2018-2019学年高中数学人教A版选修1-1试题：第三章导数及其应用第三章含解析.pdf

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1、第三章导数反其应用 3.1变 化 率 与 导 数 3.1.1 变 化 率 问 题 3.1.2 导 数 的 概 念 课标解读1.通过具体的自然现象，认识函数的平均变化率.2.了解瞬时速度与平均速度的关系，进而了解瞬时变化率与平均变化率的关系，知道瞬时变化率即为导数.(难点)3.理解并掌握导数的定义，并体会导数的思想及其内涵.(重点)I课前预习案核心素养养成|-，教材知识知理三三三三三三三三三三三三三1.函数y=/(*)从 Xi到x2的平均变化率定义式：(2)实质：函数值的改变量与自变量的改变量之比.意义：刻 画 函 数 值 在 区 间 X 21上变化的快慢.2.函数y=/(x)在 x=*o处的瞬

2、时变化率3.导数的概念定义式A j f（x（+）-f（X。）A x_实质瞬时变化率是当自变量的改变量趋近于0 时，平均变化率趋近的值定义式A j f（x o+A x）-f （即）x A x记法或 y|x=x()实质 函数y=/(x)在x=x0处的导数就是y=/(x)在x=xn处的瞬时变化率 核心要点探究三三三三三三三三三三三三三三三知识点一函数的平均变化率0。4 2探究1:观察右图，回答下列问题，明确平均变化率的定义.图中已知的两点分别是(和，危3)与(*2,m 3),在区间 勺，M 上，自变量的改变量是工二且，函数值的改变量是/(X2)/U1).(2)根据(1)中的内容考虑，此函数在区间 X

3、,M 的平均变化率是什么？提 示 由图结合可知，此函数在区间,町 上的平均变化率为必 一 31探究2：据 平 均 变 化 率 的 定 义A y 及f 表 达式f(x人i)，回答下列问 x 必一X1题：表达式中A x,A y的取值情况是怎样的？提示 A x是自变量从x i到处的增量，可以用X i+A x代替必，A x可以是正数，也可以是负数，但不能为零，A y是相应函数值的增量，它可以为正，也可以为负，也可以为零，当/(x)为常数函数时，)=().(2)函数y=A x)从内到x2的平均变化率/=()-，5)的几何意义是4 X X2-X什么？提 示 连接函数图像上对应两点的割线的斜率.知识点二物体

4、在某一时刻的平均速度、瞬时速度与函数的瞬时变化率与导数探究1:根据平均速度与瞬时速度的定义探究以下问题：(1)如何计算物体的平均速度？提 示 一物体的运动方程为s=s(f),则它在出，打 这个时间段内的平均速度(2)如何计算物体的瞬时速度？提示 瞬时速度：一物体的运动方程为s=s(f),则它在to时刻的瞬时速度s(访+Af)-s(4)/,探究2：根据函数的瞬时变化率与在某点处导数的定义，回答下列问题：(1)瞬时变化率与平均变化率的关系是什么？它们的物理意义分别是什么？提示 瞬时变化率是平均变化率在A x无限趋近于0 时，先无限趋近的值;瞬时变化率的物理意义是指物体运动的瞬时速度，平均变化率的物

5、理意义是指物体运动的平均速度.(2)瞬时变化率与函数在某点处导数的关系是什么？提 示 函数在某点处的瞬时变化率就是函数在此点处的导数.|镖堂探究案核心素养提升|-题型一求函数的平均变化率 例1 求函数y=/(x)=3 f+2 在区间 孙，孙+幻上的平均变化率，并求当x(,=2,Ax=0.1时平均变化率的值.【自主解答】函数y=f(x)=3x2+2在区间 x o,必+幻上的平均变化率为 于(x o+A x)-于(*()_ 3(x()+A x)2+2(3/+2)_(xo+Ax)Ax6x()Ax+3(Ax)2-薮-=6xo+3Ax.当x(,=2,A x=0.1时，函数7=3炉+2 在区间 2,2.1

6、 上的平均变化率为6X2+3X0.1=12.3.规律总结求平均变化率可根据定义代入公式直接求解，解题的关键是弄清自变量的增 量 与 函 数 值 的 增 量 A y,求平均变化率的主要步骤是：(1)先计算函数值的改变量Aj=/(xi)/(xo).(2)再计算自变量的改变量Ax=xix0.(3)得平均变化率-/G o)Ax X i-x()o 变式训练1.求y=2 f+i在 xo到x o+之间的平均变化率，并求刈=1,*=；时函数的平均变化率的值.解析 当 自 变 量 从 Xo变 到 X o+A x 时，函数的平均变化率为f(x0+Ax)f(xo)2(x()+A x)2+l(2x+l)-；-x-=-

