2023年高考数学压轴题圆锥曲线专题第03讲：面积问题二含解析.docx

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1、2023年高考数学压轴题圆锥曲线专题第03讲：面积问题二（解析版）第二讲：面积问题（二）【学习目标】基础目标：掌握椭圆，双曲线，抛物线的简单性质，三角形，四边形面积的推导过程；应用目标：掌握椭圆，双曲线，抛物线的弦长公式，点到直线距离公式的应用，并能够熟练使用求解面积；拓展目标：能够熟练应用弦长和点到直线距离公式，求解圆锥曲线面积定值等问题.素养目标：通过数形结合，转化与化归等思想方法，培养独立思考和逻辑分析能力，提升学生的数学运算和数学抽象的核心素养.【基础知识】1、面积范围首选均值不等式，其实用二次函数，最后选导数均值不等式变式：作用：当两个正数的积为定值时求出这两个正数的和的最小值；当两

2、个正数的和为定值时求出这两个正数的积的最大值注意：应用均值不等式求解最值时，应注意“一正二定三相等”2、面积比值通过两个三角形面积的作比，寻找等底或等高情况，将面积问题转化为底边长度或高度的比值，进行坐标或向量进行求解.【考点剖析】考点一：三角形面积最值例1已知椭圆与的正半轴交于点，且离心率.(1)求椭圆的方程；(2)若直线过点与椭圆交于两点，求面积的最大值并求此时的直线方程.变式训练1：已知椭圆与抛物线有相同的焦点.(1)求椭圆的方程；(2)为坐标原点，过焦点的直线交椭圆于，两点，求面积的最大值.例2已知点是抛物线上的动点，过点的直线与抛物线交于另一点(1)当的坐标为时，求点的坐标；(2)已

3、知点，若为线段的中点，求面积的最大值变式训练2：已知椭圆的中心是坐标原点O，左右焦点分别为，设P是椭圆C上一点满足轴，椭圆C的离心率为.(1)求椭圆C的标准方程；(2)过椭圆C左焦点且不与轴重合的直线与椭圆相交于两点，求内切圆半径的最大值.（参考公式：已知的三边分别是，且内切圆的半径是 ，则的面积）.例3已知圆：，圆：，一动圆与圆和圆同时内切.(1)求动圆圆心的轨迹方程；(2)设点的轨迹为曲线，两互相垂直的直线，相交于点，交曲线于，两点，交圆于，两点，求与的面积之和的取值范围.变式训练3：已知点，点为直线上的动点，过作直线的垂线，线段的中垂线与交于点.(1)求点的轨迹的方程；(2)若过点的直线

4、与曲线交于，两点，求与面积之和的最小值.（为坐标原点）考点二：四边形面积最值例1已知椭圆的一个焦点为，经过点，过焦点F的直线l与椭圆C交于A，B两点，线段AB中点为D，O为坐标原点，过O，D的直线交椭圆于M，N两点.(1)求椭圆C的方程；(2)四边形AMBN面积是否有最大值，若有求最大值，若没有请说明理由.变式训练1：已知定点，圆：，点Q为圆上动点，线段MQ的垂直平分线交NQ于点P，记P的轨迹为曲线C(1)求曲线C的方程；(2)过点M与N作平行直线和，分别交曲线C于点A，B和点D，E，求四边形ABDE面积的最大值例2已知抛物线上的点到焦点的距离等于圆的半径(1)求抛物线的方程；(2)过点作两条

5、互相垂直的直线与，直线交于，两点，直线交于，两点，求四边形面积的最小值变式训练2：已知抛物线的焦点为，抛物线上的点的横坐标为1，且.(1)求抛物线的方程；(2)过焦点作两条相互垂直的直线（斜率均存在），分别与抛物线交于和四点，求四边形面积的最小值.考点三：面积比值（求解）例1已知椭圆的右焦点为，上顶点为，为坐标原点，点在椭圆上(1)求椭圆的方程；(2)设经过点且斜率不为0的直线与椭圆相交于两点，点，若分别为直线，与轴的交点，记，的面积分别为，求的值变式训练1：已知椭圆的左、右焦点分别为，实轴长为，且斜率为的直线与椭圆C交于A，B两点，且AB的中点为.(1)求椭圆C的方程；(2)若椭圆C的左、右

