2023年高考数学压轴题圆锥曲线专题第03讲：面积问题二含解析.pdf-得力文库

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1、2023年高考数学压轴题圆锥曲线专题第03讲：面积问题二(解析版)第二讲：面积问题(二)【学习目标】基础目标：掌握椭圆，双曲线，抛物线的简单性质，三角形，四边形面积的推导过程；应用目标：掌握椭圆，双曲线，抛物线的弦长公式，点到直线距离公式的应用，并能够熟练使用求解面积；拓展目标：能够熟练应用弦长和点到直线距离公式，求解圆锥曲线面积定值等问题.素养目标：通过数形结合，转化与化归等思想方法，培养独立思考和逻辑分析能力，提升学生的数学运算和数学抽象的核心素养.【基础知识】1、面积范围首选均值不等式，其实用二次函数，最后选导数均值不等式 a2+h2 2ah(a,b e R)变式：a+b 2 fab(a

2、,b e R*);ab 0)与x 的正半轴交于点尸(2,0),且离心率e =*.(1)求椭圆C的方程；(2)若直线/过点Q(l,0)与椭圆C交于48两点，求面积的最大值并求此时的直线方程.变式训练1：已知椭圆+y 2 =1 与抛物线y 2 =8 x 有相同的焦点F.a(1)求椭圆的方程；(2)0 为坐标原点，过焦点F的直线/交椭圆于M,N 两点，求 0MV面积的最大值.例 2.已知点A是抛物线x2=2 P x(p 0)上的动点，过点M(-l,2)的直线AM与抛物线交于另一点B .(1)当4的坐标为(-2,1)时，求点3的坐标；(2)已知点P(0,2),若 M 为线

3、段9 的中点，求 P A B 面积的最大值.2 2变式训练2：已知椭圆C:+方的中心是坐标原点 0,左右焦点分别为，工，设 P是椭圆C上一点满足轴，归图=；,椭圆 C的离心率为当.(1)求椭圆C的标准方程；(2)过椭圆C左焦点”且不与x 轴重合的直线/与椭圆相交于A,8两点，求A 8 入内切圆半径的最大值.(参考公式：已知 ABC的三边分别是a,b,c,且内切圆的半径是 R ,贝 I.ABC的面积5A A 8 c =27?(a+Z?+c)-例 3.已知圆耳：x2+y2+4 x 0,圆工：x2+y2-4x-i2=0,一动圆与圆耳和圆尸

4、?同时内切.(1)求动圆圆心M 的轨迹方程；(2)设点M 的轨迹为曲线C,两互相垂直的直线4,4 相交于点尸2,4 交曲线C于M,N 两点，4 交圆月于P,Q两点，求.PQM与VPQN 的面积之和的取值范围.变式训练3：已知点A(1,O),点B为直线x =-l 上的动点，过8作直线x =-l 的垂线/一线段A8的中垂线与4 交于点P.(1)求点P的轨迹C的方程；若过点E(2,0)的直线/与曲线C交于“，N 两点，求 M O E 与 N 4 E 面积之和的最小值.(。为坐标原点、)考点二：四边形面积最值2 2例 1.已知椭圆C:+=l(a 人 0)的一个焦点为*2,0),经过点(0,血)，过焦点

5、F的直线1 与椭圆C交于A,B两点，线段A B 中点为D,0为坐标原点，过 0,D的直线交椭圆于M,N 两点.(1)求椭圆C的方程；(2)四边形A M B N面积是否有最大值，若有求最大值，若没有请说明理由.变式训练1：已知定点(-1,0),圆N：(x-iy +y 2=1 6,点 Q为圆N上动点，线段 M Q 的垂直平分线交N Q 于点P,记 P 的轨迹为曲线C.(1)求曲线C的方程；过点 M 与 N作平行直线4 和 4,分别交曲线C于点A,B和点D,E,求四边形AB D E 面积的最大值.例 2.已知抛物线C:产=0)上的点(f,4)至 I 焦点广的距离等于圆犬+/一 2 x+4 y-3

6、 1=0 的半径.(1)求抛物线C的方程；过点 F作两条互相垂直的直线4 与4,直线4 交C于M,N两点，直线交C于尸，Q两点，求四边形M P NQ面积的最小值.变式训练2：已知抛物线。:产=2 2*5 0)的焦点为尸，抛物线C上的点A 的横坐标为1,且卜尸|=；(1)求抛物线C的方程；(2)过焦点尸作两条相互垂直的直线(斜率均存在)，分别与抛物线C交于M、N和 P、Q四点，求四边形面积的最小值.考点三：面积比值(求解)，V23例 1.已知椭圆E:+方=1(。0)的右焦点为尸2,上顶点为，O 为坐标原点，/。牝=3 0。，点呜)在椭圆E上.(1)求椭圆E的方程；(2)设经过点用且斜率不为

