2021年中考数学复习考点解密开放探索性问题(含解析).pdf

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1、2021年中考数学二轮复习考点解密开放探索性问题第 一 部 分 讲 解 部 分一、专题诠释开放探究型问题，可分为开放型问题和探究型问题两类.开放型问题是相对于有明确条件和明确结论的封闭型问题而言的，它是条件或结论给定不完全、答案不唯一的一类问题.这类试题已成为近年中考的热点，重在考查同学们分析、探索能力以及思维的发散性，但难度适中.根据其特征大致可分为：条件开放型、结论开放型、方法开放型和编制开放型等四类.探究型问题是指命题中缺少一定的条件或无明确的结论，需要经过推断，补充并加以证明的一类问题.根据其特征大致可分为：条件探究型、结论探究型、规律探究型和存在性探究型等四类.二 解题策略与解法精讲

2、由于开放探究型试题的知识覆盖面较大，综合性较强，灵活选择方法的要求较高，再加上题意新颖，构思精巧，具有相当的深度和难度，所以要求同学们在复习时，首先对于基础知识一定要复习全面，并力求扎实牢靠；其次是要加强对解答这类试题的练习，注意各知识点之间的因果联系，选择合适的解题途径完成最后的解答.由于题型新颖、综合性强、结构独特等，此类问题的一般解题思路并无固定模式或套路，但是可以从以下儿个角度考虑：i .利用特殊值（特殊点、特殊数量、特殊线段、特殊位置等）进行归纳、概括，从特殊到一般，从而得出规律.2.反演推理法（反证法），即假设结论成立,根据假设进行推理，看是推导出矛盾还是能与已知条件一致.3.分类

3、讨论法.当命题的题设和结论不惟一确定，难以统一解答时，则需要按可能出现的情况做到既不重复也不遗漏，分门别类加以讨论求解，将不同结论综合归纳得出正确结果.4.类比猜想法.即由一个问题的结论或解决方法类比猜想出另一个类似问题的结论或解决方法，并加以严密的论证.以上所述并不能全面概括此类命题的解题策略，因而具体操作时，应更注重数学思想方法的综合运用.三、考点精讲（一）开放型问题考点一：条件开放型：条件开放题是指结论给定，条件未知或不全，需探求与结论相对应的条件.解这种开放问题的一般思路是：由已知的结论反思题目应具备怎样的条件，即从题目的结论出发，逆向追索，逐步探求.例 1：（2020江苏淮安）在四边

4、形4BCO中，AB=DC,AD=BC.请再添加一个条件，使四边形ABCD是 矩 形.你 添 加 的 条 件 是.（写出一种即可）分析：已知两组对边相等，如果其对角线相等可得到 ABD丝ZXABC也A D C gZiB C D,进而得到，N A=N B=/C=/D=90。，使四边形ABCD是矩形.解：若四边形ABCD的对角线相等，贝 I 由 AB=DC,AD=BC 可得.ABDAABCADCABCD,所以四边形ABCD的四个内角相等分别等于90。即直角，所以四边形ABCD是矩形，故答案为：对角线相等.评注：此题属开放型题，考查的是矩形的判定，根据矩形的判定，关键是是要得到四个内角相等即直角.考点

5、二：结论开放型：给出问题的条件，让解题者根据条件探索相应的结论并且符合条件的结论往往呈现多样性，这些问题都是结论开放问题.这类问题的解题思路是：充分利用已知条件或图形特征，进行猜想、类比、联想、归纳，透彻分析出给定条件下可能存在的结论，然后经过论证作出取舍.例 2：（2020天津）已知一次函数的图象经过点（0,1）,且满足y 随 x 的增大而增大，则该一次函数的解析式可以为.分析：先设出一次函数的解析式，再根据一次函数的图象经过点（0,1）可确定出b的值，再根据），随x 的增大而增大确定出k的符号即可.解：设一次函数的解析式为：y=kx+b（A/0）,.一次函数的图象经过点（0,1）,.b-随

6、 x 的增大而增大，故答案为y=x+l（答案不唯一，可以是形如），=丘+1,0 的一次函数）.评注：本题考查的是一次函数的性质，即一次函数产fcc+b（以0）中，左 0,y 随 x 的增大而增大，与 y 轴 交 于（0,b）,当。0 时，（0,b）在 y 轴的正半轴上.考点三：条件和结论都开放的问题：此类问题没有明确的条件和结论，并且符合条件的结论具有多样性，因此必须认真观察与思考，将已知的信息集中分析，挖掘问题成立的条件或特定条件下的结论，多方面、多角度、多层次探索条件和结论，并进行证明或判断.例 3：（2010玉溪）如图，在平行四边形ABCD中，E 是 A D 的中点，请添加适当条件后，构