6、顶点分别为，点P，Q为椭圆上异于，的两点，且以P，Q为直径的圆过点，设，的面积分别为，计算的值.考点四：已知面积比值（求参）例1已知点M是椭圆C：上一点，分别为椭圆C的上、下焦点，当，的面积为5.(1)求椭圆C的方程：(2)设过点的直线和椭圆C交于两点A，B，是否存在直线，使得与（O是坐标原点）的面积比值为5：7.若存在，求出直线的方程：若不存在，说明理由.变式训练1：已知椭圆的焦距为4，点在G上.(1)求椭圆G的方程；(2)过椭圆G右焦点的直线l与椭圆G交于M，N两点，O为坐标原点，若，求直线l的方程.变式训练2：已知圆，圆，动圆与圆外切，且与圆内切.(1)求动圆圆心的轨迹的方程，并说明轨迹

7、是何种曲线；(2)设过点的直线与直线交于两点，且满足的面积是面积的一半，求的面积考点五：面积比值（证明）例1在平面直角坐标系中，已知点到的距离与到直线的距离相等，记的轨迹为.(1)求的方程；(2)为坐标原点，轨迹上两点、处的切线交于点，在直线上，、分别交轴于、两点，记和的面积分别为和试探究：是否为定值？若是定值，求出该定值；若不是定值，说明理由变式训练1：已知椭圆的左、右焦点分别为，离心率为，过左焦点的直线l与椭圆C交于A，B两点，的周长为8(1)求椭圆C的标准方程；(2)如图，是椭圆C的短轴端点，P是椭圆C上异于点，的动点，点Q满足，求证与的面积之比为定值变式训练2：已知为坐标原点，椭圆的右

8、顶点为，离心率为.动直线与相交于两点，点关于轴的对称点为，点到的两焦点的距离之和为.(1)求的标准方程；(2)若直线与轴交于点，的面积分别为，问是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由.考点六：面积比值（范围）例1已知焦点在轴上的椭圆的左、右焦点分别为，上顶点为，离心率为，的面积为(1)求椭圆的标准方程(2)若过点的直线与该椭圆交于，两点，与分别表示和的面积，求的取值范围变式训练1：已知椭圆与双曲线有共同的焦点，且双曲线的实轴长为.（1）求双曲线的标准方程；（2）若曲线与在第一象限的交点为，求证：.（3）过右焦点的直线与双曲线的右支相交于的，两点，与椭圆交于，两点.记，的面积分别为，求

9、的最小值.变式训练2：设O为坐标原点，动点P在圆上，过点P作轴的垂线，垂足为Q且.(1)求动点D的轨迹E的方程；(2)直线与圆相切，且直线与曲线E相交于两不同的点A、B，T为线段AB的中点.线段OA、OB分别与圆O交于M、N两点，记的面积分别为，求的取值范围.【当堂小结】1、知识清单：（1）椭圆，双曲线，抛物线弦长公式；（2）弦长最值的基本不等式求解；（3）交点坐标的求解和非弦长的计算；（4）面积比值转化为底边或高线的比值；2、易错点：基本不等式的应用；3、考查方法：基本不等式，数形结合思想，数与形的转化；4、核心素养：数学运算，数学抽象.【过关检测】1已知椭圆的离心率为，点是椭圆上一点.(1

