2021年中考数学复习考点解密分类讨论(含解析).pdf

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1、2021年中考数学二轮复习考点解密分类讨论I、专题精讲:在数学中，我们常常需要根据研究对象性质的差异，分各种不同情况予以考查.这种分类思考的方法是一种重要的数学思想方法，同时也是一种解题策略.分类是按照数学对象的相同点和差异点，将数学对象区分为不同种类的思想方法，掌握分类的方法，领会其实质，对于加深基础知识的理解.提高分析问题、解决问题的能力是十分重要的.正确的分类必须是周全的，既不重复、也不遗漏.分类的原则：(1)分类中的每一部分是相互独立的；(2)一次分类按一个标准；(3)分类讨论应逐级进行.n、典型例题剖析【例 1】如图3 2 1,一次函数与反比例函数的图象分别是直线AB和双曲线.直线A

2、8与双曲线的一个交点为点C,CD x轴于点D,O D=2 O B=4 O A=4.求一次函数和反比例函数的解析式.解：由己知 0 0=2 0 8=4 0 4=4,得 A (0,-1),B(-2,0),D(-4,0).设一次函数解析式为ykx+b.点 A,8在一次函数图象上，J b=T，2k+b=0,即卜T，b=-i.则一次函数解析式是点 C在一次函数图象上，当x=-4 时-，y=,即 C(-4,1).设反比例函数解析式为=-.X点 C在反比例函数图象上，贝 打=里，m=-4.-4故反比例函数解析式是：y =_ S.X点拨：解决本题的关键是确定A、B、C、D的坐标。【例 2】如 图 3 2 2所

3、示，如图，在平面直角坐标系中，点 O i 的坐标为(-4,0),以点6 为圆心，8为半径的圆与 x 轴交于A、B两点，过点A作直线/与x 轴负方向相交成6 0 角。以点(1 3,5)为圆心的圆与x 轴相切于点D.(1)求直线/的解析式；(2)将。C h 以每秒1个单位的速度沿x轴向左平移,直线/也恰好与。2 第一次相切，求直线/平移的速度；(3)将0 0 2 沿 X轴向右平移，在平移的过程中与x轴相切于点E,EG为。0 2 的直径，过点A作。0 2 的切线，切。2 于另一点F,连结A O 2、F G,那么F G A 02的值是否会发生变化？如果不变，说明理由并求其值；如果变化，求其变化范围。同

4、时直线/沿X轴向右平移，当0 0 2 第一次与。2 相切时图 3-2-2图 3-2-3解（1）直线/经过点A （1 2,0）,与 y轴交于点（0,-1 2 月），设解析式为 y=k x+b,则 b=-i 2 6，k=-g,所以直线/的解析式为y=G x 1 2 G.（2）可求得。C h 第一次与。O i 相切时，向左平移了 5秒（5个单位）如图所示。在 5秒内直线/平移的距离计算：8+1 2 5=3 0-所以直线/平移的速度为每秒（6 正）个单位。3(3)提示：证明 R t Z X E F G s R t A E C h于是可得：/F=G 浅FG(其I中 O?E=；E G)O2E AO2 2所

5、以F G A O 2=_ LE G-即其值不变。2点拨：因为。0 2 不断移动的同时，直线1 也在进行着移动，而圆与圆的位置关系有：相离（外离，内含），相交、相切（外切、内切），直线和圆的位置关系有：相交、相切、相离，所以这样以来，我们在分析过程中不能忽略所有的可能情况.【例 3】如图，在矩形ABCD中，A B=3,B C=2,点 A的坐标为（1,0）,以 CD为直径，在矩形ABCD内作半圆，点M 为圆心.设过A、B两点抛物线的解析式为丫=2*2+6*+,顶点为点N.（1）求过A、C两点直线的解析式；（2）当点N在半圆M 内时，求 a 的取值范围；（3）过点A作0M的切线交BC于点F,E为切点