7、造出一对全等的三角形，并说明理由.分析：先连接B E,再过D 作 DFBE交 BC于 E 可构造全等三角形4A B E 和4C D F.利用 ABCD是平行四边形，可得出两个条件，再结合DEBF,BED F,又可得一个平行四边形，那么利用其性质，可 得 DE=BF,结 合 AD=BC,等量减等量差相等，可 证 AE=CF,利用SAS可证三角形全等.解：添加的条件是连接B E,过 D 作 DFBE交 BC于点F,构造的全等三角形是4ABE与A C D F.理由：；平行四边形ABCD,AE=ED,.在4ABE 与4CDF 中，AB=CD,ZEAB=ZFCD,又；DEBF,DFBE,四边形BFDE是

8、平行四边形，DE=BF,又 AD=BC,AAD-DE=BC-BF,即 AE=CF,.,.ABE丝Z C D F.（答案不唯一，也可增加其它条件）评注：本题利用了平行四边形的性质和判定、全等三角形的判定、以及等量减等量差相等等知识.考点四：编制开放型：此类问题是指条件、结论、解题方法都不全或未知，而仅提供一种问题情境，需要我们补充条件，设计结论，寻求解法的一类题，它更具有开放性.例 4：（2010年江苏盐城中考题）某校九年级两个班各为玉树地震灾区捐款1800元.已知 2 班 比 1班人均捐款多4 元，2 班的人数比1班的人数少10%.请你根据上述信息，就这两个班级的“人数”或“人均捐款”提出一个

9、用分式方程解决的问题，并写出解题过程.分析：本题的等量关系是：两班捐款数之和为1800元；2 班捐款数-1 班捐款数=4元；1班人数=2班人数X 90%,从而提问解答即可.解：解法一：求两个班人均捐款各多少元？设 1班人均捐款x 元，则 2 班人均捐款（x+4）元，根据题意得出 2 8%笔x x+4解得A36经检验后3 6 是原方程的根.-.x+4=4 0答：1 班人均捐3 6 元，2班人均捐4 0 元解法二：求两个班人数各多少人？设 1 班有x人，则根据题意得1 8 0 0 1 8 0 0-+4-90A%解得x=5 0 ,经检验x=5 0 是原方程的根A 9 0%=4 5答：1 班有5 0

10、人，2 班有4 5 人.评注：对于此类编制开放型问题，是一类新型的开放型问题，它要求学生的思维较发散,写出符合题意的正确答案即可，难度要求不大，但学生容易犯想当然的错误，叙述不够准确,如单位的问题、符合实际等要求，在解题中应该注意防范.(-)探究型问题考点五：动态探索型：此类问题结论明确，而需探究发现使结论成立的条件的题目.例 5：(2 0 2 0 临沂)如图1,将三角板放在正方形ABCD上，使三角板的直角顶点E与正方形ABCD的顶点A重合，三角扳的一边交CD于点F.另一边交CB的延长线于点G.(2)如图2,移动三角板，使顶点E始终在正方形ABCD的对角线AC上，其他条件不变,(1)中的结论是

11、否仍然成立？若成立，请给予证明：若不成立.请说明理由：(3)如图3,将(2)中的“正方形A B C D”改为“矩形A B C D”，且使三角板的一边经过点B,其他条件不变，若 AB=a、B C=b,求一的值.EG分析：(1)由 NGEB+NBEF=90。，NDEF+NBEF=90。，可得ND EF=NG EB,又由正方形的性质，可利用SAS证得RtaFED丝RtZXGEB,则问题得证；(2)首先点E 分别作BC、C D 的垂线，垂足分别为H、I,然后利用SAS证得RtFEIR tA G E H,则问题得证；(3)首先过点E 分别作BC、C D 的垂线，垂足分别为M、N,易证得EMAB,ENA

12、D,则可证得CEN saCA D,A C E M-A C A B,又由有两角对应相等的三角形相似，证得GMES F N E,根据相似三角形的对应边成比例，即可求得答案.解：(1)证明：VZGEB+ZBEF=90,ZDEF+ZBEF=90,二 NDEF=NGEB,又,.,ED=BE,；.EF=EG；(2)成立.证明：如图，过点E 分别作BC、C D 的垂线，垂足分别为H、I,则 E=7,ZHEI=90,：NGEH+NHEF=90,ZIEF+/H E 尸=90,NIEF=NGEH,ARtAFEIRtAGEH,；.EF=EG；(3)解：如图，过点E 分别作BC、C D 的垂线，垂足分别为M、N,则