10、)求的方程；(2)设过点的动直线与椭圆相交于两点，为坐标原点，求面积的取值范围.2已知椭圆，过定点的直线交椭圆于两点，其中.(1)若椭圆短轴长为且经过点，求椭圆方程；(2)对（1）中的椭圆，若，求面积的最大值，并求此时直线的方程；3如图所示：已知椭圆：的长轴长为4，离心率是椭圆的右顶点，直线过点交椭圆于，两点，记的面积为(1)求椭圆的标准方程；(2)求的最大值4已知圆，圆，动圆与圆内切，与圆外切.为坐标原点.(1)若求圆心的轨迹的方程.(2)若直线与曲线交于、两点，求面积的最大值，以及取得最大值时直线的方程.5如图，已知椭圆的左、右焦点分别为，设是第一象限内椭圆C上的一点，的延长线分别交椭圆C

11、于点当时，的面积为(1)求椭圆C的方程；(2)分别记和的面积为和，求的最大值6已知抛物线的焦点到准线的距离为2.(1)求C的方程：(2)过C上一动点P作圆的两条切线，切点分别为A，B，求四边形PAMB面积的最小值.7已知抛物线的焦点为，点在抛物线上，当以为始边，为终边的角时，.(1)求的方程(2)过点的直线交于两点，以为直径的圆平行于轴的直线相切于点，线段交于点，求的面积与的面积的比值8已知椭圆：（）的焦距为，且经过点，过点的直线与椭圆交于点.(1)求椭圆的标准方程；(2)设为线段的中点，为原点，所在的直线与椭圆交于，两点（点在轴上方），问是否存在直线使得的面积是面积的倍？若存在，求直线的方程

12、，并求此时四边形的面积，若不存在，请说明理由.9已知在平面直角坐标系中，动点到、两点的距离之和等于(1)求动点的轨迹的方程；(2)若与圆相切的直线与曲线相交、两点，直线与直线平行，且与曲线相切于点（、位于直线的两侧），记、的面积分别为、，求的取值范围第二讲：面积问题（二）【学习目标】基础目标：掌握椭圆，双曲线，抛物线的简单性质，三角形，四边形面积的推导过程；应用目标：掌握椭圆，双曲线，抛物线的弦长公式，点到直线距离公式的应用，并能够熟练使用求解面积；拓展目标：能够熟练应用弦长和点到直线距离公式，求解圆锥曲线面积定值等问题.素养目标：通过数形结合，转化与化归等思想方法，培养独立思考和逻辑分析能力

13、，提升学生的数学运算和数学抽象的核心素养.【基础知识】1、面积范围首选均值不等式，其实用二次函数，最后选导数均值不等式变式：作用：当两个正数的积为定值时求出这两个正数的和的最小值；当两个正数的和为定值时求出这两个正数的积的最大值注意：应用均值不等式求解最值时，应注意“一正二定三相等”2、面积比值通过两个三角形面积的作比，寻找等底或等高情况，将面积问题转化为底边长度或高度的比值，进行坐标或向量进行求解.【考点剖析】考点一：三角形面积最值例1已知椭圆与的正半轴交于点，且离心率.(1)求椭圆的方程；(2)若直线过点与椭圆交于两点，求面积的最大值并求此时的直线方程.【答案】(1)；(2)；解析：(1)

14、椭圆与轴的正半轴交于点，则，则椭圆的方程为:(2)当直线的斜率为0时，三点共线，显然不满足题意.当直线的斜率不为0时，设代入，得到设令令，在单调递增，当为最大，此时的方程为:变式训练1：已知椭圆与抛物线有相同的焦点.(1)求椭圆的方程；(2)为坐标原点，过焦点的直线交椭圆于，两点，求面积的最大值.【答案】(1)；(2)解析：（1）椭圆与抛物线有相同的焦点，即且，椭圆的方程为：.（2）由（1）可知的坐标为.显然的斜率不为0.设直线的方程为：，设，.联立,可得,恒成立，,.当且仅当,即时取等号,面积的最大值为.例2已知点是抛物线上的动点，过点的直线与抛物线交于另一点(1)当的坐标为时，求点的坐标；

