2023年高考数学压轴题圆锥曲线专题第02讲：面积问题一（解析版）.pdf

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1、第二讲：面积问题(一第二讲：面积问题(一)【学习目标】基础目标：掌握椭圆，双曲线，抛物线的简单性质，三角形，四边形面积的推导过程；应用目标：掌握椭圆，双曲线，抛物线的弦长公式，点到直线距离公式的应用，并能够熟练使用求解三角形，四边形面积；拓展目标：能够熟练应用弦长和点到直线距离公式，求解圆锥曲线面积定值等问题.素养目标：通过数形结合，转化与化归等思想方法，培养独立思考和逻辑分析能力，提升学生的数学运算和数学抽象的核心素养.【基础知识】【基础知识】1.1.弦长公式弦长公式若M、N在直线y=kx+m上，代入化简，得|MN|=1+k2x1-x2=(1+k2)(x1+x2)2-4x1x2;2.2.三角

2、形面积问题三角形面积问题直线AB方程：y=kx+md=PH=kx0-y0+m1+k2SABP=12ABd=121+k2Akx0-y0+m1+k2=kx0-y0+m2 A3.3.焦点三角形的面积焦点三角形的面积直线AB过焦点F2,ABF1的面积为SABF1=12F1F2 y1-y2=c y1-y2=c ASAOB=12|AB|d=12A2+B24a2b2(a2A2+b2B2-C2)a2A2+b2B2|C|A2+B2=ab(a2A2+b2B2-C2)C2a2A2+b2B2注意：A为联立消去x后关于y的一元二次方程的二次项系数.4.4.平行四边形的面积平行四边形的面积直线AB为y=kx+m1，直线C

3、D为y=kx+m2d=CH=m1-m21+k2AB=1+k2x1-x2=1+k2(x1+x2)2-4x1x2=1+k2-BA2-4CA=1+k2ASABCD=ABd=1+k2Am1-m21+k2=m1-m2A2023年高考数学压轴题圆锥曲线专题第02讲：面积问题一（解析版）注意：A为直线与椭圆联立后消去y后的一元二次方程的系数.【考点剖析】考点一：考点一：求三角形面积求三角形面积例例1.1.已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(ab0)，的左焦点F(-1,0)，且离心率为22(1)求椭圆C的标准方程；(2)若 Q(1,-2)，过椭圆 C 的左焦点 F 的直线 l 交椭圆 C 于 M、N 两点，且

4、直线 l 倾斜角为 45，求QMN的面积变式训练变式训练1.1.已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(ab0)的离心率为22，右焦点F2到上顶点的距离为2.(1)求椭圆C的方程；(2)斜率为2的直线l经过椭圆C的左焦点F1，且与椭圆C相交于A,B两点，求ABF2的面积.例例2.2.已知抛物线C:y2=2px p0上的点M 4,m到焦点F的距离为6(1)求抛物线C的方程；(2)设F为抛物线C的焦点，直线l:y=2x-8与抛物线C交于A，B两点，求FAB的面积变式训练变式训练2.2.已知抛物线C:x2=2py(p0)的焦点为F，直线x=2 3 与抛物线C的准线交于点A，O为坐标原点，|OA|=2|O

5、F|(1)求抛物线C的方程；(2)直线l:y=3x+2与抛物线C交于M，N两点，求AMN的面积例例3.3.已知双曲线C:x2a2-y2b2=1 a0,b0与双曲线y26-x22=1的渐近线相同，且经过点 2,3(1)求双曲线C的方程；(2)已知双曲线C的左右焦点分别为F1，F2，直线l经过F2，斜率为-1，l与双曲线C交于A，B两点，求F1AB的面积变式训练变式训练3.3.已知中心在原点的双曲线C的右焦点为F(2,0)，直线3x-2y=0与双曲线C的一个交点的横坐标为2(1)求双曲线C的标准方程；(2)过点 0,1，倾斜角为 1350的直线l与双曲线C相交于A、B两点，O为坐标原点，求 OAB

6、的面积考点二：考点二：求四边形面积求四边形面积例例1.1.已知A1,A2为椭圆C:x2a2+y2b2=1(ab0)的左右顶点，A1A2=4，椭圆C的离心率为12(1)求C的方程(2)斜率为1的直线l与抛物线x2=4y相切，且与C相交于M,N两点，求四边形A1MA2N的面积变式训练变式训练1.1.已知椭圆E:x2a2+y2b2=1(ab0)的左、右焦点分别为F1,F2，短轴的下端点A的坐标为(0,-1)，且 AF1+AF2=4.(1)求椭圆E的方程；(2)设B，C是椭圆 E上异于A的两点，且直线BC与坐标轴不垂直，|AB|=|AC|，BC的中点为G，求四边形AF1GF2的面积.例例2.2.已知抛