7、。的直线/与椭圆E相交于4 8两点，点 P(-2,0),2(2,0).若M,N分别为直s线，BQ与 y 轴的交点，记 N PQ 的面积分别为SM P Q，S&NPQ,求萨丝的值.、4NPQr2 v21变式训练L 已知椭圆吟+犷伍小。)的左、右焦点分别为6,F”实轴长为4,且斜率为-5的直线与椭圆C交于A,B两点，且 A B 的中点为(1)求椭圆C的方程;(2)若椭圆C的左、右顶点分别为A，用，点 p,Q为椭圆上异于A，坊的两点，且以 p,Q为直径的圆过s点四，设 4 PQ,4 PQ 的面积分别为S 1,邑，计算U 的值.考点四：已知面积比值(求参)例 1.已知点M 是椭圆C：/+/=1(a

8、6 0)上一点，工,尸 2 分别为椭圆C的上、下焦点，|耳闾=4,当Z FtM F2=9 0 ,耳M 入的面积为5.(1)求椭圆C的方程：(2)设过点F?的直线/和椭圆C交于两点A,B,是否存在直线/,使得 O A&与。8 (0 是坐标原点)的面积比值为5：7.若存在，求出直线/的方程：若不存在，说明理由.2 2变式训练1：已知椭圆G*+g =l(a 6 0)的焦距为4,点(2,勾在 G上.(1)求椭圆G的方程；(2)过椭圆G右焦点的直线1 与椭圆G交于M,N两点，0为坐标原点，若以。材/：5.=3:1,求直线1 的方程.1 40变式训练2：已知圆q：(x+i)2+y 2=w，圆 2：(x

9、-)2 +y =1，动圆M 与圆。I 外切，且与圆。2 内切.(1)求动圆圆心M的轨迹E的方程，并说明轨迹是何种曲线；设过点尸(0,3)的直线/与直线E交于48两点，且满足“P A G的面积是 PB。,面积的一半，求 A8 0?的面积.考点五：面积比值(证明)例 1.在平面直角坐标系X。)，中，己知点”到尸(0,1)的距离与到直线y =-l 的距离相等，记M的轨迹为C.(1)求 C的方程；(2)0 为坐标原点，轨迹C上两点A、8处的切线交于点P,P 在直线y =-2 上，PA、PB 分别交X 轴于M、N两点，记一。和一尸M N的面积分别为加和邑.试探究：是否为定值？若是定值，求出该定值；

10、若不%是定值，说明理由.变式训练1：已知椭圆C：1 +g =l(a 6 0)的左、右焦点分别为白，%,离心率为3,过左焦点耳的直线 1 与椭圆C交于A,B 两点，AB 八的周长为8.(1)求椭圆C的标准方程；如图，4，是椭圆C的短轴端点,P 是椭圆C上异于点耳，层的动点，点 Q 满足Q S PBt,6 0)的右顶点为A，离心率为3.动直线a b2/:y =工(x-1)与相交于B,C 两点，点B关于x 轴的对称点为B ,点、B到的两焦点的距离之和为4.m(1)求的标准方程；S.(2)若直线9C与x 轴交于点M,Q A C,A M C的面积分别为S S 2,问U 是否为定值？若是，求出该定

11、值；若不是，请说明理由.考点六：面积比值(范围)例 1.已知焦点在X 轴上的椭圆的左、右焦点分别为K，F2,上顶点为B,离心率为啦，48片鸟的面积3为&-(1)求椭圆的标准方程.(2)若过点4(1,0)的直线与该椭圆交于C,。两点，Sa%与 S.5 分别表示 AC 6 和 AO鸟的面积，求s产生的取值范围.变式训练 1：.已知椭圆G：?+/=i与双曲线C 2：5-&=l(a 0 力0)有共同的焦点，用且双曲线的实轴长为2&-(1)求双曲线C?的标准方程；若曲线G与在第一象限的交点为P,求证：牝=9 0。.(3)过右焦点用的直线/与双曲线C 2 的右支相交于的A,B 两点，与椭

12、圆G 交于C,。两点.记4 A o 8,5 C8的面积分别为4，S2,求寸的最小值.%变式训练2：设0为坐标原点，动点P在圆O：Y +y 2=l上，过点P作轴的垂线，垂足为Q且QO =&Q P.(1)求动点D的轨迹E的方程；直线/与圆O：V +y 2 =l相切，且直线/与曲线E相交于两不同的点A、B,T为线段A B的中点.线段0A、5,0B分别与圆0交于M、N两点，记-A O T,-的面积分别为S“邑，求寸的取值范围.【当堂小结】1、知识清单：(1)椭圆，双曲线，抛物线弦长公式；(2)弦长最值的基本不等式求解；(3)交点坐标的求解和非弦长的计算；(4)面积比值转化为底边或高线的比值；2、易错

