高考数学函数真题.pdf

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1、2011 年（北京卷第18题）X已知函数/（%）=（%-%）2 O（1）求/（X）的单调区间；（2）若对于任意的x e（0,+o o）,都 有 求*的 取 值 范 围e标准答案：（1）尸（幻=!（/一K令:（0）=0,得x =K当k0 时，“X）与广（x）的情况如下x(-8,一 4)-k(k,k)k(N+o o)/(x)+00+f(x)/4k2 0/所以，/（x）的单调递减区间是（-%-左）和氏+8）；单高层区间是（此,攵）当k0 时,因为一伏+l)=e*-,所以不会有V x e(0,+8)J(x)W .e e当k0 时，由（I ）知/（x）在（0,+o o）上的最大值是/（一 公4kze.i

2、4k i所以/x (0,+co),/(x)一 等价于 f -(-k)=e e e解得-！女0.2故当Vx e(0,+8)J(x)0,判断函数/(x)的单调性；(2)若abO ,求/(x+l)x)时x 的取值范围。标准答案：(1)当。0/0 时，任意X ,%2 e R，玉 ，则/(玉)一/()=。(2*一 2*)+/3*-3)*/2 0=“(2*2*)0,3 0 n 6(3 一 3-)0,/(x1)-/(x2)0,函数/(x)在A上是增函数。当。0/0 时，同理，函数/(x)在R 上是减函数。(2)/(x+l)-/(x)=a-2+2/?-3 0当“0/0,函数/(x)=lnx-ax2,x0.(/

3、(x)的图像连续不断)求/(x)的单调区间；(2)当时，证明:存在XW(2,+8),使兀)=/(|);(3)若存在均属于区间 1,3 的a,夕，且夕-a N l,使/(a)=/()，证明In 3-In 2 In 2-a/q),即 g(2)0.3 4 1 _ 9/取 V=2,则g(x)=0.所以存在 与 e(2,x)g(X o)=O,3即存在 与 (2,+8),使/(x(,)=/(5).(说明：X 的取法不唯一，只要满足x 2,且g(x)0即可)(3)证明：由/(0)=/()及 的 结 论 知a 叵/(a)/(l)f ln 2-4 a,政 即 2)N 0 N 3).ln 2-4 aNln 3-9

4、a“k In 3 -In 2 /,In 2从 而-a.5 3(重庆卷第18题)设/(%)=d +废2 +1的 导 数 八 幻 满 足(1)=2凡尸(2)=-bt其 中常数a,h G R(1)求 曲 线y=/(x)在 点a )处 的 切 线 方 程；(2)设g(x)=/(x)e、，求 函 数g(x)的极值.标准答案：(I)因 f(x)=x3+a x2+8x +l,故 f(x)=3x2+2 a x+b.令x =l,彳哥，(l)=3 +2a+b,由已知/=2/因此3 +2a+b =2a,解得占=-3.又令 x =2,得f(2)=1 2+4a+瓦由已知/(2)=-b,3因此 1 2+4a+6=b，解得

5、 a=.23 5因此/(x)=x，3 x +l,从 而/=-3又因为广 =2x ()=3,故曲线y =/(x)在点(1 J(l)处的切线方程为y-(-1)=-3(x -1),即 6x +2y-l =0.(I I)由 g(x)=(3 x2-3x-3)ex,从而有 g(x)=(-3 x2+9x)ex.令 g(x)=0,得一 3 x2+9x =0,解得X|=0,超=3.当尤e (-8,0)时,g(x)0,故g(x)在(-8,0)上为减函数；当x e(0,3)时,g(x)0,故g(x)在(0,3)上为增函数;当x e (3,+o o)n t,g(x)0,故8(幻在(3,+0 0)上为减函数；从而函数g

6、(x)在再=0处取得极小值8(0)=-3,在 匕=3处取得极大值g(3)=1 5-3.(浙 江)(22)(本 题 满 分1 4分)设 函 数/(X)=(x-a)2 1 n x ,a e R(I )若x =e为y =/(x)的 极 值 点，求 实 数a；(I I)求 实 数。的 取 值 范 围，使 得 对 任 意 的xe(0,3 e ,恒 有/(x)W4e 2成立.注：e为 自 然 对 数 的 底 数。本题主要考查函数极值的概念、导数运算法则、导数应用，不等式等基础知识，同时考查推理论证能力，分类讨论分析问题和解决问题的能力。满 分1 4分。(I)解：求 导 得/(x)=2(x-a)l n x+