7、物线 E：y2=2px p0的焦点为 F，点 P 在 E 上，点 Q 1,12在 E 的内侧，且 PF+PQ的最小值为54.(1)求E的方程；(2)O为坐标原点，点A在y轴正半轴上，点B,C为E上两个不同的点，其中B点在第四象限，且AB，OC互相垂直平分，求四边形AOBC的面积.变式训练变式训练2.2.设抛物线 C:x2=2py(p 0)的焦点为 F，过点 F 的直线与 C 交于点 A x1,y1，B x2,y2，且y1y2=1(1)求C的方程；(2)过点A作C的一条切线l，l与y轴交于点D(0,m)(mb0)的两焦点为F1-1,0和F21,0，过F2的直线与椭圆C交于A,B两点，且F1AB的

8、周长为8.(1)求椭圆C的方程；(2)若F1AB的面积为12 27，求直线AB的方程.变式训练变式训练1.1.已知椭圆C:x2a2+y2b2=1 ab0，由C的上、下顶点，左、右焦点构成一个边长为2 的正方形(1)求C的方程；(2)直线l过C的右焦点F，且和C交于点A,B，设O是坐标原点，若三角形OAB的面积是23，求l的方程例例2.2.已知抛物线C:y2=2px(p0)与直线l:x+ky-1=0交于P,Q两点，O为坐标原点，OPOQ.(1)求抛物线C的方程；(2)若POQ的面积为5，求直线l的方程.变式训练变式训练2.2.已知抛物线y2=x与直线y=k(x-1)相交于A,B两点，O为坐标原点

9、.(1)求证：OAOB；(2)当SAOB=10 时，求k的值.例例3.3.已知椭圆E:x2a2+y2b2=1 ab0，由E的上下顶点，左右焦点构成一个边长为2 的正方形.(1)求E的方程；(2)过E的右焦点F做相互垂直的两条直线l1，l2，分别和E交点A,B,C,D，若由点A,B,C,D构成的四边形的面积是169，求l1，l2的方程.变式训练变式训练3.3.已知动点P到点F11,0的距离与它到直线l:x=4的距离之比为12(1)求动点P的轨迹所形成曲线C的方程；(2)F2-1,0，分别过 F1，F2作斜率为 k k0的直线与曲线 C 交于 x 轴上方 A,B 两点，若四边形F1F2BA的面积为

10、12 27，求k的值例例4.4.已知抛物线 E：y2=2px(p 0)的焦点为 F，点 A 2,1是抛物线内一点，P 为抛物线上的动点，且AP+PF的最小值为3.(1)求抛物线E的方程；(2)过点 1,1作斜率之和为0的两条直线l1，l2(l1的斜率为正数)，其中l1与曲线E交于M，C两点，l2与曲线E交于B，N两点，若四边形MBCN的面积等于16 3，求直线l1的方程.考点四：考点四：内切圆半径内切圆半径(面积面积)例例1.1.已知椭圆C:x2a2+y2b2=1 ab0的离心率为22，且点P 1,22在C上.(1)求椭圆C标准方程；(2)设F1，F2为椭圆C的左，右焦点，过右焦点 F2的直线

11、l交椭圆C于A,B两点，若ABF1内切圆的半径为34，求直线l的方程.变式训练变式训练1.1.如图，P为圆B:x+12+y2=8上一动点，点A的坐标为 1,0，线段AP的垂直平分线交直线BP于点Q(1)求点Q的轨迹E的方程；(2)过点 A 的直线 l 交 E 于 C,D 两点，若 BCD 内切圆的半径为34，求直线l的方程.例例2.2.已知椭圆x24+y23=1 的左、右焦点分别为 F1、F2，过椭圆的右焦点 F2作直线 l，l 与 x 轴垂直，交椭圆于P、Q两点(1)求PQ的长(2)求PQF1内切圆的面积变式训练变式训练2.2.已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(ab0)的左、右焦点分别为

12、F1，F2，离心率为22，过F2且垂直于x轴的直线交椭圆于M，N两点，且|MN|=2(1)求椭圆C的标准方程；(2)过F2的直线l交椭圆C于A，B两点，若ABF1内切圆的周长为4 59，求直线l的方程例例3.3.已知椭圆C的对称中心为原点O，焦点在x轴上，左、右焦点分别为F1，F2，且 F1F2=2，点 1,32在该椭圆上(1)求椭圆C的方程；(2)过 F1的直线 l 与椭圆 C 相交于 A，B 两点，若 AF2B 的面积为12 27，求以 F2为圆心且与直线 l相切的圆的方程考点五：考点五：面积定值面积定值例例1.1.已知椭圆C:x2a2+y2b2=1 ab0的离心率为32，A、B分别是椭圆