6、，当以点A、F,B 为顶点的三角形与以C、N、M 为顶点的三角形相似时，求点N的坐标.解：（1）过点A、c 直线的解析式为y=g x-g5 9（2）抛物线y=ax2 5 x+4 a.顶点N的坐标为（一1a）.由抛物线、半圆的轴对称可知，抛物线的顶点在过点M 且与CD垂直的直线上，又点N在半圆内，11 一；0 a 2,解这个不等式，得一9楙 a X点拨：应分三种情况：OA=OP时；OP=P时；OA=PA时，再找出这三种情况中所有符合条件的P 点.川、同步跟踪配套试题（60分45分钟）一、选 择 题（每 题 3 分，共 15分）1.若等腰三角形的一个内角为5 0 则其他两个内角为（）A.500,8

7、0 B.65,65 C.50,65 D.50,80或 65,652.若|。|=3,|。|=2,且。方,贝 1 +6=（）A.5 或一 1 B.-5 或 1;C.5 或 1 D.-5 或一 13.等腰三角形的一边长为3 c m,周长是13cm,那么这个等腰三角形的腰长是（）A.5cm B.3cm C.5cm 或 3cm D.不确定4.若。的 弦 AB所对的圆心角NAOB=60,则弦 AB所对的圆周角的度数为（）A.300 B、600 C.150 D.30或 1505.一次函数丫=13+1,当一3WxWl时，对应的y 值为lW y W 9,则 kb值 为（）A.14 B.-6 C.-4 或 21

8、D.-6 或 14二、填 空 题（每题3 分，共 15分）6.已知|x|=3,y=2,Bjcy 5 成立.4 .D 点拨：注意弦所对的圆周角与弧所对的圆周角的差别.5 .D 点拔：由题意，得 当/=3时，)=1；当 z=l 时，丁=9,所以I3 4 +6=1,I k 2 C 解 得 人 7当1=-3时，)=9.当 1=1时，？=1,所 4 +6=9.6=7.以-3&+6=9,.L,L .解得krb 1,6=3.所以励=1 4 或一6.二、6.士 1 点 按：由 函 意，知工=3,夕=4 或 JC=3,、=4.所 以 J C-y =土 1.7.1 c m绫 7cm 点 拔：分 A 6、C D在

9、点O的 同 侧 或 两 侧 两 种 情 况 讨 论.8.12cm2 4cm29.2cm 或 4cm 点按：两 圆 相 切 分 内 切 和 夕 卜 切 两 种 情 况.1 0.0或 一2 点 按：由 题 意 知。6=1，己+c=O,m=1,所以鲁+(6+c)R mz=O 或一2.三、1 1.解：设,=4工+3 与 工 轴 交 于 点 A(1-,o),与、轴 交 于 点 SCO,3)，以 SAAOB=.,-X I?I X 3=24.0 f 以|？=16.0f 以 k=士1以/|I K 1 O所以,=言工+3.或、=喘N+B.点 按：直线，=左工+3 可能与n 轴交 于 正 半 轴，也 可 能 与

10、工 轴 交 于 负 半 鼬.所 以 分 两 种 情 况.12.解:O,所以a O.因 为CLa(2-F|a|)二(弓-|a|)-+-4=l24-4=5,所 以2-H|a|=-/5.3.C 点 按：因 为 口2夕 +。2+夕+1 _ 2 a b =2a6,所 以 2 a 5+1+才+b2 -2,cib=O,所 以(czb 1)2+2=O.所 以 a b=1 9a =b,所 以 a=6=士1.所 以 a+5=2 或-2.4.B 点 拔：直 线,=4工+5与工轴、,轴的交点分别为(，。)，0,6),所 以-1-x|X|6|=5.解 得 6=士2 s6.5.A二，6.0,0)或=1)2 0 0 3(V

11、 T V 3-)=1)(A/2-V3)=8.A 点拨：因为 3 2+4+，2 6，+9 =O,所以 3 工+4+，-3y=O.所以(手把=一1 ,，二 3 代 人 CLacy 3 jr=y ,彳 导1,-3=。.匕=3.3a X (-)X 3 3x(-)=3,以 a=:9.B 点 拔：由 题 意，得(工士 1：解 得1 2 归+6=-2.1 6=0.10.C 点拔：由 题 意，得(：，=：解得=4.所 以，工2/22.1 5.(JE I)2 点按：因 为 点 尸(a +6,5)与 点 B l,3 a 6)关 于 原 点 又 寸 称，所以(：+右 J 解得(7 1 。所以N2-2 a jc-=X

