2017年数学真题及解析_2017年浙江省高考数学试卷.pdf

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1、2017年浙江省高考数学试卷一、选择题（共10小题，每小题4分，满分40分）1.（4 分）已知集合 P=x|-,Q=x|0 x 04.(4分)若x、y满足约束条件.x+y-3 0,则z=x+2y的取值范围是(),x-2y40A.0,6 B.0,4 C.6,+8)D.4,+)5.（4分）若函数f（x）=x2+ax+b在区间 0,1上的最大值是M,最小值是m,则 M-m()A.与a有关，且与b有 关B.与a有关，但与b无关C.与a无关，且与b无 关D.与a无关，但与b有关6.（4分）已知等差数列an的公差为d,前n项和为Sn,则d0是4+$62$5”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充

2、分必要条件 D.既不充分也不必要条件7.（4分）函数y=f（x）的导函数丫=（x）的图象如图所示，则函数y=f（x）的图象可能是（）8.(4 分)已知随机变量&满足 P(6=1)=pi，P(&=0)=1-P i,i=l,2.若 0 P1P2 则()2A.E (&)E(6),D(&)D (&)B.E (&)D (6)C.E (8)E(&),D(&)E(&)，D(&)D (&)9.(4分)如图，已知正四面体D-ABC(所有棱长均相等的三棱锥)，P、Q、R分别为AB、BC、CA上的点，AP=PB,%里 _=2,分别记二面角D-PR-Q,D-QC RAPQ-R,D-Q R-P 的平面角为 a、0、丫，

3、则（）A.yV aV B B.a y P C.a p y D.3 y a10.(4 分)如图，已知平面四边形 ABCD,ABBC,AB=BC=AD=2,CD=3,AC 与BD 交于点。，记 li=0A*0B，l2=0B*0C-l3=0C*0D,则()A.hV12Vl3 B.Ii l3 l2 C.I3 li l2 D.I2 li l3二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分1 1.（4分）我国古代数学家刘徽创立的“割圆术”可以估算圆周率A,理论上能把A的值计算到任意精度，祖冲之继承并发展了“割圆术，将71的值精确到小数点后七位，其结果领先世界一千多年，割圆术 的第一步

4、是计算单位圆内接正六边形的面积S6，S6=.12.（6 分）已知 a、bwR,（a+bi）2=3+4i（i 是虚数单位），则 a?+b 2=,ab=13.（6 分）已知多项式（x+1）3（x+2）2=x5+ap4+a2x3+a3x2+a4x+a5，贝！J 34=,35=14.（6 分）已知ABC,AB=AC=4,B C=2,点 D 为 AB 延长线上一点，B D=2,连结 C D,则 ABDC 的面积是,c o s Z B D C=.15.（6分）已知向量分、芯满足|R=1，I b l=2,则G+亩+G-M的最小值是,最大值是.16.（4分）从6男2女共8名学生中选出队长1人，副队长1人，普通

5、队员2人组成4人服务队，要求服务队中至少有1名女生，共有 种不同的选法.（用数字作答）17.（4分）已知a R,函数f（分=|x+/-a|+a在区间 1,4上的最大值是5,X则a的 取 值 范 围 是.三、解答题（共5小题，满分74分）18.（14分）已知函数f（x）=sin2x-cos2x-2/3sinxcosx（xWR）.（工）求f（2 2 L）的值.3（口）求f（x）的最小正周期及单调递增区间.19.（1 5分）如图，已知四棱锥P-ABCD,A P A D是以A D为斜边的等腰直角三角形，BCAD,CDAD,PC=AD=2DC=2CB,E 为 PD 的中点.（I ）证明：CE平面PAB；

6、（口）求直线CE与平面PBC所成角的正弦值.EA z y /-VDB-20.(1 5 分)已知函数 f (x)=(x-2 x T)ex (x2 L).2(1)求f (x)的导函数；(2)求f (x)在区间 L,+8)上的取值范围.22 1.(1 5分)如图，已知抛物线x 2=y，点A (-L,2)，B(A,1),抛物线上2 4 2 4的点P (x,y)(-x 2),过点B作直线A P的垂线，垂足为Q.2 2(I )求直线A P斜率的取值范围；(n)求|PA|PQ|的最大值.2 2.(1 5 分)已知数列仅)满足:x i=l,X n=xn+i+l n (1+X n-i)(nN*),证明：当 nG