13、点：基本不等式的应用；3、考查方法：基本不等式，数形结合思想，数与形的转化;4、核心素养：数学运算，数学抽象.【过关检测】1.已知椭圆E：5+5=l(a 。)的离心率为3,点是椭圆E上一点.(1)求 E的方程；(2)设过点4 0,-2)的动直线/与椭圆相交于P,。两点，。为坐标原点，求面积的取值范围.2 22.已知椭圆(7:1+马=1,过定点7。,0)的直线交椭圆于EQ 两点，其中7 e(O,a).a b3(1)若椭圆短轴长为2 方且经过点(-1,),求椭圆方程;2(2)对(1)中的椭圆，若t=6，求 O P Q面积的最大值，并求此时直线尸。的方程;3 .如图所示：已知椭圆C：

14、的长轴长为4,/过点M(-1,0)交椭圆于C,O两点，记Z V IC。的面积为S.(1)求椭圆c的标准方程；(2)求S 的最大值.离心率e=.A是椭圆的右顶点，直线24 .已知圆6：(x+l f+y 2=9,圆5：(x-iy +y 2=i,动圆尸与圆好内切,与圆F2 外切.。为坐标原点.(1)若求圆心P的轨迹C的方程.(2)若直线/：y =-2 与曲线C交于A、B 两点，求一Q 4 B 面积的最大值，以及取得最大值时直线/的方程.2 25 .如图，已知椭圆C:+a =l(a b 0)的左、右焦点分别为耳、用，忻玛|=2 五，设尸(毛,几)是第一象限内椭圆C上的一点，P 小尸工的延长线分别交椭

15、圆C于点。(4 乂)、Q2(,y2).当/用有=6 0。时，E P 鸟的面积为冬叵.3(1)求椭圆C的方程；(2)分别记耳心Qi和 K E Q?的面积为S,和用，求S2-S,的最大值.6 .已知抛物线。：丁=2 2*(2 0)的焦点到准线的距离为2.(1)求 C的方程：(2)过 C上一动点P作圆M:(x-4 y +V=l的两条切线，切点分别为A,B,求四边形P A M B 面积的最小值.7.已知抛物线C:y 2=2 p x(p 0)的焦点为F,点P在抛物线上，当以乙为始边，E P为终边的角ZAFP=60时，|闭=4.(1)求C的方程(2)过点尸的直线交C于A,8两点，以为直径的圆。

16、平行于y轴的直线相切于点线段Q M交C于点N,求一A M 8的面积与oAW 的面积的比值2 28.已知椭圆C：=+4=1 (a b 0)的焦距为2 VL且经过点A Q T),过点A的直线/与椭圆交于点比a b(1)求椭圆C的标准方程；设M为线段4 3的中点，。为原点，OM所在的直线与椭圆C交于P,。两点(点。在X轴上方)，问是否存在直线/使得 A M 2的面积是一B M。面积的6倍？若存在，求直线/的方程，并求此时四边形4 P 8 Q的面积，若不存在，请说明理由.9.已知在平面直角坐标系中，动点P到耳(-1,0)、鸟(1,0)两点的距离之和等于2石.(1)求动点尸的轨迹

17、E的方程；若与圆O：/+y 2 =I相切的直线4：y =+根与曲线C相交“、N两点，直线4与直线4平行，且与曲S,线E相切于点A(。、A位于直线4的两侧)，记AMN、。的V的面积分别为3、52,求7t的取值范围.第二讲：面积问题(二)【学习目标】基础目标：掌握椭圆，双曲线，抛物线的简单性质，三角形，四边形面积的推导过程；应用目标：掌握椭圆，双曲线，抛物线的弦长公式，点到直线距离公式的应用，并能够熟练使用求解面积；拓展目标：能够熟练应用弦长和点到直线距离公式，求解圆锥曲线面积定值等问题.素养目标：通过数形结合，转化与化归等思想方法，培养独立思考和逻辑分析能力，提升学生的数学运算和数学抽象的核心

18、素养.【基础知识】1、面积范围首选均值不等式，其实用二次函数，最后选导数均值不等式c i2+b2 2abM b e R)变式：a+b2 ab a,b e R);ab 6 0)与x 的正半轴交于点P(2,0),且离心率6 =乎.(1)求椭圆C的方程；(2)若直线/过点Q(1,O)与椭圆C交于A,B两点，求.A 0 8 面积的最大值并求此时的直线方程.【答案】、+y 2 =l；(2)也；x=4 -22 2解析：椭圆C:l(a0)与x轴的正半轴交于点P(2,0),贝叱2e=,则。=百,=1a 2椭圆C的方程为：三+)，2=14(2)当直线/的斜率为0时，A 0,8三点共线，显然不满足题意.当直线