12、2 2ac+1=1 3 a 6=5.(6=2./n一 3 丘 +5=O,1 6.2 点拨：设 A、E、O 所 在 直 线 为 3/=无 工+反 由 题 意，得乙 一 解,1 6 -3(k =1得C 所 以 a =N-3.当 N=1 时，、=1 3=2.所 以 k=12.I 5=3.1 7.m点拨：观 察 图 形，可 得 弓-+3+4-1 熹 1 一熹R 票 昙，Z o oZ 4 o Z b o Z o o Z o o三、1 8.解：如 答 图 3-1-2.延 长 F A、C B 交 于 点 A 1,延 长 F E、C E 交 于 点 Z.因 为 上 尸 A J3 =1 2 0 ,2 A B C

13、 =1 2 0 ,所 以 =MB A =6 0 .所 以Z M A H 是 等 边 三 角 形.所 以 A J V f=J B A 1=A B=IO ,7V f=6 0 .同 理 可 得AZ DE是等边三角形.所 以 D N =E Z =D E =4 0,Z =6 0 .所 以N M=Z.又 因 为 上 尸=-C=1 2 O,所 以 F Z MC,F Z C.所 以 四边 形 E M C Z 是 平 彳 亍 四 边 形.所 以 A4C=K 7V ,K A 1=C 7 V.所 以 M C=M B A-_ B C=10 +70 =80,C Z=C D+D Z=20+4 0=6 0.所 以 A F=

14、F M AA y=4答：李大叔去年甲、乙两种蔬菜各种植了 6 亩、4 亩【变式2】某商场用36万元购进A、B 两种商品，销售完后共获利6 万元，其进价和售价如下表：AB进 价（元/件）12001000售 价（元/件）13801200（注：获 利=售 价 一 进 价）求该商场购进A、B 两种商品各多少件;解：设购进A 的数量为x 件、购进B 的数量为y 件，依据题意列方程组1200 x+1000y=360000（1380-1200）x+（1200-1000）y=60000解得 x=200,y=120答：略类型四：列二元一次方程组解决一 一银行储蓄问题【变式2】小敏的爸爸为了给她筹备上高中的费用，

15、在银行同时用两种方式共存了 4 0 0 0 元钱.第一种,一年期整存整取，共反复存了 3 次，每次存款数都相同，这种存款银行利率为年息2.25%；第二种，三年期整存整取，这种存款银行年利率为2.7 0%.三年后同时取出共得利息3 0 3.7 5元(不计利息税)，问小敏的爸爸两种存款各存入了多少元？解：设 x 为第一种存款的方式，丫第二种方式存款，则X+Y=4000X*2.25%*3+Y*2.7%*3=303.75解得：X=1500,Y=2500答：略。类型五：列二元一次方程组解决一一生产中的配套问题【变 式 1】现 有 190张铁皮做盒子，每张铁皮做8 个盒身或22个盒底，一个盒身与两个盒底配

16、成一个完整盒子,问用多少张铁皮制盒身，多少张铁皮制盒底，可以正好制成一批完整的盒子？解：设 x 张做盒身，y 张做盒底，则有盒身8x个，盒底22y个x+y=1908x=22y/2解得 x=110,y=80即 110张做盒身，80张做盒底【变式2】某工厂有工人6 0 人，生产某种由一个螺栓套两个螺母的配套产品，每人每天生产螺栓14个或螺母20 个，应分配多少人生产螺栓，多少人生产螺母，才能使生产出的螺栓和螺母刚好配套。解：设生产螺栓的工人为x 人,生产螺母的工人为v 人x+y=6028x=20y解得 x=25,y=35答：略【变式3 一张方桌由1个桌面、4 条桌腿组成，如果1立方米木料可以做桌面

17、50 个，或做桌腿3 0 0条。现有5 立方米的木料，那么用多少立方米木料做桌面，用多少立方米木料做桌腿，做出的桌面和桌腿，恰好配成方桌？能配多少张方桌？解：设用X 立方米做桌面，用 Y 立方米做桌腿X+Y=5.(1)50X：300Y=1：4.解得：Y=2,X=5-2=3答：用 3 立方米做桌面，2 立方米的木料做桌腿。类型六：列二元一次方程组解决一一增长率问题【变式2 某城市现有人口 4 2万,估计一年后城镇人口增加0.8%,农村人口增加1.1%,这样全市人口增加1%,求这个城市的城镇人口与农村人口。解：设该城市现在的城镇人口有x 万 人，农村人口有y 万人.x+y=420.8%xX+l.l

