(B)16 16 16(C)-2 6,2 (D)26(2017天 津 般a e Z，已知定义在R上的函数/(%)

22、=2x4+3x3-3x2-6 x+在区间(1,2)内有一个零点%,g(x)为/(x)的导函数.(I)求8(幻的单调区间；(II)设根e l,Xo)U(Xo,2,函数(x)=g(x)O-玉)一/(加),求 证：/2(m)/i(x0)0,故当 x e 1,x()时，H；(x)0,g(x)单调递增.因 此，当x e Lx)U(维,2时,Hl(x)Hi(xo)=-f(xo)=0 ,可得出(加)0,即/(,”)().令函数 H2(x)=g(Xo)(x x()/(x)，则 H2(x)=g (Xo)-g(x).由(I)知，g(x)在 1,2上单调递增,故当x eU,x)时，/7；(%)0,凡(幻单调递增；当

23、 x e(x 0,2时，/7；(x)0,”2 W单调递减.因 此，当x e l,x)U(Xo,2时，2(幻 2(/)=0，可得2(m)0,即力(3)O所 以，/?(m)/z(x0)0.(HI)对于任意的正整数 p ,q ,且3 e l,Xo)U(Xo,2,q令加=,函数/?(x)=g(x)o-/)-/(加).q由(II)知，当加e工/)时，双x)在区间(加,%)内有零点；当他e(%,2时，h(x)在区间(小,加)内有零点.所以h(x)在(1,2)内至少有一个零点，不妨设为王，则近芯)=g(M)(2-x0)-f(R)=0.q q由(I)知g(x)在 1,2上单调递增，故0 g g(X)g(2),

24、/()消)1 I。3 2 2 2 A .4.工日 I”v I_|q _ I2p +3/2 q-3 p q-6 p q +aq I-九0 I =I -12 =-q g(X1)g g(2)g因为当x e l,2时，g(x)0，故/(x)在 1,2上单调递增，所以fx)在区间 1,2上除%外没有其他的零点，而“W/，故/(-)*0.q q又因为p ,q,a均为整数，所以|2/+3 p%-3岛2-6*+”|是正整数,从而|2P4+3p3q _ 3律q2 _6pq3+aq4|j所以|e-七|2一.所 以，只要取4 =8(2),就有|K-x 0|2.q gQ)q q hq27.(2017天 津)已知函数f

25、(x)=I x+2,x 1,x2 设a e R ,若关于的不等式/(幻2匕+。|在X H,X 2 1 .2XR上恒成立，则。的 取 值 范 围 是(A)(A)-2,2(C)-2,273(B)-2y/3,2(D)-273,27328.(2017 天 津)设4/e R,|。区1.已 知 函 数=1-6x?-3a(a-4)x +,g(x)=exf(x)(I)求了。)的单调区间；(n )已知函数y=g(x)和v=e的图象在公共点(%,%)处有相同的切线，(i )求 证：/(x)在x =x。处的导数等于0；(i i )若关于x的不等式g(x)Ke在 区 间%_ 也+1|上恒成立，求的取值范围.(I)解：

26、由/(x)=/-62 -3a(a-4)x +Z?可 彳 导(x)=3%2-12x-3a(a-4)=3(x -a)x -(4-a)令 f(x)-0,解得 x =a ,或 x =4-a ,由|a|l,得。4 一。当A-变化时，/(x),/(x)的变化情况如下表：X(-8,a)(。,4一。)(4-a,+oo)fM+-+/(%)/所 以，/(x)的单调递增区间为(-8,。),(4-a,+8)，单调递减区间为(a,4-a)o(x)e(n)(i)证 明：因为 g (x)=(/(x)+/*),由题意知 ,g (Xo)=e*。，所以。，解得 7、八，所 以，/(x)在x =/处的导数等于。(i i )解：因为

27、 g(x)0,可得 f(x)1.又因为/(x 0)=l ,r(x 0)=0，故x 为/(x)的极大值点，由(I)知/=。.另一方面,由于|a|Wl,故。+1 4-a ,由(I)知/(幻 在(a-l,a)内单调递增，在(a,a +l)内单调递减，故当/=。时，/(x)/(a)=1 在 a-l,a +l上恒成立，从而 g(x)er 在 Lx0-l,x0+1J 上g 立.由 f(a)a i)ci 3a(a 4)。+=1 ,得b=2a 6a +1 ,1 V a W 1。令x)=2/-6x?+1,x e,所以&x)=6x?-12x ,令f(x)=O,解得x =2(舍 去)，或x =0.因为-1)=-7,

28、1)=-3,f(O)=l ,因此心)的值域为-7,1.所 以，方的取值范围是29.(2017江 苏)已知函数/(%)=1 -2x +炉 一,其中e是自然数对数的底数，e若/3-1)+/(2/)0,be R)有极值，且导函数f(x)的2 因为/(X)有极值，故/(x)=o有实根，从而匕一丁=丁(27-。3)0,即。之33 9 a极值点是/(x)的零点。(极值点是指函数取极值时对应的自变量的值)(1)求b关于a的函数关系式，并写出定义域；(2)证 明：从 34；7(3)若f(x),(x)这 两 个 函 数 的 所 有 极 值 之 和 不 小 于,求的取值范围。2解：(1)由/(x)=x3+ax1+

29、Z?x +1 ,得 fr(x)=3x2+2ax+h=3(x +-1-)2+/?-?2当X=|时，/。)有极小值6一g,因 为(。)的极值点是/(x)的零点，-I T/a、a，03 4 b l 八 门 八 4 _。2/3 rU/(-y)=-+1=0,又。0,=+当。=3时，r（x）0（x片-1）,故/（X）在R上是增函数，/（X）没有极值；a _ J。？_ 3b当a 3,/（x）=0有两个相异的实根玉=一工-a+da2-3b%2=Z 3列表如下：X（-8,西）（占”2）fM+0-0+/(x)/极大值极小值Z故/（x）的 极 值 点 是,x2,从而a3因 此 =与+，定义域为（3,+o。）9 a(

30、2)由(1)知，阜=空白=-yja 9 a7 aX，、2t 3 n“，、2 3 227设 g(f)=+7，则g)=一7=卞-当fe（手,+8）时，g Q）0，从而g（f）在（乎,+上单调递增因为。3,所以。夜 3 6,故g（a&）g（36）=百，即 二 百yja因此 3a2 4/72 6 h(3)由(1)知，f(x)的极值点是玉，x2,且X +x2=-a,xf+xl=-j 9从而/(玉)+/(%)=工；+依：+如 +1+石+a%2+Z?x2+1-(3x；+36LV|+b)H(3x；+3 6 2+b)+(x：+巧)+b(x、+x?)+24a 3 -6 ab 4 a b。八-1-2=()27 9记/。）/（x）所有极值之和为3）,因为/(x)的极值为 8-5 =一?”2+3 ,所以%(0=一 _/+2,433 9。9 a2 3因为(。)=-版6),故 a 1)V 2x _ 1/2x -1 2()由 /(x)=(1 =二 2)仁=0,解得 =1 或x =3,2 x-1 2因为X _2小）1(l,j)52z5、(/,+8)fM-0+0-/（X）1e 220/1 /-e 221 -1 I又f(x)=2 x-l-l)2e-x0,所以/(x)在区间 g+oo)上的取值范围是 O e 2