19、/的斜率不为。时，设/:x =?y +l代入亍+丁=i ,得至i J(M+4)y 2 +2/n y-3 =0设 A(X i，y j,8(毛,%)-2mm+4-3y.%=5 7 r +4S AOB=S A O P+S 8OP=g x l x|y 一%|S A O B=；Xy/(yl+y2)-4 yl y2=2 d m 2+3苏+42t _ 2AO8=2=-j-t+.t /m2+3,t f3 ir f=r-3,S令令y =f+；,在 6+8)单调递增,.当f =G S 40 8=*为最大:.m=0,此时/的方程为：x=l变式训练L已知椭圆”与抛物线有相同的焦点F.(1)求椭圆的方

20、程;。为坐标原点，过焦点/的直线/交椭圆于，N两点，求，OMN面积的最大值.【答案】+产=1;苴52解析：(1)椭圆5+丁=1与抛物线V=8x有相同的焦点尸，a.-.F(2,0)即 c =2 且 b =l,I2=白+c2=5,2.椭圆的方程为：y +y =l.(2)由(1)可知F的坐标为(2,0).显然/的斜率不为0.设直线/的方程为：x =my+2,设N(x2,y2).x =tn y +2联立.片+2 ,可得（+5）/+4阳-1 =0,.T+y-A =（4 w）2+4（/H2+5）=20m2+2 0 0 恒成立，4m I XI+1）U|=M-丫2 1=J（M +y J-4 y%=2 国 m2

21、+1r r r+5 SA M=（E|+帆|）=1|O F|E -刃=；x 2 x 2呼不乙44U l f I J2底/疗+1 _ 2逐 0)上的动点，过点用(-1,2)的直线与抛物线交于另一点3.(1)当A的坐标为(-2,1)时，求点8的坐标：(2)已知点尸(0,2),若为线段反的中点，求 P 4?面积的最大值.【答案】(1)(6 9)；(2)2解析：当A的坐标为(2,1)时，则22=2pJ,所以2 P =4,所以抛物线的方程为：/=，由题意可得直线4 W的方程为：尸1 =与(+2),即)，=x+3,-1 +2代入抛物线的方程可得d-4 x 7 2 =0 解得x=-2 (舍

22、)或 6,所以，8的坐标为(6,9)(2)法一：设直线A3 的方程：y-2=k(x +1),即 y =k x +k +2,设直线A B 与y 轴的交点为Q ,A(X|,yJ,B(x2,y2),y =k x+k +2由1 2 oI x=2p ynJ W.2-2p k x-2p k-4p =0,xt+x2=2p k ,xtx2=-2p k-4p ,因为为线段A3 的中点，所以后卫=p k =-l令 x=0,y =k +2,即。(0 +2),所以。=同则 P A 8 的面积S=；P Q k-司=；|斗 J(xx 2y=g|4,J(X 1+X 2-4 g=；闷.J 4P 2&2+4(2 p k

23、+4p),把 p k =-1 代入上式，s =/-k2+4 k，当k =2 时，5鹏=2,所以 R48 的面积的最大值为2.(2)法二:y=A x+攵+2x2=2 p ynf x2-2p k x-2p k-4p =0,xi+x2=2p k ,x2=-2p k-4p ,因为M 为线段A B的中点，所以美 X=p&=-1,设点尸到直线A8的距离为，则”=*十,71+A:2AB=J 1 +/J(X +)2 -4X|1=J l +、2 -y l p2k2+4(2 p Z:+4p)S=；A 8 M=；闲 J 4P 2k?+4(2p k +4p)把 p k =-1 代入上式，s =+4%,所以，当k

24、=2 时，A B C 的面积的最大值为22 变式训练2：已知椭圆C:+=l（a 60）的中心是坐标原点0,左右焦点分别为耳，B，设 P是椭圆C上一点满足轴，|P周=；,椭圆C的离心率为白.（1）求椭圆C的标准方程;（2）过椭圆C左焦点的且不与x 轴重合的直线/与椭圆相交于A 8 两点，求 ABF2内切圆半径的最大值.（参考公式：已知 M C 的三边分别是 a,A c,且内切圆的半径是 R,则4?C 的面积SzUBC =3 氏（+人+，）.【答案】（1）E+2=1；;4 2解析：设耳（-。,0）,E（c,O）,由题意尸是椭圆C 上一点，满足户用_Lx轴，PF2=