18、%xY=42x1%解这个方程组，得：x=14,y=28答：该市现在的城镇人口有14万 人，农村人口有28万人。类型七：列二元一次方程组解决一一和差倍分问题【变 式 1】略【变 式 2】游 泳 池 中 有 一 群 小 朋 友，男 孩 戴 蓝 色 游 泳 帽，女 孩 戴 红 色 游 泳 帽。如果每位男孩看到蓝色 与 红 色 的 游 泳 帽 一 样 多，而 每 位 女 孩 看 到 蓝 色 的 游 泳 帽 比 红 色 的 多 1 倍，你知道男孩与女孩各有多少人 吗？解：设：男有X 人，女有丫人，则X-1=Y2(Y-1)=X解 得:x=4,y=3答：略类型八：列二元一次方程组解决一一数字问题【变 式 1

19、一个两位数，减去它的各位数字之和的3 倍，结果是23；这个两位数除以它的各位数字之和，商是5,余数是1,这个两位数是多少？解：设这个两位数十位数是X,个位数是y,则这个数是(10 x+y)10 x+y-3(x+y)=23(1)10 x+y=5(x+y)+1(2)由(1),(2)得7x-2y=235x-4y=1解得：x=5y=6答：这个两位数是56【变式2】一个两位数，十位上的数字比个位上的数字大5,如果把十位上的数字与个位上的数字交换位置，那么得到的新两位数比原来的两位数的一半还少9,求这个两位数？解：设个位X,十位Y,有X-Y =5(10X+Y)+(10+X)=143即X-Y =5X+Y=1

20、3解得：X=9,Y=4这个数就是49【变 式 3】某 三 位 数，中 间 数 字 为 0,其 余 两 个 数 位 上 数 字 之 和 是 9,如 果 百 位 数 字 减 1,个 位 数 字 加 L则 所 得 新 三 位 数 正 好 是 原 三 位 数 各 位 数 字 的 倒 序 排 列，求 原 三 位 数。解：设原数百位是X,个位是y 那么x+y=9x-y=1两式相加得到 2x=10=x=5=y=5-1=4所以原数是504类型九：列二元一次方程组解决浓度问题【变 式 1】要配浓度是45%的盐水12千克，现 有 10%的盐水与85%的盐水，这两种盐水各需多少？解：设 10%的 X 克，85%的

21、Y 克X+Y=12X*10%+Y*85%=12*45%BP：X+Y=12X+8.5Y=54解得：Y=5.6答：略【变 式 2】一种35%的新农药，如稀释到1.75%时，治虫最有效。用多少千克浓度为35%的农药加水多少千克，才能配成1.75%的农药800千克？解：800千 克 1.75%的农药中含纯农药的质量为800 x1.75%=14千克含 14千克纯农药的35%的农药质量为14+35%=40千克由4 0 克农药稀释为800千克农药应加水的质量为800-40=760千克答：用 40千克浓度为35%的农药添加760千克的水，才能配成浓度为1.75%的农药800千克。类型十：列二元一次方程组解决一

22、一几何问题【变式1】用长48厘米的铁丝弯成一个矩形，若将此矩形的长边剪掉3厘米，补到较短边上去，则得到一个正方形，求正方形的面积比矩形面积大多少？解：设长方形的长宽分别为x 和 y 厘米，则2(x+y)=48x-3=y+3解得：x=15，y=9正方形的面积比矩形面积大(x-3)(y+3)-xy=(15-3)(9+3)-15*9=144-135=9(cm2)答：略【变式2】一块矩形草坪的长比宽的2 倍 多 10m,它的周长是132m,则长和宽分别为多少？解：设草坪的长为XIE，宽为印，贝 4斯以宽和长分别为-p n、m .类型十一：列二元一次方程组解决一一年龄问题【变式1】今年，小李的年龄是他爷