7、(x a)=(十4)(20 x +_ 巴).X X因为x =e是/Xx)的极值点，所以/(e)=(e-a)(3-)=0,e解得。=6或。=3 6经检验，符合题意，所以=e或a=3 e.(I I)解：当0 元1时，对于任意的实数a,恒有/(%)W0 4/成立；当l x 4 3 e时，由题意，首先有/(3 e)=(3 e a)2 1 n(3 e)44/,解得3 e a 3e+,Jg)Jg)由 知/(x)=(x-X21 n x+1 3),x令 hx=21 n x +l-,则/?(1)=1-6/0,x“2e3 e H/；且/i(3 e)=2 l n(3 e)+l-2 l n(3 e)+1-曲 史13e

8、 3e=2(l n 3e /)0.J i n 3e又 (x)在(0,+8)内单调递增所以函数/(X)在(0,+0 0)内有唯一零点，记此零点为无o,贝亚/3 e,l x0 0；当 x e(x o，a)时,/(x)0.即/(幻在(0,玉)内单调递增，在(%,。)内单调递减，在(a,+8)内单调递增。所以要使/(x)4 4e 2对x e(l,3 e 恒成立，只要f/U o)=(-)2l n xo 4e2,(l)/(3 e)=(3 e -a)2 1 n(3 e)知%a =2x0 l n x0+x0,(3)将(3)代 入(1)得4x；I n?/1,注意到函数/h?工在 i,+8)内单调递增，故 1 V

9、 /e。再 山(3)以及函数2x l n x +x在(1,+8)内单调递增，可得由(2)解得，3 e-J=g 3 e+.g.J l n(3 e)J l n(3 e)所以3 e i 2，a 3e.J l n(3 e)综上，a的取值范围是3 e-T2L=a+b x,尸(x)和g 0,若/(X)和g(x)在区间-1,+8)上单调性一致，求实数b的取值范围；(2)设。0,即V x G -1,+o o),(3 x2+a)(2x+b)0,v a 0,V x e -1,+o o),2x+b 0,即：a 0,V x e -l,+o o),b -2 x,2;(2)当 匕 0,即 V x (4 a),(3 x?+

10、a)(2x+b)O,：b a 0,.,.X/xe(b,a),2 x+b 0,V x e (b,a),a -3x2,b a -3b2z=a -b,考虑点(b,a)的可行域，函数y =-3/的斜率为1的切线的切点设为(为,%)贝=1,XO=_:，%=-j，=o 12 12 o o当。0,b 0,/.V x e (a,b),2 x+b 0,.X fx e(a,b a -3 x2,71 1.a -3a-,.-.-3a 0,二 3-a)max=-；当a O Q,S P V x e (a,/?),(2x+b)(3 x2+a)0,v 6 0,W x=0 E hf,(3 x2+a)(2x+b)=ab 0,不符

11、合题意，当“0,V x e (a,0),3 x2+a 0,.,.3a2+a 0,1 八，1.二 a 0,b-c i 0,a#0.过例伍力)作L的两条切线/，切点分别为E(p”；p J),E (p 2 t p 2?)，/与 轴分别交与尸.线段E f上异于两端点的点集记为X.证明：M(a,b)G X o|P|p21 o 叭a,b)=甲;(I I I)设。=(x,y)|y 4 x-l,y?；(x+l)2 -(.当点(p,q)取遍。时，求(p,q)的最小值(记为O min)和最大值(记为O ma x)【解析】(I )因为y =g x,所以过点A的切线方程为1 2 1 ,、y-Po=P0(-P0)即3，

12、=-W，从而8(0,-爪)，又。34)在直线48上,故4 =皿-互，2 4 4 2 4其中 04|PKIPI2所以方程为f p x+誓-今-=0,解得玉=件，“P-半由于0 4|p 国%,且 0 。同号,所以|=吟|=呼|=|虫,所以o(p,q)=甲.(I I)过点M(a,b)且切点为E(p p;)的L的切线/,方程为2E F：y=x-2 42i因为朋(。力)小所以8=?。个 且 0|。|p j 因为E(p27P 2、)，所以 kM E,=与，即;P (T a-f)=(p2 a)P2 2 4 2 422 2 2 2即 勺 勺=?a 今 即所 以 勺 年=(?+专 一 公(?一年)=0,所以“2