7、 N*时，(I )0 XnlXn；(n )2Xn-l-Xn/n X 叫2(0)2n-1 2n-22017年浙江省高考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（共10小题，每小题4分，满分40分）1.（4 分）已知集合 P=x|-lV x V l,Q=（x|0 x 2,那么 PUQ=（）A.（-1,2）B.（0,1）C.（-1,0）D.（1,2）【分析】直接利用并集的运算法则化简求解即可.【解答】解:集合 P=x|-lV x V l,Q=x|0 x2,那么 PUQ=x|-l x 04.（4 分）若 x、y 满足约束条件卜+y-30，则 z=x+2y的取值范围是（）x-2y40A.0,6 B.0,4

8、C.6,+8）D.4,+8）【分析】画出约束条件的可行域，利用目标函数的最优解求解即可.【解答】解：X、y满足约束条件卜+y-3o,表示的可行域如图:x-2y40目标函数z=x+2y经过C点时，函数取得最小值，由卜+y-3=0解得c(2,0,x-2y=0目标函数的最小值为：4目标函数的范围是 4,+8).故选：D.【点评】本题考查线性规划的简单应用，画出可行域判断目标函数的最优解是解题的关键.5.(4分)若函数f(x)=x2+ax+b在区间 0,1上的最大值是M,最小值是m,则 M-m()A.与a有关，且与b有 关B.与a有关，但与b无关C.与a无关，且与b无 关D.与a无关，但与b有关【分析

9、】结合二次函数的图象和性质，分类讨论不同情况下M-m的取值与a,b的关系，综合可得答案.【解答】解：函数f(x)=x2+ax+b的图象是开口朝上且以直线x=-9为对称轴的2抛物线，当-且 1或一旦V 0,即a 0时，2 2函数f(x)在区间 0,1上单调，此时 M-m=|f(l)-f(0)|=|a+l|,故M-m的值与a有关，与b无关当LW-mW 1,即-2 W a W-l时，2 2函数f(x)在区间 0,-马上递减，在-旦，1上递增，2 2且 f(0)f(1),2此时 M-m=f(0)-f(-)=-5_,2 4故M-m的值与a有关，与b无关当0W一 旦工，即-lV a W O时，2 2函数f

10、(x)在区间 0,一 旦 上递减，在-且，1上递增，2 2且 f(0)0是S4+S62Ss的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件【分析】根据等差数列的求和公式和S4+S62S5,可以得到d 0,根据充分必要条件的定义即可判断.【解答】解：.S4+S62S5,.,.4ai+6d+6ai+15d2(5ai+10d),.*.21d20d,.,.d0,故d 0是S4+S6 2S5充分必要条件，故选：C.【点评】本题借助等差数列的求和公式考查了充分必要条件，属于基础题7.(4分)函数y=f(x)的导函数丫=(x)的图象如图所示，则函数y=f(x)的图象可能是

11、()【分析】根据导数与函数单调性的关系，当f(x)V O时，函数f(x)单调递减,当f，(x)0时，函数f(x)单调递增，根据函数图象，即可判断函数的单调性,然后根据函数极值的判断，即可判断函数极值的位置，即可求得函数y=f(x)的图象可能【解答】解：由当f，(x)0时，函数f(x)单调递增，则由导函数y=f，(x)的图象可知：f(x)先单调递减，再单调递增，然后单调递减，最后单调递增，排除A,C,且第二个拐点(即函数的极大值点)在x轴上的右侧，排除B,故选：D.【点评】本题考查导数的应用，考查导数与函数单调性的关系，考查函数极值的判断，考查数形结合思想，属于基础题.8.(4 分)已知随机变量

12、用满足 P(&=1)=Pi，P(6=0)=1-Pi,i=l,2.若 OVP1P2 则()2A.E (6)E(&)，D(&)D (6)B.E (8)D (&)C.E (i)E(&),D(G)E(&),D(6)D (0)【分析】由已知得 0V p iV p 2L,1 1-P 21-P 1 2,0 P l P 2 2 1 -P21-P11,2E (8)=1X pi+OX(1-pi)=pi，E (6)=1X p2+0X(1-p2)=p2，D(&)=(1-p i)2pi+(0-pi)2(1-pi)=pp2,D(&)=(1-P2)2P2+(0-p2)2(1-P2)=p2-p92,D(&)-D(&)=Pi-