23、爷的五分之一.小李发现，12年之后，他的年龄变成爷爷的三分之一.试求出今年小李的年龄.解：设小李X岁，爷爷丫岁，则5 X=Y3 （X+1 2）=Y+1 2两式联立解得：X=1 2 Y=6 0所以小李今年1 2 岁，爷爷今年6 0 岁。类型十二：列二元一次方程组解决一一优化方案问题：【变式】某商场计划拨款9万元从厂家购进5 0 台电视机，已知厂家生产三种不同型号的电视机，出厂价分别为：甲种每台1 5 0 0 元，乙种每台2 1 0 0 元，丙种每台2 5 0 0 元。（1）若商场同时购进其中两种不同型号的电视机5 0 台，用去9万元，请你研究一下商场的进货方案；（2）若商场销售一台甲、乙、丙电视

24、机分别可获利1 5 0 元、2 0 0 元、2 5 0 元，在以上的方案中，为使获利最多，你选择哪种进货方案？解：Q）分情况计算：设购进甲种电视机x 台，乙种电视机P台，丙种电视机z 台.x+y =50,x=251500r+2100y=90000一 解 得&=25.x+z=5O,r =35,】5OOx+2500*=90000一解得&=15 一y+z=50,x=87.5,2100y+2500z=90000一 解 得 卜=-3 7 5（不合实际，舍去）故商场进货方案为购进甲种25台和乙种25台；或购进甲种35台和丙种15台.（2）按方案（I），获利 1 5 0 x 2 5 +2 0 0 x 2 5

25、 =8 7 5 0（元）；按方案（U），获利 1 5 0 x 3 5 +2 5 0 x l5 =9 0 0 0（元）.二 选择购进甲种35台和丙种15台.三、列方程解应用题1.将一批工业最新动态信息输入管理储存网络，甲独做需6小时，乙独做需4小时，甲先做3 0 分钟，然后甲、乙一起做，则甲、乙一起做还需多少小时才能完成工作？2 .兄弟二人今年分别为1 5 岁和9岁，多少年后兄的年龄是弟的年龄的2 倍？3 .将一个装满水的内部长、宽、高分别为3 0 0 毫米，3 0 0 毫米和8 0 毫米的长方体铁盒中的水，倒入一个内径为2 0 0毫米的圆柱形水桶中，正好倒满，求圆柱形水桶的高(精确到0.1 毫

26、米，%心 3.1 4).4 .有一火车以每分钟6 0 0 米的速度要过完第一、第二两座铁桥，过第二铁桥比过第一铁桥需多5 秒，又知第二铁桥的长度比第一铁桥长度的2倍短5 0 米，试求各铁桥的长.5 .有某种三色冰淇淋5 0 克，咖啡色、红色和白色配料的比是2：3：5,这种三色冰淇淋中咖啡色、红色和白色配料分别是多少克？6 .某车间有1 6 名工人，每人每天可加工甲种零件5个或乙种零件4个.在 这 1 6 名工人中，一部分人加工甲种零件，其余的加工乙种零件.已知每加工一个甲种零件可获利1 6 元，每加工一个乙种零件可获利2 4 元.若此车间一共获 利 1 4 4 0 元，求这一天有几个工人加工甲

27、种零件.7 .某地区居民生活用电基本价格为每千瓦时0.4 0 元，若每月用电量超过a 千瓦时，则超过部分按基本电价的7 0%收费.(1)某户八月份用电8 4 千瓦时，共交电费3 0.7 2 元，求 a.(2)若该用户九月份的平均电费为0.3 6 元，则九月份共用电多少千瓦？应交电费是多少元？8 .某家电商场计划用9万元从生产厂家购进5 0 台电视机.已知该厂家生产3种不同型号的电视机，出厂价分别为A种每台1 5 0 0 元，B种每台2 1 0 0 元，C种每台2 5 0 0 元.(1)若家电商场同时购进两种不同型号的电视机共5 0 台，用去9万元，请你研究一下商场的进货方案.(2)若商场销售一