13、的右顶点和上顶点，OAB的面积为1(1)求椭圆C的方程；(2)设 P 的椭圆 C 上一点，直线 PA 与 y 轴交于点 M，直线 PB 与 x 轴交于点 N求证：AN BM为定值变式训练变式训练1.1.已知椭圆E:x2a2+y2b2=1(ab0)过点B 1,32，且点B到其两个焦点距离之和为4.(1)求椭圆E的方程；(2)设O为原点，点A为椭圆E的左顶点，过点C 1,0的直线l与椭圆E交于P,Q两点，且直线l与x轴不重合，直线AP,AQ分别与y轴交于M,N两点.求证：OM ON为定值.例例2.2.在平面直角坐标系xOy中，已知点F(3,0)，直线l:x=4 33，点M满足到点F的距离与它到直线

14、l的距离之比为32，记M的轨迹为C(1)求C的方程；(2)过点M且与C相切的直线交椭圆 E:x216+y24=1于A,B两点，射线MO交椭圆 E于点N，试问ABN的面积是否为定值?请说明理由变式训练变式训练2.2.已知椭圆C:x2a2+y2b2=1 ab0的离心率为12，短半轴长为3(1)求C的标准方程；(2)若不过坐标原点O的直线l与C交于A,B两点，延长线段AO,BO与C分别交于点M,N，若直线AM,BN的斜率之积为-34，证明：四边形ABMN的面积为定值【当堂小结】1.知识清单：(1)弦长和三角形的面积公式；(2)四边形的面积求解；(3)内切圆半径公式；2.易错点：面积公式的计算；3.考

15、查方法：数形结合思想，数与形的转化；4.核心素养：数学运算，数学抽象.【过关检测】1.已知椭圆x2a2+y2b2=1(ab0)的一个顶点为A 0,1，离心率为22，过点B 0,-2及左焦点F1的直线交椭圆于C、D两点，右焦点设为F2.(1)求椭圆的方程；(2)求CDF2的面积.2.已知椭圆的中心在坐标原点O，焦点在x轴上，离心率e=2 23，且_在过点 2,53；过焦点且垂直于长轴的弦的长度为23；长轴长为6这三个条件中任选一个，补充在上面问题中，并解答(1)求椭圆的方程；(2)过右焦点F的直线l交椭圆于P、Q两点当直线l的倾斜角为6时，求POQ的面积3.已知抛物线C:y2=2px(p0)的准

16、线方程为x=-1，过其焦点F的直线l交抛物线C于A,B两点，线段AB的中点为M,坐标原点为O,且直线OM的斜率为22.(1)求抛物线C的方程；(2)求AOB的面积.4.已知双曲线C:x2a2-y2b2=1 a0,b0的离心率为5，虚轴长为4(1)求双曲线的标准方程；(2)过点 0,1，倾斜角为45的直线l与双曲线C相交于A,B两点，O为坐标原点，求OAB的面积5.已知椭圆C:x2a2+y2b2=1 ab0经过点M 1,22，N(2,0)(1)求椭圆C的方程；(2)已知直线l的倾斜角为锐角，l与圆x2+y2=12相切，与椭圆C交于A、B两点，且AOB的面积为23，求直线l的方程6.已知 O 为坐

17、标原点，椭圆 C:x2a2+y2b2=1 ab0的上顶点为 A，右顶点为 B，AOB 的面积为22，原点O到直线AB的距离为63.(1)求椭圆C的方程；(2)设C的左右焦点分别为 F1，F2，过F1作直线l交C于P，Q两点，若F2PQ的面积为62，求直线l的斜率.7.已知抛物线C:y2=2px p0的焦点为F，点M p-1,p在抛物线C上(1)求抛物线C的方程及其准线方程；(2)过点M的直线l与抛物线C相交于M，N两点，且MFN的面积为3，求直线l的方程8.已知 P为椭圆x2a2+y2b2=1(a b 0)上任一点，F1，F2为椭圆的焦点，PF1+PF2=4，离心率为22(1)求椭圆的方程；(

18、2)若直线 l：y=kx+m m0与椭圆的两交点为 A，B，线段 AB 的中点 C 在直线 y=12x 上，O为坐标原点，当OAB的面积等于2 时，求直线l的方程9.已知抛物线 C：y2=2px p0的焦点 F 与椭圆x225+y29=1 的一个焦点重合，O(O 为原点)和F都是半径为1的圆(1)求抛物线C的方程；(2)若O和F的公切线l与抛物线C交于A，B两点，求四边形OAFB的面积10.已知抛物线C:y2=2px p0的焦点为F，过点F且垂直于x轴的直线交C于M，N两点，O为坐标原点，OM ON=-12.(1)求C的方程；(2)过点F作两条互相垂直的直线 l1，l2，直线l1与C交于A，B