25、,离心率为日c_j3_a-Vb2 1-a 2c2=a2-b2a=2=1=Gb,解得.椭圆C 的标准方程为二+丁=1；4（2）由（1）可知月（-6,0）,AB%的周长为体目+|A用+忸图=4a=8,设直线/为x=由，x=my-y13x2 ,(/w2+4)y2-2y/3my-1=0.+y2=14-设A&M，3,%）,则%+当=鬻）科=岛瓦一必卜，（乂+%）2-4%必=4 4册 2 +1m+4-A -tn+4 A-二 S A 监一_ 耳lip|p可.1图回一%|一 -.2+4+1令内切圆的半径为R,则S.F,=：x8xR=4R,即R=3321 2 m+4_ 6二 6 :G =1令，=J*+l,

26、则产+3/4_3-2/3 2,当且仅当r=G ,即m=五时等号成立，二当加=五时，R取得最大值g,即 48 心内切圆半径的最大值g.例 3.已知圆F 1：x2+y2+4x =0,圆心：x2+y-4 x-1 2 =0,一动圆与圆和圆尸2同时内切.(1)求动圆圆心M 的轨迹方程：(2)设点M 的轨迹为曲线C,两互相垂直的直线4,4 相交于点尸2,4交曲线C 于M,N两点，4 交圆匕于P,Q两点，求.尸 QM与V P Q N 的面积之和的取值范围.【答案】f一片=1；口2,内)3解析：由：x2+y2+4x =0,得(x +2y+y2=4,可知百(-2,0),其半径为2,由尸2：x2+y2-4x

27、-12=0,得(x-2)2+V=i 6,可知乙(2,0),其半径为4.设动圆半径为小动圆圆心到5的距离为，到巴的距离为“，则有n +2=r fn+r=2 n 一 2 =2或 =m-n =2f J fl n-tn =2=2a,得 =,tn +4=r m +r =4又|耳玛|=4=2c 2a,所以动圆圆心M 的轨迹是以K，鸟为焦点的双曲线，由。2=+序，可得所以动圆圆心M 的轨迹方程为3 当直线 4 的斜率存在时，由题意，k =0,设 4：y =k x-2k,与双曲线联立y =k x-2k 0 得入 3 且代工()，且后需=第，1 9设公即x+b 2=0.1-2

28、-21 4设圆6 到直线4 的距离为d，则=因为交圆人于尸，。两点，故d3.且|也|=2物-/，由题意可知MN，P。，所以 S P QM+S P Q N=；x|P Q|x|M N|=1 2 j kW2+1=1 2F-3因为公 3,可得SVPQM+Sv/2M 12当直线4的斜率不存在时，I P。1=4,|MN|=6,所以 SVPQM+Sy PQN=-x 4x 6=12,所以 S/PQM+Sv P Q N 212.变式训练3：已知点A(1,O),点B为直线x =-1上的动点，过 B 作直线x =-1的垂线4,线段A8的中垂线与4交于点p.(1)求点尸的轨迹C 的方程；(2)若过点E(2,0)的直线

29、/与曲线C 交于M,N两点，求 M O E 与 M 4 E 面积之和的最小值.(。为坐标原点)【答案】(D y 2=4 x；(2)4解析：(1)如图所示，由已知得点P为线段A B中垂线上一点，即 PA=P B,即动点尸到点4。,。)的距离与点P到直线x =T 的距离相等，所以点尸的轨迹为抛物线，其焦点为4(1,0),准线为直线x =-l,所以点尸的轨迹方程为y2=4x,(2)如图所示：设x =(y+2,点N(西,yj,联立直线与抛物线方程y-_=什 4+x 2,得 y2_4/_8 =0,A =(r)72-4x(-8)=16r+3 20,y+M=4 f,X必=-8,S v=g|O E p h|w

30、，Se 如同机 I 加,所以SVM OE+SV A N E=|yj+；|%|?2业 4，当且仅当|川=飘|，即y=2,%=-4时取等号，此时乂+必=-2=4/,即二，2所以当直线直线/：x =-g y +2,时SVM OE+SV M E取得最小值为4.考点二：四边形面积最值2 2例 1.已知椭圆C*+5 =l(a 60)的一个焦点为*2,0),经过点(。,甸，过焦点F的直线1 与椭圆C交于A,B两点，线段A B 中点为D,0 为坐标原点，过 0,D的直线交椭圆于M,N两点.(1)求椭圆C 的方程；(2)四边形A M B N 面积是否有最大值，若有求最大值，若没有请说明理由.2 2【