13、Pi2-(p2-p22)=(P2-P i)(P1+P2-1)0,AE(0)E(&),D(&)D (0).故选：A.【点评】本题考查离散型随机变量的数学期望和方差等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力、空间想象能力，考查数形结合思想、化归与转化思想，是中档题.9.(4分)如图，已知正四面体D-ABC(所有棱长均相等的三棱锥)，P、Q、R分别为AB、BC、CA上的点，AP=PB,强 生=2,分别记二面角D-PR-Q,D-Q C R APQ-R,D-Q R-P的平面角为a、仇丫，则(DA.v V a V 0 B a y P C.a|3 v D.P y 3,0),R(-2病，0,0),利用法向量的

14、夹角公式即可得出二面角.解法二：如图所示，连接OP,OQ,O R,过点。分别作垂线：OEL PR,OFPQ,O G Q R,垂足分别为 E,F,G,连接 DE,DF,DG.可得 tana=_2L tan0=强,tanv=毁.由已知可得：OEOGOF.即可得出.0G【解答】解法一：如图所示，建立空间直角坐标系.设底面AABC的中心为0.不妨设 0P=3.则 0(0,0,0),P (0,-3,0),C(0,6,0),D(0,0,6&),B(3百，-3.0).Q(V3-3,0),R (-2病，0,0),PR=(-2V3 3,0),PD=(0,3,6a)，PQ=(b，6,0),QR=3 0),Q(T

15、5，七，672).设平面PDR的法向量为7 (x,y,z),则 丁 素 ，可得1-2日+3月1，nPD=0(3y+6&z=0可得各(右，哂，T)，取平面ABC的法向量，=(0,0,1).则 cosU：）=2 1 :1.-取 anarccos-.Im lln l 715 V15同理可得：B=arccos-J=l=.v=a rc c o s-V681 V95 1、&、3V15 V95 V681,.*.ayOGOF.tanatanvtanP，a,0,丫 为锐角./.aY l2=0B*0C-13=沃 丽，则()A.Ii l2 l3 B.Ii l3l2 C.I3 li l2 D.I2 li90,由图象知

16、OAVOC,OB 0 A 0 B 0 C,0D 0B*0C0,即 I3 ll(x+1)3中，x 的系数是：3,常数是1；(x+2)2中x 的系数是4,常数是4,34=3X4+1X4=16；a5=lX4=4.故答案为：16；4.【点评】本题考查二项式定理的应用，考查计算能力，是基础题.14.(6 分)已知ABC,AB=AC=4,BC=2,点 D 为 AB 延长线上一点，BD=2,连结 C D,则BDC的面积是 逗 ，cosZBDC=Y 叵.2 4【分析】如图，取 BC得中点E,根据勾股定理求出A E,再求出SA A B C，再根据SB D C=KMBC即可求出，根据等腰三角形的性质和二倍角公式即

17、可求出2【解答】解：如图，取 BC得中点E,VAB=AC=4,BC=2,，BE=_LBC=I,AEBC,2 AEWABZ-BE2 SAABC=-BC*AE=-X 2 X yj&15.*BD=2,SABDC=SNABC=1 5，2 2BC=BD=2,/.ZBDC=ZBCD,，ZABE=2ZBDC在 RtAABE 中，VCOSZ A B E=M,AB 4.,.cosZABE=2cos2ZBDC-1=L,4/.COSZBDC=/1P-,4 _故答案为：逗，逗2 4【点评】本题考查了解三角形的有关知识，关键是转化，属于基础题15.(6分)已知向量：、诵足=2,则|春 知 向 的 最 小 值 是4,最大

18、值是_ 2遥【分析】通过记NAOB=a(O W a W n),利用余弦定理可可知a+bI=V5+4cosCC H后 荻M，进而换元，转化为线性规划问题，计算即得结论.【解答】解:记NAOB=a，贝！J O W a W n,如图，由余弦定理可得：a+bl=j5+4cosa,a-b=V5-4cosCl 令 x=45-4ccis a,y=45+4cosa，则x2+y2=io（x、y l）,其图象为一段圆弧M N,如图，令 z=x+y,贝U y=-x+z,则直线 y=-x+z 过 M、N 时 z 最小为 Zmin=l+3=3+l=4,当直线y=-x+z与圆弧M N相切时z最大，由平面几何知识易知Zma