19、两点，直线l2与C交于D，E两点，求证：1AB+1DE为定值.11.已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(ab0)过点(2,1)，离心率为22(1)求椭圆C的方程；(2)设椭圆C的右顶点为A，过点D(4,0)的直线l与椭圆C交于不同的两点M，N(均异于点A)，直线AM，AN分别与直线x=4交于点P，Q 求证：|DP|DQ|为定值12.已知椭圆C:x2a2+y2b2=1 ab0上任意一点到两个焦点F1-3,0，F23,0的距离的和为4.经过点 D 1,0且不经过点 M 1,1的直线与椭圆 C 交于 P，Q 两点，直线 MQ 与直线 x=4 交于点E，直线PE与直线MD交于点N.(1)求椭圆C的标准

20、方程，并写出左右顶点的坐标；(2)求证：EMN的面积为定值.第二讲：面积问题第二讲：面积问题(一一)【学习目标】基础目标：掌握椭圆，双曲线，抛物线的简单性质，三角形，四边形面积的推导过程；应用目标：掌握椭圆，双曲线，抛物线的弦长公式，点到直线距离公式的应用，并能够熟练使用求解三角形，四边形面积；拓展目标：能够熟练应用弦长和点到直线距离公式，求解圆锥曲线面积定值等问题.素养目标：通过数形结合，转化与化归等思想方法，培养独立思考和逻辑分析能力，提升学生的数学运算和数学抽象的核心素养.【基础知识】【基础知识】1.1.弦长公式弦长公式若M、N在直线y=kx+m上，代入化简，得|MN|=1+k2x1-x

21、2=(1+k2)(x1+x2)2-4x1x2;2.2.三角形面积问题三角形面积问题直线AB方程：y=kx+md=PH=kx0-y0+m1+k2SABP=12ABd=121+k2Akx0-y0+m1+k2=kx0-y0+m2 A3.3.焦点三角形的面积焦点三角形的面积直线AB过焦点F2,ABF1的面积为SABF1=12F1F2 y1-y2=c y1-y2=c ASAOB=12|AB|d=12A2+B24a2b2(a2A2+b2B2-C2)a2A2+b2B2|C|A2+B2=ab(a2A2+b2B2-C2)C2a2A2+b2B2注意：A为联立消去x后关于y的一元二次方程的二次项系数.4.4.平行四

22、边形的面积平行四边形的面积直线AB为y=kx+m1，直线CD为y=kx+m2d=CH=m1-m21+k2AB=1+k2x1-x2=1+k2(x1+x2)2-4x1x2=1+k2-BA2-4CA=1+k2ASABCD=ABd=1+k2Am1-m21+k2=m1-m2A注意：A为直线与椭圆联立后消去y后的一元二次方程的系数.【考点剖析】考点一：考点一：求三角形面积求三角形面积例例1.1.已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(ab0)，的左焦点F(-1,0)，且离心率为22(1)求椭圆C的标准方程；(2)若 Q(1,-2)，过椭圆 C 的左焦点 F 的直线 l 交椭圆 C 于 M、N 两点，且直线 l

23、 倾斜角为 45，求QMN的面积【答案】(1)x22+y2=1；(2)83.解析：(1)由已知得：ca=2212a2+34b2=1a2=b2+c2；解得a=2b=1c=1，所求椭圆方程为x22+y2=1(2)设M x1,y1,N x2,y2，直线l的斜率k=tan45=1，故直线l的方程为：y=x+1，联立y=x+1x2+2y2-2=0，消去x得：3y2-2y-1=0，法一：y=1或y=-13联立y=x+1y=-2 得E(-3,-2)，QE=4MF2N的面积为12QE y1-y2=83法二：y1+y2=23,y1y2=-13联立y=x+1y=-2 得E(-3,-2),QE=4MF2N的面积为1

24、2QE y1-y2=83法三：y=1或y=-13代入直线y=x+1，得M 0,1,N-43,-13N到直线QM：3x+y-1=0的距离d=8 1015，QM=10MF2N的面积为12d QM=83.变式训练变式训练1.1.已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(ab0)的离心率为22，右焦点F2到上顶点的距离为2.(1)求椭圆C的方程；(2)斜率为2的直线l经过椭圆C的左焦点F1，且与椭圆C相交于A,B两点，求ABF2的面积.【答案】(1)x22+y2=1；(2)4 109.解析：(1)由题意可得ca=22,a=2,a2=b2+c2，解得b=1,c=1，所以椭圆的方程为x22+y2=1.(2)解法