31、答案】三+二=1；(2)466 2c =2解析：(1)由题意可得=应，解得。=力=&,a2=b2+c22-)故椭圆的方程为三+二=1.6 2(2)当直线/斜率不存在时，A,B的坐标分别为(2,日),(2,-日)，|M N 卜四边形A MB N面积为$叱=M N -AB=4；当直线/斜率存在时，设其方程为)，=M x-2)Aa，y),B(X 2，%)，M(X 3，y3)，N(-X 3，-y 3)M,N 到直线/的距离分别为4,则四边形A MB N面积为S 1.=；|(4+d2),工+二=16 2 得（1 +3公）*-12%2%+12公-6=0,y=k（x-2）则 X 1+x2I2k2-

33、已知定点M（-l,0）,圆N：（x-iy +y 2=i 6,点Q为圆N上动点，线段M Q的垂直平分线交N Q于点P,记 P的轨迹为曲线c.(1)求曲线C的方程；(2)过点M 与 N 作平行直线乙和4,分别交曲线C于点A,B和点D,E,求四边形A B D E 面积的最大值.2 2【答案】（1）工+&=1；（2）64 3解析：由题意可得|M P|+WH=|PO+|NH=4|MM=2,/v2所以动点P的轨迹是以M,N为焦点，长轴长为4的椭圆，即曲线C的方程为：?上匕(2)由题意可设4的方程为x =(y +l,联立方程得江+.=14 3=（3*+4）/+6 a-9 =0,x =ty +设 D(%M，E

34、(w，%),则由根与系数关系有，6t9所以|。同=Jl+产 +%)2 4 乂%=，1 +产一）2 4 一 9 2（1 +产）3*+4 3/+4 3r+4根据椭圆的对称性可得口|=卜却=叫+”),4 与4的距离即为点M 到直线4的距离，为d =3r+4V i+r/I-T _ _ _ _ q =24 =24所以四边形A B D E 面积为5=24 乂 4 二，令=得乐1 一二了，3 r+4 7 3 +一u由对勾函数性质可知：当且仅当=1,即f =0时，四边形A B D E 面积取得最大值为6.例 2.己知抛物线C:f=2p y(p 0)上的点(7,4)到焦点F的距离等于圆一+/-2x+4 y

35、-31=0 的半径.(1)求抛物线C的方程；(2)过点F作两条互相垂直的直线4 与风直线 4 交 C于M,N两点，直线4 交C于 P，。两点，求四边形M PNQ面积的最小值.【答案】(l)x2=8 y；(2)128解析：由题设知，抛物线的准线方程为广苫，由点(3)至憔点尸的距离等于圆f+y 2-2x +4 y-31=()的半径，而丁+/-2 工+4 -31=0可化为（x l Y+（y+2）2=3 6,即该圆的半径为6,所以4 +5 =6,解得P =4,所以抛物线C的标准方程为x?=8y；（2）由题意可知，直线4 与直线4的斜率都存在，且焦点F坐标为（0,2）,因为不妨设直

36、线 4 的方程为丫=丘+2,直线4的方程为y =-：x+2,联立 2 _ 父，二）一，得丁-8日-16=0,A =6 4 +6 4 0 恒成立.设y =k x+2N（x2,y2）,则由+=8%x,x2=-1 6,所以|MN|=y+5 +必+与=%（西+）+4+.=8 公+8,同理，得归。|=8-+8 =*+8 ,所以四边形 M P N Q 的面积S =1|W|P Q|=l（8 +8）+8 1 2 8 +6 2+1（128+2 6 4 1 =128,（当且仅当*=1时等号成立）所以四边形M PNQ的面积的最小值是128.变式训练2：已知抛物线C:y 2=2p x（p 0）的焦点为尸，抛物

37、线C上的点A的横坐标为1,且|人产|=*（1）求抛物线C的方程；（2）过焦点F作两条相互垂直的直线（斜率均存在），分别与抛物线C交于M、N和 P、。四点，求四边形MPNQ面积的最小值.【答案】（l）y 2=x；（2）2解析：（1）由已知知：1+5=（,解得p=;,故抛物线C的方程为：y 2=x.由知：呜可，设直线M N的方程为：犬=切+*3 0）,加（4 凶）、N（W，%）,则直线户。的方程为：x =-y+-,in 41x=A/zy+j联立 4 得/-叼-：=0,则 =川+1 0,所以 +%=%，/%=-二，少 4 4 y n|MN|=+%-4 y l y 2 =+Ji +疗=疗+1,同

38、理可得|。|=:+1,.四边形 MPNQ 的面积 S=gjM N H P 0=g(?2+i)3+l)=g(2+J +?j2 2,当且仅当二=*，即加=1时等号成立，m四边形MPNQ面积的最小值为2.考点三：面积比值(求解)2 2o例 1.已知椭圆 :+方=1(“60)的右焦点为K，上顶点为“，O 为坐标原点，/0 叫=30。，点伺)在椭圆E 上.(1)求椭圆E 的方程；设经过点外且斜率不为0 的直线/与椭圆E 相交于4 8 两点，点 P(-2,0),2(2,0).若分别为直s线针，8。与y 轴的交点，记,例PQ,NPQ的面积分别为S,“.Q,葭犍，求吃丝的值.NPQ【答案】