13、NMEN=90。，；.EMAB,ENAD.,.CENACAD,ACEMACAB,.NE CE EM CE A D C A AB C A：.NE=-E-M-,即an-N-E-=AD=一b，AD AB EM AB aZIEF+ZFEM=ZGEM+ZFEM=90,.,.ZGEM=ZFEN,VZGME=ZFNE=90,/.GMEAFNE,.EF EN EG EM,EF _ bE G a评注：此题考查了正方形，矩形的性质，以及全等三角形与相似三角形的判定与性质.此题综合性较强，注意数形结合思想的应用.考点六：结论探究型：此类问题给定条件但无明确结论或结论不惟一，而需探索发现与之相应的结论的题目.例 6：

14、（2020福建省三明市）在矩形ABC。中，点 P 在 AO上，AB=2,A P=l.将直角尺的顶点放在P 处，直角尺的两边分别交4B,B C 于点、E,F,连接EF（如图）.（1）当点E 与点B 重合时，点尸恰好与点C 重 合（如图），求尸C 的长；（2）探究：将直尺从图中的位置开始，绕点P 顺时针旋转，当点E 和点A 重合时停止.在这个过程中，请你观察、猜想，并解答：tan/P E F 的值是否发生变化？请说明理由；直接写出从开始到停止，线段E F的中点经过的路线长.分析：（1）由勾股定理求P 8,利 用 互 余 关 系 证 明 利 用 相 似 比 求 PC；（2）tan/PE 尸的值不变.

15、过F 作尸G_LA。，垂足为G,同（1）的 方 法 证 明 8 s ）（下,PF GF 2得 相 似 比 一=-=-=2,再利用锐角三角函数的定义求值；PE AP 1（3）如图3,画出起始位置和终点位置时，线 段 所 的 中 点 01,0 2,连 接。1。2,线段。1。2即为线段E F 的中点经过的路线长，也就是aB P C 的中位线.解：（1）在矩形 中，/A=/=90。，AP=1,CD=AB=2,贝 ij PB=V?,，ZABP+ZAPB=90,又；NBPC=90,ZAPB+ZDPC=90,二 /ABP=NDPC,：.APB sD C P,.AP _ P B V5.-=-即 -,CD PC

16、 2 PC；.PC=2 6(2)tanNPEF的值不变.理由：过尸作FG_LA,垂足为G,则四边形ABFG是矩形，NA=ZPFG=90,GF=AB=2,二 ZAEP+ZAPE=90,又：NEPF=90,/4 P E+/G P 尸 =90,NAEP=NGPF,：.AAPEAG PF,PF GF 2-=-=2,PE AP 1.RtEPF 中，tan ZPEF=2,PE.tan/PEF的值不变;（3）线段EF的中点经过的路线长为6.评注：本题考查了相似三角形的判定与性质，矩形的性质，解直角三角形.关键是利用互余关系证明相似三角形.考点七：规律探究型：规律探索问题是指由几个具体结论通过类比、猜想、推理

17、等一系列的数学思维过程，来探求一般性结论的问题，解决这类问题的一般思路是通过对所给的具体的结论进行全面、细致的观察、分析、比较，从中发现其变化的规律，并猜想出一般性的结论，然后再给出合理的证明或加以运用.例 7：（2020 四 川 成 都）设 S|=l+产+,S2 1+-+,$3=1+孕 +不s“=i+品7设5=+店+.+疯，则5=（用 含”的代数式表示，其中 为正整数）.分析：由0,1 2(n+l)2+(n+l)2+n2 n(n+l)2+2n2+2n+l /J(/?+1)+1 2 分3=H-=-,n2 2(+I)2 H(H+1)2+后,得出一般规律.解:。,1 n2(n +l)2+(n +l

18、)2+n2 n(n +l)2+2n2+2 n +l (+1)+1 2n2“2(+)2 n(+l)2 n(n +l)2k _ (+1)+1 n n(n+l)1 +1n n+1c ,I ,1 1 ,1 1，S =l+1 +1 +-+-+1 +-2 2 3 n n +1,1=+1-n+1(H+1)2-1 n2+2nn+n+故答案为:n2+Inn+1评注：本题考查了二次根式的化简求值.关键是由S,变形，得出一般规律，寻找抵消规律.考点八：存在探索型：此类问题在一定的条件下，需探究发现某种数学关系是否存在的题目.例 8：(2 0 2 0 辽宁大连)如图15,抛物线旷=加+以+。经过A (-1,0)、B(

19、3,0)、C(0,3)三点，对称轴与抛物线相交于点P、与直线8c相 交 于 点 连 接 P a(1)求该抛物线的解析式；(2)抛物线上是否存在一点Q,使 Q M 8 与 P M B 的面积相等，若存在，求点Q的坐标；若不存在，说明理由；(3)在第一象限、对称轴右侧的抛物线上是否存在一点R,使ARPM 与R A/B 的面积相等,若存在，直接写出点R的坐标；若不存在，说明理由.分析：（1）利用待定系数法求解；（2）若想求。点坐标，Q到M B的距离应该等于P到M B的距离，所以。点应该在经过P点且平行于B M的直线上，或 者 在 这 条 直 线 关 于 对 称的直线上，因此，求出这两条直线的解析式，