25、一：由(1)得F1-1,0,F21,0，则由题意可设直线l:y=2 x+1，代入椭圆方程x22+y2=1整理可得9x2+16x+6=0，设A x1,y1,B x2,y2，则x1+x2=-169,x1x2=23，则由弦长公式知 AB=1+22-1692-423=10 29，又设F2到l的距离为d，则由点到直线距离公式可得d=45，ABF2的面积SABF2=1210 2945=4 109，即所求面积为4 109.解法二：由(1)得F1-1,0,F21,0，则由题意可设直线l:y=2 x+1，即x=y2-1代入椭圆方程x22+y2=1整理可得9y2-4y-4=0，设A x1,y1,B x2,y2，则

26、y1+y2=49,x1x2=-49，y1-y2=y1-y22-4y1y2=1681+169=4 109，则ABF2的面积SABF2=12 F1F2 y1-y2=y1-y2=4 109，即所求面积为4 109.例例2.2.已知抛物线C:y2=2px p0上的点M 4,m到焦点F的距离为6(1)求抛物线C的方程；(2)设F为抛物线C的焦点，直线l:y=2x-8与抛物线C交于A，B两点，求FAB的面积【答案】(1)y2=8x；(2)12解析：(1)因为 MF=4+p2=6，所以p=4，故抛物线方程为：y2=8x.(2)设A x1,y1,B x2,y2，且x10)的焦点为F，直线x=2 3 与抛物线C

27、的准线交于点A，O为坐标原点，|OA|=2|OF|(1)求抛物线C的方程；(2)直线l:y=3x+2与抛物线C交于M，N两点，求AMN的面积【答案】(1)x2=8y；(2)80解析：(1)由题意可得A 2 3,-p2，F 0,p2，则|OA|=p24+12，|OF|=p2因为|OA|=2|OF|，所以p24+12=2p2，解得p=4，故抛物线C的方程为x2=8y(2)由(1)可知A(2 3,-2)，则点A到直线l的距离d=|3 2 3+2+2|3+1=5联立y=3x+2x2=8y，整理得x2-8 3x-16=0设M x1,y1，N x2,y2，则x1+x2=8 3，从而y1+y2=3 x1+x

28、2+4=3 8 3+4=28因为直线l过抛物线的焦点F，所以|MN|=y1+y2+p=28+4=32故AMN的面积为12|MN|d=12325=80例例3.3.已知双曲线C:x2a2-y2b2=1 a0,b0与双曲线y26-x22=1的渐近线相同，且经过点 2,3(1)求双曲线C的方程；(2)已知双曲线C的左右焦点分别为F1，F2，直线l经过F2，斜率为-1，l与双曲线C交于A，B两点，求F1AB的面积【答案】(1)x2-y23=1；(2)6 2解析：(1)设所求双曲线C方程为y26-x22=，代入点 2,3得：326-222=，即=-12，双曲线C方程为y26-x22=-12，即x2-y23

29、=1(2)由(1)知：F1-2,0，F22,0，即直线AB的方程为y=-x-2设A x1,y1，B x2,y2，联立y=-x-2x2-y23=1，得2x2+4x-7=0，满足0且x1+x2=-2，x1x2=-72，由弦长公式得 AB=1+(-1)2|x1-x2|=1+-12-22-4-72=2 3 2=6，点F1-2,0到直线AB:x+y-2=0的距离d=-2+0-22=2 2所以SF1AB=12ABd=1262 2=6 2变式训练变式训练3.3.已知中心在原点的双曲线C的右焦点为F(2,0)，直线3x-2y=0与双曲线C的一个交点的横坐标为2(1)求双曲线C的标准方程；(2)过点 0,1，倾

30、斜角为 1350的直线l与双曲线C相交于A、B两点，O为坐标原点，求 OAB的面积【答案】(1)x2-y23=1；(2)32解析：(1)设双曲线C的标准方程是x2a2-y2b2=1(a0,b0)，由题可知：点 2,3在双曲线C上，从而有 a2+b2=44a2-9b2=1，解得 a2=1b2=3 所以双曲线C的标准方程为x2-y23=1(2)由已知得直线l的方程为y=-x+1即x+y-1=0所以 原点O到直线l的距离d=0+0-112+12=12联立x2-y23=1y=-x+1 消去y可得x2+x-2=0设A x1,y1,B x2,y2，则 x1+x2=-1,x1x2=-2所以 AB=1+k2x

31、1+x22-4x1x2=1+12-12-4-2=3 2，所以 OAB的面积S=12ABd=123 2 12=32.考点二：考点二：求四边形面积求四边形面积例例1.1.已知A1,A2为椭圆C:x2a2+y2b2=1(ab0)的左右顶点，A1A2=4，椭圆C的离心率为12(1)求C的方程(2)斜率为1的直线l与抛物线x2=4y相切，且与C相交于M,N两点，求四边形A1MA2N的面积【答案】(1)x24+y23=1；(2)24 27解析：(1)由题意知 A1A2=4，可得2a=4，即a=2，又因为C的离心率为e=12，即a2-b2a2=14，所以b2=3，所以椭圆C的方程为x24+y23=1.(2)