13、=2 Pi因为0|。|,且凡乌同号,所以|P21=|2 a-p|p2,由(I)可知，M(a,b)G X n (a 1)=粤，反之，逆推也成立，所以M(a,b)G X o(a,b)=d综上，M(a,b)e X o|py|p2 u p(a,b)=耳.(I ll)此题即求当点(p,q)取遍。时,方程x2-p x+q 0的绝对值较大的根的最大值与最小值，解方程得x=P P 一%，因为。=(x,y)|y (x+1)2-,2 4 4=(x+1)2,解得 x=0 或芯=2,所以 0 4 p 2,4 4p+Jp2 一 曲o(p,q)=%-因为(p,q)e ),所以匕 p+l)?-p-,于是(p+1)?-5 V

14、 4q M 4p-44 4所以(p-2)-W p-4q 4-2p+4,所以叭P，q)=写 近 ，空浮口设/(t)=+J 7+4 (0 p 2),令=J-2 +4,贝 ij p=-(0 W f K 2)则/(p)=g(f)=-j +:+l=：(I)，+：,所以/(P)el，m4 2 4 4 43 5 5综上，当 p =2,g =l 或p =0,4 =-1 时，8 min=l；当 P =7，q =7 7 时，2 16 4（山东）2 1.（本小题满分12 分）某企业拟建造如图所示的容器（不计厚度，长度单位：米），其中容器的中间为圆柱形，左右两端均为半球形，按照设计要求容器的容积为如立方米，且出 2

15、r.假设该容器的建造费用仅3与其表面积有关.已知圆柱形部分每平方米建造费用为3 千元，半球形部分每平方米建造费用为c（c 3）千元.设该容器的建造费用为y 千元.（I ）写出y 关于r的函数表达式，并求该函数的定义域;（I I）求该容器的建造费用最小时的厂.解析：（I）由题意可知4 2/+阳/=双亚/22r），即/=理 _ 3 厂 2 2 广，则3 3 3产 30 尸2.容器的建造费用为 y =2 兀 rl x3+4 r2 xc-r）+4/r r2c，3r 3即y=一 8万+4/c,定义域为 r|0 厂 W 2.(I I )y =6 一 6 +8TZTC,令)=0,得r =j20c 2 当 3

16、cW 4.5时,J 也、2,当0 r 2,y 4.5 时，号 2,当 0 后 y0,此时当用-时 y 有最小值。c-2（湖南）20.如图6,长方形物体E 在雨中沿面P （面积为S）的垂直方向作匀速移动，速度为v（v 0）,雨速沿E 移动方向的分速度为c（c e R）。E 移动时单位时间内的淋雨量包括两部分：（1）P 或 P 的平行面（只有一个面淋雨）的淋雨量,假设其值与|v-c|xS成正比，比例系数为5；（2）其它面的淋雨量之和，其值为鼻,记y 为E 移动过程中的总淋雨量，当移动距离d=100,面积S=1时。（I）写出y 的表达式（II）设 0vW 10,0cW 5,试根据c 的不同取值范围，

17、确定移动速度v,使总淋雨量y 最少。,3 1解析：（I）由题意知，E 移动时单位时间内的淋雨量为上W-c|+,20 2,100.3.1.5 1 八、故 c|+5)=；(3 1 c i+io)-(I I)由(I)知，当0uW c时，y=-(3c-3v4-l0)=5(3 c+l 0)-l5；V V当cvWlO 时，y=-(3v-3c+l0)=5(l-3 +l5.V V故y=,5(3c+l 0)/-.-l5,0 vcv亚5coV（1）当0 C 4 5 时，y 是关于V的减函数.故当丫=10时，）min=20,。（2）当T C4 5时，在（0,c 上，y 是关于v的减函数；在（c,10 上，y 是关于

18、v的增函数；故当u=c 时，ym in=(湖 北)1 7.(本 小 题 满 分12分)提 高 过 江 大 桥 的 车 辆 通 行 能 力 可 改 善 整 个 城 市 的 交 通 状 况。在 一 般 情 况 下，大 桥 上 的 车 流 速 度v(单位：千 米/小时)是 车 流 速 度x的 函 数。当桥上的的车流密 度 达 到200辆/千米 时，造 成 堵 塞，此 时 车 流 速 度 为0；当 车 流 密 度 不 超 过20辆/千 米 时，车 流 速 度 为60千 米/小 时，研 究 表 明；当204x4200时，车流速度v是 车 流 密 度x的一次函数.(I)当0 W 2 0 0时，求 函 数v