20、其与抛物线的交点即为所求Q点；（3）设 出R点坐标，分 别 用 其 横 坐 标 表 示 出 与 的 面 积，利用相等列出方程即可求出/?点坐标.解：y=2+2x+3(2)y =-(x-D2+4 ：.P(1,4)B C：y=-x+3,M(1,2)P(1,4)；P B：y=-2x+6,当 P Q /BC 时：设 PQi:y=x+b(1,4)在直线 P Q 上 4 =-l+分；b=5PQ：y =-x +5y =-x +5y=-x +2 x +3解得*=1,=4x2=2%=3Q i ：(2,3)；将P Q向下平移4个单位得到y=-x+ly=-x +ly=-x2+2 x +3-1-后)2(3)存 在，设

21、R的坐标 为(x,-x2+2 x +3)P(1,4),M(1,2)P M=4 2=2SM便=g x 2 x(x-l)=x-lR N =(-x1+2 x +3)-(-x +3)=-x2+3 xS N便=-x2x(x l)=x 1x 1 =x2+3 x 解得 X =y2+1,x2=,.当 X =V +1 时，=-(1+7 2-I)2+4 =2：.R(V 2 +1,2)（舍）评注：求面积相等问题通常是利用过顶点的平行线完成；在表示面积问题时，对于边不在特殊线上的通常要分割.四、真题演练1.（2020山东潍坊）一个y关于x的函数同时满足两个条件：图象过（2,1）点；当x 0时.y随x的增大而减小，这个

22、函数解析式为（写出一个即可）2.（2020山西）如图，四边形ABCO是平行四边形，添加二个条件：_，可使它成为矩形.（第14题）3.（2020泰州）一根弹簧原长10cm,在弹性限度内最多可挂质量为5kg的物体，挂上物体后弹簧伸长的长度与所挂物体的质量成正比，则弹簧的总长度y（cm）与所挂物体质量x（kg）之间的函数关系式为y=10+0.5x（0 xM=CM OM=ON,M N是（%：的中位线，中任选一个添加条件（或添加一个你认为更满意的其他条件），使四边形ABMW为等腰梯形，你添加的条件是.（2）添加条件后，请证明四边形A8NM是等腰梯形.DC第二部分练习部分1.（2020贺州）写出一个正比例

23、函数，使其图象经过第二、四象限：y=-x（答案不唯一）.分析：先设出此正比例函数的解析式，再根据正比例函数的图象经过二、四象限确定出k 的符号，再写出符合条件的正比例函数即可.解答：解:2.（2020湖南张家界）在AABC 中，AB=8,A C=6,在4DEF 中，DE=4,D F=3,要使AABC与4D E F 相似，则 需 添 加 的 一 个 条 件 是 （写出一种情况即可）.分析：解答：解：则需添加的一个条件是：BC：EF=2：1.在AABC 中，AB=8,A C=6,在aDEF 中，DE=4,DF=3,A AB：DE=2：1,AC：DF=2：1,VBC：EF=2：1.,.ABCADEF

24、.故答案为：.3.（2010江苏连云港中考题）若关于尤的方程f -，内+3=0 有实数根，则m的值可以为.（任意给出一个符合条件的值即可）4.（2020广东湛江）如图，点 B,C,F,E 在同直线上，Z1=Z 2,BC=EF,Z1(填“是”或“不是”)Z2的对顶角，要使 A B C Z Z X D E F,还需添加一个条件，可以是(只需写出一个)A5.(2 0 2 0 福建省漳州市，1 9,8 分)如图，N B=N D,请在不增加辅助线的情况下，添加一个适当的条件，使 A B C W Z V 1 O E,并证明.(1)添加的条件是；(2)证明：6.(2 0 1 0 浙江杭州中考题)给出下列命题

25、：命 题 1.点(1,1)是直线y =x与双曲线y =上的一个交点；X命题2.点(2,4)是直线y =2 x 与双曲线y =的一个交点；X命题3.点(3,9)是直线y =3 x 与双曲线y =2 的一个交点;X(1)请观察上面命题，猜想出命题(是正整数)；(2)证明你猜想的命题是正确的.7.（2 0 2 0德州）观察计算当a=5,b=3时，竺2与 病 的 大 小 关 系 是 竺 女 2 2 当a=4,b=4时，+.与石 的 大 小 关 系 是:二J不.2 2如图所示，A A B C为圆O的内接三角形，AB为直径，过C作C D 1 A B于D,设A D=a,B D=b.（1）分别用a,b表示线段