32、设l方程为y=x+m，联立方程组y=x+mx2=4y，整理得x2-4x-4m=0，因为直线l与x2=4y相切，可得=16+16m=0，解得m=-1，即直线l方程为y=x-1，将y=x-1代入x24+y23=1，可得7y2+6y-9=0，设M x1,y1,N x2,y2，则y1+y2=-67,y1y2=-97因为 y1-y2=y1+y22-4y1y2=-672-4-97=12 27，所以S四边形A1MA2N=12A1A2 y1-y2=12412 27=24 27.变式训练变式训练1.1.已知椭圆E:x2a2+y2b2=1(ab0)的左、右焦点分别为F1,F2，短轴的下端点A的坐标为(0,-1)，

33、且 AF1+AF2=4.(1)求椭圆E的方程；(2)设B，C是椭圆 E上异于A的两点，且直线BC与坐标轴不垂直，|AB|=|AC|，BC的中点为G，求四边形AF1GF2的面积.【答案】(1)x24+y2=1；(2)4 33解析：(1)由椭圆E短轴的下端点A的坐标为(0,-1)可得：b=1由 AF1+AF2=4及椭圆的定义，可得：2a=4，即a=2所以椭圆E的方程为：x24+y2=1(2)由直线BC与坐标轴不垂直，可设直线BC的方程为y=kx+n(k0)代入x2+4y2=4并整理得：4k2+1x2+8knx+4n2-4=0则=64k2n2-4 4k2+14n2-4=16 4k2+1-n20.设B

34、 x1,y1,C x2,y2，则有：x1+x2=-8kn4k2+1.设BC的中点G x0,y0，则x0=-4kn4k2+1，且y0=kx0+n=n4k2+1.因为AB=AC，G为BC的中点，所以AGBC，可得：kAGkBC=-1则有：y0+1x0k=-1，即n4k2+1+1-4kn4k2+1k=-1化简可得：n=4k2+13所以=16 4k2+1-4k2+132 0解得：-2 k0的焦点为 F，点 P 在 E 上，点 Q 1,12在 E 的内侧，且 PF+PQ的最小值为54.(1)求E的方程；(2)O为坐标原点，点A在y轴正半轴上，点B,C为E上两个不同的点，其中B点在第四象限，且AB，OC互

35、相垂直平分，求四边形AOBC的面积.【答案】(1)y2=x；(2)6 3解析：(1)E的准线为l：x=-p2，作PRl于R，根据抛物线的定义有 PR=PF，所以 PF+PQ=PR+PQ，因为Q 1,12在E的内侧，所以当P，Q，R三点共线时，PR+PQ取得最小值，此时 PR+PQ=QR=1+p2=54，解得p=12，所以E的方程为y2=x.(2)因为AB，OC互相垂直平分，所以四边形AOBC是菱形.由OABC，得BCx轴，设点A 0,2aa0，则 BC=2a，由抛物线的对称性知B a2,-a，C a2,a，OC=a2,a，AB=a2,-3a.由OCAB，得OC AB=a2a2-3a2=0，解得

36、a=3,所以在菱形AOBC中，AO=2 3，OA边上的高h=a2=3，所以菱形AOBC的面积S=AOh=2 3 3=6 3.变式训练变式训练2.2.设抛物线 C:x2=2py(p 0)的焦点为 F，过点 F 的直线与 C 交于点 A x1,y1，B x2,y2，且y1y2=1(1)求C的方程；(2)过点A作C的一条切线l，l与y轴交于点D(0,m)(m0因为C:y=14x2，所以y=12x 所以l:y-y1=12x1x-x1在中，令x=0得m=y1-12x21=-14x21，即D 0,-14x21设E xE,-1，由mb0)的两焦点为F1-1,0和F21,0，过F2的直线与椭圆C交于A,B两点

37、，且F1AB的周长为8.(1)求椭圆C的方程；(2)若F1AB的面积为12 27，求直线AB的方程.【答案】(1)x24+y23=1；(2)x-y-1=0或x+y-1=0解析：(1)F1AB的周长为8，4a=8，即a=2，又c=1，且a2=b2+c2，a2=4，b2=3.椭圆C的方程为x24+y23=1.(2)依题意可设直线AB的方程为：x=my+1，联立x24+y23=1x=my+1 消去x得 3m2+4y2+6my-9=0.设A x1,y1，B x2,y2，则y1+y2=-6m3m2+4，y1y2=-93m2+4.y1-y2=y1+y22-4y1y2=-6m3m2+42+363m2+4=1