19、(x)的 表 达 式；(I I)当 车 流 密 度x为 多 大 时，车 流 量(单 位 时 间 内 通 过 桥 上 某 观 点 的 车 辆 数，单 位：辆/每 小 时)x)=x.v(x)可 以 达 到 最 大，并 求 最 大 值(精 确 到1辆/每小时)本小题主要考查函数、最值等基础知识，同时考查运用数学知识解决实际问题的能力。(满分12分)解：(I)由题意：当0 4 x 4 20时，心)=60；当20 4工4 200时,设丫(=奴+匕再由已知得200a+b-0,20a+b=60,解得200b60,0 x 20,故函数v(x)的表达式为v(x)=1-(200-x),20 x20060 x,0

20、x 20,(ID依题意并由(I)可得=h-x(200-x),20 x200当0 Wx W20时,/(x)为增函数，故当x=20时,其最大值为60X20=1200；当 20 W x W 200 时，/(x)=1x(200-.r)0,知a x2-la x+1 0在R上恒成立，因此A =4a 2 -4。=4a(a l)0,知0 a W l.16.(江 西)(本 小 题 满 分12分)设/(x)=-$3+；x2 +2 a x.2(1)若/(X)在(3,+0 0)上 存 在 单 调 递 增 区 间，求。的 取 值 范 围；(2)当0a2时，/(x)在1,4上 的 最 小 值 为-弓，求/(x)在该区间上

21、的最大值.解：(1)已 知/(x)=+(/+2数，f x)=-x2+x+la ,函 数/(x)在+8)上 存 在 单 调 递 增 区 间，即 导 函 数 在 g,+O o)上存在函数值大于零的部分,(2)已知0 a 2,x)在 1,4上取到最小值g ,而/(x)=/+x +2 a的图像开口向下，且对称轴X-,2/=-1+1 +2 a =2 a0,/=-16 +4+2 a =2 a 12 0,3 2 6,-./(4)=-lx6 4+-xl6 +8 -+8 a 。=1此时，由/(%)=K +x0 +2 =0 n x 0 =2或-1(舍去)，所以函数/(R a x=/(2)=(陕西)2 1.(本小题

22、满分14分)设函数/(x)定义在(0,+8)上，1)=0,导函数_ r(x)=L g(x)=/(x)+/(x).（1）求g（x）的单调区间和最小值;（2）讨论g（x）与g d）的大小关系；X（3）是否存在的0 ,使得|g（x）-g（X o）|0成立？若存在，求出与x的取值范围；若不存在，请说明理由.【分析】（1）先求出原函数/（X）,再求得g（x）,然后利用导数判断函数的单调性（单调区间），并求出最小值；（2）作差法比较，构造一个新的函数，利用导数判断函数的单调性，并由单调性判断函数的正负；（3）存在性问题通常采用假设存在，然后进行求解；注意利用前两问的结论.【解】（1）=./（x h l n

23、 x +c （c为常数），又./=0,所以xln l+c =0,即c =0,f（x）=I n x；g（x）=n x+,xv-1 Y-1，g（x）=一厂，令g%）=0，即一厂二，解得元=1，X X当(0,1)时,g(x)0,g(x)是增函数，故区间在(L+o o)是函数g(x)的增区间；所以x=l是g(x)的唯一极值点，且为极小值点，从而是最小值点，所以g(x)的最小值是g(l)=l.(2)g()=-l n x+x,设/(x)=g(x)-g p)=+LX X X贝西(乃=一任二匕X当 x=l 时，/?=0,即 g(x)=g d),x当xe(0,l)U(L+8)时，h(x)0,力(1)=0,因此函

24、数人(x)在(0,+o o)内单调递减，当0 x h(Y)=0,二 g(x)gd);x当x l 时，/i(x)/i(l)=0,/.g(x)g(-).x(3)满足条件的/不存在.证明如下：证法一 假设存在飞0,使|g(x)-g(x()|0成立，x2即对任意x0 有l n xg(x()时，有l n X =g(X o),这与左边的不等式矛盾，因此不存在 0，使|g(x)-g(X o)|0成立.x证法二 假设存在的0,使|g(x)-g(X o)|0成立，X由(1)知,g(x)的最小值是g =1,又 g(x)=l n x+，in x,而x l 时，In x 的值域为(0,+o o),x.当x 1时，g(

25、x)的值域为口,+00),从而可以取一个值为 1,使g(%i)g(x()+l,即g(X|)-g(X o)1,，1g(X l)-g(X o)l 1 L 这与假设矛盾玉，不存在%0，使|g(x)-g(X o)|0成立.x(辽宁)2 1.(本小题满分12分)已知函数/(x)=l n x /+(2-a)x.(I)讨 论 的 单 调 性；(II)设”0,证明：当 0 x /(-x)；a a a(III)若函数y =.f(x)的图像与x轴交于A,B两点，线段AB中点的横坐标为 xo，证明：ff(x0)0,所以/(x)在(0,+o o)单调增加.(ii)若a 0,则由/(x)=0得x=La且当 X (0,3