7、A；-x-=4x0+2A x.当Xo=l,时，函数的平均变化率的值为4X l+2x1=5.题型二求函数在某点处的导数 例2(1)函数y=正 在 =1 处的导数为.如果一个质点由定点A开始运动，在时间t的位移函数为y=f(t)=t3+3,当fi=4,f=0.01时，求Ay和比值求4=4 时的导数.【自主解答】(l)A y=、l+A x-l,Ay 4 1+A x-1_ 1_A*-Ax-1+A x+1，1 _11+Ax+1 2,所以 y%=i=；.(2)y=#i+A f)-/U i)=34/+3tl (Af)2+(Af)3,故当 6=4)L Aj=0.01 时,Aj=0.481201,大=48.12

8、0 1.詈=3力+3fl Af+(A/)2=3zt=48,故函数y=/+3 在/i=4 处的导数是4 8,即V%=4=48.【答案】(1)|(2)见自主解答 规律总结1.求函数尸/1(X)在点力处的导数的三个步骤求函数的增量2.瞬时变化率的几种变形形式/(孙+A x)/(x o)A x_ f(X o-A x)-f(X o)x_ f(M+AX)-f(X o)7 1 A x_ f(x()+AX)f(x p-AX)2 A x=ra。).K。变 式训练2.根据导数的定义求下列函数的导数.(1)求函数y=f+3在x=l处的导数；(2)求 函 数 在x=a(a W 0)处的导数.解 析(l)A y=/U+

9、%)-/U)=(l+A x)2+3 (12+3)=2Ax+(Ax)2,j 2 A x+(A x)2/=-X-=2+A x.x A x yf|x=i=(2 4-A x)=2.(2)A y =/(a+A x)-/(a)1 1 一(a+A x)a+A x a a(a+A x)Axa(a+Ax).Aj&x .L*Ax a(a+A x)Ax a(a+Ax)k=a=-a(a+Ax)=-7*题型三求瞬时速度 例3 若一物体的运动方程为5=29+3(/-3)2,00kiB.k=/+1上取一点(1,2)及邻近一点(1+Ax,2+A j),则仄 为A，A x+Ax+2B.Ax x2C.Ax+2D.2+%7 x解析

10、 A y=/U+A x)一阻)=(1+AX)2+1 (1 2+1)=(AX)2+2 AX.，W=Ax+2.答 案 C二、填空题(每小题5 分，共 15分)7.设函数/(x)=a x+3,若/(1)=3,则 a 等于.,解析 Vf(x)=f-(-x-+-A-元x)厂f (x)a(x+A x)+3-(ar+3)=a,：.f (l)=a=3.答 案 38.将半径为R 的球加热，若半径从1?=1到 1?=机时球的体积膨胀率(体积2A冗的变化量与半径的变化量之比)为丁，则 m 的值为.A T-4n,4n 3 4n,解析 V 丫=飞-帆3一 亍*13=(/n3-l),4n.,、.T)_2 8T T*TR=

11、m-l=-即机2+机+1=7,解得m=2 或，=3(舍去).答 案 29.如图是函数y=f(x)的图像，则函数/(x)在区间 0,2 上的平均变化率为解 析 由函数/(x)的图像知,fix)-x+3,-iWxWl,x+1,lx0)相切的直线有两条.知识点二导函数的概念探究1：据函数在某点处导数的定义，探究以下问题：(1)已知函数y=*2,完成下表：Xi23456r(x)24681012(2)据(1)中的表格，根据函数的定义考虑/(幻是否是关于x 的函数？提 示 是，由函数的定义知，当x 取某一个数时，(x)都有唯一的数与之对应，故7(x)是关于x 的函数.探究2：根据导函数的概念，回答下列问题

12、：(1),=/(%)=/与7=/(外=2*的定义域是否相同？提 示 相同，均为R.(2)对于一个函数，如何求其导函数？提 示 求导函数的依据是函数在某点处导数的求法，即可利用y =f x)=f(x+A x)f(x)g；5 M直 来函数的导函数.课堂探究案核心素养提升卜题型一求过曲线上一点的切线的方程 例1 已 知 曲 线 求 曲 线 在 点 p(3,9)处的切线方程.【自主解答】由y=$3,得A (x+A x)3,=&=3-LAx Ax1 3X2AX+3X(AX)2+(Ax)3-3 Ax=13x2+3x x+(x)2=x2,yr=3=32=9,即曲线在P(3,9)处的切线的斜率等于9.由直线的