38、2 m2+13m2+4.SF1AB=12F1F2 y1-y2=12212 m2+13m2+4=12 27，解得m=1.直线AB的方程为：x-y-1=0或x+y-1=0变式训练变式训练1.1.已知椭圆C:x2a2+y2b2=1 ab0，由C的上、下顶点，左、右焦点构成一个边长为2 的正方形(1)求C的方程；(2)直线l过C的右焦点F，且和C交于点A,B，设O是坐标原点，若三角形OAB的面积是23，求l的方程【答案】(1)x22+y2=1；(2)y=x-1或y=-x+1解析：(1)由已知，a=2，b=c=1，所以C的方程为x22+y2=1(2)F(1,0)，若l斜率不存在，易知SOAB=12|AB

39、|OF|=122 1=2223；若l斜率存在，设A(x1,y1),B(x2,y2)，l:y=k(x-1)，和C的方程联立得：1+2k2x2-4k2x+2k2-2=0，x1+x2=4k21+2k2，x1x2=2k2-21+2k2，所以|AB|=1+k2x1-x2=1+k2x1+x22-4x1x2=1+k24k21+2k22-42k2-21+2k2=1+k216k4-4(2k2-2)(1+2k2)1+2k22=2 2 k2+11+2k2点O到直线l的距离为d d=|k k|1+k k2，所以SOAB=12|AB|d=122 2 k2+11+2k2|k|k2+1=2|k|k2+11+2k2=23，2

40、k2(k2+1)(1+2k2)2=49解之得k2=1，k=1，所以l的方程为y=x-1或y=-x+1，例例2.2.已知抛物线C:y2=2px(p0)与直线l:x+ky-1=0交于P,Q两点，O为坐标原点，OPOQ.(1)求抛物线C的方程；(2)若POQ的面积为5，求直线l的方程.【答案】(1)y2=x；(2)x+4y-1=0或x-4y-1=0解析：(1)设P x1,y1，Q x2,y2，联立方程组y2=2px,x+ky-1=0,得y2+2pky-2p=0，则y1+y2=-2pk，y1y2=-2p.由=4p2k2+8p0，得pk2+20.因为OPOQ，所以x1x2+y1y2=(1-ky1)(1-

41、ky2)+y1y2=1-k(y1+y2)+(k2+1)y1y2=0，所以1+2pk2-2p(k2+1)=1-2p=0，所以p=12，故抛物线C的方程为y2=x.(2)由(1)知y1+y2=-k，y1y2=-1，所以|PQ|=(1+k2)(y1+y2)2-4y1y2=(1+k2)(k2+4).因为点O到直线l的距离d=11+k2，所以SPOQ=12|PQ|d=12(1+k2)(k2+4)11+k2=12k2+4=5，所以k=4，故直线l的方程为x+4y-1=0或x-4y-1=0.变式训练变式训练2.2.已知抛物线y2=x与直线y=k(x-1)相交于A,B两点，O为坐标原点.(1)求证：OAOB；

42、(2)当SAOB=10 时，求k的值.【答案】(1)证明见解析；(2)k=16.解析：(1)联立方程y2=xy=k x-1，消去x得ky2-y-k=0，设A x1,y1,B x2,y2，则y1y2=-1，因为y21=x1,y22=x2，所以x1x2=y1y22=1，所以OA OB=x1x2+y1y2=1-1=0，故OAOB.(2)由(1)可知：OAOB所以SAOB=12 OA OB=12x12+y12x22+y22=10则x12+y12x22+y22=2 10又y21=x1,y22=x2所以y14+y12y24+y22=y1y2y1y22+y12+y22+1=2 10所以y12+y22+2=4

43、0，又y1+y2=1k所以 y1+y22-2y1y2+2=401k2=36所以k=16例例3.3.已知椭圆E:x2a2+y2b2=1 ab0，由E的上下顶点，左右焦点构成一个边长为2 的正方形.(1)求E的方程；(2)过E的右焦点F做相互垂直的两条直线l1，l2，分别和E交点A,B,C,D，若由点A,B,C,D构成的四边形的面积是169，求l1，l2的方程.【答案】(1)x22+y2=1；(2)l1与l2的方程分别为：x+y-1=0，x-y-1=0解析：(1)由已知，a=2，b=c=1，所以E的方程为x22+y2=1.(2)又题意中，F(1,0)，若l1或l2斜率不存在，易知S四边形ACBD=

44、12|ABCD|=122 2 2=2169，不符合题意；若l1,l2斜率存在，设l1:y=k(x-1)，和E的方程联立得：1+2k2x2-4k2x+2k2-2=0，x1+x2=4k21+2k2，x1x2=2k2-21+2k2，|AB|=1+k2x1-x2=1+k2x1+x22-4x1x2=2 2 k2+11+2k2，设l2:y=-1k(x-1)，同理可得|CD|=2 2 k2+1k2+2，所以S四边形ACBD=12|AB|CD|=122 2 k2+11+2k22 2 k2+1k2+2=4 k2+122k4+5k2+2=169解得k2=1，k=1，所以l1与l2的方程分别为：x+y-1=0，x-