26、时，广(X)0,当X L时，/(X)0.a a所以/(尤)在(0)单调增加，在(L+8)单调减少.4分a a(ID 设函数g(x)=/d+x)/dx),ja ag(x)=l n(l +a x)-l n(l -a x)-2 a x,当 0 x ,时,g 0,而g(0)=0,所以g(x)0.a故当0 /(-x).8 分a a a(III)由(I)可得，当a W O时，函数y =/(x)的图像与x轴至多有一个交点,故40,从而/(X)的最大值为/d),W(L)0.a a不妨设4(斗,0),6(12,0),0 x%,则0 /(阳)=o.a a a从 而 2_再，于是/=土玉La 2 a由(I)知,尸(

27、x0)一+10。-6)2,其 中3 x =2 +10(x 3)(x-6)2,3 x 0 )知，尸(%)=勺后二，令 F(x)=0,得 x=2.3 2 6Vx 16当 x e(0,2)时，尸(x)0.16 16故当xe0()时，F(x)是减函数；时，F(x)是增函数.函数F(x)在x=2处有得极小值F(2)=L16 16 8(II)方法一:原方程可化为 log4-f(x -1)-=log2 h(a-x)-log2 h(4-x),即为 log4(x-l)=log7 yja-X-log2 y/4-X=log2,且 二V4-X ll x 4,当 1 44 时，x 0,此时x=土=3 j5-a ,*.1

28、 x 4 时，1JC 4,1 3 X 1 =-,得/2-6 1 +4=0,4-x =36 4(+4)=20 4，若4 0,方程有两解x=3 ,5-a;若a=5时,则A=0,方程有一解x=3;若5,原方程无解.方法二:原方程可化为 log4(x-1)+log2 h(4-x)=log2 h(a-x)，即；log2(x-l)+log2 4-x =log2 N a-x,x 10,4-x 0,a-x 09(x-l)(4-x)=a-1 c x 4o xa,a=(x 3)+5.当l a 4 4时，原方程有一解x=3-J 5-a;当4 a 5时，原方程无解.100 100 L(i l l)由已知得 伏)=血.

29、A=1 k=设数歹U0 的前n项和为Sn,且S,=)/?()-(N*)6从而q=S=1 ,当 2W&S100 时，ak Sk Sk_i=+xfk -V A:-1 .6 6又 4 _ 4 =-(4k+3)4 (4k-1)VTT61 (4k +3)2k-(4k-1)k-)-6(4攵 +3)底+(4攵-1)711 1 八=-7=-.0.6(4Z+3)4 +(4k-l)VTl100 100即对任意24A4100时，有 ，又因为q=l=V T,所以之处 ”.k=k=100 i故/(1 0 0)/?(1 0 0)-.=1 6(全国1)(2 2)(本小题满分12分)(注意：在试题卷上作答无效)0 Y(I)设

30、函数/(x)=ln(l+x),证明：当x 0 时，/(x)0；x+2(I I)从编号1至U100的100张卡片中每次随机抽取一张，然后放回，用这种方式连续抽取20次，设抽得的20个号码互不相同的概率为p.证明：p(),9 1),(仅当 x=ox+1(X+2)2(X+1)(X+2)2时(x)=0)故函数/(x)在(-1,+8)单调递增.当x=0时，f M=0,故当x 0时，f(x)0.(I I)从编号1至U 100的100张卡片中每次随机抽取一张，然后放回，连续抽取4 2。9 12 0次，则抽得的20个号码互不相同的概率为p=/吗，要证p (匕)y 士.1OO20 10 e2先证:A“（9 即证

31、1099”I 他（型）2。1OO20 10 1OO20 90 100即证 99 98 81 9 而 99*81=(90+9)(90-9)=笫-92(90)298*82=(90+8)(90-8)=902-82 (90)291*89=(90+1)*(90-1)=902-!2(90)2O所以9998.81(90)即0 (一)1 910再证：(2)1 9 2,即证门3210 9 9 9 192 x由(I)/(x)=ln(l+x)-,当 x 0 时，/(x)0.x+22-x =-jlijln(l+-)-2-=ln(l+-)-0,即ln W 29 9 I*2 9 19 9 199综上有：p()1 9(1+