13、点斜式方程可得，所求切线方程为j 9=9(x3),即 9xj 18=0.规律总结1.求曲线上某一点处的切线方程的三个步骤2.求过曲线y=/(x)外一点P(xi,力)的切线方程的六个步骤设切点(xo,/(xo).利用所设切点求斜率k=f(x0)=f（Xo+Ax）-f（X0）Ax用（Xo,/（xo）,P（X1,yi）表示斜率.(4)根据斜率相等求得M,然后求得斜率根据点斜式写出切线方程.将切线方程化为一般式.K。变 式训练1.求曲线7=/(幻=/+1过点尸(1,0)的切线方程.5 上、”，！、，2 ,f(。+*)f(a)解 析 设 切 点 为 Q(a,a+1),-=(a+A x)?+1(/+1)-

14、=2 a+A x,当工趋于0 时，(2a+Ax)趋近于2a,(/+1)0 r-所以，所求切线的斜率为2a.因此 I=2 a,解 得a=l R,所求的切线方程为 y=(2+2/氏一(2+2啦)或 y=(22 g x (22 g.题型二求切点坐标W 1 例2 已知曲线尸千的一条切线的斜率为;，则切点的坐标为曲线y=/+l 在点p(*o,则)处的切线斜率为2,求点尸(小，川)的坐标.(x+Ax)2 x2_.i，*2 4 4 2x+Ax x【自主解答】(1)因为 y=w，所以y=n=2-令=；,得x=l,所以切点的坐标为(1,；).(2)设-n A 幻=22.+1,则 /-(-X-(-)+-A-x-)

15、-f-(x-o-)-(*o+Ax)2+1一看一1 xAx+2xo,“.f Go+Ax)(x().,.当Ax0 时，-屋-f 2x0.令2xo=2,解得 必=1.所以点P的坐标为(1,2).【答案】(1)(1，(2)见自主解答 规律总结曲线切点坐标的求法(1)先设切点坐标(xo,泗);求导数尸(x)；求切线的斜率/(Xo);(4)由斜率间的关系列出关于xo的方程，求出xo；由于点(xo,y()在曲线/(x)上，将(xo,则)代入求得加的值，得切点坐标(M,O 变式训练2.已知曲线y=2W+a在点p 处的切线方程为8xy15=0,求切点P 的坐标和实数。的值.解 析 设切点P 的坐标为(Xo,jo

16、),切线斜率为A.llITlAy lini2(x+Ax)2+a(2x2+a)由旷=、工 以=工-ilim=()(4x+2A x)=4x,得女=y|x=x()=4xo.根据题意得4xo=8,x0=2,分别代入=2炉+。和y=8x1 5,得 见=8+。=1,得，a=-7,故所求切Uo=L点为 PQ,1),a=-7.题型三导数几何意义的应用 例3(1)曲 线 和 在 它 们 交 点 处 的 两 条 切 线 与 x 轴所围成的三角形面积是.求抛物线G：y=f+2 x 与抛物线。2：尸一/一;的公切线方程.【解析】由产 得尸 一，所以曲线旷=,和y=*2的交点坐标是(1,产 1,工1),的导数为1 _1

17、-Axlin ix+Ax x 1 im (x+Ax)x 1A (.I-=A Rf(1 7 =2Ax Ax X所以y%.i=-1,切线方程是y=x+2,1 1m(x+A x)2y=x2的导数为-=2 x,yf|x=i =2,切线方程为y=2 x 1,两条切线与x轴的交点坐标分别为(2,0)和0),故它们与轴所围1 3 3成的三角形的面积S=TX-X 1=T.(2)对旷=+2 1求导，根据导数的定义可得，y =2 x+2,对y=/一；求导，根据导数的定义可得，y =-2 x,设公切线与抛物线G：J=X2+2X的切点为(x o,j o),与抛物线。2：y=-V 1的切点为(*,刈)，rJ iJ o=

18、(2 x0+2)(X(X o),Xl =Xo -1,依题意可得方程组y o=x W+2 x o,解得 X o=_；,J o=-4 所以公切线方程为y+(=2 X(-；)+2&即 4 x 4 j 1=0.【答案】；(2)见解析 规律总结利用导数的几何意义处理综合应用题的两种思路(1)与导数的几何意义相关的题目往往涉及解析几何的相关知识，如直线的方程、直线间的位置关系等，因此要综合应用所学知识解题.(2)与导数的几何意义相关的综合问题解题的关键是函数在某点处的导数，已知切点可以求斜率，已知斜率也可以求切线，切点的坐标是常设的未知量.O 变式训练3.设函数/(x)=x 3+a x 2 9*l(a 0

19、),若曲线y=/(x)的斜率最小的切线与直线1 2 x+y=6平行，求a的值.解析 V A j =/(x0+A x)/(x0)=(x o+A x)3+a(x o+A x)2-9(x o+A x)1(x o+a x()-9 x o1)=(3xl+2axo9)Ax+(3x()+a)(Ax)2+(Ax)3,=3xo+2ax09+(3xo+a)Ax+(Ax)2.x!黑 卷=3襦+2睁-9即 f(xQ)=3xo+2ax()9=3Go+当x()=一：时，r (xo)取最小值一9一女.斜率最小的切线与12x+y=6平行，2，该切线斜率为-12.:.9y=-12.解得=3.又a 0 B.f(x0)0C.f(x