26、O C,C D；（2）探求OC与CD表达式之间存在的关系（用含a,b的式子表示）.归纳结论根据上面的观察计算、探究证明，你 能 得 出 竺2与 疝 的 大 小 关 系 是：-4 a b.2 2 实践应用要制作面积为1平方米的长方形镜框，直接利用探究得出的结论，求出镜框周长的最小值.8.（2 0 2 0浙江绍兴）数学课上，李老师出示了如下框中的题目.在等边三角形A B C中，点E在A B上，点D在CB的延长线上，且E D=E C,如图.试确定线段A E与DB的大小关系，并说明理由.小敏与同桌小聪讨论后，进行了如下解答:（1）特殊情况探索结论当点E为AB的中点时，如 图1,确定线段AE与 的DB大

27、小关系.请你直接写出结论：A E=D B （填“”，“”，或 理 由 如 下：如图2,过点E 作 EFB C,交 AC于点F,（请你完成以下解答过程）（3）拓展结论，设计新题在等边三角形ABC中，点 E 在直线A B 上，点 D 在直线BC上，且 ED=EC.若AABC 的边长 为 1,AE=2,求 CD的 长（请你直接写出结果）.“真题演练”参考答案支1【分析】本题的函数没有指定是什么具体的函数，可以从一次函数，反比例函数，二次函数三方面考虑，只要符合条件即可.2【答案】符合题意的函数解析式可以是丫=一，y=-x+3,y=-x2+5等，（本题答案不唯一）x2故答案为：y=y=-x+3,y=-

28、x?+5 等.x2.【分析】：由有一个角是直角的平行四边形是矩形.想到添加NABC=90。；由对角线相等的平行四边形是矩形.想到添加【答案】NA8C=90。（或等）3.解：根据弹簧的总长度y（cm）与所挂物体质量x（kg）之间的函数关系式为y=10+0.5x（0 x5）可以得到：当 x=l时，弹簧总长为10.5cm,当 x=2时，弹簧总长为11cm,.，每增加1千克重物弹簧伸长0.5 c m,故答案为：每增加1千克重物弹簧伸长0.5 c m.4.解：(1)选择D M=C N；(2)证明：AD=BC,N A D M=N B C N,D M=C N：.A A N D q/XBCN,；.A M=B

29、N,由 O D=O C 知 OM=ON,.OM ONODOC：.MN/CD/AB,MN/AB四边形A B N M是等腰梯形.“练习部分”参考答案十1.【分析】设此正比例函数的解析式为y=k x （k#0）,.此正比例函数的图象经过二、四象限，r.k Jab,-ab.2 2探究证明：（1）V AB=AD+BD=2 OC,TA B 为。O 直径，AZ AC B=9 0.V Z A+Z AC D=9 0,Z AC D+Z BC D=9 0,A Z A=Z B C D.,.AC D AC BD.（4 分）.AD CDCDBD即 C D2=AD BD=a b,.,.CD=4ab.(5 分)(2)当 a=

30、b 时，OC=CD,空=2,a+h fra处 时，OCCD,yjah.结论归纳：+2 .2实践应用设 长 方 形 一 边 长 为 X 米，则 另 一 边 长 为 1 米，设 镜 框 周 长 为 1 米，则XI=2(x+)4 Jx =4.x V x当 户 L,即 x=i(米)时，镜框周长最小.X此时四边形为正方形时，周长最小为4 米.B8.解：故 答 案 为:=.(2)故答案为：=.证明：在等边AABC 中，Z ABC=ZACB=ZBAC=60,AB=BC=AC,EFBC,J ZAEF=ZAFE=60=ZBAC,AE=AF=EF,AAB-AE=AC-AF,即 BE二 CF,ZABC=ZEDB+Z

31、BED=60,ZACB=ZECB+ZFCE=60,VED=EC,，NEDB=NECB,.,.ZBED=ZFCE,.,.DBEAEFC,，DB=EF,；.AE=BD.(3)答：CD的长是1 或 3.1 .列一元一次方程解应用题的一般步骤（1）审题：弄清题意.（2）找出等量关系：找出能够表示本题含义的相等关系.（3）设出未知数，列出方程：设出未知数后，表示出有关的含字母的式子，然后利用已找出的等量关系列出方程.（4）解方程：解所列的方程，求出未知数的值.（5）检验，写答案：检验所求出的未知数的值是否是方程的解，是否符合实际，检验后写出答案.2.和差倍分问题：增长量=原有量X增长率 现在量=原有量+

32、增长量3.等积变形问题：常见几何图形的面积、体积、周长计算公式，依据形虽变，但体积不变.圆柱体的体积公式 v=底面积X 高=s h=-r2h长方体的体积 V=长X 宽X 高=2 n4 .数字问题一般可设个位数字为a,十位数字为b,百位数字为c.十位数可表示为1 0b+a,百位数可表示为1 00c+1 0b+a.然后抓住数字间或新数、原数之间的关系找等量关系列方程.5.市场经济问题（1）商品利润=商品售价一商品成本价（2）商 品 利 润 率=给 曾 缥商品成本价X 1 00%（3）商品销售额=商品销售价X 商品销售量（4）商品的销售利润=（销售价一成本价）义销售量（5）商品打几折出售，就是按原标