32、x)所以/(x)在(-1,+8)上单增。当 x0 时，/(x)/(0)=0 o(I I)p100 99 9881-乂-乂-V .V-100 100 100 1002%由 ,当 x0 时，/(x)/(0)=0,即有ln(l+x)x+29 1 (-力故 191n =191n(l)19x,10 =21。10-1 x 2 +210于是e *e-2,即(2 广/x,x2-x ,x,.0n100 99 988 1),H 10019P 二100 99 98=-X-X-X 100 100 1008 1 X-100100 100 100191另解：(l n x)=(L)=O,X X所以 y=I n x是上凸函数

33、，于是I n%+I n x2+I n I n _Z t S.n191n因 jit I n p=I n100-+10019100一 9998+l n-+I n-F10010010099988 1)十 一P +1001001007.+l n l L1009=191n(),10故 p (-)1910综上：P ()19 0,且X 时，f(x)+-,求k的取值范围。x-1 X(:-Inx),(I)f x)=-4(x +1)2 X2,“1)=1,由于直线x +2y 3=0的斜率为 工，且过点(1,1),故 I即2 尸=-弓，4=1,a 1 解得a-,b-12 2(I I)由(I )知 穴 幻=星+工，所以

34、X+1 X、A n x k、1 (-l)(x2-l)./W-(?+-)=-：r(21n x +-)ox-1 X 1-x X考虑函数人(x)=21n x+必二D 宜二5(x 0),则X一=(1)(中1)+2、X(i)设 后 4 0,由/()=M*+D：(x _l)知,当 x w i 时，0；1-x当 x e (1,+o o )时，h(x)01-x2从而当 x 0,且 x w l 时，f (x)-(电工+工)0,即 f (x)X -1 X x-1 X(ii)设 0k 0,故 (x)0,l-k而h(1)=0,故当 X E(1,一)时，h(x)0,可得一二 h(x)0,而 h(1)=0,故当 X G(

35、1,+o o )时，h(x)0,可得一U h(x)0,与题设矛盾。1 -X综合得，k的取值范围为(-c o,02010 年（新课标全国）（21）（本小题满分12分）设函数/（x）=e*-1-x-a x?。（1）若。=0,求/（x）的单调区间:(2)若当xN O时/(x)NO,求。的取值范围(1)”=0时，f(x)=ex-1-x,f x)=ex-.当x e(o o,0)时，/(x)0.故f(x)在(-o o,0)单调减少，在(0,+8)单调增加(I I)f (x)=ex-1-la x由(I)知e 21+x,当且仅当x =0忖等号成立.故f x)x-2 a x=(1-2 a)x,从而当l 2 a

36、N 0,即时，f(x)0(x 0),而/(0)=0,于是当xN O时，/(x)0.由e*1 +X(X HO)可得1一了(工工0).从而当。3时，f(x)ex-l+2 a(e-x-1)=e-xex-)ex-2 a),故当x e(0,l n 2a)时,f x)0,而/(0)=0,于是当x e(0,Q2a)时,/(x)0.综合得a的取值范围为(-c o,g.(湖 南)20.(本小题满分13分)已知函数/(x)=x2+bx+c(b,c e R),对任意的x e R，恒有 f(x)f(x).(I )证 明:当x N O 时,/(x)(x +c)2；(I I)若对满足题设条件的任意b,c,不等式/(c)恒

37、成立，求M的最小值。解：(I)易 知/(x)=2x +b.由题设，对任意的工/?,2%+6 4/+云+，,即x2+3 2)x +c 匕2 0恒成立，所以俗一2)2-4(c-&)0.故当 x 2 0 时，有(x +c)2-/(%)=(2c -b)x+c(c-1)0即当x2 0时，/(x)b.当c|b|时，有M/(c)7(v)B+b c-/c+2 bc2-b2c2-h2b+c令t =2贝|一 i ，i=2-L.c b+c 1+t1 3而函数g)=2-(1 f|以时，M的取值集合为1,+o o j当 c=g|时,由(I)知，b=2,c =2.此时/(。)一/3)=8或0,。2一/=0,从而/(。)一

38、/3)5(。2 -)恒成立3综上所述，M的最小值为三.2(北 京)(18)(本小题共13分)已知函数 f(x)=I n(l +x)-x +-1-x2(.k 0)(I)当k=2时，求曲线y=/(x)在点(1,/)处的切线方程；(I I)求/(x)的单调区间。解：(I)当女=2时，/(x)=l n(l +x)-x +x2,f(x)=-l +2x1 +x3由 于/=l n 2,/(1)=-)所以曲线y=/(x)在点(1,/(I)处的切线方程为3y-l n 2=(x-1)即 3x-2y+21n 2-3=0、.x(kx+k-)/,、(H)f (x)=-,x e(-l,+o o).1 +xY当k=0时，f