19、x即为原点到切线的距离的糜,也就是圆弧M N所在圆的半径的我倍，所以 Zmax=&X V10=2V5.综上所述，G+R +E-m的最小值是%最大值是2“.故答案为：4、25-【点评】本题考查函数的最值及其几何意义，考查数形结合能力，考查运算求解能力，涉及余弦定理、线性规划等基础知识，注意解题方法的积累，属于中档题.16.（4分）从6男2女共8名学生中选出队长1人，副队长1人，普通队员2人组成4人服务队，要求服务队中至少有1名女生，共 有6 6 0种不同的选法.（用数字作答）【分析】由题意分两类选1女3男或选2女2男，再计算即可【解答】解：第一类，先选1女3男，有C63c21=40种，这4人选2

20、人作为队长和副队有A42=1 2种，故有40X 12=480种，第二类，先选2女2男，有C62c2 2=1 5种，这4人选2人作为队长和副队有A42=12种，故有15X12=180种，根据分类计数原理共有480+180=660和 J故答案为：660【点评】本题考查了分类计数原理和分步计数原理，属于中档题17.(4分)已知a G R,函数f(x)=|x+9-a|+a在区间 1,4上的最大值是5,X则a的取值范围是(-8,旦.2,【分析】通过转化可知lx+2 -a|+aW 5且a W 5,进而解绝对值不等式可知2a-5XW x+&W 5,进而计算可得结论.X【解答】解:由题可知|x+_ l-a|+

21、a W 5,即|x+_ l-a|W5-a,所以aW5,X X又因为|x+W-a W 5-a,X所以 a-5Wx+里-aW5-a,x所以 2a-5Wx+&W5,x又因为 lW x=2,故 T=n,即f(x)的最小正周期为n,由 2x+卫L e -2L+2kn,2L+2kn，kez 得：6 2 2xe -i2L+kn,-2L+kn,kGZ,6 3故f(x)的单调递增区间为 一且L+kn,-工+kn或写成k7i+2L,kn+22L,k6 3 6 3ez.【点评】本题考查的知识点是三角函数的化简求值，三角函数的周期性，三角函数的单调区间，难度中档.19.(15分)如图，已知四棱锥P-ABCD,4 P

22、A D是以A D为斜边的等腰直角三角形，BCAD,CD1AD,PC=AD=2DC=2CB,E 为 PD 的中点.(I)证明：CE平面PAB；(口)求直线C E与平面PBC所成角的正弦值.【分析】(I)取A D的中点F,连结EF,C F,推导出EFPA,CF AB,从而平面EFC平面A B P,由此能证明EC平面PAB.（）连结B F,过F作F M L P B于M,连结P F,推导出四边形BCDF为矩形，从而 B F_L AD,进而 AD_L平面 P B F,由 ADB C,得 BC_L PB,再求出 B C LM F,由此能求出sin0.【解答】证明：（I）取A D的中点F,连结EF,CF,0

23、E 为 PD 的中点,；.EFPA,在四边形ABCD中，BCAD,AD=2DC=2CB,F为中点，；.CFAB,平面 EFC平面 ABP,V ECc 平面 EFC,，EC平面 PAB.解：（口）连结B F,过F作FM_L PB于M,连结PF,VPA=PD,A PF 1 AD,推导出四边形BCDF为矩形，.BFL AD,.,.AD_L平面 P B F,又 ADBC,.BC_L平面 PBF,/.BCPB,设 DC=CB=1,由 PC=AD=2DC=2CB,得 AD=PC=2,PB=pc2 _Bc 2=V 4-l=V，BF=PF=1,；.M F=L,2又 BC_L平面 PBF,A BC1M F,，M

24、F_L平面P B C,即点F到平面PBC的距离为L,2V M F=1,D到平面PBC的距离应该和M F平行且相等，为工，2 2E为PD中点，E到平面PBC的垂足也为垂足所在线段的中点，即中位线，E到平面PBC的距离为4在 APCD中，PC=2,CD=1,PD诋由余弦定理得CE=正，工设直线CE与平面PBC所成角为仇 则sin0=_L=返.CE 8【点评】本题考查线面平行的证明，考查线面角的正弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力、空间想象能力，考查数形结合思想、化归与转化思想，是中档题.2 0.(1 5 分)已知函数 f (x)=(x -2