33、价的百分之几十出售，如商品打8折出售，即按原标价的8 0%出售.6 .行程问题：路程=速度X时间 时间=路程+速度 速度=路程 时间（1）相遇问题：快行距+慢行距=原距（2）追及问题：快行距一慢行距=原距（3）航行问题：顺 水（风）速度=静 水（风）速度+水 流（风）速度逆 水（风）速度=静 水（风）速度一水流（风）速度抓住两码头间距离不变，水流速和船速(静不速)不变的特点考虑相等关系.7.工程问题：工作量=工 作效率X 工作时间完成某项任务的各工作量的和=总 工作量=18.储蓄问题利润=每 个 期 的 利 息义100%利息=本金X 利率X 期数本金实际问题与二元一次方程组题型归纳(练习题答案

34、)类型一：列二元一次方程组解决一一行程问题【变式1】甲、乙两人相距3 6 千米，相向而行，如果甲比乙先走2 小时，那么他们在乙出发2.5 小时后相遇；如果乙比甲先走2 小时，那么他们在甲出发3小时后相遇，甲、乙两人每小时各走多少千米？解：设甲，乙速度分别为x,y 千米/时，依题意得：(2.5+2)x+2.5y=363x+(3+2)y=36解得：x=6 y=3.6答：甲的速度是6 千米/每小时，乙的速度是3.6千米/每小时。【变式2】两地相距2 8 0 千米，一艘船在其间航行，顺流用1 4 小时，逆流用2 0 小时，求船在静水中的速度和水流速度。解：设这艘轮船在静水中的速度x 千米/小时，则水流

35、速度y 千米/小时，有：20(x-y)=28014(x+y)=280解得：x=17,y=3答:这艘轮船在静水中的速度17千米/小时、水流速度3 千米/小时，类型二：列二元一次方程组解决一一工程问题【变式】小明家准备装修一套新住房，若甲、乙两个装饰公司合作6 周完成需工钱5.2 万元；若甲公司单独做4 周后，剩下的由乙公司来做，还需9 周完成，需工钱4.8 万元.若只选一个公司单独完成，从节约开支的角度考虑，小明家应选甲公司还是乙公司？请你说明理由.解：设甲、乙两公司每周完成工程的X 和y,则 1 X =/+/=6 得,1 0 故周）11 工=15周“c,1 10 154x+9=l y=即甲、乙

36、完成这项工程分别需10周，15周又设需付甲、乙每周的工钱分别为3 元，b万元则_36a+6&=5.2/B a 5 n,（10a=6（万元）得,此时|_4a+96=48 8 _ 4 1158=4 兀）15比较知，从节约开支角度考虑，选乙公司划算类型三：列二元一次方程组解决一一商品销售利润问题【变式1 （2 0 1 1 湖南衡阳）李大叔去年承包了 1 0 亩地种植甲、乙两种蔬菜，共获利1 8 0 0 0 元，其中甲种蔬菜每亩获利2 0 0 0 元，乙种蔬菜每亩获利1 5 0 0 元，李大叔去年甲、乙两种蔬菜各种植了多少亩？解：设甲、乙两种蔬菜各种植了 x、y 亩，依题意得：x+y=102000 x

37、+1500y=18000解得：x=6,y=4答：李大叔去年甲、乙两种蔬菜各种植了 6 亩、4 亩【变式2】某商场用36万元购进A、B两种商品，销售完后共获利6 万元，其进价和售价如下表：AB进 价（元/件）12001000售 价（元/件）13801200（注：获 利=售 价 一 进 价）求该商场购进A、B两种商品各多少件;解：设购进A 的数量为x 件、购进B 的数量为y 件，依据题意列方程组1200 x+1000y=360000（1380-1200）x+（1200-1000）y=60000解得x=200,y=120答：略类型四：列二元一次方程组解决一一银行储蓄问题【变 式2】小敏的爸爸为了给她

38、筹备上高中的费用，在银行同时用两种方式共存了 4 0 0 0元钱.第一种，一年期整存整取，共反复存了 3次，每次存款数都相同，这种存款银行利率为年息2.2 5%；第二种，三年期整存整取，这种存款银行年利率为2.7 0%.三年后同时取出共得利息3 0 3.7 5元（不计利息税），问小敏的爸爸两种存款各存入了多少元？解：设 x 为第一种存款的方式，丫第二种方式存款，则X+Y=4000X*2.25%*3+Y*2.7%*3=303.75解得：X=1500,丫 =2500。答：略。类型五：列二元一次方程组解决一一生产中的配套问题【变 式 1】现 有 190张铁皮做盒子，每张铁皮做8 个盒身或22个盒底，