28、台A种电视机可获利1 5 0 元，销售一台B种电视机可获利2 0 0 元，销售一台C种电视机可获利 2 5 0 元，在同时购进两种不同型号的电视机方案中，为了使销售时获利最多，你选择哪种方案？答案1.解：设甲、乙一起做还需x小时才能完成工作.根据题意，得 LxL+(1 +1)x=l6 2 6 4解这个方程，得 X=11 3 八了=2小 时 1 2 分答：甲、乙一起做还需2小 时 1 2 分才能完成工作.2.解：设 x 年后，兄的年龄是弟的年龄的2倍，则 x 年后兄的年龄是1 5+x,弟的年龄是9+x.由题意，得 2 X (9+x)=1 5+x1 8+2 x=1 5+x,2 x-x=1 5-1

29、8x=-3答：3 年前兄的年龄是弟的年龄的2倍.(点拨：-3 年的意义，并不是没有意义，而是指以今年为起点前的3 年，是与3年后具有相反意义的量)3 .解：设圆柱形水桶的高为x毫米，依题意，得2 0 0、271 ()1=3 0 0 X 3 0 0 X 8 02x=2 2 9.3答：圆柱形水桶的高约为2 2 9.3 毫米.4 .解：设第一铁桥的长为x米，那么第二铁桥的长为(2 x-5 0)米，过完第一铁桥所需的时间为余 分.6 0 0过完第二铁桥所需的时间为咚三 分.依题意，可 列 出 方 程 义+丁=一 卢6 0 0 6 0 0 6 0 6 0 0解方程 x+5 0=2 x-5 0 得 x=1

30、 0 0 /.2 x-5 0=2 X 1 0 0-5 0=1 5 0答：第一铁桥长1 0 0 米，第二铁桥长1 5 0 米.5 .解：设这种三色冰淇淋中咖啡色配料为2 x 克，那么红色和白色配料分别为3 x 克和5 x 克.根据题意，得 2 x+3 x+5 x=5 0解这个方程，得 x=5 于是2 x=1 0,3 x=1 5,5 x=2 5答：这种三色冰淇淋中咖啡色、红色和臼色配料分别是1 0 克，1 5 克和2 5 克.6 .解：设这一天有x名工人加工甲种零件，则这天加工甲种零件有5 x 个，乙种零件有4 (1 6-x)个.根据题意，得 1 6 X 5 x+2 4 X 4 (1 6-x)=1

31、 4 4 0解得x=6 答：这一天有6名工人加工甲种零件.7.解：(1)由题意，得 0.4 a+(8 4-a)X 0.4 0 X 70%=3 0.72 解得 a=6 0(2)设九月份共用电x 千瓦时，则 0.4 0 X 6 0+(x-6 0)X 0.4 0 X 70%=0.3 6 x 解得x=9 0所以0.3 6 X 9 0=3 2.4 0 (元)答：九月份共用电9 0 千瓦时，应交电费3 2.4 0 元.8 .解：按购A,B两种，B,C两种，A,C两种电视机这三种方案分别计算，设购A种电视机x台，则 B种电视机y 台.(1)当选购A,B两种电视机时，B种电视机购(5 0-x)台，可得方程1

32、5 0 0 x+2 1 0 0 (5 0-x)=9 0 0 0 0 即 5 x+7(5 0-x)=3 0 0 2 x=5 0 x=2 5 5 0-x=2 5当选购A,C两种电视机时，C种电视机购(5 0-x)台，可得方程 1 5 0 0 x+2 5 0 0 (5 0-x)=9 0 0 0 0 3 x+5 (5 0-x)=1 8 0 0 x=3 5 5 0-x=1 5当购B,C两种电视机时，C种电视机为(5 0-y)台.可得方程2 1 0 0 y+2 5 0 0 (5 0-y)=9 0 0 0 02 1 y+2 5 (5 0-y)=9 0 0,4 y=3 5 0,不合题意由此可选择两种方案：一是购A,B两种电视机2 5 台；二是购A种电视机3 5 台，C种电视机1 5 台.(2)若 选 择(1)中的方案，可获利 1 5 0 X 2 5+2 5 0 X 1 5=8 75 0 (元)若 选 择(1)中的方案，可获利1 5 0 X 3 5+2 5 0 X 1 5=9 0 0 0 (元)9 0 0 0 8 75 0 故为了获利最多，选择第二种方案.