25、 x T)e x(x 2 L).2(1)求f (x)的导函数；(2)求 f (x)在区间 L,+8)上的取值范围.2【分析】(1)求出f (x)的导数，注意运用复合函数的求导法则，即可得到所求;(2)求出f (x)的导数，求得极值点，讨论当上*1时，当 l x ”时，f (x)的单调性，判断f (x)20,计算f (L),f (1),f (空)，即可2 2 2得到所求取值范围.【解答】解：(1)函数f (x)=(x-亚/j j e x2导数7(x)=(I-1.)e x-(x -A/2X-1)e x2 V 2 x-1=(1 一 丫+乙)e x=(1 -x)(1 -/2 )e x；V 2 x-1

26、V 2 x-1(2)由 f (x)的导数 r (x)=(1 -x)(1 -_ _)e x,可得F (x)=0 时，x=l或反，2当L v x V l 时，f(x)0,f (x)递增；2当*及时，f (x)0,f (x)递减，2且 X2A/2XT=X22X-1=(X -1)2 2，则 f (x)2 0.由 f(1)=le f(1)=0,f 也)=le2 2 2 21即有f(x)的最大值为皂一工,最小值为f(1)=0.21则f(X)在区间 工，+8)上的取值范围是 0,皂 2.2 2【点评】本题考查导数的运用：求单调区间和极值、最值，考查化简整理的运算能力，正确求导是解题的关键，属于中档题.21.

27、(1 5分)如图，已知抛物线x2=y，点A(-L,2)，B(金，旦)，抛物线上2 4 2 4的点P (x,y)(-Lv x 3),过点B作直线AP的垂线，垂足为Q.2 2(I)求直线AP斜率的取值范围；(H)求|PA|PQ|的最大值.【分析】(I)通过点P在抛物线上可设P (x,X2),利用斜率公式结合2vW可得结论；2()通 过(I)知P (x,x2)、-1 X 2,设直线AP的斜率为k,联立直线2 2AP、BQ方程可知Q点坐标，进而可用k表示出而、PA，计算可知|PA|PQ|=(1+k)3(1-k),通过令 f(x)=(1+x)3(1-x),-1 X 1,求导结合单调性可得结论.【解答】解

28、：(I)由题可知P (x,X2),-x 2,2 22 1X 一所以 kAP=-3=X-(-1,1),2故直线AP斜率的取值范围是：(-1,1)；(I I)由(I)知 P (X,X2),-L X 故-|PA|PQ|=而而=Q坟.)色 二D,+%(!士=(1+k)3(k-1),1+k2 1+k2所以|PA|PQ|=(1+k)3(1-k),令 f(x)=(1+x)3(1-X),-1X 0,当Lv x V l 时 f，(x)0,2 2故 f(X)max=f()=.即 I PA|PQ|的最大值为2 16 16【点评】本题考查圆锥曲线的最值问题，考查运算求解能力，考查函数思想，注意解题方法的积累，属于中档

29、题.22.(15分)已知数列 xn满足：X1=1,Xn=Xn+l+ln(l+Xn+l)分己知 证 明:当nGN*时，(I)0Xn-l 0,继续放缩即可证明2xn+l 2 xn【解答】解：(I)用数学归纳法证明：Xn0,当n=l时，x i=l 0,成立，假设当n=k时成立，则Xk0,那么 n=k+l 时，若 X k+i V O,则 OVxk=Xk+i+ln(1+x n)0,因此 Xn0,(n G N*)Xn=Xn,l+ln(1+Xn 1 1)Xn t 1因此 OVxn+iVxn(n N*),(U)由 Xn=Xn-l+ln(1+Xn+l)得 XnXn+l-4Xn*i+2Xn=Xn+J-2xn+l+

30、(Xn+i+2)In(1+Xn+l),记函数 f(x)=x2-2x+(x+2)In(1+x),x 2 0：.V(x)=l l!+l n (1+x)0,x+1A f (x)在(0,+8)上单调递增，/.f(x)2 f (0)=0,因此 Xn+，-2Xn+l+(Xn+l+2)In(l+xn+i)N O,故 2Xn,l-也L；2(111)Xn=Xn+l+ln(1+Xn+l)WXn+l+Xn+l=2Xn+l，X n 2-,2n-1由 1 2 2 X n+L X n 得-工2 2 0,2xn+l 2 xn 2，-2.常 1(L-L)=2n 2,xn 2xn 2n-2综上所述一21xn-l 2X 2【点评】本题考查了数列的概念，递推关系，数列的函数的特征，导数和函数的单调性的关系，不等式的证明，考查了推理论证能力，分析解决问题的能力，运算能力，放缩能力，运算能力，属于难题