15、(2)已知点，若为线段的中点，求面积的最大值【答案】(1)；(2)2解析：(1)当的坐标为时，则，所以，所以抛物线的方程为：，由题意可得直线的方程为：，即，代入抛物线的方程可得解得（舍）或6，所以，的坐标为(2)法一：设直线的方程：，即，设直线与轴的交点为，由可得，因为为线段的中点，所以令，即，所以则的面积，把代入上式，当时，所以的面积的最大值为2（2）法二：可得，因为为线段的中点，所以，设点到直线的距离为，则，把代入上式，所以，当时，的面积的最大值为2变式训练2：已知椭圆的中心是坐标原点O，左右焦点分别为，设P是椭圆C上一点满足轴，椭圆C的离心率为.(1)求椭圆C的标准方程；(2)过椭圆C左

16、焦点且不与轴重合的直线与椭圆相交于两点，求内切圆半径的最大值.（参考公式：已知的三边分别是，且内切圆的半径是 ，则的面积）.【答案】(1)；(2)解析：(1)设,由题意是椭圆上一点，满足轴，离心率为，解得椭圆的标准方程为；(2)由（1）可知，的周长为，设直线为，由，得设，则， ，令内切圆的半径为，则 ，即 ，令，则，当且仅当 ，即时等号成立，当时，取得最大值，即内切圆半径的最大值.例3已知圆：，圆：，一动圆与圆和圆同时内切.(1)求动圆圆心的轨迹方程；(2)设点的轨迹为曲线，两互相垂直的直线，相交于点，交曲线于，两点，交圆于，两点，求与的面积之和的取值范围.【答案】(1)；(2)解析：(1)由

17、：，得，可知，其半径为，由：，得，可知，其半径为.设动圆半径为，动圆圆心到的距离为，到的距离为，则有或，即，得，又，所以动圆圆心的轨迹是以，为焦点的双曲线，由，可得.所以动圆圆心的轨迹方程为.(2)当直线的斜率存在时，由题意，设：，与双曲线联立，由于其于双曲线有两个不同的交点，所以，得且，且.设：，即.设圆到直线的距离为，则，因为交圆于，两点，故，得.且，由题意可知,所以，因为，可得.当直线的斜率不存在时，所以，所以.变式训练3：已知点，点为直线上的动点，过作直线的垂线，线段的中垂线与交于点.(1)求点的轨迹的方程；(2)若过点的直线与曲线交于，两点，求与面积之和的最小值.（为坐标原点）【答案

18、】(1)；(2)解析：(1)如图所示，由已知得点为线段中垂线上一点，即，即动点到点的距离与点到直线的距离相等，所以点的轨迹为抛物线，其焦点为，准线为直线，所以点的轨迹方程为，(2)如图所示：设，点，联立直线与抛物线方程，得，所以，当且仅当，即，时取等号，此时，即，所以当直线直线，时取得最小值为.考点二：四边形面积最值例1已知椭圆的一个焦点为，经过点，过焦点F的直线l与椭圆C交于A，B两点，线段AB中点为D，O为坐标原点，过O，D的直线交椭圆于M，N两点.(1)求椭圆C的方程；(2)四边形AMBN面积是否有最大值，若有求最大值，若没有请说明理由.【答案】(1)；(2)解析：(1)由题意可得，解得

19、,故椭圆的方程为.(2)当直线斜率不存在时,的坐标分别为,四边形面积为；当直线斜率存在时,设其方程为，点,点到直线的距离分别为，则四边形面积为,由得,则，所以，因为所以中点,当时,直线方程为,解得所以.当时,四边形面积的最大值综上四边形面积的最大值为.变式训练1：已知定点，圆：，点Q为圆上动点，线段MQ的垂直平分线交NQ于点P，记P的轨迹为曲线C(1)求曲线C的方程；(2)过点M与N作平行直线和，分别交曲线C于点A，B和点D，E，求四边形ABDE面积的最大值【答案】(1)；(2)6解析：(1)由题意可得，所以动点P的轨迹是以M，N为焦点，长轴长为4的椭圆，即曲线C的方程为：；(2)由题意可设的