39、L+匕=1；;4 3 3解析：由 NOH5=3()。，得6=百。(c 为半焦距)，.点(1，/在椭圆E上，则5 +白=1.又。2=8 2+/,解得。=2,h=y/3 9 C =1 .2 2二椭圆E的方程为三+汇=1 .4 3(2)由(1)知名(1,0).设直线/：工=冲+1,A(x1,y),8 a 2，%)x=my+1由 /+2 _ 消去 X，得(3病+4)9+6 阳-9=0.7+T-显然 A=144(+l)0.6m 9则乂+丫2 =2 2,4，7-3z +4 3m+4二切乂必=3(|+%)由P(-2,0),0(2,0),得直线AP的斜率勺=得，直线B。的斜率心一 OM ON

40、 .又河=向，闷=讪，|。尸|=|。|=2，.网=圆 .SA M P Q#如阿叫 M W ,S&NPQ 2PQ-ON lO/Vl 旭.A.=乂(&-2)=y (，佻-1)=冲跖-y k2(%+2)%(m y+3)%0 i%+3%讪+%)f-35(%+%)+3 2%3-2X+1-29-2y+3-2.SzMp03变式训练1：已知椭圆C:+/=l(a b()的左、右焦点分别为，6,实轴长为4,且斜率为的直线与椭圆C交于A,B两点，且 A B 的中点为(1)求椭圆C的方程；(2)若椭圆C的左、右顶点分别为4，B 一点 P,Q为椭圆上异于4,的两点，且以P,Q为直径的圆过点s与，设

41、A P Q,的面积分别为5，邑，计算寸的值.【答案】二+)，=1；(2)44解析：设点 A(X|,y),B(x2,y2),代入椭圆C的方程得三+1=1,与+4 =1,a-b-a2 b2两式相减得右江+七或=0 ,a2 b2即(王一马)(再+&)+(y-%)(y+必)=0,a2 b1所以见因为2 a =4,解得 a2=4 1 b2=1,所以椭圆C的方程为三+丁=1.；4(2)根据题意可知直线P Q 的斜率一定存在，设直线P Q 的方程为丫=h+机，点 (,%),Q(x4,y4),_ _ _=1联立 4 )一，消去y并整理得(1 +4&2)/+8 研+4(疗-i)=o.y =k x+

42、mA =(8 f o n)2-4(1 +4 f c2)x 4(m2-1)=64k2-1 6/n2+1 6 0 ,：.4k2+m2,Sk m 4(m2-l)三+%=一帝*=七/2.31P L Q ,.(七-2)(X4-2)+y 3 y 4 =0,则(为-2)(X4-2)+(A x,+m)(k x4+m)=0,整理得1 2 公+16k m +5m2=0 ,解得 =m或=m.2 o当无=-g/n 时，直线P Q 的方程为=机1 3 n+1),不符合题意；当人-/时，直线P Q 的方程为i过定点M(割，旧-y/,s?=；忸附值，,s,_M|t-(-2).d飞 BtM 2_ 6 -5考点四：已知面积比

43、值（求参）例 1.已知点M是椭圆C：，+2=1 色6。）上一点，片，尸 2 分别为椭圆C的上、下焦点，田闾=4,当/月用乙=9 0。，工的面积为5.（1）求椭圆C的方程：（2）设过点尸2 的直线/和椭圆C交于两点A,B,是否存在直线/,使得 O A 居与。8 （0 是坐标原点）的面积比值为5：7.若存在，求出直线/的方程：若不存在，说明理由.【答案】F =1 ;（2）存在，y =x -29 5 15解析：（1）由忻闾=4=2c =c =2,由耳|.|g|=5 n|M 耳|.|M 局=10,/型叫=90，故阿耳+|Mg=16,二（四川+用丫 =|岬 +2M用.|M 用=36,：.MFi+

44、MF2=6=2a=a=3,b2*8=a2-c2=5 f2 2变式训练1：己知椭圆G:l（a 6 0）的焦距为4,点（2,何在 G上.（1）求椭圆G的方程；过椭圆 G右焦点的直线1 与椭圆G交于M,N两点，0 为坐标原点，若SOMF:S.ONF=3程.2 2【答案】J +=1;X 土y 2=0.8 42 2解析：椭圆 6东+方=1（.匕0）的焦距是4,所以焦点坐标是（-2,0）,（2,0）,因为点（2,四）在 G上，所以2a =+J（2+2+2=4夜,所以 a =2-/2 1 b=2.即椭圆的标准方程为M+K=l.9 5（2）假设满足条件的直线/存在，当直线/的斜率不存在时，不合题意,不