39、x)=-.1 +x所以，在区间(一1,0)上，f (x)0；在区间(0,+8)上，f (x)0.故/(x)得单调递增区间是(-1,0)，单调递减区间是(0,+o o).当0 女 o；在区间(0,)上,k k/W 1时，1(x)=且 上D=0,得 玉=匕月(1,0),x2=0.l +x k1 一 所以没在区间(-1,)和(0,+8)上，/*(%)0；在区间(1-一k,0)上，k k(x)-1 时,/(X)-；(H)设当xN O时，x)1时，/)之 一当且仅当*之1+升.X +1令g(x)=e*-为-1，则 g(x)=e*-l.当 x0时g(x)N 0,g(x)在 0,+8)是噌函敷；当x M O

40、时g(x)M O,g(x)在(-8,0是诚函数.于是g(x)在x=0处达到最小值，因而当x e R时，g(x)N g(O),即e 21+x.Y所以当X 1时，/(x).x+1(I I)由题设x N O,此时/(X)NO.I Y X当,则 一0,7(x)K 一 不成立；a Q X +1 Q X +1X当以之。时，若。)=W。)+/(=)-X,则/(x)X 当且仅当及0)=0.(2X 4-1a 0)=q/(x)+a xf(x)+/(x)-l =a fx)-a xf(x)+a x-fx.(i)当 O V a W；时，由(I )知 xV(x+l)/(x),=(2 a -l)/(x):时，由(知 x之(

41、x),h(x)=q/(x)-a xf(x)+a x-/(x)之球(x)-a xf(x)+4 (x)-/=(2口一1 一 以x)/(x)当Ovx 0,所以力(x)/(0)=0,即/。)-.a公+1综上，a的取值范围是10.L 2【点评】导数常作为高考的压轴题，对考生的能力要求非常高，它不仅要求考生牢固掌握基础知识、基本技能，还要求考生具有较强的分析能力和计算能力.估计以后对导数的考查力度不会减弱。作为压轴题，主要是涉及利用导数求最值解决恒成立问题，利用导数证明不等式等，常伴随时参数的讨论，这也是难点之所在.全 国 1(20)(本小题满分12分)(注意：在试题卷上作答无效)已知函数/*)=(x +

42、l n x-x+l.(I )若犷 (幻/+原+1,求a的取值范围；(I I)证明：(x-l)x)2 .【命题意图】本小题主要考查函数、导数、不等式证明等知识，通过运用导数知识解决函数、不等式问题,考查了考生综合运用数学知识解决问题的能力以及计算能力，同时也考查了函数与方程思想、化归与转化思想.(江 苏)20.(16 分)设/(x)使定义在区间(1,+0。)上的函数，其导函数为/(x).如果存在实数a和函数/i(x),其中力(x)对任意的xe(l,+o o)都有/i(x)0,使得/,(X)=h(x)(x2-a x+),则称函数/(x)具有性质P .b+2 设函数/(x)=/()+(%1),其中匕

43、为实数x+1求证：函数/(X)具有性质P(b)求函数/(X)的单调区间已知函数g(x)具有性质产 ，给定e(1,+8),匹 1,4 1,若|g(a)-g(4)|I n 2-1 且x 0 时，ex x2-la x+1(广东)2 1.(本小题满分14分)设 A(玉,必)刀(9,力)是平面直角坐标系x O y 上的两点，先定义由点A到点B 的一种折线距离p(A,B)为P(A,B)=|x2-x,|+|y2-y1|.对于平面x O y上给定的不同的两点A(玉,口),B(x2,y2)(1)若点 C(x,y)是平面X。)，上的点，试证明 p(A,C)+p(C,B)N p(A,B);(2)在平面x O y上是

44、否存在点C(x,y),同时满足p (A,C)+p (C,8)=p (A,3)；p (A,C)=p(C,B)；若存在，请求所给出所有符合条件的点；若不存在，请予以证明。(江 西)1 9.(本小题满分1 2分)设函数/(x)=ln x +ln(2 x)+a x(a 0)。(1)当a=l时，求/(x)的单调区间。(2)若“X)在(0,1 上的最大值为g,求a的值。【解析】考查函数导数运算、利用导数处理函数最值等知识。解：对函数求导得：f x)=-+a ,定义域为(0,2)x 2-x(1)单调性的处理，通过导数的零点进行穿线判别符号完成。当 a=l 时，令/(x)=0得 L+=0n T +2=0 x