39、一个盒身与两个盒底配成一个完整盒子，问用多少张铁皮制盒身，多少张铁皮制盒底，可以正好制成一批完整的盒子？解：设 x 张做盒身，y 张做盒底，则有盒身8x个，盒底22y个x+y=1908x=22y/2解得 x=110,y=80即 110张做盒身，80张做盒底【变 式2】某工厂有工人6 0人，生产某种由一个螺栓套两个螺母的配套产品，每人每天生产螺栓1 4个或螺母20个，应分配多少人生产螺栓，多少人生产螺母,才能使生产出的螺栓和螺母刚好配套。解：设生产螺栓的工人为x 人,生产蟋生的工人为y 人x+y=6028x=20y解得 x=25,y=35答：略【变 式3】一张方桌由1个桌面、4条桌腿组成，如 果

40、1立方米木料可以做桌面5 0个，或做桌腿3 0 0条。现 有5立方米的木料，那么用多少立方米木料做桌面,用多少立方米木料做桌腿，做出的桌面和桌腿，恰好配成方桌？能配多少张方桌？解：设用X 立方米做桌面，用 Y 立方米做桌腿X+Y=5.(1)50X：300Y=1：4.(2)解得：Y=2,X=5-2=3答：用 3 立方米做桌面，2 立方米的木料做桌腿。类型六：列二元一次方程组解决一一增长率问题【变式2】某城市现有人口 4 2万，估计一年后城镇人口增加0.8%,农村人口增加1.1%,这样全市人口增加1%,求这个城市的城镇人口与农村人口。解：设该城市现在的城镇人口有x 万 人，农村人口有y 万人。x+

41、y=420.8%XX+1.1%XY=42X1%解这个方程组，得：x=14,y=28答：该市现在的城镇人口有14万 人，农村人口有28万人。类型七：列二元一次方程组解决一一和差倍分问题【变 式 1】略【变式2】游泳池中有一群小朋友，男孩戴蓝色游泳帽，女孩戴红色游泳帽。如果每位男孩看到蓝色与红色的游泳帽一样多，而每位女孩看到蓝色的游泳帽比红色的多1倍，你知道男孩与女孩各有多少人吗？解：设：男有X 人，女有Y 人，则X-1=Y2(Y-1)=X解得：x=4,y=3答：略类型八：列二元一次方程组解决一一数字问题【变 式 1】一个两位数，减去它的各位数字之和的3 倍，结果是23；这个两位数除以它的各位数字

42、之和，商是5,余数是1,这个两位数是多少？解：设这个两位数十位数是x,个位数是y,则这个数是(10 x+y)10 x+y-3(x+y)=23(1)10 x+y=5(x+y)+1(2)由(1),(2)得7x-2y=235x-4y=1解得：x=5y=6答：这个两位数是56【变式2】一个两位数，十位上的数字比个位上的数字大5,如果把十位上的数字与个位上的数字交换位置，那么得到的新两位数比原来的两位数的一半还少9,求这个两位数？解：设个位X,十位Y,有X-Y =5(10X+Y)+(10+X)=143即X-Y =5X+Y=13解得：X=9,Y=4这个数就是49【变式3】某三位数，中间数字为0,其余两个数

43、位上数字之和是9,如果百位数字减L个位数字加L则所得新三位数正好是原三位数各位数字的倒序排列，求原三位数。解：设原数百位是x,个位是y 那么x+y=9x-y=1两式相加得到 2x=10=x=5=y=5-1=4所以原数是504类型九：列二元一次方程组解决一一浓度问题【变 式 1】要配浓度是45%的盐水12千克，现 有 10%的盐水与85%的盐水，这两种盐水各需多少？解：设 10%的 X 克，85%的丫克X+Y=12X*10%+Y*85%=12*45%即：X+Y=12X+8.5Y=54解得：Y=5.6答：略【变 式 2】一 种 35%的新农药，如稀释到1.75%时，治虫最有效。用多少千克浓度为35

44、%的农药加水多少千克，才能配成1.75%的农药800千克？解：800千 克 1.75%的农药中含纯农药的质量为800 x1.75%=14千克含 14千克纯农药的35%的农药质量为14+35%=40千克由40千克农药稀释为800千克农药应加水的质量为800-40=760千克答：用 4 0 千克浓度为35%的农药添加760千克的水，才能配成浓度为1.75%的农药800千克。类型十：列二元一次方程组解决一一几何问题【变式1】用长48厘米的铁丝弯成一个矩形，若将此矩形的长边剪掉3厘米，补到较短边上去，则得到一个正方形，求正方形的面积比矩形面积大多少？解：设长方形的长宽分别为x 和 y 厘米，则2(x+