45、y-1=0，变式训练变式训练3.3.已知动点P到点F11,0的距离与它到直线l:x=4的距离之比为12(1)求动点P的轨迹所形成曲线C的方程；(2)F2-1,0，分别过 F1，F2作斜率为 k k0的直线与曲线 C 交于 x 轴上方 A,B 两点，若四边形F1F2BA的面积为12 27，求k的值【答案】(1)x24+y23=1；(2)1.解析：(1)设M(x,y)，由题意得(x-1)2+y2x-4=12，整理得x24+y23=1，即为曲线C的方程(2)由题意知AF1BF2，延长AF1交椭圆C于点A1，由椭圆的对称性知 A1F1=BF2，所以 AF1+BF2=AF1+A1F1=AA1，设lAF1

46、:y=k(x-1)，与x24+y23=1联立消得，(3+4k2)x2-8k2x+4k2-12=0，设A x1,y1，A1x2,y2，则x1+x2=8k23+4k2，x1x2=4k2-123+4k2，所以 AA1=1+k2x1-x2=1+k2x1+x22-4x1x2=1+k28k23+4k22-44k2-123+4k2=12 1+k23+4k2，因为点F2到直线AF1的距离d=2 k1+k2,所以S四边形F1F2BA=12AF1+BF22 k1+k2=AA1k1+k2=12 1+k23+4k2k1+k2=12 27，平方化简得17k4+k2-18=0，解得k2=1或k2=-1817(舍)，所以k

47、=1例例4.4.已知抛物线 E：y2=2px(p 0)的焦点为 F，点 A 2,1是抛物线内一点，P 为抛物线上的动点，且AP+PF的最小值为3.(1)求抛物线E的方程；(2)过点 1,1作斜率之和为0的两条直线l1，l2(l1的斜率为正数)，其中l1与曲线E交于M，C两点，l2与曲线E交于B，N两点，若四边形MBCN的面积等于16 3，求直线l1的方程.【答案】(1)y2=4x；(2)y=x解析：(1)过点P作抛物线E准线的垂线，垂足为D，则 PF=PD，于是 AP+PF=AP+PD，当A，P，D三点共线时，AP+PD有最小值2+p2，所以2+p2=3，解得：p=2，所以抛物线E的方程为y2

48、=4x.(2)依题意可知，直线l1，l2的斜率均存在，并且互为相反数，由(1)知F 1,0，设直线l1的方程为x=m(y-1)+1(m0)，M x1,y1，C x2,y2，将l1的方程代入y2=4x并化简得y2-4my+4m-4=0，则y1+y2=4m，y1y2=4m-4，MC=1+m2 y1-y2=1+m216m2-16m+16=4 1+m2m2-m+1，利用-m替换m可得：BN=4 1+m2m2+m+1.设直线l1的倾斜角为，则tan=1m，直线l1，l2的夹角=2或-2，sin=sin2=2sincossin2+cos2=2tan1+tan2=2m1+m2，因此四边形MBCN的面积S=1

49、2MC BNsin2=16mm2+12-m2=16 3，令t=m2，得t(t+1)2-t2=3，从而有t3+t2+t=3，解得t=1，此时m=1，故直线l1的方程为y=x.考点四：考点四：内切圆半径内切圆半径(面积面积)例例1.1.已知椭圆C:x2a2+y2b2=1 ab0的离心率为22，且点P 1,22在C上.(1)求椭圆C标准方程；(2)设F1，F2为椭圆C的左，右焦点，过右焦点 F2的直线l交椭圆C于A,B两点，若ABF1内切圆的半径为34，求直线l的方程.【答案】(1)x22+y2=1；(2)x+2y-1=0或x-2y-1=0.解析：(1)因为椭圆的离心率为22，故可设 a=2k,c=

50、2k,b=2k k0，故椭圆方程为x24k2+y22k2=1，代入 P 1,22得14k2+14k2=1，故 k2=12，故椭圆方程为：x22+y2=1.(2)ABF1的周长为4a=4 2，故SABF1=124 2 34=62.设A x1,y2,B x2,y2，由题设可得直线l与x轴不重合，故可设直线x=ty+1，则SABF1=122 y1-y2=y1-y2=62，由x=ty+1x2+2y2=2 可得 ty+1+2y2=2，整理得到 t2+2y2+2ty-1=0，此时=8t2+80，故 y1-y2=2 2 t2+1t2+2=62，解得t=2，故直线l的方程为：x+2y-1=0或x-2y-1=0