20、方程为，联立方程得，设，则由根与系数关系有，所以，根据椭圆的对称性可得，与的距离即为点M到直线的距离，为，所以四边形ABDE面积为，令得，由对勾函数性质可知：当且仅当，即时，四边形ABDE面积取得最大值为6例2已知抛物线上的点到焦点的距离等于圆的半径(1)求抛物线的方程；(2)过点作两条互相垂直的直线与，直线交于，两点，直线交于，两点，求四边形面积的最小值【答案】(1)；(2)解析：（1）由题设知，抛物线的准线方程为，由点到焦点的距离等于圆的半径，而可化为，即该圆的半径为，所以，解得，所以抛物线的标准方程为；（2）由题意可知，直线与直线的斜率都存在，且焦点坐标为，因为，不妨设直线的方程为，直线

21、的方程为，联立，得，恒成立设，则，所以，同理，得，所以四边形的面积，（当且仅当时等号成立）所以四边形的面积的最小值是变式训练2：已知抛物线的焦点为，抛物线上的点的横坐标为1，且.(1)求抛物线的方程；(2)过焦点作两条相互垂直的直线（斜率均存在），分别与抛物线交于和四点，求四边形面积的最小值.【答案】(1)；(2)2解析：(1)由已知知：，解得，故抛物线的方程为：.(2)由（1）知：，设直线的方程为：，、，则直线的方程为：，联立得，则，所以，同理可得，四边形的面积，当且仅当，即时等号成立，四边形面积的最小值为2.考点三：面积比值（求解）例1已知椭圆的右焦点为，上顶点为，为坐标原点，点在椭圆上(

22、1)求椭圆的方程；(2)设经过点且斜率不为0的直线与椭圆相交于两点，点，若分别为直线，与轴的交点，记，的面积分别为，求的值【答案】(1)；(2)解析：（1）由，得（c为半焦距），点在椭圆E上，则又，解得，椭圆E的方程为（2）由（1）知设直线，由消去x，得显然则，由，得直线AP的斜率，直线的斜率又，变式训练1：已知椭圆的左、右焦点分别为，实轴长为，且斜率为的直线与椭圆C交于A，B两点，且AB的中点为.(1)求椭圆C的方程；(2)若椭圆C的左、右顶点分别为，点P，Q为椭圆上异于，的两点，且以P，Q为直径的圆过点，设，的面积分别为，计算的值.【答案】(1)；(2)4解析：(1)设点，代入椭圆C的方程

23、得，两式相减得，即，所以.因为，解得，所以椭圆C的方程为.；(2)根据题意可知直线PQ的斜率一定存在，设直线PQ的方程为，点，联立，消去y并整理得.，.，则，整理得，解得或.当时，直线PQ的方程为，不符合题意；当时，直线PQ的方程为，过定点，.考点四：已知面积比值（求参）例1已知点M是椭圆C：上一点，分别为椭圆C的上、下焦点，当，的面积为5.(1)求椭圆C的方程：(2)设过点的直线和椭圆C交于两点A，B，是否存在直线，使得与（O是坐标原点）的面积比值为5：7.若存在，求出直线的方程：若不存在，说明理由.【答案】(1)；(2)存在，解析：(1)由,由,故,，即椭圆的标准方程为.(2)假设满足条件

24、的直线存在，当直线的斜率不存在时，不合题意， 不妨设直线：，显然 ，联立，得，所以，因为SOAF2=12cx1，得，即（3），由（1），（3），得 （4），将（1）（4）代入（3）得，所以直线的方程为，故存在直线，使得与的面积比值为5：7.变式训练1：已知椭圆的焦距为4，点在G上.(1)求椭圆G的方程；(2)过椭圆G右焦点的直线l与椭圆G交于M，N两点，O为坐标原点，若，求直线l的方程.【答案】(1)；(2).解析：(1)椭圆的焦距是4，所以焦点坐标是，.因为点在G上，所以，所以，.所以椭圆G的方程是.(2)显然直线l不垂直于x轴，可设l的方程为，将直线l的方程代入椭圆G的方程，得，则，.因为