45、y)=48x-3=y+3解得：x=15,y=9正方形的面积比矩形面积大(x-3)(y+3)-xy=(15-3)(9+3)-15*9=144-135=9(cm2)答：略【变式2】一块矩形草坪的长比宽的2 倍 多 10m,它的周长是132m,则长和宽分别为多少？解：设草坪的长为xm，宽为”，则(2 j+1 0=x y=y所以宽和长分别为茎m、.类型十一：列二元一次方程组解决一一年龄问题【变式1】今年，小李的年龄是他爷爷的五分之一.小李发现，12年之后，他的年龄变成爷爷的三分之一.试求出今年小李的年龄.解：设小李X 岁，爷爷Y 岁，则5X=Y3(X+12)=Y+12两式联立解得：X=12 Y=60所

46、以小李今年12岁，爷爷今年60岁。类型十二：列二元一次方程组解决一一优化方案问题:【变式】某商场计划拨款9万元从厂家购进5 0 台电视机，已知厂家生产三种不同型号的电视机，出厂价分别为：甲种每台1 5 0 0 元，乙种每台21 0 0 元，丙种每台25 0 0 元。（D若商场同时购进其中两种不同型号的电视机5 0 台，用 去 9万元，请你研究一下商场的进货方案；（2）若商场销售一台甲、乙、丙电视机分别可获利1 5 0 元、20 0 元、25 0 元，在以上的方案中，为使获利最多，你选择哪种进货方案？解：Q）分情况计算：设购进甲种电视机x 台，乙 种 电 视 机 台，丙种电视机z 台.x+y=5

47、0,x=25（I ）购进甲、乙两种电视机上00*2 100y=90000解得1”及x+z=5O,x=35,15OOx+25OOy=90000一解得&=15一y z=50,x=87.5,2 1 0 0 2500z=90000.解得 jr=-3 7 5（不合实际，舍去）故商场进货方案为购进甲种25台和乙种25台；或购进甲种35台和丙种15台.（2）按方案（I），获利 1 5 0 x 2 5 +2 0 0 x 2 5 =8 7 5 0（元）；按方案（口），获利 1 5 0 x 3 5 +2 5 0 x l5 =9 0 0 0（元）.选择购进甲种35台和丙种15台.三、列方程解应用题1.将一批工业最新

48、动态信息输入管理储存网络，甲独做需6小时，乙独做需4小时，甲先做 3 0 分钟，然后甲、乙一起做，则甲、乙一起做还需多少小时才能完成工作？2.兄弟二人今年分别为1 5 岁和9岁，多少年后兄的年龄是弟的年龄的2倍?3.将一个装满水的内部长、宽、高分别为3 0 0 毫米，3 0 0 毫米和80毫米的长方体铁盒中的水，倒入一个内径为2 0 0 毫米的圆柱形水桶中，正好倒满，求圆柱形水桶的高（精确到0.1毫米，%-3.1 4）.4.有一火车以每分钟6 0 0 米的速度要过完第一、第二两座铁桥，过第二铁桥比过第一铁桥需多 5 秒，又知第二铁桥的长度比第一铁桥长度的2倍短5 0 米，试求各铁桥的长.5 .

49、有某种三色冰淇淋5 0 克，咖啡色、红色和白色配料的比是2：3：5,这种三色冰淇淋中咖啡色、红色和白色配料分别是多少克？6 .某车间有1 6 名工人，每人每天可加工甲种零件5 个或乙种零件4个.在 这 1 6 名工人中，一部分人加工甲种零件，其余的加工乙种零件.已知每加工一个甲种零件可获利1 6 元，每加工一个乙种零件可获利2 4 元.若此车间一共获利1 4 4 0 元，求这一天有几个工人加工甲种零件.7 .某地区居民生活用电基本价格为每千瓦时0.4 0 元，若每月用电量超过a千瓦时，则超过部分按基本电价的7 0%收费.(1)某户八月份用电8 4 千瓦时，共交电费3 0.7 2 元，求 a.(

50、2)若该用户九月份的平均电费为0.3 6 元，则九月份共用电多少千瓦？应交电费是多少元？8 .某家电商场计划用9万元从生产厂家购进5 0 台电视机.已知该厂家生产3种不同型号的电视机，出厂价分别为A种每台1 5 0 0 元，B种每台2 1 0 0 元，C种每台2 5 0 0 元.(1)若家电商场同时购进两种不同型号的电视机共5 0 台，用 去 9万元，请你研究一下商场的进货方案.(2)若商场销售一台A种电视机可获利1 5 0 元，销售一台B种电视机可获利2 0 0 元，销售一台C种电视机可获利2 5 0 元，在同时购进两种不同型号的电视机方案中，为了使销售时获利最多，你选择哪种方案？答案1 .