20、)=0 D.，(%)不存在解析 由 y=-3 x-5 知产(x()=3(i(2 x+A x)=2 x.-X设点P 的坐标为(Xo,J o),则2 x o=2,即Xo=l,故y o=L所以在点尸处的切线方程为yl=2(x1),即y=2xL答 案A6.曲线y=/(x)=x3在点尸处切线的斜率为上 当A=3时点P 的坐标为A.(-2,-8)B.(-1,-1)或(1,1)C.(2,8)D.(2 1)解 析设点P 的坐标为(孙，%),(xo+Ax)-f Go)则 Ar=/(xo)=厂 乂1i-(x0+Ax)3xoAx-O-Axl i m=AZ-(I(AX)2+3X O+3X O,Ax=3xo.k=3,3

21、xo=3,*.x()=1 或 x()=1,.,.必=1 或 y0=1.点P 的坐标为(一 1,一 1)或(1,1).答 案B二、填空题(每小题5 分，共 15分)7.曲线y=1-l 在点4(2,一，处 的 切 线 的 斜 率 为.5+匚.(1 _ 八(八 2-(2+A x)Ax解析 尸Q+A x p H j T 尸 2(2+Ax)=2(2+A x)，vi l i mA v l i mr x q A 工=-2(2+3 即-工=、L(-2(2+Ax)=-4-答案1-48.已知直线y=3 x+l与曲线y=j?+ax+3相切于点(1,4),则a=.解 析由于切点(1,4)在曲线y=x3+or+3上，/

22、.4=l3+a+3,*.a=0.答 案09.已知函数y=/Q)在点Q,1)处的切线与直线3xy2=0 平行，则 I y%=2等于.解析 因为直线3 x-y-2=0 的斜率为3,所以由导数的几何意义可知旷卜=2=3.答 案3三、解答题(共35分)10.(10分)已知抛物线J=/(X)=X2+3与直线y=2 x+2相交，求它们交点处的切线方程.y=工2+3解析 由方程组 得，-2*+1=0,解得x=l,y=4,所以交点y=2x+2,坐标为(1,4),又(A x+1)2+3-(12+3)Ax=Ax+2.当A x趋 于0时A x+2趋 于2.所以在点(1,4)处的切线斜率k=2.所以切线方程为y-4=

23、2(x-l),即y=2x+2.11.(10分)求抛物线y=x2上的一点到直线“一广_2=0的最短距离.解析 根据题意可得，与直线x-y-2=0平 行 的 抛 物 线 的 切 线 对 应的切点到直线xy2=0的距离最短，设切点坐标为(X。，Xo).根据定义可求导数y|x=xo=2x|x=xo=2x0=1,所以xo=；,所以切点坐标为(；，切点到直线x-j-2=0的距离d=728 所以抛物线上的点到直线x-y-2=0的最短距离为毕.12.(15分)已知点M(0,-1),F(0,1),过 点M的直线/与曲线y=$3-4x+4在x=2处的切线平行.求直线/的方程；(2)求以点尸为焦点，/为准线的抛物线

24、。的方程.解 析(1)y=/(x)=1x34x+4,l i m y(2+Ax)-/(2)：.f (2)=A x-(/-兀 一l i m；(2+Ax)4(2+Ax)+4g x 2、一4X2+4)SJ C八 xlim （A x）2=d L。2A x+-=，曲线y=5 3 4*+4在 x=2 处的切线斜率为0,而/与此切线平行，故/的斜率也为0.又/过点M（0,-1）,.直线/的方程为y=-L（2）因为抛物线以点网0,1）为焦点，7=一1 为准线，设抛物线方程为f=2p y（p：0）,贝号=1,p=2.故抛物线。的方程为x2=4y.3.2导 数 的 计 算 3.2.1 几 个 常 用 函 数 的 导

25、 数 3.2.2 基 本 初 等 函 数 的 导 致 公 式 及 导 致 的 运 算 法 则 课标解读1.能够用导数的定义求几个常用函数的导数.（重点）2.掌握导数的运算法则.（重点）3.能利用给出的基本初等函数的导数公式及导数的四则运算法则求简单函数的导数.（重点 易混点）|课前预习案核心素养养成卜，教林知祖横理三三1三三三三三三三三三1.几个常用函数的导数2.基本初等函数的导数公式函数导数函数导数fix)=Cr w=o1Ax)=xf(x)=lJ(x)=x2f(X)=2x1Ax)=!r（刈=二5函数导数函数导数f(x)=cr(-v)=of(x)=axf (x)=flxln_g(a0)/(x)