25、，所以，则，即，由，得，.所以，解得，即，所以直线l的方程为.变式训练2：已知圆，圆，动圆与圆外切，且与圆内切.(1)求动圆圆心的轨迹的方程，并说明轨迹是何种曲线；(2)设过点的直线与直线交于两点，且满足的面积是面积的一半，求的面积【答案】(1)；(2)或解析：(1)圆的圆心，半径，圆的圆心，半径，设圆的半径为，由题意，所以，由椭圆的定义可知，动圆圆心的轨迹是以，为焦点，长轴长为的椭圆，则，所以，所以动圆圆心的轨迹的方程为；(2)由题意，直线的斜率存在且不为0，设，由，可得，所以，且，即，因为的面积是面积的一半，所以点为线段的中点，所以，即，联立可得，所以，因为到直线AB的距离，所以，所以当时

26、，当时，.所以的面积为或.考点五：面积比值（证明）例1在平面直角坐标系中，已知点到的距离与到直线的距离相等，记的轨迹为.(1)求的方程；(2)为坐标原点，轨迹上两点、处的切线交于点，在直线上，、分别交轴于、两点，记和的面积分别为和试探究：是否为定值？若是定值，求出该定值；若不是定值，说明理由【答案】(1)；(2)为定值解析：(1)点到直线的距离与到的距离相等，的轨迹为抛物线，且焦点为，准线为直线，设轨迹的方程为，则，可得，所以，曲线的方程为(2)设点、，抛物线方程为，即，所以则的方程为：，即，同理的方程为：联立、方程得，在直线的方程中，令可得，即点，同理可得点，则，可得，易知，则直线的斜率存在

27、，设直线的方程为，联立，消去得，由韦达定理可知，所以，则直线的方程为，故直线过定点所以，因此，故为定值.变式训练1：已知椭圆的左、右焦点分别为，离心率为，过左焦点的直线l与椭圆C交于A，B两点，的周长为8(1)求椭圆C的标准方程；(2)如图，是椭圆C的短轴端点，P是椭圆C上异于点，的动点，点Q满足，求证与的面积之比为定值【答案】(1)；(2)证明见解析解析：(1)的周长为8，即，离心率，椭圆C的标准方程为(2)方法一：设，则直线斜率，直线斜率，直线的方程为：，同理直线的方程为：，联立上面两直线方程，消去y，得，在椭圆上，即，所以与的面积之比为定值4方法二：设直线，的斜率分别为k，点，则直线的方

28、程为，直线的方程为，将代入，得，P是椭圆上异于点，的点，又，即，即，由，得直线的方程为，联立得，所以与的面积之比为定值4变式训练2：已知为坐标原点，椭圆的右顶点为，离心率为.动直线与相交于两点，点关于轴的对称点为，点到的两焦点的距离之和为.(1)求的标准方程；(2)若直线与轴交于点，的面积分别为，问是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由.【答案】(1)；(2)为定值，定值为1解析：(1)因为点在椭圆上，由椭圆的对称性，点关于x轴的对称点为也在椭圆上，再由点到的两焦点的距离之和为可得，即，又椭圆的离心率，所以，可得，所以椭圆的方程为：；(2)为定值，且定值为1，证明如下：设 ，则，联立

29、，整理可得：，则，直线的方程为：，令，可得；所以当变化时直线与轴交于定点，所以，即为定值，且定值为.考点六：面积比值（范围）例1已知焦点在轴上的椭圆的左、右焦点分别为，上顶点为，离心率为，的面积为(1)求椭圆的标准方程(2)若过点的直线与该椭圆交于，两点，与分别表示和的面积，求的取值范围【答案】(1)；(2)解析：(1)设所求椭圆的方程为，因为离心率为，的面积为，可得，解得，所以椭圆的方程为.(2)设，直线为，联立方程组，整理得，则且，可得，两式相除得，令，则，解得，又由，即的取值范围变式训练1：已知椭圆与双曲线有共同的焦点，且双曲线的实轴长为.（1）求双曲线的标准方程；（2）若曲线与在第一象