45、妨设直线/：y=kx-2,7 1（芭,）,3（毛,%）,显然为），联立所以y=kx-2y 2 工 2,得（5 K+9）元 2 20Ax 25=0,9 5-20k 川二帝百 25卜也一 7?因为 0 伍=/c-|与|,S OBF）=-c-x2,得,弓=一.=1,乙。八Q R F,入2 人2/即E =xi（3）,7 0%由（1）,（3）,得七二菰，（。，D r C I v将（1）（4）代入（3）得二=-L n A =巫,15 15所以直线/的方程为y =普x-2,故存在直线/，使得。4鸟与408 4 的面积比值为5：7.：1,求直线1 的方2 2所以椭圆G的方程是看+?八(2)显然

46、直线1 不垂直于X轴，可设 1 的方程为y=A(x-2),N H，%),将直线1 的方程代入椭圆G的方程，得(2公+1)/-弘与+8公一8=0,8/贝!xt+x2=8A2-82k2+，玉&-2k2+因为-S&ONF=3:1,所以而=3无，则2%=3(-2),即3+办=8,小 8F 徂 4k2-4由玉+马=西，得寸药4公+42k2+1I、I 4k 4 4k+4 8k一 8 气”4日,2 ,m,.所以-5-5-=-，解得公=1,即后=1,2k2+2k2+2k2 +1所以直线1 的方程为x 土y-2 =0.14Q变式训练2：已知圆q：a+i f=“圆。动圆”与圆。班切，且与圆口内切.(1)

47、求动圆圆心M 的轨迹E 的方程，并说明轨迹是何种曲线;(2)设过点P(0,3)的直线/与直线E 交于A B 两点，且满足 PA。?的面积是,P8。?面积的一半，求ABO?的面积.【答案】上丫2+匕/=1；苫9 或3;4 3 4 417解析：(1)圆。1的圆心4(1,0),半径4=，圆。2的圆心。(1,0),半径4=3,设圆M 的半径为r,由题意，H 二，所以 M=/钎 4 l a c I=2,由椭圆的定义可知，动圆圆心的轨迹是以(-1,0),G O，。)为焦点，长轴长为4 的椭圆,贝 ija=2,c=l,所以/=4,b2=a2-c2=4-1=32 2所以动圆圆心M 的轨迹E 的方程为三十二

48、=1；4 3(2)由题意，直线/的斜率存在且不为0,设/:=自+3/？0),人(不乂),8(毛,、2),由，y=kx+3f y2,可得(4犷+3卜2+2 4+24=0,-1 =114 3_?4?4 2所以西+=而，x,x2 且(),即公I TAC I 3 4 A C D 乙因为丛。2的面积是，P 8。2面积的一半，所以点A 为线段总的中点,所以上产=%，即马=2百，o 3联立可得公=彳，所以k=j,因为。2到直线AB 的距离d =AB=V 1+k2|x j x21 =V 1+k2 x|=V 1+k2 处 4k+3所以 S.畋=；|AB|d=g x J l +&2一肱,卜 +3|

49、_ 4|琲+3|4 公+3V I 7 F 业 2+33 0 3 3所以当人;时，5A8 0,=-,当火=下时，SA/W,=-.2 2 4 2 4所以 ABO 2 的面积为9:或J3.4 4考点五：面积比值（证明）例 1.在平面直角坐标系x Q y 中，已知点M 到尸（0,1）的距离与到直线y =-l 的距离相等，记 M 的轨迹为C.（1）求C 的方程；（2）。为坐标原点，轨迹C 上两点A、B 处的切线交于点P,尸在直线丫=-2 上，PA.P B分别交x 轴于M、S.N 两点，记。4 8 和.,网 WN 的面积分别为5 和邑.试探究：寸是否为定值？若是定值，求出该定值；若不是定值，说

50、明理由.【答案】f=4y；（2）今为定值2解析：点用到直线 y =-l 的距离与M 到尸（0,1）的距离相等，的轨迹为抛物线，且焦点为产（0,1）,准线为直线y =-l,设轨迹C 的方程为x?=2 p y,贝 I J 及=1,可得P =2,所以，曲线C 的方程为f=4 y.设点 AX 叶）、B 2,今、。伍，几），抛物线方程为V=4y,即了=土，所以=：.42则 R 4 的方程为：丫 =5（%一占）+,，即丫=3%一手，同理PB的方程为：=上 -王.-2 4联立融、总方程得与=受产，%=竽，在直线F 4 的方程中，令 y=0 可得x=5,即点M 佟,0),同理可得点N 仔,0贝

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