26、=x0(aeQ*)f(x)=axtf(x)=exf (x)=e3.导数的运算法则/(x)=sin xf (x)=cos_xf(x)=10gflX/(*)一示(。0,且aWl)f(x)=cos Xf (x)=-sin_xf(x)=lnx(x)=!明/、勤 腺 三 三 三三三三三三三知识点一几个常用函数的导数和差的导数f(X)(X)=f(X)gf(X)积的导数/(x)-g(x)，=/7x)g(x)+/U)g(x)商的导数f (x),f (x)g(x)f(x)Jg(x)_g(X)J _|g(x)f探究1:观察函数y=2x,y=3x,y=4x的图像，完成下列问题.熟记正比例函数的导数.根据导数的几何意

27、义，y=2x,_y=3x,y=4x的导数分别是什么？提 示 y=2x,y=3x,y=4x的导数分别是旷=2,y=3,y=4.(2)在这三个函数中，谁增长得最快，谁增长得最慢？提 示 y=4x增长得最快，y=2x增长得最慢.探究2：根 据 函 数 与 y=的图像，完成下列问题，体会图像的变化与导数之间的关系.明确导数正负与函数单调性的关系.(1)在(0,+8)上，函 数 V =%2是增函数,V 是减函数.在(一8,0)上,函数V =V 是减函数,V=:是减函数.(填“增函数”或“减函数”)(2)在问题的基础上考虑，函数j=x2的导数的正负与函数的增减性有关吗？尸：呢？提示 有关.因为丁=*2的导

28、数是V=2 x,当 x0时，yr 0,函数y=f是增函数，当x0时，yf=(2X2+3)-(3X-2)=6X3-4X2+9X-6,=18X28X+9.解 法 一 歹=(制(X-1)(x+1)(X1)(x+1)=(x+1)2(x+1)(x1)2(x+1)2一 (x+1)2-解 法 二.产 票 二 由 二 一 住!，-帚，=卜帚，_ 2Z(x+D 2(x+1)，2(x+1)2(x+1)题型三求曲线的切线方程 例3 已知函数/(*)=3+*16,(1)求曲线y=/(x)在点(2,6)处的切线的方程；(2)若直线/为曲线y=f(x)的切线,且经过原点,求直线I的方程及切点坐标.【解析】(1)因为/(2

29、)=23+216=6,所以点(2,6)在曲线上.又/(%)=(1+工-16)=3f+1,所以在点(2,6)处的切线的斜率为无=/(2)=3X22+1=13.所以切线的方程为 j=1 3(x-2)+(-6),即 y=13x-32.(2)设切点为(xo,jo),则直线/的斜率为了(必)=3看+1,所以直线/的方程为：y=(3焉+1)(%一勺)+xo+xo_16.又因为直线/过点(0,0),所以0=(3焉+1)(x0)+x计孙一1 6,整理得看=-8,所 以 劭=-2,J0=(-2)3+(-2)-1 6=-2 6,所以女=3X(2尸+1=13,所以直线/的方程为y=1 3 x,切点坐标为(-2,-2

30、6).规律总结(1)利用导数运算法则解决与切线相关问题的两个方法此类问题往往涉及切点、切点处的导数、切线方程三个主要元素.其他的条件可以进行转化，从而转化为这三个要素间的关系.准确求出已知函数式的导数、切线方程是解决此类问题的关键.(2)常见的两个问题已知点是否在曲线上，求在某点处的切线方程，还是过某点的切线方程,两种情况一定要分清楚.如果曲线在P(Xo,见)处导数不存在，那么切线不一定不存在，也可能切线垂直于X轴，此种情况可运用数形结合来进行判断.(3)关于导数运算法则的应用的解题策略导数运算法则的综合应用往往涉及抽象函数、不等式的解法、不等式的证明等，其核心仍是导数函数，因此需利用导数知识

31、结合导数的运算法则进行转化，再结合其他的知识求解.O 变式训练3.(2018全国卷I)设函数/(外=/+(4 1)?+依.若A%)为奇函数，则曲线_y=/U)在点(0,0)处的切线方程为A.y=2x B.y=xC.y=2x D.y=x解 析 因为/(x)为奇函数，所以/(x)=/(X),由此可得4=1,故/(幻=工3+x,f (X)=3X2+1,f (0)=1,所以曲线y=/(x)在点(0,0)处的切线方程为y=x.答 案 DI短板补救案核心素养培优|-易错误区(八)不能正确应用导数的运算法则致误O 典题示例 典 例 设函数/(x)=(xa)(x b)(x c)(a,b,c 是互不相等的常数)