30、限的交点为，求证：.（3）过右焦点的直线与双曲线的右支相交于的，两点，与椭圆交于，两点.记，的面积分别为，求的最小值.【答案】（1）；（2）证明见解析；（3）最小值为.解析：（1）因为椭圆与双曲线有共同的焦点，且双曲线的实轴长为，所以解之得双曲线的标准方程为（2）联立方程组解之得所以点，（3）当直线的斜率不存在时，此时当直线的斜率存在时，设方程为代入椭圆方程得，由弦长公式得把直线方程代入双曲线方程得由弦长公式得因为直线与双曲线的右支相交于的，两点，所以设原点到直线的距离为，综上可知，的最小值为.变式训练2：设O为坐标原点，动点P在圆上，过点P作轴的垂线，垂足为Q且.(1)求动点D的轨迹E的方程

31、；(2)直线与圆相切，且直线与曲线E相交于两不同的点A、B，T为线段AB的中点.线段OA、OB分别与圆O交于M、N两点，记的面积分别为，求的取值范围.【答案】(1)；(2).解析：(1)设点，则，因，则有，又点P在圆上，即，所以动点D的轨迹E的方程是.(2)当直线的斜率存在时，设其方程为：，因直线与圆相切，则，即，而时，直线与椭圆E相切，不符合题意，因此，由消去x并整理得：，设，则，而点T是线段AB中点，则有：，令，则，而，当，即时，当，即时，而，于是得，当直线的斜率不存在时，直线，此时，所以的取值范围是.【当堂小结】1、知识清单：（1）椭圆，双曲线，抛物线弦长公式；（2）弦长最值的基本不等式

32、求解；（3）交点坐标的求解和非弦长的计算；（4）面积比值转化为底边或高线的比值；2、易错点：基本不等式的应用；3、考查方法：基本不等式，数形结合思想，数与形的转化；4、核心素养：数学运算，数学抽象.【过关检测】1已知椭圆的离心率为，点是椭圆上一点.(1)求的方程；(2)设过点的动直线与椭圆相交于两点，为坐标原点，求面积的取值范围.【答案】(1)；(2).解析：(1)由题设知，解得.椭圆的方程为；(2)当轴时不合题意，故可设，则，得.由题意知，即，得.从而.又点O到直线的距离，令，则，所求面积的取值范围为.2已知椭圆，过定点的直线交椭圆于两点，其中.(1)若椭圆短轴长为且经过点，求椭圆方程；(2

33、)对（1）中的椭圆，若，求面积的最大值，并求此时直线的方程；【答案】(1)；(2)面积的最大值为，或解析：（1）椭圆短轴长为，解得：；椭圆方程为；点在椭圆上，解得：，椭圆方程为.（2）由题意可设直线，由得：，（当且仅当，即时取等号），面积的最大值为，此时直线的方程为：或.3如图所示：已知椭圆：的长轴长为4，离心率是椭圆的右顶点，直线过点交椭圆于，两点，记的面积为(1)求椭圆的标准方程；(2)求的最大值【答案】(1)；(2).解析：(1)由题意可得：，离心率，则，椭圆的方程为：；(2)依题意知直线的斜率可能不存在，但直线的斜率不能为0，则设直线方程为：，设，由，得，恒成立则，则，又点到直线的距离

34、，令，则当且仅当，即，等号成立，取等条件不成立，故当时，时，故即的最大值为.4已知圆，圆，动圆与圆内切，与圆外切.为坐标原点.(1)若求圆心的轨迹的方程.(2)若直线与曲线交于、两点，求面积的最大值，以及取得最大值时直线的方程.【答案】(1)；(2)，解析：（1）设动圆的半径为，依题意有，所以轨迹是以，为焦点的椭圆，且，所以，当点坐标为椭圆右顶点时，不符合题意，舍去所以轨迹的方程（2）设，联立直线与椭圆的方程，可得，所以，得，设原点到直线的距离为，所以，所以，令，则，所以，当且仅当时，等号成立，即当时，面积取得最大值，此时直线方程为5如图，已知椭圆的左、右焦点分别为，设是第一象限内椭圆C上的一