45、2-x xC 2-x)当 x e (0,V 2),/V)o,为增区间；当 x e(0,2)J(x)0,为单调递增区间。x 2-x最大值在右端点取到。(a x =/=。=L。(辽 宁)(21)(本小题满分1 2分)+:、已知函数/(x)=(a +1)I n x +a x?+1 、(I)讨论函数/x)的单调性;(I I)设a 0,故/(x)在(0,+8)单调增加；当。一1时，f x)0；xe(J-竺士+8)时,f(x)x2,而。4 xi-x2等价于V xpx2 e (0,+c o),f(x2)+4x2 f(x1)+4x 令 g(x)=/(x)+4x ,贝ij g(x)=+2 a x+4x等价于g(

46、x)在(0,+8)单调减少，即。+1 -八-F 2 a x+4 W 0.x“h,4x 1 (2x I)-4x 2(2x 1)2x 2+1 2X2+1 2X2+1故a的取值范围为(，一2.1 2分(陕西)2 1.(本小题满分1 4分)已知函数/(x)=y/x,g(x)-a ln x,a e R(I )若曲线y =/(x)与曲线y =g(x)相交，且在交点处有共同的切线，求a的值和该切线方程；(I I)设函数力(x)=/(x)-g(x),当Z i(x)存在最小值时,求其最小值夕(。)的解析式:(I I I)对(I I)中的尹(。)和任意的。0,和 0,证明:,(a +b ”(a)+S)0),l(x

47、)=2 Jxa _ sx-2 ax 2 x(i)当a 0 时，令”(x)=0,解得 X=4Q2,.当0 x4/时，(x)0,力(元)在(4.2,+8)上递增x =4/是/i(x)在(0,+8)上的唯极值点，从而也是/?(x)的最小值点最小值 8(。)=h(4a2)=2 a-a n 4a2=2a(1 -I n 2a)r(i i)当a0时，C(x)=一 0,力(x)在(0,+8)上递增,无最小值，2 x故/i(x)的最小值(。)的解析式为夕伍)=2(l-ln 2 a)(a 0)(I I I)由(I I)知夕(a)=21 n 2a对任意的a 0)0“八(a)+”*(b)=-2-I-n-2-a-+-2

48、-I-n -2-b=-l,n4A a b _2 2“(2)=_2 l n(2 )=一 比他+b)2=-2 I n ：=-l n 4ab24ab故由得夕(-)八丫 0且a w l),g(x)是 的 反 函 数.l-a(I )设关于x的方程求/o g。-=g(X)在区间 2,6 上有实数解，求f的取值(X2-1)(7-X)L J范围；*”2-7 1 -1 7 (I I)当a=e (e为自然对数的底数)时，证明：Y g(k).k=2+(I I I)当0 0,y +iX 1故 g(x)=l o g“-,x e (-00,-1)u(l,+00).x +1由 l o g _ -=l o g 得a(x2-l

49、)(7-x)a x +1t=(X-1)2(7-X x G 2,6 则/=-3 x2+18x 15 =3(%1)(%-5).列表如下:x2(2,5(5,655)6)+0极大25值所以“小值=5 最大值=3 2所以t 的取值范围为 5,3 2（5分）(I I)Z gn=2=-I n3 4 5n+1n(n =1)2 _ 72 1令(z)=-I n z2-=-2I n z+z ,z 0,z z则/(z)=2+1 =二=(1 )2 N O.z z z所以(z)在(0,+8)上是增函数.又因为 1 0,所以(J及詈)(1)=02 1却-2 o,n(n+1)n(n+1)即以七”:.(9分)=2 J 2”(n

50、 +1)设=-，贝Up 1,1 /(1)=1 +=1 +31 +/?1-7 2 n2当=1 时/一“2 2时，设 k N 2,k s N*时，则/仅)=(1+/j4r=1 +4(l +p)i (l +p)x-l1C H：-P-+；-C-：-尸-；-7-2+。/”2 4 4 4所以 1 f(k)l+,=1+-=1 +-C；+C：女饮+1)k k +4 4 4从而-1 V/()n-I d-=+1-n +1.M 2 +1 n+1所以 2/(%)f(1)+1 +4n=综上，总有 f J 伏)l 时，f(x)g(x)(I I I)如果司工，且/(X)=/(%2)，证明玉+3 2 2(21)本小题主要考查