32、，则-+-+-等于f ()十r 十r (。)考于A.0 B.1 C.3 D.a+b+c【解析】根据题意，由于函数/(x)=(xa)(xZ)(xc),则可知尸(x)=(x)(xc)+(xa)(x)(*一c)/,所以尸(a)=(a5)(ac),同理可知/)=(6a)(6-c),f (c)=(c-a)(c-6),那么可知 j Z)+/b)+/：c)=_ _ _i_ b_+_(a)(ac)(小 c)(8a)(CQ)(c力)_a(：-c)_ _ b(a-c)_(ab)(ac)(Dc)(,ac)(bc)(力a)+-(c-a)(c-)a(/c)-b (ac)+_ c_(a-b)(ac)(ft-c)(ca)(

33、cb)_._ c_(ac)(Z c)ca)(cb)，【答案】A 易错防范1.将公式(0)，=优0+0，错误理解为(0)，=1/0，而致结果不正确，错选为D.2.熟记导数运算法则求函数的导数，必须熟记导数的运算法则，要注意积的导数和商的导数形式，不要把求导法则弄错.例如，本例可利用积的导数运算法则求，但要注意应用准确.3.求导时常用的技巧利用导数的四则运算求导时，应先把原式进行恒等变形再进行化简或变形，如把乘法转化为加减法，把商的形式化成和差的形式，这样容易化简计算.O 典题试解已知人x)=x(x+l)(x+2)(x+3)(x+4)(x+5)+6,则/(0)=.解析 因为/(x)=x(x+l)(

34、x+2)(x+3)(x+4)(x+5)+6,所以 f(x)=(x+l)(x+2)(x+3)(x+4)(x+5)+x(x+2)(x+3)(x+4)(x+5)+x(x+l)(x+3)(x+4)(x+5)+x(x+l)(x+2)(x+4)(x+5)+x(x+l)(x+2)(x+3)(x+5)+x(x+l)(x+2)(x+3)(x+4),所以r(0)=1X2X3X4X5=120.答 案120|所 提 升 案核心素养达成|-限时40分钟；满 分80分一、选择题(每小题5分，共30分)1.已知/(x)=ln x+f,则/(*)等于A.lnx+1 B.+l C.+/D.xxx解析 V/(x)=z+ln x,

35、：.f(x)=(lnx),=p答 案 D2.函数/(x)=(2nx)2的导数是A.f(x)=4 Ji x B.f(x)=4 n 2xC.f (X)=8JI2X D.f(x)=16Jtx解析 V/(x)=(2 n X)2=4 n 2x2,:(x)=(4n2x2)=4 n2(x2),=8 n2x.答 案 C3.下列结论：(sinx)=-cosx；=3；(e*lnx)=e：+lnx)；(lnx2),0).其中正确的个数有A.0 B.1 C.2 D.3解析 利用导数公式(sinx)，=c o s x,错；曲=-=_ 错；(eAln x)=(e)ln x+ex(ln x)=e*lnx+；e*=e*g+l

36、n x),正确；2(lnx2y=(21nxy=1 错.故应选 B.答 案 B4.若函数大了)=41+5*2+。满足/(1)=2,则/(一1)等于A.-1 B.-2 C.2 D.0解析,：f(x)=4 axi+2bx,：.f(l)=4 a+2b=2,(1)=-4 a 2Z=(4a+25)=2.故选 B.答 案 B5.曲线y=/+u 在点p(L 12)处的切线与y 轴交点的纵坐标是A.-9 B.-3 C.9 D.15解析 V j=x3+ll,/.j7=3x2,.切线斜率女=旷错误!错误！=3,切线方程为y=3 x+9,它与y 轴交点的纵坐标为9.答 案 C6.若函数A x)=?在 x=xo处的导数

37、值与函数值互为相反数，则 xo的值等于A.0 B.1 C.1 D.不存在解析 由于/(x)=&,./(xo)=詈ev,x-ex e*(x1)-TX 2Xex0(x01)依题意知/(xo)+/(xo)=0,.exo _ exo(吗-1)4+/=0 即ex0(2x01)=0,4*2xo 1=0,得 0=子答 案 C二、填空题(每小题5 分，共 15分)7.曲线y=*3-4*在点(1,一3)处的切线的倾斜角为解析 J,=3x24,ky I)_ =1,X-1c 3n即 tan Q=19:.a=43 J t答 案 V8.已知函数f(x)=Gdn x,x(0,+),其中。为实数，/(x)为/U)的导函数.