35、点，的延长线分别交椭圆C于点当时，的面积为(1)求椭圆C的方程；(2)分别记和的面积为和，求的最大值【答案】(1)；(2)解析：(1)设，则，的面积为，解得，在中，由余弦定理，即，所以，则，椭圆C的方程为(2)设点P的坐标为，则直线的方程为，将其代入椭圆方程中可得，所以，所以，同理可求得，当且仅当，即时取等号，所以的最大值为.6已知抛物线的焦点到准线的距离为2.(1)求C的方程：(2)过C上一动点P作圆的两条切线，切点分别为A，B，求四边形PAMB面积的最小值.【答案】(1)；(2)解析：(1)因为C的焦点为，准线为，由题意得，即，因此.(2)圆M的圆心为，半径为1.由条件可知，且，于是.设，

36、则.当时等号成立，所以四边形PAMB面积的最小值为.7已知抛物线的焦点为，点在抛物线上，当以为始边，为终边的角时，.(1)求的方程(2)过点的直线交于两点，以为直径的圆平行于轴的直线相切于点，线段交于点，求的面积与的面积的比值【答案】(1)；(2)解析：(1)由题意，抛物线，可得其准线方程，如图所示，过点作，垂足为，过点作，垂足为，因为时，可得，又由抛物线的定义，可得，解得，所以抛物线的方程为.(2)由抛物线，可得，设，因为直线的直线过点，设直线的方程为联立方程组，整理得，可得，则，因为为的中点，所以，由抛物线的定义得，设圆与直线相切于点，因为交于点，所以且，所以，即，解得，设，则，且，可得，

37、因为，所以点为的中点，所以，又因为为的中点，可得，所以，即的面积与的面积的比值为.8已知椭圆：（）的焦距为，且经过点，过点的直线与椭圆交于点.(1)求椭圆的标准方程；(2)设为线段的中点，为原点，所在的直线与椭圆交于，两点（点在轴上方），问是否存在直线使得的面积是面积的倍？若存在，求直线的方程，并求此时四边形的面积，若不存在，请说明理由.【答案】(1)；(2)存在，直线方程为：，或，四边形的面积为.解析：(1)因为知椭圆：（）的焦距为，所以，又因为该椭圆过，所以，因此，因此该椭圆的方程为：；(2)显然直线存在斜率，设为，该直线方程设为，与椭圆方程联立，得，或，所以点的横坐标为：，则有成立，因此

38、点的纵坐标为：，即，因为为线段的中点，所以点的横坐标为：，点的纵坐标为：，即，所以直线的斜率为：，所以直线的方程为：，把它代入椭圆方程中，得：，因为点在轴上方，所以点的纵坐标为：，它的横坐标为：，即，点到直线的距离为：，点到直线的距离为：，假设存在直线使得的面积是面积的倍，则有：，因为为线段的中点，所以有，于是有，显然满足，直线的方程为，或，当直线的方程为，此时和，四边形的面积为：，当直线的方程为，此时和，四边形的面积为：，所以存在使得的面积是面积的倍的直线，方程为：，或，四边形的面积为.9已知在平面直角坐标系中，动点到、两点的距离之和等于(1)求动点的轨迹的方程；(2)若与圆相切的直线与曲线相交、两点，直线与直线平行，且与曲线相切于点（、位于直线的两侧），记、的面积分别为、，求的取值范围【答案】(1)；(2).解析：(1)由题知，动点的轨迹是以、为焦点，为长轴长的椭圆则，可得，则，所以动点的轨迹的方程为.(2)由题意，原点与直线的距离为，故，即，设直线，联立，可得，又直线与椭圆相切，所以，整理得，又与之间的距离，则，又，由，故，因为、两点位于直线两侧，故、同号，则，故即的取值范围为