38、若尸(1)=3,则。的值为.解 析 先求尸(X),再求字母。的值.f (x)=a(ln x+xj)=a(l+ln x).由于/(l)=a(l+ln l)=a,又/(1)=3,所以 a=3.答 案 39.设曲线y=xi(eN*)在点(1,1)处的切线与*轴的交点的横坐标为a”令 a=lgx,则 41+做+。99的值为.解析 V f(l)=n+1,.,.j=xn+I 在点(1,1)处的切线方程为 J=(+I)(x-1)+1.令 y=0,得的 产 消 不.a=lgnlg(n+l),.,.1+42+。99=坨 1 1g 100=-2.答 案 一 2三 解答题(共35分)10.(15分)求下列函数的导(

39、函)数.(l)j=x-5；(2)y=4x；(3)y=(4)j=log3X；(T t n(5)j=sin|-y+xl；(6)j=cos y；(7)j=cos(2 n x).解 析 _/=()，=-5X-6.(2)y=(4x)r=4xln 4.1111 7 1(3)Vj=x2 x4 x8=x8,/.j7=胪一(4)y=a g =春(5):产 sin g+x)=cosx,:=_ sin x.(6)jr=fcos/，=0.(7)Vj=cos(2n-x)=cos x9:y=_ sin x.11.（10分）已知曲线C：y=x33 f+2 x,直线/：y=b,且直线/与曲线C相切于点（Xo，%）（XoW O

40、），求直线/的方程及切点坐标.解 析 .直线/过原点，直线I 的斜率左=为（莺）手0）.工0由点（xo,yo）在曲线。上，得 jo=xo3xo+2xo,/.1?=xo3x（,+2.X o又V=3%26X+2,AAr=jrI）_ =3/-6 孙+2.X =X o3xo6xo+2=xo3x（）+2,整理得2/一3孙=0.3 3 1,.,x（,#=0,*.x0=2，此时/=一斤斤=一不因此直线/的方程为y=一切点坐标为G，一.12.（10分）已知抛物线y=/（x）=ax2+bx+c过点（1,1）,且在点（2,一 1）处与直线_y=x-3 相切，求 a,b,c 的值.解 析 因为f（l）=l,所以a+

41、5+c=l.又/（x）=2ax+瓦 f （2）=1,所以 4。+方=1.又切点（2,1）在抛物线上，所以4a+2方+c=-l.a+8+c=l,把联立得方程组 4a+A=l,、4a+2+c=1.a=3,解得,方=-1 1,即a=3,b=-u,c=9.3.3 导数在研究函数中的应用、c=9,3.3.1 函 数 的 单 调 性 与 导 致 课标解读1.理解导数与函数的单调性的关系.（易错点）2.掌握利用导数判断函数单调性的方法.（重点）3.会用导数求函数的单调区间.（重点、难点）I课前预习案核心素养养成卜 教材知识梳理三三三三三三三三三三三三三三三1.函数的单调性与其导数正负的关系定 义 在 区 间

42、 3，5）内 的 函 数y=/（x）/（X）的正负式X）的单调性r（x）o单调递增r（x）o单调递减2.函数图像的变化趋势与导数值大小的关系一 般 地，设 函 数y=f（x）,在 区 间（a,加上导数的绝对值函数值变化函数的图像越大&比 较“陡 峭”（向上或向下）越小慢比 较“壬 缓”（向上或向下）核心要点探究三三三三三三三三三三三三三三三知 识 点 导 数 与 函 数 的 单 调 性探 究1：观 察 下 面 一 些 函 数 的 图 像，探讨函数的单调性与导函数正负的关系.（1）观 察 图 像，完成下列填空.图 中 的 函 数y=x的 导 函 数y，=L此 函 数 的 单 调 增 区 间 为（

43、一8,十8）；图 中 的 函 数 的 导 函 数 歹=主，此 函 数 的 单 调 增 区 间 为（0,+8）；单调 减 区 间 为（一 8,0）；图 中 的 函 数 旷=必 的 导 函 数 旷=堂,此 函 数 的 单 调 增 区 间 为（一8,十8）；图 中 的 函 数y=；的 导 函 数 旷=二3,此 函 数 的 单 调 减 区 间 为（-8,0）,（0,+）.（2）根 据（1）中 的 导 函 数 与 单 调 区 间 之 间 的 关 系，思 考 函 数 的 单 调 性 与 导 函 数的 正、负 有 什 么 关 系？提示 根据(1)中的结果可以看出，函数的单调区间与导函数的正负有关，当导函数在

44、某区间上大于0时，此时对应的函数为增函数，当导函数在某区间上小于0时，此时对应的函数为减函数.探究2:根据函数的单调性与导数之间的关系，完成以下问题.(1)在区间3,田上，如果尸(x)0,则/(*)在该区间上单调递增，反过来也成立吗？提示 不一定成立.例如，於)=1在R上为增函数，但产(0)=0,即/(*)0是/(幻在该区间上单调递增的充分不必要条件.(2)利用导数求函数单调区间时，能否忽视定义域？提 示 首先需栗确定函数的定义域，函数的单调区间是定义域的子集.|课堂探究案核心素养提升|-题型一函数与导函数的图像 例1已 知 函 数 的 图 像 如 图 所 示(其 中 八x)是函数A)的导函数

45、)，下列四个图像中为y=/U)的大致图像的是【自主解答】由题图知：当*一1时，x f(x)0,函数y=/(x)单调递增；当一 lr0,：.f (x)0,函数y=/(x)单调递减；当 0 xl 时，x f(x)0,f (x)l 时，x f(x)0,(x)0,y=/(x)单调递增.【答案】C 规律总结研究一个函数的图像与其导函数图像之间的关系时，注意抓住各自的关键要素：对于原函数，要注意其图像在哪个区间内单调递增，在哪个区间内单调递减；而对于导函数，则应注意其函数值在哪个区间内大于零，在哪个区间内小于零，并分析这些区间与原函数的单调区间是否一致.。变 式训练1.设/(X)是函数大戈)的导数，y=F

46、(x)的图像如图所示，则y=/(x)的图像最有可能是解 析 由导函数图像知：当 *(-8,一 1)时，f (x)0,故/(x)在(一 1,1)上单调递增；当 x (l,+8)时，f (x)0,即一 IV x V l时，函数/(x)=3x-x3单调递增；当/(x)V O,即xV 1或x l时，函数/(x)=3xX，单调递减.所以函数/(幻=3工一/的单调递增区间为(一 1,1),单调递减区间为(一8,1)和(1,+).解 法 二 令 尸(x)=0,得x=1或x=L当 x V-l 时，f (x)0;当 x l 时，f (x)0.所以函数/(*)=3%一1的单调递增区间为(一 1,1),单调递减区间

47、为(一8,1)和(1,+).(2)函数的定义域为(0,+).又丁工。，.,.令/(x)=o,得 =七.当 OVxV坐 时，f (x)平 时，f (x)0.所以函数/(x)=3x221nx的单调递增区间为惇，+8),单调递减区间为要 规律总结求函数y=/(x)单调区间的步骤(1)确定函数y=/(x)的定义域.(2)求导数 V=/(x).解 不 等 式 解 集 在 定 义 域 内 的 部 分 为 增 区 间.(4)解不等式/(x)0,解集在定义域内的部分为减区间.。变 式训练2.求下列函数的单调区间：(l)/(x)=lx+sin x,x(0,2 兀)；(2)f(x)=2xln x.解 析(l)；f

48、(X)=T+cOSX,.,.令/(x)0 得:+cos x 0,即 cos x一2 4又.”(O,2 n),，n 或gn x2TT.同理，令/(x)0,得,n v x 0.令/(x)=0,则 x=-.因为在(一 3,1)上函数不单调，所以一3V-M p 3k27.(2)函数求导得/(*)=ax+a1=(*l)x(a1),令/(x)=0 得 x=l或x=a-l.因为函数在区间(1,4)内为减函数，所以当x (l,4)时，/(x)0,又因为函数在区间(6,+8)上为增函数，所以当x(6,+8)时，/(x)20,所以4 a-lW 6,所以5W a 0(或产(x)0),求出参数的取值范围后，再验证参数

49、取“=”时，_/(*)是否满足题意.2.恒成立问题的重要思路(l)m 2/(x)恒成立=机2/(x)max.(2)机 W/(X)恒成立O 变式训练3.若函数/(幻=/-a f+i 在 0,2 内单调递减，求实数a 的取值范围.解析 f(x)3x22ax=x(3x2a).当a=0 时，(x)2 0,故y=/(x)在(一8,十8)上单调递增，与y=f(x)在 0,2 内单调递减不符，舍去.当a0时，由/(x)W 0得 0 0 4 4，即於)的减区间为0,斜.由y=/U)在 0,2 内单调递减得全 2得 心 3.综上可知，a 的取值范围是 3,+8).I短坂补救案核心素养培优|-易错误区(九)误用函

50、数单调递增(减)的充要条件致误O 典题示例 典 例 已知函数A x)=丝 普 在(-2,+8)内单调递减，则实数。的取值范X I /围为.【解析】因为/(*)=筌，所以尸(X)=(第;2.由函数/(x)在(-2,+8)内单调递减知/(x)W0 在(-2,+8)内恒成立，即(jiz；在(-2,+8)内恒成立，因此当时，於)=；,此时函数/(x)为常数函数，故a=；不符合题意舍去.所以a 的取值范围为故实数a 的取值范围为(一8,【答案】(一8,易错防范1 .没 有 对 进 行 验 证，不能正确理解导数小于0 是函数递减的充分条件,进而导致范围扩大的错误.2 .函数/(x)在区间。上单调递增(或递